proyeksi cadangan klaim dengan metode munich chain-ladder

PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE

MUNICH CHAIN-LADDER

IKHWAN ABIYYU

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Proyeksi Cadangan

Klaim dengan Metode Munich Chain-Ladder adalah benar karya saya dengan

arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada

perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya

yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam

teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2015

Ikhwan Abiyyu

NIM G54110015

ABSTRAK

IKHWAN ABIYYU. Proyeksi Cadangan Klaim dengan Metode Munich Chain-

Ladder. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RUHIYAT.

Perusahaan asuransi wajib mempersiapkan cadangan klaim secara tepat

untuk menutupi pengeluaran dari klaim yang akan terjadi di masa yang akan

datang. Salah satu metode estimasi cadangan klaim yang sering digunakan adalah

metode chain-ladder. Karena kesederhanaan dari metode tersebut, banyak

perusahaan asuransi menggunakannya dalam estimasi cadangan klaim di masa

yang akan datang. Namun, metode chain-ladder tidak bisa mengurangi gap antara

proyeksi IBNR (Incurred but Not Reported) dari kerugian yang dibayarkan dan

kerugian yang sebenarnya terjadi. Metode Munich chain-ladder adalah

pengembangan metode dari metode chain-ladder yang dikembangkan oleh

Gerhard Quarg dan Thomas Mack. Metode Munich chain-ladder dalam

aplikasinya dapat mengurangi gap yang terjadi. Karya ilmiah ini menjelaskan cara

estimasi cadangan klaim menggunakan metode Munich chain-ladder dan

membandingkan hasilnya dengan menggunakan metode chain-ladder, serta

memberikan contoh data di mana metode Munich chain-ladder tidak

menghasilkan proyeksi yang baik.

Kata kunci: cadangan klaim, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.

ABSTRACT

IKHWAN ABIYYU. Projection of Claim Reserves Using the Munich Chain-

Ladder Method. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RUHIYAT.

Insurance companies are required to manage the appropriate claim

reserves to cover the expenses of the claims that will occur in the future. One of

the claim reserves estimation method that frequently used is the chain-ladder

method. Because of the simplicity of this method, many insurance companies use

the method to estimate the claim reserves in the future. However, the chain-ladder

method is not able to reduce the gap between the projection of IBNR (Incurred but

Not Reported) paid losses and incurred losses. The Munich chain-ladder is the

development of the chain-ladder method introduced by Gerhard Quarg and

Thomas Mack. The Munich chain-ladder method can be applied to reduce the gap

between the projection of IBNR paid losses and incurred losses. This paper

describes how to estimate the claim reserves using the Munich chain-ladder

method and to compare the results with using the chain-ladder method. In

addition, we provide examples of data, where the Munich chain-ladder method

does not produce a good projection.

Keywords: claim reserve, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE

MUNICH CHAIN-LADDER

IKHWAN ABIYYU

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat

dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya

ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis

mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ibundaku tersayang Ibu Mardiana. Terima kasih atas doa, cinta,

semangat, pengorbanan, dan segalanya kepada penulis. Terima kasih

telah menjadi mama terhebat untuk anak-anaknya.

2. Adik-adikku Sayyid Abyan dan Siti Najwa Assyyfa atas semangatnya

kepada penulis.

3. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA sebagai dosen pembimbing I

dan Bapak Ruhiyat, MSi sebagai dosen pembimbing II. Terima kasih

atas segala waktu, ilmu, nasihat, dan bantuannya selama penulisan karya

ilmiah ini.

4. Bapak Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath sebagai dosen penguji

atas kritik dan saran untuk perbaikan skripsi ini.

5. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika FMIPA IPB atas

semua ilmu, nasihat, dan bantuannya.

6. Teman-teman satu bimbingan yaitu Lilyani dan Sinta atas semua saran,

semangat, dan bantuannya.

7. Sahabat satu kontrakan yaitu Median, Firi, dan Fakhri serta sahabat

dekat selama perkuliahan yaitu Adam, Irma, Henny, Restu, Hendar,

Hasan, dan Resty. Terima kasih atas kebersamaannya, perhatian,

semangat, dan bantuannya kepada penulis selama 4 tahun perkuliahan.

8. Teman-teman Matematika 48, kakak-kakak Matematika 47, dan adik-

adik Matematika 49 atas kebersamaan dan suka-duka selama penulis

menempuh studi di Departemen Matematika.

9. Sahabat dari SMA hingga saat ini Fadhlulrahman Azis, serta Sahabat

dari TPB yaitu Diko, Adoy, Feber, dan Dody. Terima kasih atas

kebersamaannya dan semangatnya kepada penulis.

10. Kak Julianto, SSi yang telah membagi ilmu dan wawasannya tentang

teknik cadangan klaim dalam asuransi, khususnya asuransi kerugian.

11. Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak

dapat disebutkan satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2015

Ikhwan Abiyyu

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR viii

DAFTAR LAMPIRAN viii

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

Teori Peluang 2

Total Klaim 3

Outstanding Claims Liability 3

Teknik Chain-Ladder 5

HASIL DAN PEMBAHASAN 6

Metode Chain-Ladder 6

Metode Munich Chain-Ladder 7

Implementasi Praktis 11

Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder 14

SIMPULAN DAN SARAN 26

Simpulan 26

Saran 27

DAFTAR PUSTAKA 27

LAMPIRAN 28

RIWAYAT HIDUP 36

DAFTAR TABEL

1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental 4 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif 4 3 Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan

Mack 15 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack 15

5 Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter 𝜎 dari data Quarg

dan Mack 17

6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter 𝜌 dari data Quarg dan Mack 19

7 Hasil perhitunan Res(𝑃𝑖,𝑡) dari data Quarg dan Mack 20

8 Hasil perhitunan Res(𝐼𝑖,𝑡) dari data Quarg dan Mack 20

9 Hasil perhitunan Res(𝑄𝑖,𝑠−1) dari data Quarg dan Mack 21

10 Hasil perhitunan Res(𝑄𝑖,𝑠) dari data Quarg dan Mack 21

11 Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan

Mack dengan metode Munich chain-ladder 23 12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack

dengan metode Munich chain-ladder 23 13 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian

yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-

ladder 24 14 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian

yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder 25 15 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian

yang terjadi dari data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder 26

DAFTAR GAMBAR

1 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack 22

2 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack 22 3 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd’s 25

4 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s 26

DAFTAR LAMPIRAN

1 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder 28

2 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder 30 3 Pengolahan data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder 32

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Setiap orang tidak mengetahui bagaimana kehidupan ke depannya akan

berjalan seperti apa. Ketidakpastian bisa saja terjadi seperti bahaya, kerusakan,

dan kerugian yang pasti akan dialami kapanpun dan oleh siapapun. Risiko

ketidakpastian tersebut dapat merusak kestabilan ekonomi yang sangat besar.

Salah satu solusi untuk mengantisipasi risiko tersebut adalah melalui asuransi.

Asuransi adalah sebuah janji dari pihak penanggung dalam hal ini perusahaan

asuransi kepada pihak tertanggung yakni nasabah, bahwa bila terjadi risiko maka

perusahaan asuransi tersebut akan memberikan santunan (benefit) dengan jumlah

tertentu kepada nasabahnya.

Industri asuransi dewasa ini semakin berkembang dari tahun ke tahun. Ini

bisa digambarkan dengan semakin banyaknya orang yang tertarik untuk membeli

produk berupa jasa yang ditawarkan oleh suatu perusahaan asuransi. Dengan

membayarkan sejumlah uang yang disebut premi, risiko kerugian yang mungkin

dapat timbul dari nasabah pada waktu mendatang telah ditanggung oleh

perusahaan asuransi tersebut sesuai dengan polis yang berlaku. Perusahaan

asuransi wajib mempersiapkan dana siap pakai secara tepat untuk menutupi

pengeluaran oleh klaim yang terjadi pada periode ke depan. Dana inilah yang

disebut sebagai cadangan klaim.

Pembayaran klaim mungkin dilakukan tidak lama setelah klaim dilaporkan,

namun pada beberapa jenis asuransi, terkadang pembayaran klaimnya

membutuhkan waktu yang cukup lama diukur dari saat terjadinya klaim.

Hubungan antara waktu kejadian dan penundaan terkait klaim ini dikenal dengan

istilah outstanding claims. Ada dua jenis outstanding claims, yaitu Incurred but

Not Reported (IBNR) yaitu peristiwa yang telah terjadi tetapi belum dilaporkan ke

perusahaan asuransi dan Reported but Not Settled (RBNS) yaitu peristiwa yang

telah dilaporkan namun pembayarannya belum terselesaikan (Hossack 1999).

Taksiran outstanding claims memegang peranan yang penting, mengingat

perusahaan asuransi dituntut untuk selalu dapat menyediakan cadangan yang

cukup, guna menutup pembayaran klaim di masa yang akan datang. Jika perkiraan

outstanding claims buruk, maka bisa saja perusahaan dapat mengalami

kebangkrutan. Ada beberapa metode statistik untuk menaksir outstanding claims

baik secara deterministik maupun stokastik. Metode chain-ladder merupakan

metode deterministik yang paling populer untuk menaksir outstanding claims,

karena kesederhanaannya dan bersifat bebas distribusi (Mack 1993).

Sebuah masalah besar dalam cadangan klaim adalah perbedaan perkiraan

IBNR yang dibayarkan dan yang terjadi, yaitu total akhir dari kerugian yang

dibayarkan menyimpang lebih atau kurang dari perkiraan yang sesuai dengan

kerugian yang terjadi. Metode chain-ladder tidak cukup membantu dalam

menyelesaikan masalah ini. Metode Munich chain-ladder, pengembangan dari

metode chain-ladder yang akan mempersempit gap antara proyeksi IBNR dari

kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.

2

Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:

1. Menjelaskan cara proyeksi cadangan klaim dengan metode Munich chain-

ladder.

2. Memberikan contoh penerapan proyeksi cadangan klaim dengan metode

Munich chain-ladder. 3. Membandingkan hasil proyeksi cadangan klaim dengan metode chain-

ladder dan metode Munich chain-ladder.

TINJAUAN PUSTAKA

Teori Peluang

Nilai Harapan

1. Jika 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋(𝑥) maka

nilai harapan dari 𝑋, dinotasikan dengan 𝐸(𝑋), adalah:

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥

∀𝑥

𝑝𝑋(𝑥),

asalkan jumlah tersebut kovergen mutlak.

2. Jika 𝑋 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋(𝑥)

maka nilai harapan dari 𝑋 adalah:

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓𝑋(𝑥)∞

−∞

𝑑𝑥,

asalkan integral tersebut konvergen mutlak (Hogg et al. 2014).

Nilai Harapan Bersyarat

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) adalah fungsi

kepekatan peluang bersyarat dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦 . Nilai harapan dari 𝑋

dengan syarat 𝑌 = 𝑦 adalah:

𝐸(𝑋|𝑌 = 𝑦) = ∫ 𝑥𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)∞

−∞

𝑑𝑥

(Hogg et al. 2014).

Ragam

Ragam dari peubah acak 𝑋 dapat ditunjukkan oleh:

var(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2; 𝜇 = 𝐸(𝑋)

Notasi lain untuk ragam adalah 𝜎2, sehingga didapat

3

𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2 (Hogg et al. 2014).

Martingale

Kejadian 𝑋 disebut martingale (relatif terhadap ({ℱ𝑛}, Ρ)) jika:

1. 𝑋 bersesuaian,

2. 𝛦(|𝑋𝑛|) < ∞, ∀𝑛,

3. 𝛦[𝑋𝑛|ℱ𝑛−1] = 𝑋𝑛−1, ketika 𝑛 ≥ 1

(Williams 1991).

Total Klaim

Total klaim (claim amounts) atau bisa juga disebut sekumpulan kerugian

(aggregate loss) adalah jumlahan dari total semua klaim yang terjadi dalam

periode tertentu dari kontrak asuransi yang telah ditetapkan. Ini merupakan suatu

metode yang digunakan untuk merekam pembayaran yang dibuat dan kemudian

menambahkannya dengan pembayaran berikutnya. Dalam kasus ini, total klaim

direpresentasikan sebagai jumlahan, banyaknya klaim (number of claims) 𝑁, dari

total pembayaran individu (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁), sehingga

𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑁, untuk 𝑁 = 0,1,2, …

dengan 𝑌 = 0 jika 𝑁 = 0 (Yunawan 2013).

Outstanding Claims Liability

Umumnya penaksiran klaim-klaim yang belum terselesaikan (outstanding

claims liability) untuk asuransi kelas bisnis jangka panjang (long-tail) didasarkan

pada run-off triangle data. Run-off triangle data memuat gambaran klaim

keseluruhan (aggregate), dan merupakan ringkasan dari suatu data set klaim-

klaim individu (Antonio et al. 2006). Data yang ada dalam run-off triangle data

biasanya merupakan besarnya klaim (claims amount) dan juga banyaknya klaim

(number of claims), di mana keduanya tersaji dalam bentuk inkremental atau

kumulatif.

Misalkan 𝐷𝑖,𝑗 menyatakan peubah acak besarnya klaim (dalam bentuk

inkremental) untuk klaim-klaim yang terjadi pada periode kejadian (accident

period) 𝑖 dan dibayarkan pada periode penundaan (development period) 𝑗, dengan

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 (Olofsson 2006).

Tabel 1 mengilustrasikan run-off triangle data dan future triangle data

dalam bentuk inkremental, di mana baris menunjukkan tahun kejadian (accident

year), kolom menunjukkan tahun penundaan (development year), sedangkan

diagonal (kiri bawah sampai kanan atas) merepresentasikan pembayaran klaim

dalam setiap periode pembayaram (payment period). Run-off triangle data adalah

sel-sel 𝐷𝑖,𝑗 (untuk 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛 + 1) yang berwarna putih dan berada dalam segitiga

atas, sedangkan future triangle data adalah sel-sel 𝐷𝑖,𝑗 (untuk 𝑖 + 𝑗 > 𝑛 + 1) yang

berwarna abu-abu dan berada dalam segitiga bawah.

4

Tabel 1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental

Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif, 𝐶𝑖,𝑗 dapat dibentuk

berdasarkan inkremental, 𝐷𝑖,𝑗, melalui hubungan berikut:

𝐶𝑖,𝑗 = ∑ 𝐷𝑖,𝑘

𝑗

𝑘=1

untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, dan 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛 + 1.

𝐶𝑖,𝑗 dapat dinyatakan sebagai besarnya klaim kumulatif untuk klaim-klaim

yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-𝑖 dan dibayarkan sampai dengan tahun

penundaan ke-𝑗. Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif disajikan dalam

Tabel 2. Besarnya klaim kumulatif sampai dengan tahun penundaan ke-𝑛, yaitu

𝐶𝑖,𝑛 = ∑ 𝐷𝑖,𝑘

𝑛

𝑘=1

untuk 𝑖 = 2,3, … , 𝑛, disebut ultimate claims (Mack 1993).

Tabel 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

𝐷2,1

𝐷𝑖,1

𝐷2,2

𝐷1,2

𝐷𝑖,2

𝐷𝑛−1,1 𝐷𝑛−1,2

𝐷𝑛,1

𝐷𝑖,𝑗

𝐷2,𝑗

𝐷1,𝑗 𝐷1,𝑛−1

𝐷2,𝑛−1

𝐷1,𝑛1

2

1 2 𝑛

𝑖

𝑛 − 1𝑗

𝑛 − 1

𝑛

𝐷1,1

𝐷𝑛,2 𝐷𝑛,𝑗 𝐷𝑛,𝑛−1 𝐷𝑛,𝑛

𝐷𝑛−1,𝑗 𝐷𝑛−1,𝑛−1 𝐷𝑛−1,𝑛

𝐷𝑖,𝑛−1 𝐷𝑖,𝑛

𝐷2,𝑛

…

…

…

…

…

…

… …

… …

… …

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

𝐶2,1

𝐶𝑖,1

𝐶2,2

𝐶1,2

𝐶𝑖,2

𝐶𝑛−1,1 𝐶𝑛−1,2

𝐶𝑛,1

𝐶𝑖,𝑗

𝐶2,𝑗

𝐶1,𝑗 𝐶1,𝑛−1

𝐶2,𝑛−1

𝐶1,𝑛1

2

1 2 𝑛

𝑖

𝑛 − 1𝑗

𝑛 − 1

𝑛

𝐶1,1

𝐶𝑛,2 𝐶𝑛,𝑗 𝐶𝑛,𝑛−1 𝐶𝑛,𝑛

𝐶𝑛−1,𝑗 𝐶𝑛−1,𝑛−1 𝐶𝑛−1,𝑛

𝐶𝑖,𝑛−1 𝐶𝑖,𝑛

𝐶2,𝑛

…

…

…

…

…

…

… …

… …

… …

5

Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke-𝑖 (𝑅𝑖) didefinisikan

sebagai

𝑅𝑖 = ∑ 𝐷𝑖,𝑘

𝑛

𝑘=𝑛+2−𝑖

atau 𝑅𝑖 = 𝐶𝑖,𝑛 − 𝐶𝑖,𝑛+1−𝑖, untuk 𝑖 = 2,3, … , 𝑛.

Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke- 𝑖 merupakan

penjumlahan sel-sel 𝐷𝑖,𝑗 di baris 𝑖 yang ada pada future triangle, sedangkan total

outstanding claims liability (𝑅) didefinisikan sebagai penjumlahan outstanding

claims liability untuk semua tahun kecelakaan 𝑖 (𝑖 = 2,3, … , 𝑛), yaitu

𝑅 = ∑ ∑ 𝐷𝑖,𝑘

𝑛

𝑘=𝑛+2−𝑖

𝑛

𝑖=2

dengan kata lain, total outstanding claims liability (𝑅), merupakaan jumlah semua

𝐷𝑖,𝑗 dalam future triangle (Mack 1993).

Teknik Chain-Ladder

Misalkan 𝐶𝑖,𝑗 menunjukkan total klaim yang diakumulasikan dari waktu

kejadian 𝑖, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, yang dilaporkan sampai dengan waktu penundaan

j, untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Jika 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 𝑖 + 1 maka besarnya

𝐶𝑖,𝑗 diketahui. Tujuan yang ingin dicapai adalah untuk memberikan estimasi total

klaim 𝐶𝑖,𝑛 untuk waktu kejadian 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan total besarnya klaim 𝐶𝑖,𝑗 untuk

𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 𝑛 − 𝑖 + 2, … , 𝑛.

Asumsi dasar untuk teknik chain-ladder adalah terdapat nilai faktor

penundaan (development factor) 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑛 dengan

𝐸(𝐶𝑖,𝑗+1|𝐶𝑖,1, 𝐶𝑖,2, … , 𝐶𝑖,𝑗) = 𝐶𝑖,𝑗 𝜆𝑗 ,

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 𝑖 + 1 . Teknik chain-ladder terdiri atas

estimasi 𝜆𝑗 dengan

��𝑗 =∑ 𝐶𝑖,𝑗

𝑛−𝑗+1𝑖=1

∑ 𝐶𝑖,𝑗−1𝑛−𝑗+1𝑖=1

dan estimasi total besarnya klaim oleh

𝐶𝑛−𝑗+1,𝑛 = 𝐶𝑛−𝑗+1,𝑗𝜆𝑗+1𝜆𝑗+2 … 𝜆𝑛

untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 atau dengan bentuk lain untuk 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 berikut:

��𝑖,𝑛 = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1𝜆𝑛−𝑖+2 … 𝜆𝑛

(Mack 1993).

6

HASIL DAN PEMBAHASAN

Metode Chain-Ladder

Pertama-tama akan diperkenalkan beberapa notasi dan kemudian

merumuskan asumsi dari metode chain-ladder (CL).

Notasi

Misalkan 𝑛 ∈ ℕ adalah tahun terjadinya kecelakaan dan 𝑚 ∈ ℕ adalah

tahun penundaan (biasanya 𝑚 = 𝑛 ). Untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , misalkan 𝑃𝑖 adalah

kerugian yang dibayarkan (paid) oleh perusahaan asuransi pada tahun kecelakaan

ke- 𝑖 dan 𝐼𝑖 adalah kerugian yang terjadi (incurred) pada waktu ke- 𝑖 . Dengan

demikian, 𝑃𝑖,𝑡 menyatakan kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-𝑖 yang mengalami penundaan selama 𝑡 tahun, dan 𝐼𝑖,𝑡 mengartikan kerugian yang

terjadi pada tahun kecelakaan ke-𝑖 yang mengalami penundaan selama 𝑡 tahun.

Selain itu, 𝒫𝑖(𝑠) ≔ {𝑃𝑖,1, … , 𝑃𝑖,𝑠} menjelaskan kondisi bahwa waktu tunda

dari kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-𝑖 diberikan sampai akhir

tahun penundaan ke-𝑠 dan ℐ𝑖(𝑠) ≔ {𝐼𝑖,1, … , 𝐼𝑖,𝑠} menjelaskan kondisi bahwa waktu

tunda dari kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-𝑖 diberikan sampai

akhir tahun penundaan ke-𝑠.

Asumsi Model Beberapa asumsi dalam proses metode CL untuk kerugian yang dibayarkan

dan kerugian yang terjadi.

1. Asumsi model untuk kerugian yang dibayarkan (P)

PE (Asumsi Nilai Harapan)

Untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1, terdapat faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡𝑃 > 0

sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,

𝐸 (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠)) = 𝑓𝑠→𝑡

𝑃 .

PV (Asumsi Ragam)

Untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1, terdapat proporsi konstan 𝜎𝑠→𝑡𝑃 ≥ 0

sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,

var (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠)) =

(𝜎𝑠→𝑡𝑃 )2

𝑃𝑖,𝑠.

PU (Asumsi Kebebasan)

Berbagai tahun kerugian yang independen, yaitu

{𝑃1,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇}, {𝑃2,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇}, … , {𝑃𝑛,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇} bebas stokastik.

7

2. Asumsi model untuk kerugian yang terjadi (I)

IE (Asumsi Nilai Harapan)

Untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1, terdapat faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡𝐼 > 0

sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,

𝐸 (𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

|ℐ𝑖(𝑠)) = 𝑓𝑠→𝑡𝐼 .

IV (Asumsi Ragam)

Untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1, terdapat proporsi konstan 𝜎𝑠→𝑡𝐼 ≥ 0

sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,

var (𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

|ℐ𝑖(𝑠)) =(𝜎𝑠→𝑡

𝐼 )2

𝐼𝑖,𝑠.

IU (Asumsi Kebebasan)

Berbagai tahun kerugian yang independen, yaitu

{𝐼1,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇}, {𝐼2,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇}, … , {𝐼𝑛,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇} bebas stokastik.

Dengan demikian, asumsi metode CL menjelaskan bahwa tahun

kecelakaan yang stokastik independen, tetapi memiliki faktor penundaan yang

sama dan parameter σ setiap tahun penundaan. Asumsi di atas dirancang untuk

proyeksi segitiga bawah dan untuk menjelaskan tentang hubungan antara proses

kerugian yang dibayarkan dan terjadi. Ekspektasi bersyarat menggambarkan

kemungkinan terbaik peramalan 𝑃𝑖,𝑡 jika hanya diketahui proses kerugian yang

dibayar dari tahun kecelakaan, sampai dengan saat ini. Hal ini berlaku analog

dengan proses kerugian yang terjadi

𝐸 (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|ℬ𝑖(𝑠)) dan 𝐸 (

𝐼𝑖,𝑡

𝐼𝑖,𝑠|ℬ𝑖(𝑠))

dengan ℬ𝑖(𝑠) = {𝑃𝑖,1, 𝑃𝑖,2, … , 𝑃𝑖,𝑠, 𝐼𝑖,1, 𝐼𝑖,2, … , 𝐼𝑖,𝑠} adalah himpunan waktu

penundaan yang diketahui hingga akhir tahun penundaan 𝑠 dari proses kerugian

yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.

Metode Munich Chain-Ladder

Untuk metode Munich chain-ladder (MCL), asumsi independensi PU dan

IU dari metode chain-ladder diperluas, yaitu dengan menambahkan asumsi PIU

(kebebasan dari tahun kerugian yang dibayarkan dan dari tahun kerugian yang

terjadi). Set kebebasan stokastik untuk asumsi kebebasan PIU adalah

{𝑃1,𝑡, 𝐼1,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇}, {𝑃2𝑡, 𝐼2,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇},… , {𝑃𝑛,𝑡, 𝐼𝑛,𝑡|𝑡 ∈ 𝑇}. Didefinisikan

𝑄𝑖 =𝑃𝑖

𝐼𝑖= (

𝑃𝑖,𝑡

𝐼𝑖,𝑡)

𝑡∈𝑇

dan 𝑄𝑖−1 =

𝐼𝑖

𝑃𝑖= (

𝐼𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑡)

𝑡∈𝑇

8

untuk menjelaskan rasio (P/I) dan rasio (I/P).

Selanjutnya, dengan menambahkan konsep residual bersyarat: jika 𝑋 adalah

peubah acak, dengan syarat 𝐶, maka

𝜎(𝑋|𝐶) = √var(𝑋|𝐶)

menjelaskan standar deviasi bersyarat dari 𝑋 oleh 𝐶, dan

res(𝑋|𝐶) =𝑋 − 𝐸(𝑋|𝐶)

𝜎(𝑋|𝐶)

menjelaskan residual bersyarat 𝑋 oleh 𝐶. Residual bersyarat adalah standardisasi

yang berkaitan dengan nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat, dengan

𝐸(res(𝑋|𝐶)|𝐶) = 0 dan var(res(𝑋|𝐶)|𝐶) = 1.

Asumsi Model

Mengacu pada asumsi model oleh Mack, dilakukan analisis lebih lanjut

untuk menghitung faktor nilai harapan bersyarat dari penundaan proses kerugian

yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi guna mendapatkan residual masing-

masingnya, dengan

res (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠)) dan res (

𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

|ℐ𝑖(𝑠)).

Dibandingkan dengan model CL, kelebihan dari model Munich chain-

ladder (MCL) yang menentukan adalah merumuskan asumsi untuk istilah-istilah

berikut, yaitu

𝐸 (res (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠)) |ℬ𝑖(𝑠)) dan 𝐸 (res (

𝐼𝑖,𝑡

𝐼𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) |ℬ𝑖(𝑠)).

dan residual dari rasio (I/P) dan rasio (P/I), didefinisikan

res(𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)) atau res(𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)).

Asumsi tambahan untuk rasio (P/I) dan rasio (I/P)

PQ

Terdapat konstanta 𝜆𝑃 untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1 sehingga untuk

setiap 𝑖 = 1,2 … , 𝑛,

𝐸 (res (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠)) |ℬ𝑖(𝑠)) = 𝜆𝑃 res(𝑄𝑖,𝑠

−1|𝒫𝑖(𝑠))

yang ekuivalen dengan

9

𝐸 (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|ℬ𝑖(𝑠)) = 𝑓𝑠→𝑡

𝑃 + 𝜆𝑃 𝜎 (

𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠))

𝜎(𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠))

(𝑄𝑖,𝑠−1 − 𝐸(𝑄𝑖,𝑠

−1|𝒫𝑖(𝑠))). (1)

IQ

Terdapat konstanta 𝜆𝑃 untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1 sehingga untuk

setiap 𝑖 = 1,2 … , 𝑛,

𝐸 (res (𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

|ℐ𝑖(𝑠)) |ℬ𝑖(𝑠)) = 𝜆𝑃 res(𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠))

yang ekuivalan dengan

𝐸 (𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

|ℬ𝑖(𝑠)) = 𝑓𝑠→𝑡𝐼 + 𝜆𝐼

𝜎 (𝐼𝑖,𝑡

𝐼𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠))

𝜎(𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) (𝑄𝑖,𝑠 − 𝐸(𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠))). (2)

Parameter 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 yang merupakan kemiringan garis regresi dari plot

residual masing-masing proses, tidak tergantung pada penundaan tahun ke-𝑠 .

Persamaan (1) dan (2) mewakili harapan bersyarat untuk faktor penundaan

sebagai jumlah faktor dari chain-ladder dan koreksi dari kedua jenis data. Akan

dianalisis lebih rinci istilah tersebut pada bagian berikutnya.

Analisis Asumsi Model Akan diperiksa lebih dekat model MCL dan khususnya persamaan bentuk

PQ dan IQ, dimisalkan 𝜆𝑃, 𝜆𝐼 > 0. Kondisi nilai harapan yaitu faktor penundaan

dari proses kerugian yang terjadi akan digunakaan untuk proyeksi tahun

kecelakaan ke-𝑖 dari 𝑠 ke 𝑡, adalah monoton naik, fungsi linear dari rasio (P/I)

atau 𝑄𝑖,𝑠. Hal ini menunjukkan bahwa pengamatan dari praktik dinyatakan sebagai

asumsi teoritis. Persamaan IQ merupakan ekspektasi bersyarat dari jumlah chain-

ladder faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡𝐼

dan istilah linear dalam 𝑄𝑖,𝑠 . Terdapat tiga faktor

terkoreksi yang dijelaskan sebagai berikut:

Faktor 𝜆𝐼 adalah koefisien korelasi dari residual faktor penundaan dan residual

rasio (P/I), yang akan dibuktikan pada bagian selanjutnya. Oleh karena itu 𝜆𝐼

sebagai fakor korelasi atau parameter korelasi. Nilai dari 𝜆𝐼 haruslah di antara

0 dan 1, dan mengukur keterkaitan faktor penundaan sebelumnya dari rasio

(P/I). Jika hampir tidak ada ketergantungan atau hubungan pada data, maka

𝜆𝐼 ≈ 0 dan faktor penundaan rata-rata diproyeksikan seperti pada metode CL.

Faktor standar deviasi adalah hasil bagi dari standar deviasi bersyarat faktor

penundaan yang terjadi dan rasio (P/I). Hal ini menyebabkan penyimpangan

rasio (P/I) dari rata-rata yang diukur sebagai deviasi dari faktor penundaan.

Semakin besar standar deviasi dari faktor penundaan, semakin besar

kemungkinan akan menjadi deviasi yang signifikan dari rata-rata, dan semakin

besar terkoreksi. Semakin kecil standar deviasi dari rasio (P/I), akan semakin

untypical dan menyimpang signifikan dari rata-rata.

10

Linear 𝑄𝑖,𝑠 − 𝐸(𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) meliputi proyeksi rasio (P/I). Jika rasio (P/I) di atas

rata-rata memiliki efek memperbaiki faktor penundaan ke atas, dan sebaliknya.

Semakin jauh rasio (P/I) dari rata-rata akan semakin besar koreksinya. Jika

rasio (P/I) berada pada rata-rata, faktor penundan yang digunakan akan

menjadi rata-rata dari data, seperti dalam metode CL. Berlaku untuk faktor

penundaan untuk rasio (I/P).

Parameter korelasi 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 memperlihatkan hubungan antara segitiga dari

kerugian yang dibayarkan dan segitiga dari kerugian yang terjadi. Besarnya

parameter ini menunjukkan sejauh mana waktu penundaan dari kecelakaan yang

dibayarkan dan kecelakaan yang terjadi, dipengaruhi oleh jenis data masing-

masingnya, karenanya parameter ini sangat penting untuk ukuran proyeksi utama.

Karena pendekatan residual memungkinkan untuk mempertimbangkan semua

tahun penundaan, yaitu menyediakan jumlah yang cukup di titik data, estimasi ini

relatif stabil.

Selanjutnya akan dibuktikan formula 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 sebagai parameter korelasi.

Menggunakan informasi cov𝐶(𝑋, 𝑌) ≔ cov(𝑋, 𝑌|𝐶) untuk koragam bersyarat dari

dua variabel acak 𝑋 dan 𝑌 dengan diberikan kondisi 𝐶

𝐸 (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|ℬ𝑖(𝑠)) =

𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠.

Diketahui kondisi martingale jika 𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠 adalah ℬ𝑖(𝑠) yang terukur, maka

cov𝒫𝑖(𝑠) (𝑄𝑖,𝑠−1,

𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠)

= cov𝒫𝑖(𝑠) (𝑄𝑖,𝑠−1, 𝐸 (

𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|ℬ𝑖(𝑠)))

= cov𝒫𝑖(𝑠) (𝑄𝑖,𝑠−1, 𝑓𝑠→𝑡

𝑃 + 𝜆𝑃 𝜎(

𝑃𝑖,𝑡𝑃𝑖,𝑠

|𝒫𝑖(𝑠))

𝜎(𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠))

(𝑄𝑖,𝑠−1 − 𝐸(𝑄𝑖,𝑠

−1|𝒫𝑖(𝑠))))

= 𝜆𝑃 𝜎(

𝑃𝑖,𝑡𝑃𝑖,𝑠

|𝒫𝑖(𝑠))

𝜎(𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠))

var(𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠))

= 𝜆𝑃 𝜎 (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠)) 𝜎(𝑄𝑖,𝑠

−1|𝒫𝑖(𝑠)).

Mengacu ke pada bentuk berikut:

corr (𝑄𝑖,𝑠−1, (

𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠))) = 𝜆𝑃 dan corr (𝑄𝑖,𝑠, (

𝐼𝑖,𝑡

𝐼𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠))) = 𝜆𝐼

untuk koefisien korelasi bersyarat, maka

corr (res(𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)), res (

𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠))) = 𝜆𝑃

11

dan

corr (res(𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)), res (𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

|ℐ𝑖(𝑠))) = 𝜆𝐼 .

Dengan demikian, parameter λ model MCL sebagai korelasi antara run-off

triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Pada

pembahasannya selanjutnya akan dijelaskan perkiraan nilai parameter yang

digunakan untuk memperoleh residual masing-masing data serta cara memperoleh

nilai λ.

Implementasi Praktis

Pada bagian ini, akan dijelaskan lebih rinci tentang semua perkiraan

parameter yang diperlukan untuk Metode MCL, sebelum melakukan perhitungan

MCL lengkap untuk contoh konkret.

Mengestimasi Parameter

Untuk menghitung residual dan nilai harapan faktor penundaan, harus

diperkirakan setiap parameter dari Model MCL.

Parameter Metode Chain-Ladder

Untuk setiap 𝑡 = 𝑠 + 1 , faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡𝑃 dan 𝑓𝑠→𝑡

𝐼 untuk 𝑠 =1,2, … , 𝑛 − 1 digunakan estimasi Metode chain-ladder

𝑓𝑠→𝑡�� =

1

∑ 𝑃𝑖,𝑠𝑛−𝑠𝑖=1

∑ 𝑃𝑖,𝑠

𝑛−𝑠

𝑖=1

𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠=

∑ 𝑃𝑖,𝑡𝑛−𝑠𝑖=1

∑ 𝑃𝑖,𝑠𝑛−𝑠𝑖=1

(3)

dan

𝑓𝑠→𝑡�� =

1

∑ 𝐼𝑖,𝑠𝑛−𝑠𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,𝑠

𝑛−𝑠

𝑖=1

𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

=∑ 𝐼𝑖,𝑡

𝑛−𝑠𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,𝑠𝑛−𝑠𝑖=1

(4)

untuk = 1,2, … , 𝑛 − 2. Paramter 𝜎 juga diestimasi sebagai berikut:

(𝜎𝑠→𝑡�� )

2=

1

𝑛 − 𝑠 − 1 ∑ 𝑃𝑖,𝑠

𝑛−𝑠

𝑖=1

(𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠− 𝑓𝑠→𝑡

�� )

2

(5)

dan

(𝜎𝑠→𝑡�� )

2=

1

𝑛 − 𝑠 − 1 ∑ 𝐼𝑖,𝑠

𝑛−𝑠

𝑖=1

(𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

− 𝑓𝑠→𝑡�� )

2

(6)

dengan standar deviasinya 𝜎𝑠→𝑡�� = √(𝜎𝑠→𝑡

�� )2 dan 𝜎𝑠→𝑡

�� = √(𝜎𝑠→𝑡�� )

2.

12

Parameter Metode Munich Chain-Ladder

Untuk menghitung residual bersyarat dari rasio (P/I) dan (I/P), perlu

pendugaan untuk nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) dan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)) dan

standar deviasi bersyarat 𝜎 (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) dan 𝜎 (𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)). Asumsi pertama

bahwa 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) adalah konstan, analog dengan model IE chain-ladder untuk

kerugian yang terjadi. Selanjutnya, diasumsikan keterkaitan ragam bersyarat dari

rasio (P/I) pada kerugian yang terjadi, analog dengan kondisi IV. Untuk 𝑠 =1,2, … , 𝑛, asumsi berikut untuk nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat dari

rasio (P/I). Estimasi nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) adalah sebagai berikut:

𝑞�� =1

∑ 𝐼𝑖,𝑠𝑛−𝑠+1𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,𝑠

𝑛−𝑠+1

𝑖=1

𝑄𝑖,𝑠 =∑ 𝑃𝑖,𝑠

𝑛−𝑠+1𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,𝑠𝑛−𝑠+1𝑖=1

(7)

berlaku sama untuk semua tahun terjadinya kecelakaan. Estimasi untuk

𝜎 (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) yaitu

𝜌𝑠��

√𝐼𝑖,𝑠

dengan 𝜌𝑠�� didefinisikan

𝜌𝑠��2

=1

𝑛 − 𝑠 ∑ 𝐼𝑗,𝑠

𝑛−𝑠+1

𝑖=1

(𝑄𝑗,𝑠 − 𝑞��)2 (8)

untuk setiap 𝑠 = 1,2, … , 𝑛, dengan 𝜌𝑠�� bersifat bebas dari tahun kecelakaan ke-𝑖.

Kemudian diasumsikan bahwa estimasi untuk rasio (P/I) berlaku analog

dengan nilai harapan bersyarat dan ragam dari rasio (I/P) dengan mengestimasi

nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)) sebagai berikut:

𝑞��−1 =

1

∑ 𝑃𝑖,𝑠𝑛−𝑠+1𝑖=1

∑ 𝑃𝑖,𝑠

𝑛−𝑠+1

𝑖=1

𝑄𝑖,𝑠−1 =

∑ 𝐼𝑖,𝑠𝑛−𝑠+1𝑖=1

∑ 𝑃𝑖,𝑠𝑛−𝑠+1𝑖=1

(9)

serta mengestimasi 𝜎 (𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)) yaitu

𝜌𝑠��

√𝑃𝑖,𝑠

dengan 𝜌𝑠�� didefinisikan

𝜌𝑠��

2=

1

𝑛 − 𝑠 ∑ 𝑃𝑖,𝑠

𝑛−𝑠+1

𝑖=1

(𝑄𝑖,𝑠−1 − 𝑞��

−1)2. (10)

13

Masalah akan timbul karena mengikuti kondisi bahwa kedua nilai harapan

bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) dan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)) menjadi konstan dengan 𝑄𝑖,𝑠 yang

sudah konstan, ini bertentangan dengan kenyataan di lapangan. Oleh karena itu,

hal ini tidak dapat diasumsikan, harus ada struktur ketergantungan yang lebih

rumit dari nilai harapan yang keduanya tergantung pada ℐ𝑖(𝑠) dan 𝒫𝑖(𝑠).

Akan diperkirakan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) dengan rata-rata di atas rasio (P/I) dari

𝑄𝑗,𝑠 dari kerugian yang terjadi pada tahun ke-𝑗 untuk ℐ𝑗(𝑠) serupa dengan ℐ𝑖(𝑠).

Pada aturan chain-ladder, serupa berarti tingkat 𝐼𝑗,𝑠 dekat dengan 𝐼𝑖,𝑠, atau faktor

penundaan 𝐼𝑗,𝑠/𝐼𝑗,𝑠−1 dekat dengan 𝐼𝑖,𝑠/𝐼𝑖,𝑠−1. Setidaknya, akan terjadi kecelakaan

tahun ke-𝑗 dimana ℐ𝑗(𝑠) jelas berbeda dengan ℐ𝑖(𝑠). Tentu saja, konsep ini berlaku

analog dengan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)). Pendekatan ini akan menghasilkan perkiraan untuk

nilai harapan bersyarat yang tidak timbal balik dengan definisi dan dengan

kecelakaan setiap tahun.

Begitupun untuk ragam bersyarat dengan situasi serupa. Data yang cukup

diberikan dari struktur ketergantungan lebih rumit untuk ragam bersyarat dari 𝑄𝑖,𝑠

dan 𝑄𝑖,𝑠−1 pada ℐ𝑖(𝑠) dan 𝒫𝑖(𝑠), sehingga masing-masing dapat diperhitungkan.

Kesederhanaan uraian benar jika 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠)) dan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)) adalah fungsi

tidak konstan terhadap ℐ𝑖(𝑠) dan 𝒫𝑖(𝑠). Akan diperkirakan residual bersyarat dari

res (𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠|𝒫𝑖(𝑠)) , res (

𝐼𝑖,𝑡𝐼𝑖,𝑠

|ℐ𝑖(𝑠)) , res (𝑄𝑖,𝑠−1|𝒫𝑖(𝑠)) , res (𝑄𝑖,𝑠|ℐ𝑖(𝑠))

dengan penyederhanaan notasi res(𝑃𝑖,𝑡), res(𝐼𝑖,𝑡), res(𝑄𝑖,𝑠−1), dan res(𝑄𝑖,𝑠),

sehingga

res(𝑃𝑖,𝑡) =

𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑠− 𝑓𝑠→𝑡

��

𝜎𝑠→𝑡��

√𝑃𝑖,𝑠

(11)

res(𝐼𝑖,𝑡) =

𝐼𝑖,𝑡

𝐼𝑖,𝑠− 𝑓𝑠→𝑡

��

𝜎𝑠→𝑡��

√𝐼𝑖,𝑠 (12)

dan

res(𝑄𝑖,𝑠−1) =

𝑄𝑖,𝑠−1 − 𝑞��

−1

𝜌𝑠��

√𝑃𝑖,𝑠 (13)

res(𝑄𝑖,𝑠) =𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞��

𝜌𝑠��

√𝐼𝑖,𝑠. (14)

14

Diestimasikan nilai dugaan 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 sebagai berikut:

𝜆�� =1

∑ res(𝑄𝑖,𝑠−1)

2𝑖,𝑠

∑ res(𝑄𝑖,𝑠−1)

2

𝑖,𝑠

res(𝑃𝑖,𝑡)

res(𝑄𝑖,𝑠−1)

=∑ res𝑖,𝑠 (𝑄𝑖,𝑠

−1) res(𝑃𝑖,𝑡)

∑ res(𝑄𝑖,𝑠−1)

2𝑖,𝑠

dan

𝜆�� =1

∑ res(𝑄𝑖,𝑠)2

𝑖,𝑠

∑ res(𝑄𝑖,𝑠)2

𝑖,𝑠

res(𝐼𝑖,𝑡)

res(𝑄𝑖,𝑠)=

∑ res𝑖,𝑠 (𝑄𝑖,𝑠) res(𝐼𝑖,𝑡)

∑ res(𝑄𝑖,𝑠)2

𝑖,𝑠

Dalam semua penjumlahan ini, indeks 𝑠 bergerak dari 1 sampai 𝑛 − 2 dan

indeks 𝑖 bergerak dari 1 sampai 𝑛 − 𝑠. Jika limpasan segitiga ini berakhir dalam

waktu kurang dari waktu penundaan 𝑛 tahun, akan lebih tepat untuk memilih

indeks 𝑠 yang diperpanjang hanya sampai akhir periode run-off.

Perubahan tahun penundaan dalam formula estimasi 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼

menyimpulkan hanya sejumlah 𝑖 menghasilkan perkiraan tahun penundaan untuk

parameter λ. Parameter λ untuk setiap tahun penundaan harus berfluktuasi secara

acak dan tidak menunjukkan trend yang akan melanggar asumsi model MCL, ini

biasanya terjadi dalam praktek.

Menurut asumsi PQ dan IQ, diperoleh formula rekursif untuk menduga 𝑃𝑖,𝑡

dan 𝐼𝑖,𝑡, yaitu

𝑃𝑖,�� = 𝑃𝑖,�� (𝑓𝑠→𝑡�� + 𝜆��

𝜎𝑠→𝑡��

𝜌𝑠��

(𝐼𝑖,��

𝑃𝑖,��

− 𝑞��−1))

(15)

dan

𝐼𝑖,�� = 𝐼𝑖,�� (𝑓𝑠→𝑡�� + 𝜆��

𝜎𝑠→𝑡��

𝜌𝑠��

(𝑃𝑖,��

𝐼𝑖,��− 𝑞��))

(16)

untuk 𝑠 ≥ 𝑛 − 𝑖 + 1 dengan nilai 𝑃𝑖,�� = 𝑃𝑖,𝑠 dan 𝐼𝑖,�� = 𝐼𝑖,𝑠.

Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder

Metode Munich chain-ladder hanya diaplikasikan untuk asuransi kerugian,

contohnya asuransi kebakaran dan asuransi kendaraan. Pada bagian ini, akan

dilakukan perhitungan MCL lengkap untuk contoh konkret dari data oleh Quarg

dan Mack (2006), serta data dari perusahaan insurance market Llyod’s dengan

perhitungan lengkap pada Lampiran 3.

Pada data oleh Quarg dan Mack, diberikan data awal dari segitiga atas

kerugian yang dibayarkan (Tabel 3) dan kerugian yang terjadi (Tabel 4), yang

melibatkan 7 tahun waktu kejadian dan 7 tahun waktu penundaan.

15

Tabel 3 Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan

Mack

Data run-off triangle pada Tabel 3 adalah klaim dalam bentuk besarnya

klaim. Sebagai contoh, ambil baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim

sejumlah 2162 merupakan total klaim yang dibayarkan dari akumulasi kejadian

pada tahun kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Data

pada Tabel 3, terdapat bagian yang masih kosong berbentuk segitiga di sebelah

kanan bawah yang disebut future triangle, ini merupakan pembayaran klaim di

masa yang akan datang dan belum diketahui besarnya.

Tabel 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack

Ambil contoh baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim sejumlah 2466

merupakan total klaim yang dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun

kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Jika dibandingkan

nilai-nilai total klaim pada run-off triangle kerugian yang dibayarkan dan

kerugian yang terjadi, total klaim pada run-off kerugian yang terjadi lebih besar

dari pada besaran klaim pada run-off kerugian yang dibayarkan. Hal ini terjadi

karena total klaim pada run-off kerugian yang terjadi adalah penjumlahan dari

klaim yang sudah dibayarkan dan klaim yang belum diselesaikan. Klaim yang

belum diselesaikan tersebut bisa jadi tidak dibayarkan oleh perusahaan karena

beberapa sebab, misalnya besaran klaim tersebut di bawah nilai minimal klaim

(deductible). Lain halnya dengan run-off triangle kerugian yang dibayarkan, data

klaim yang terdapat di dalamnya adalah penjumlahan dari besaran klaim yang

dilaporkan dan sudah dibayarkan oleh perusahaan. Kelebihan dari metode Munich

1 2 3 4 5 6 7

1 576 1804 1970 2024 2074 2102 2131

2 866 1948 2162 2232 2284 2348

3 1412 3758 4252 4416 4494

4 2286 5292 5724 5850

5 1868 3778 4648

6 1442 4010

7 2044

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

1 2 3 4 5 6 7

1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174

2 1844 2552 2466 2480 2508 2454

3 2904 4354 4698 4600 4644

4 3502 5958 6070 6142

5 2812 4882 4852

6 2642 4406

7 5022

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

16

chain-ladder ini adalah mengurangi gap seminimal mungkin antara proyeksi

IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.

Menghitung faktor penundaan rata-rata dan parameter σ

Langkah pertama adalah mengestimasi parameter dengan metode Chain-

ladder, yakni menghitung faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡�� dan 𝑓𝑠→𝑡

�� serta menghitung

parameter 𝜎𝑠→𝑡�� dan 𝜎𝑠→𝑡

�� .

Sebagai contoh, perhitungan 𝑓2→3�� dan 𝑓2→3

�� dengan menggunakan

persamaan (3) dan (4). 𝑓2→3�� adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian

yang dibayarkan dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan

diketahui infomasi 𝑃𝑖,2 adalah proses kerugian yang dibayarkan pada tahun

kecelakaan ke-2 dan 𝑃𝑖,3 proses kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan

ke-3, maka

𝑓2→3�� = (

1

∑ 𝑃𝑖,27−2𝑖=1

) (∑ 𝑃𝑖,2

7−2

𝑖=1

𝑃𝑖,3

𝑃𝑖,2) =

∑ 𝑃𝑖,37−2𝑖=1

∑ 𝑃𝑖,27−2𝑖=1

= (1

∑ 𝑃𝑖,25𝑖=1

) (∑ 𝑃𝑖,2

5

𝑖=1

𝑃𝑖,3

𝑃𝑖,2) =

∑ 𝑃𝑖,35𝑖=1

∑ 𝑃𝑖,25𝑖=1

=1970 + 2162 + 4252 + 5724 + 4648

1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778=

18756

16580= 1.131.

Faktor 𝑓2→3�� adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian yang terjadi

dari tahun penundaan ke- 2 hingga tahun penundaan ke- 3 , dengan diketahui

infomasi 𝐼𝑖,2 adalah proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-2 dan

𝐼𝑖,3 proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-3, maka

𝑓2→3�� = (

1

∑ 𝐼𝑖,27−2𝑖=1

) (∑ 𝐼𝑖,2

7−2

𝑖=1

𝐼𝑖,3𝐼𝑖,2

) =∑ 𝐼𝑖,3

7−2𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,27−2𝑖=1

= (1

∑ 𝐼𝑖,25𝑖=1

) (∑ 𝐼𝑖,2

5

𝑖=1

𝐼𝑖,3𝐼𝑖,2

) =∑ 𝐼𝑖,3

5𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,25𝑖=1

=2134 + 2466 + 4698 + 6070 + 4852

2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882=

20220

19850= 1.019.

Jadi, besarnya faktor penudaan dari tahun kejadian ke- 2 yang ditunda

hingga tahun ke-3 adalah sebesar 1.131 untuk kerugian yang dibayarkan dan

1.019 untuk kerugian yang terjadi.

Sebagai contoh, perhitungan σ2→3�� dan σ2→3

�� dengan menggunakan

persamaan (5) dan (6). σ2→3�� adalah estimasi parameter 𝜎 untuk kerugian yang

dibayarkan dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3 , dengan

diketahui informasi 𝑓2→3�� yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta

𝑃𝑖,2 dan 𝑃𝑖,3, maka

17

(𝜎2→3�� )

2= (

1

7 − 2 − 1) ∑ 𝑃𝑖,2

7−2

𝑖=1

(𝑃𝑖,3

𝑃𝑖,2− 𝑓2→3

�� )

2

= (1

4) ∑ 𝑃𝑖,2

5

𝑖=1

(𝑃𝑖,3

𝑃𝑖,2− 1.131)

2

= (1

4) [((1804) (

1970

1804− 1.131)

2

) + ⋯ + ((3778) (4648

3778− 1.131)

2

)]

=2.776 + 0.891 + 0.0001 + 13.024 + 37.057

4=

53.748

4= 13.437.

Jadi, 𝜎2→3�� = √13.437 = 3.666.

Faktor σ2→3�� adalah estimasi parameter 𝜎 untuk kerugian yang terjadi dari

tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan diketahui informasi

𝑓2→3�� yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta 𝐼𝑖,2 dan 𝐼𝑖,3, maka

(𝜎2→3�� )

2= (

1

7 − 2 − 1) ∑ 𝐼𝑖,2

7−2

𝑖=1

(𝐼𝑖,3𝐼𝑖,2

− 𝑓2→3�� )

2

= (1

4) ∑ 𝐼𝑖,2

5

𝑖=1

(𝐼𝑖,3𝐼𝑖,2

− 1.019)

2

= (1

4) [((2104) (

2134

2104− 1.019)

2

) + ⋯ + ((4882) (4852

4882− 1.019)

2

)]

=0.04 + 6.991 + 15.867 + 0.00015 + 2.999

4=

24.898

4= 6.474.

Jadi, 𝜎2→3�� = √6.474 = 2.544.

Estimasi parameter 𝜎 untuk tahun kejadian ke-2 yang ditunda hingga tahun

ke- 3 adalah sebesar 3.666 untuk kerugian yang dibayarkan dan 2.544 untuk

kerugian yang terjadi. Secara keseluruhan faktor penundaan rata-rata dan

parameter σ akan disajikan pada Tabel 5.

Tabel 5 Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter σ dari data Quarg

dan Mack

1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7

2.437 1.131 1.029 1.021 1.021 1.014

1.652 1.019 1.000 1.011 0.990 0.996

13.456 3.666 0.482 0.210 0.479

9.727 2.544 1.004 0.120 0.860

𝑓𝑠→𝑡��

𝑓𝑠→𝑡��

𝜎𝑠→𝑡��

𝜎𝑠→𝑡��

18

Menghitung rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ

Setelah diperoleh estimasi untuk faktor penudaan dan parameter 𝜎 untuk

masing-masing kecelakaan yang dibayarkan dan terjadi, selanjutnya akan dicari

parameter Metode MCL, dengan menghitung nilai harapan bersyarat dan standar

deviasi bersyarat.

Menghitung (P/I) atau 𝑞�� serta (I/P) atau 𝑞��−1

dengan formula yang telah

diperoleh dari pembahsan parameter Metode MCL. Sebagai contoh perhitungan

(𝑃

𝐼)

2atau 𝑞2 dan (

𝐼

𝑃)

2= 𝑞2

−1

dengan menggunakan persamaan (7) dan (9). 𝑞2

adalah nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,2|ℐ𝑖(2)) diperoleh dengan diketahui

informasi 𝑃𝑖,2 dan 𝐼𝑖,2, maka

𝑞2 =∑ 𝑃𝑖,2

7−2+1𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,27−2+1𝑖=1

=∑ 𝑃𝑖,2

6𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,26𝑖=1

=1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778 + 4010

2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882 + 4406=

20590

24256= 0.849.

Nilai 𝑞2−1

adalah nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,2−1|𝒫𝑖(2)) diperoleh dengan

diketahui informasi 𝑃𝑖,2 dan 𝐼𝑖,2, maka

𝑞2−1 =

∑ 𝐼𝑖,27−2+1𝑖=1

∑ 𝑃𝑖,27−2+1𝑖=1

=∑ 𝐼𝑖,2

6𝑖=1

∑ 𝑃𝑖,26𝑖=1

=2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882 + 4406

1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778 + 4010=

24256

20590= 1.178.

Diperoleh nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,2|ℐ𝑖(2)) sebesar 0.849 dan

𝐸 (𝑄𝑖,2−1|𝒫𝑖(2)) sebesar 1.178.

Setelah itu, akan dihitung parameter standar deviasi bersyarat ρ. Sebagai

contoh perhitungan 𝜌2��2 dan 𝜌2

��2dengan menggunakan persamaan (8) dan (10).

𝜌2��2

= (1

7 − 2) ∑ 𝐼𝑗,2

7−2+1

𝑗=1

(𝑄𝑗,2 − 𝑞2)2

= (1

5) ∑ 𝐼𝑗,2

6

𝑗=1

(𝑄𝑗,2 − 0.849)2

= (1

5) [((2104) (

1804

2104− 0.849)

2

) +. . . + ((4406) (4010

4406− 0.849)

2

)]

=0.154 + 18.673 + 0.884 + 9.228 + 27.461 + 16.535

5=

72.935

5

= 14.587.

Jadi, 𝜌2�� = √14.587 = 3.819.

19

𝜌2��

2= (

1

7 − 2) ∑ 𝑃𝑗,2

7−2+1

𝑗=1

(𝑄𝑖,2−1 − 𝑞2

−1)2

= (1

5) ∑ 𝐼𝑗,2

6

𝑗=1

∗ (𝑄𝑗,2−1 − 1.178)

2

= (1

5) [((1804) (

2104

1804− 1,178)

2

) + ⋯ + ((4010) (4406

4010− 1,178)

2

)]

=0.249 + 33.949 + 1.422 + 14.418 + 49.256 + 25.213

5=

124.498

5

= 24.899.

Jadi, 𝜌2�� = √24.899 = 4.990.

Diperoleh nilai harapan bersyarat 𝜎 (𝑄𝑖,2|ℐ𝑖(2)) sebesar 3.819 dan

𝜎 (𝑄𝑖,2−1|𝒫𝑖(2)) sebesar 4.990. Secara keseluruhan, hasil perhitungan untuk nilai

harapan bersyarat dan standar deviasi bersyarat untuk kerugian yang dibayarkan

dan kerugian yang terjadi disajikan pada Tabel 6.

Tabel 6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ dari data Quarg dan Mack

Menghitung residual masing-masing parameter

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai residual masing-masing dari

res(𝑃𝑖,𝑡), res(𝐼𝑖,𝑡), res(𝑄𝑖,𝑠−1), dan res(𝑄𝑖,𝑠).

Contoh untuk perhitungan res(𝑃𝑖,𝑡) dengan menggunakan persamaan (11),

akan dihitung res(𝑃2,3) dengan mengetahui informasi 𝑃2,3 ,𝑃2,2 ,𝑓2→3�� dan 𝜎2→3

�� .

Hasil perhitungan yang lengkap untuk res(𝑃𝑖,𝑡) tersaji pada Tabel 7.

res(𝑃2,3) =

𝑃2,3

𝑃2,2− 𝑓2→3

��

𝜎2→3��

(√𝑃2,3) =

2162

1948− 1.131

3.666(√1948) = −0.258.

s 1 2 3 4 5 6 7

53.3% 84.9% 92.8% 94.5% 94.9% 96.0% 98.0%

187.8% 117.8% 107.8% 105.8% 105.4% 104.2% 102.0%

14.943 4.990 2.167 1.619 1.791 0.236

5.711 3.819 1.918 1.461 1.637 0.222

𝑞��

𝜌𝑠��

𝜌𝑠��

𝑞𝑠−1

20

Tabel 7 Hasil perhitungan res(𝑃𝑖,𝑡) dari data Quarg dan Mack

P 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7

1 1.240 -0.454 -0.178 0.846 -0.724

2 -0.410 -0.258 0.293 0.572 0.690

3 0.628 0.004 1.248 -0.979

4 -0.433 -0.985 -1.151

5 -1.330 1.661

6 0.971

7

Contoh untuk perhitungan res(𝐼𝑖,𝑡) dengan menggunakan persamaan (12),

akan dihitung res(𝐼2,3) dengan mengetahui informasi 𝐼2,3 , 𝐼2,2 ,𝑓2→3�� dan 𝜎2→3

�� .

Hasil perhitungan yang lengkap untuk res(𝐼𝑖,𝑡) tersaji pada Tabel 8.

res(𝐼2,3) =

𝐼2,3

𝐼2,2− 𝑓2→3

��

𝜎2→3��

(√𝐼2,2) =

2466

2552− 1.019

2.544(√2552) = −1.039.

Tabel 8 Hasil perhitungan res(𝐼𝑖,𝑡) dari data Quarg dan Mack

I 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7

1 1.605 -0.079 0.222 1.131 0.732

2 -1.184 -1.039 0.287 0.096 -0.681

3 -0.846 1.565 -1.415 -0.843

4 0.299 0.005 0.931

5 0.458 -0.681

6 0.082

7

Contoh untuk perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠−1) dengan menggunakan persamaan (13),

akan dihitung res(𝑄2,2−1) dengan mengetahui informasi 𝑄2,2

−1 ,𝑞2−1

,𝑃2,2 dan 𝜌2�� .

Hasil perhitungan yang lengkap untuk res(𝑄𝑖,𝑠−1) tersaji pada Tabel 9.

Res(𝑄2,2−1) =

𝑄2,2−1 − 𝑞2

−1

𝜌2��

(√𝑃2,2) =1,310 − 1.178

4.990(√1948) = 1.168.

21

Tabel 9 Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠−1) dari data Quarg dan Mack

Contoh untuk perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠) dengan menggunakan persamaan (14),

akan dihitung res(𝑄2,2) dengan mengetahui informasi 𝑄2,2,𝑞2,𝐼2,2 dan 𝜌2�� . Hasil

perhitungan yang lengkap untuk res(𝑄𝑖,𝑠) tersaji pada Tabel 10.

res(𝑄2,2) =𝑄2,2 − 𝑞2

𝜌2��

(√𝐼2,2) =0.763 − 0.849

3.819(√2552) = −1.131.

Tabel 10 Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠) dari data Quarg dan Mack

Menggunakan hasil perhitungan residual dari kerugian yang dibayarkan dan

residual (I/P) dapat ditarik plot residual kerugian yang dibayarkan (Gambar 3).

Sisaan dari kerugian yang dibayarkan menunjukkkan korelasi sebesar 64%.

Estimasi slop dari garis regresi melalui titik asal 𝜆�� = 0.64, yang menjelaskan 𝜆𝑃

sebagai parameter korelasi yang dijelaskan pada pembahasan sebelumnya.

Plot residual dari kerugian yang terjadi (Gambar 4), menunjukkan korelasi

45%. Namun nilai estimasi 𝜆�� yang dipilih adalah sebesar 0.44 . 𝜆�� dan 𝜆��

memenuhi syarat dimana parameter 𝜆 bernilai antara 0 sampai 1.

I/P 1 2 3 4 5 6 7

1 -0.289 -0.100 0.106 0.033 -0.136 -0.726

2 0.496 1.168 1.343 1.547 1.188 0.687

3 0.450 -0.239 0.808 -0.675 -0.755

4 -1.106 -0.761 -0.615 -0.388

5 -1.077 1.406 -1.075

6 -0.116 -1.006

7 1.753

P/I 1 2 3 4 5 6 7

1 0.309 0.103 -0.107 -0.033 0.137 0.728

2 -0.473 -1.131 -1.317 -1.537 -1.177 -0.686

3 -0.437 0.246 -0.805 0.693 0.771

4 1.245 0.795 0.626 0.396

5 1.223 -1.372 1.102

6 0.119 1.065

7 -1.558

22

Gambar 1 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack

Gambar 2 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack

Pada akhirnya digunakan metode Munich chain-ladder untuk proyeksi

kerugian yang akan dibayarkan dan kerugian yang akan terjadi. Dengan

menggunakan persamaan (15) dan (16) dilakukan perhitungan guna mencari

faktor pengali 𝑄−1 dan 𝑄 untuk menduga 𝑃𝑖,𝑡 dan 𝐼𝑖,𝑡. Sebagai faktor penundaan

dari kerugian yang dibayar terlebih dahulu, akan digunakan nilai rata-rata

𝑓1→2�� = 2.473 untuk menghitung 𝑄7,2

−1

𝑓1→2�� + 𝜆𝑃

𝜎1→2��

𝜌1𝑃 (𝑄7,1

−1 − 𝑞1−1)

= 2.473 + (0.64) (13.456

14.943) (2.457 − 1.878) = 2.771.

y = 0.6479x - 0.0486

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

Residual kerugian yang dibayarkan

y = 0.4558x + 0.0982

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

Residual kerugian yang terjadi

23

sedangkan untuk kerugian yang terjadi dengan informasi 𝑓1→2�� = 1.652 untuk

menghitung 𝑄7,2

𝑓1→2�� + 𝜆��

𝜎1→2��

𝜌1𝐼 (𝑄7,1 − 𝑞1)

= 1.652 + (0.44) (9.727

5.711) (40.7% − 53.3%) = 1.558.

Hasil perhitungan lengkap, terdapat di Lampiran 1.

Hasil di atas sebagai estimasi untuk nilai 𝑃7,2 sebesar (2044)(2.771) =5663 dan untuk nilai 𝐼7,2 sebesar (5022)(1.558) = 7824 . Untuk proyeksi di

tahun lainnya, tersaji di Tabel 11 untuk kerugian yang dibayarkan dan Tabel 12

untuk kerugian yang terjadi.

Tabel 11 Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan

Mack dengan metode Munich chain-ladder

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

1 2 3 4 5 6 7

1 576 1804 1970 2024 2074 2102 2131

2 866 1948 2162 2232 2284 2348 2383

3 1412 3758 4252 4416 4494 4573 4597

4 2286 5292 5724 5850 5967 6081 6119

5 1868 3778 4648 4762 4848 4922 4937

6 1442 4010 4387 4492 4573 4642 4655

7 2044 5663 6948 7180 7332 7487 7549

Tabel 11 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang

dibayarkan, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai

contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus

disediakan adalah sejumlah 4492, merupakan proyeksi total klaim yang

dibayarkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang

dilaporkan sampai dengan tahun keempat.

Tabel 12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack

dengan metode Munich chain-ladder

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

1 2 3 4 5 6 7

1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174

2 1844 2552 2466 2480 2508 2454 2444

3 2904 4354 4698 4600 4644 4618 4629

4 3502 5958 6070 6142 6212 6167 6176

5 2812 4882 4852 4885 4945 4932 4951

6 2642 4406 4567 4601 4657 4647 4666

7 5022 7824 7683 7641 7724 7648 7649

24

Tabel 12 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang

terjadi, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai

contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus

disediakan adalah sejumlah 4601, merupakan proyeksi total klaim yang

dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang dilporkan

sampai dengan tahun keempat.

Langkah selanjutnya yaitu, melihat bagaiamana metode MCL dapat

mengurangi gap antara proyeksi IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian

yang terjadi, sebagai kelebihan dari metode ini. Tabel 13, menjelaskan gap antara

proyeksi IBNR dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, kolom

berwarna putih menunjukkan data klaim sebelum dilakukan proyeksi, dan kolom

berwarna biru menunjukkan proyeksi klaim dengan metode MCL.

Tabel 13 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian

yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-

ladder

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

1 2 3 4 5 6 7

1 402 300 164 120 100 80 43

2 978 604 304 248 224 106 61

3 1492 596 446 184 150 45 32

4 1216 666 346 292 244 87 57

5 944 1104 204 124 97 9 14

6 1200 396 180 109 84 5 11

7 2978 2161 735 461 392 161 100

Dibandingkan dengan hasil perhitungan menggunakan metode chain-ladder,

hasil proyeksi dari metode MCL jauh lebih baik dalam mengurangi gap antara

proyeksi IBNR kerugian yang terjadi dengan kerugian yang dibayarkan.

Perhitungan CL jauh lebih sederhana dibandingkan MCL, langkah perhitungan

lengkapnya tersaji pada Lampiran 2.

Dilihat dari Tabel 14, dengan metode CL gap antara proyeksi kerugian

yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi terdapat nilai negatif. Artinya, ada

proyeksi dari kerugian yang dibayarkan lebih besar dibandingkan dengan proyeksi

dari kerugian yang terjadi. Hasil proyeksi ini tentu saja tidak sesuai dengan

prediksi yang diharapkan, karena hasil perhitungan dari metode CL menghasilkan

prediksi yang kurang baik.

25

Tabel 14 Gap antara proyeksi kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang

terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

1 2 3 4 5 6 7

1 402 300 164 120 100 80 43

2 978 604 304 248 224 106 111

3 1492 596 446 184 150 75 78

4 1216 666 346 292 12 -104 -110

5 944 1104 204 -72 -331 -450 -472

6 1200 396 36 -244 -507 -631 -663

7 2978 2706 2589 2530 2456 2503 2628

Pada contoh kasus yang kedua, digunakan data dari perusahaan Lloyd’s.

Diberikan data awal dari run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan

kerugian yang terjadi yang melibatkan 10 tahun waktu kejadian dan 10 tahun

waktu penundaan. Dengan menggunakan metode MCL dilakukan perhitungan

mencari parameter yang diperlukan (perhitungan lengkapnya pada Lampiran 3).

Pada akhirnya, diperoleh estimasi untuk 𝜆𝑃 dari Gambar 5 sebesar 1.329 dan 𝜆𝐼

dari Gambar 6 sebesar −0.081. Estimasi ini tidak memenuhi syarat bahwa nilai 𝜆

harus berada antara 0 dan 1 , akibatnya metode MCL tidak dapat melakukan

proyeksi dengan baik karena tidak memenuhi syarat yang ditetapkan.

Gambar 3 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd’s

y = 1.3296x + 0.7009

-5

0

5

10

15

20

25

-2 -1 0 1 2 3

Residual kerugian yang dibayarkan

26

Gambar 4 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s

Dilihat dari Tabel 17, gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan

dan kerugian yang terjadi dengan metode MCL terdapat nilai negatif, artinya

metode MCL tidak cukup baik untuk memproyeksi cadangan klaim untuk data

tersebut. Oleh karena itu, diperlukan metode lain saat metode MCL tidak

menghasilkan proyeksi yang baik.

Tabel 17 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian

yang terjadi dari data Lloyd’s dengan metode Munich chain-ladder

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Metode cadangan klaim Munich chain-ladder (MCL) dalam aplikasinya

dapat mengurangi gap antara proyeksi IBNR berdasarkan kerugian yang

dibayarkan dan kerugian yang terjadi dengan memprediksi pembayaran klaim

dimasa yang akan datang. Metode MCL menunjukkan bahwa antara kerugian

yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi hampir selalu ada korelasi. Dalam

y = -0.081x + 0.374

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 -1 0 1 2

Residual kerugian yang terjadi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1346 6393 6816 6932 5942 1570 931 308 290 212

2 1350 4664 4960 2601 6383 2925 1485 934 342 193

3 1829 3863 7302 6041 7334 4511 2334 800 437 173

4 137 2381 7910 10288 10194 3441 2758 1943 -205 -369

5 1363 2668 2819 4193 5661 6984 5922 5398 -1371 -1523

6 247 5061 3790 6773 5768 3093 2211 1571 -175 -304

7 1195 2222 4207 5942 6340 3062 2168 1513 -151 -282

8 274 1751 2542 2708 3682 2542 1853 1361 -181 -281

9 1984 4670 6214 7015 7725 3963 2821 1990 -212 -379

10 1473 5023 7198 8088 9072 4808 3433 2435 -268 -469

Tahun

Kejadian

Tahun Penundaan

27

penerapannya, metode MCL menghasilkan proyeksi yang baik saat memenuhi

kriteria 𝜆 bernilai antara 0 sampai 1.

Perhitungan dengan metode chain-ladder (CL) lebih praktis dan sederhana

jika dibandingkan dengan perhitungan dengan metode MCL. Namun, proyeksi

yang dihasilkan oleh metode MCL lebih baik dan lebih dapat diandalkan

dibandingkan proyeksi yang dihasilkan oleh metode CL. Oleh karena itu, metode

MCL dapat diaplikasikan pada portofolio asuransi di Indonesia, khususnya

portofolio asuransi kerugian.

Saran

Langkah selanjutnya adalah menduga kesalahan prediksi klaim dari

perhitungan metode Munich chain-ladder dengan teknik bootstrap. Langkah ini

perlu untuk melihat ketepatan metode MCL dalam memproyeksikan pembayaran

klaim di masa yang akan datang, serta mengkaji metode lainnya yang dapat

digunakan saat metode MCL tidak menghasilkan poyeksi yang baik.

DAFTAR PUSTAKA

Antonio K, Beirlant J, Hoedemakers T, dan Verlaak R. 2006. Lognormal mixed

models for reported claims reserves. North American Actuarial Journal.

10(1):30−48.doi:10.1080/10920277.2006.10596238.

Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed

ke-7. New Jersey (US): Prentice Hall Inc.

Hossack IB, Pollard JH, Zenwirth B. 1999. Introductory Statistics with

Applications in General Insurance. Ed ke-2. Cambridge (UK): University of

Cambride Press.

Mack T. 1993. Distribution-free calculation of the standard error of chain-ladder

reserve estimates. Astin Bulletin. 23(2):213-225.

Olofsson M. 2006. Stochastic loss reserving testing the new guidelines from the

Australian prudential regulation authority (APRA) on Swedish portfolio

data using a bootstrap simulation and distribution-free method by Thomas

Mack [tesis]. Stockholm (SE): Stockholm University.

Quarg G, Mack T. 2008. Munich chain-ladder:a reserving method that reduces the

gap between IBNR projections based on paid losses and IBNR projections

based on incurred losses. Variance. 2(2):266–299.doi: 10.1007/bf02808969.

Williams D. 1991. Probability with Martingales. Cambridge (UK): University of

Cambride Press.

Yunawan G. 2013. Model Stokastik Berdasarkan Teknik Chain-Ladder [skripsi].

Yogyakarta (ID): Universitas Gajah Mada.

28

Lampiran 1 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-

ladder

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠−1)

2 dari data Quarg dan Mack

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠−1)res(𝑃𝑖,𝑡) dari data Quarg dan Mack

Hasil perhitungan 𝑄−1 dari data Quarg dan Mack

Hasil perhitungan 𝑓𝑠→𝑡�� + 𝜆��

𝜎𝑠→𝑡��

𝜌𝑠𝑃 (𝑄𝑖,𝑠

−1 − 𝑞��−1) dari data Quarg dan Mack

1 2 3 4 5 6 7

1 0.083 0.010 0.011 0.001 0.018 0.528

2 0.246 1.363 1.802 2.392 1.412 0.472

3 0.203 0.057 0.652 0.456 0.570

4 1.224 0.579 0.378 0.150

5 1.159 1.978 1.156

6 0.013 1.013

7 3.072

1 2 3 4 5 6 7

1 -0.358 0.045 -0.019 0.027 0.098 0.000

2 -0.203 -0.301 0.393 0.884 0.820

3 0.283 -0.001 1.008 0.661

4 0.478 0.749 0.708

5 1.433 2.335

6 -0.112

7

(𝑄 )* ( )

1 2 3 4 5 6 7

1 1.698 1.166 1.083 1.059 1.048 1.038 1.020

2 2.129 1.310 1.141 1.111 1.098 1.045 1.015

3 2.057 1.159 1.105 1.042 1.033 1.018 1.005

4 1.532 1.126 1.060 1.050 1.020 1.019 1.006

5 1.505 1.292 1.044 1.024 1.018 1.015 1.003

6 1.832 1.099 1.094 1.024 1.018 1.015 1.003

7 2.457 2.771 1.226 1.034 1.021 1.021 1.009

1 2 3 4 5 6 7

1

2 1.015

3 1.018 1.005

4 1.020 1.019 1.006

5 1.024 1.018 1.015 1.003

6 1.094 1.024 1.018 1.015 1.003

7 2.771 1.227 1.033 1.021 1.021 1.009

29

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠)2 dari data Quarg dan Mack

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠) res(𝐼𝑖,𝑡) dari data Quarg dan Mack

Hasil perhitungan Q dari data Quarg dan Mack

Hasil perhitungan 𝑓𝑠→𝑡�� + 𝜆��

𝜎𝑠→𝑡��

𝜌𝑠𝐼 (𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞��) dari data Quarg dan Mack

1 2 3 4 5 6 7

1 0.095 0.011 0.011 0.001 0.019 0.529

2 0.224 1.280 1.734 2.362 1.386 0.471

3 0.191 0.061 0.648 0.480 0.595

4 1.551 0.633 0.391 0.157

5 1.496 1.883 1.215

6 0.014 1.134

7 2.428

( )

1 2 3 4 5 6 7

1 0.495 -0.008 -0.024 -0.037 0.101 0.000

2 0.560 1.176 -0.378 -0.148 0.802 0.000

3 0.370 0.385 1.139 -0.584 0.000

4 0.373 0.004 0.582 0.000

5 0.560 0.934 0.000

6 0.010 0.000

7 0.000

*

1 2 3 4 5 6 7

1 0.589 0.857 0.923 0.944 0.954 0.963 0.980

2 0.470 0.763 0.877 0.900 0.911 0.957 0.996

3 0.486 0.863 0.905 0.960 0.968 0.994 1.002

4 0.653 0.888 0.943 0.952 1.011 0.993 1.002

5 0.664 0.774 0.958 1.007 1.012 0.997 1.004

6 0.546 0.910 1.037 1.007 1.012 0.998 1.004

7 0.407 1.558 0.982 0.995 1.011 0.990 1.000

1 2 3 4 5 6 7

1

2 0.996

3 0.994 1.002

4 1.011 0.993 1.002

5 1.007 1.012 0.997 1.004

6 1.037 1.007 1.012 0.998 1.004

7 1.558 0.982 0.995 1.011 0.990 1.000

30

Lampiran 2 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder

Hasil pembagi rasio run-off kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack

Hasil perhitungan simple average, weighted average dan faktor pengali untuk

kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack

Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack dengan

metode chain-ladder

Hasil pembagi rasio dari run-off kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack

1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7

1 3.132 1.092 1.027 1.025 1.014 1.014

2 2.249 1.110 1.032 1.023 1.028

3 2.661 1.131 1.039 1.018

4 2.315 1.082 1.022

5 2.022 1.230

6 2.781

7

P 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 Tail

Simple Average 2,527 1,129 1,030 1,022 1,021 1,014 1,050

Weighted Average 2,437 1,131 1,029 1,021 1,021 1,014 1,050

Selected 1,291 1,144 1,110 1,087 1,064 1,050 1,000

% Paid 77% 87% 90% 92% 94% 95% 100%

1 2 3 4 5 6 7

1 576 1804 1970 2024 2074 2102 2131

2 866 1948 2162 2232 2284 2348 2465

3 1412 3758 4252 4416 4494 4784 5023

4 2286 5292 5724 5850 6357 6766 7105

5 1868 3778 4648 5161 5608 5969 6268

6 1442 4010 4587 5093 5534 5891 6185

7 2044 2640 3019 3352 3643 3878 4071

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7

1 2.151 1.014 1.005 1.014 1.004 0.996

2 1.384 0.966 1.006 1.011 0.978

3 1.499 1.079 0.979 1.010

4 1.701 1.019 1.012

5 1.736 0.994

6 1.668

7

31

Hasil perhitungan simple average, weighted average dan faktor pengali untuk

kerugian yang diterjadi dari data Quarg dan Mack

Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan

metode chain-ladder

I 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 Tail

Simple Average 1,690 1,014 1,000 1,012 0,991 0,996 1,050

Weighted Average 1,652 1,019 1,000 1,011 0,990 0,996 1,050

Selected 1,064 1,049 1,049 1,037 1,046 1,050 1,000

% Inc 94% 95% 95% 96% 96% 95% 100%

1 2 3 4 5 6 7

1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174

2 1844 2552 2466 2480 2508 2454 2577

3 2904 4354 4698 4600 4644 4858 5101

4 3502 5958 6070 6142 6368 6662 6995

5 2812 4882 4852 5089 5276 5520 5796

6 2642 4406 4623 4849 5027 5259 5522

7 5022 5345 5608 5882 6099 6380 6699

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

32

Lampiran 3 Pengolahan data Lloyd’s dengan metode Munich chain-ladder

Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter σ dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan res(𝑃𝑖,𝑡) dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠−1) dari data Lloyd’s

1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 7→8 8→9 9→10

5.185 3.149 1.636 1.359 1.486 1.077 1.031 1.134 1.003

3.776 1.858 1.351 1.248 1.096 1.002 0.983 1.105 0.996

136.558 56.419 23.229 23.295 35.175 5.962 0.401 16.739

131.142 56.711 22.110 19.288 15.944 6.239 1.791 13.455

𝑓𝑠→𝑡��

𝑓𝑠→𝑡��

𝜎𝑠→𝑡��

𝜎𝑠→𝑡��

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18.1% 25.0% 45.0% 52.7% 58.4% 79.3% 90.4% 96.5% 97.9% 97.9%

553.2% 400.0% 222.3% 189.8% 171.4% 126.1% 110.6% 103.6% 102.2% 102.1%

5.049 9.221 14.118 21.925 17.846 17.167 4.684 2.264 0.881

110.962 101.386 134.467 755.971 465.824 678.318 246.217 119.428 26.556

𝑞��

𝜌𝑠��

𝜌𝑠��

𝑞𝑠−1

1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 7→8 8→9 9→10

1 1.523 -1.212 -0.617 -0.694 -0.108 -0.005 0.148 -0.784

2 1.465 -0.836 1.762 -0.959 0.240 0.753 1.121 0.686

3 -0.631 2.745 -0.666 0.119 -0.897 -1.229 -0.887

4 0.041 1.924 -0.516 2.868 2.672 1.078

5 -1.009 -1.123 -0.934 0.093 -0.496

6 2.750 4.012 0.045 0.093

7 0.082 1.107 2.820

8 21.350 -1.072

9 2.782

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.340 0.197 0.271 0.375 0.406 -0.122 -0.039 -0.044 0.278

2 0.469 -0.021 0.043 -0.669 0.014 -0.086 -0.045 0.239 -0.201

3 -0.428 -0.618 -0.411 -0.877 -1.225 -0.263 -0.192 -0.147

4 -0.183 0.659 0.893 1.899 1.532 -0.039 0.334

5 -0.836 -0.578 -0.187 0.005 0.287 0.777

6 0.283 1.606 -0.050 0.299 0.047

7 0.879 0.434 0.298 0.260

8 0.304 -0.840 -0.263

9 2.608 0.880

10 0.044

33

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠−1)

2 dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠−1) res(𝑃𝑖,𝑡) dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan 𝑄−1 dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan 𝑓𝑠→𝑡�� + 𝜆��

𝜎𝑠→𝑡��

𝜌𝑠𝑃 (𝑄𝑖,𝑠

−1 − 𝑞��−1) dari data Lloyd’s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.116 0.039 0.074 0.141 0.165 0.015 0.001 0.002 0.077

2 0.220 0.000 0.002 0.447 0.000 0.007 0.002 0.057 0.040

3 0.183 0.382 0.169 0.770 1.499 0.069 0.037 0.022

4 0.034 0.434 0.797 3.606 2.346 0.002 0.112

5 0.698 0.334 0.035 0.000 0.082 0.603

6 0.080 2.579 0.003 0.090 0.002

7 0.773 0.188 0.089 0.067

8 0.092 0.705 0.069

9 6.802 0.774

10 0.002

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.518 -0.239 -0.167 -0.260 -0.044 0.001 -0.006 0.035 0.000

2 0.687 0.018 0.075 0.641 0.003 -0.064 -0.050 0.164 0.000

3 0.270 -1.697 0.274 -0.104 1.098 0.323 0.170 0.000

4 -0.008 1.268 -0.460 5.445 4.094 -0.042 0.000

5 0.843 0.649 0.174 0.000 -0.142 0.000

6 0.778 6.443 -0.002 0.028 0.000

7 0.072 0.480 0.842 0.000

8 6.490 0.900 0.000

9 7.255 0.000

10 0.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 8.315 4.465 2.819 2.284 1.954 1.174 1.096 1.031 1.029 1.021

2 9.710 3.946 2.316 1.329 1.721 1.212 1.097 1.059 1.018 1.003

3 3.706 2.689 1.687 1.375 1.331 1.156 1.078 1.026 1.115 1.003

4 3.045 7.488 4.881 4.573 2.611 1.240 1.170 1.033 1.283 1.003

5 2.478 2.576 1.800 1.903 1.880 1.839 1.145 1.042 2.079 1.003

6 12.227 11.371 2.107 2.199 1.738 1.510 1.077 1.033 1.290 1.003

7 16.724 6.108 3.125 2.174 1.472 1.623 1.076 1.033 1.276 1.003

8 12.417 1.983 1.655 1.506 1.181 1.305 1.080 1.033 1.319 1.003

9 51.872 7.268 5.568 1.699 1.399 1.556 1.077 1.033 1.284 1.003

10 5.814 5.646 3.080 1.666 1.365 1.522 1.077 1.033 1.288 1.003

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2 1.003

3 1.115 1.003

4 1.033 1.283 1.003

5 1.145 1.042 2.079 1.003

6 1.510 1.077 1.033 1.290 1.003

7 1.472 1.623 1.076 1.033 1.276 1.003

8 1.506 1.181 1.305 1.080 1.033 1.319 1.003

9 5.568 1.699 1.399 1.556 1.077 1.033 1.284 1.003

10 5.646 3.080 1.666 1.365 1.522 1.077 1.033 1.288 1.003

34

Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd’s dengan metode

Munich chain-ladder

Hasil perhitungan res(𝐼𝑖,𝑡) dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠) dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠)2 dari data Lloyd’s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 184 1845 3748 5400 6231 9006 9699 10008 10035 10068

2 155 1583 3768 7899 8858 13795 15360 15895 19333 19397

3 676 2287 10635 16102 22177 28825 29828 30700 34233 34346

4 67 367 2038 2879 6329 14366 16201 16730 21465 21535

5 922 1693 3523 4641 6431 8325 9530 9934 20658 20726

6 22 488 3424 5649 7813 11799 12711 13127 16929 16985

7 76 435 1980 5062 7450 12094 13017 13441 17156 17212

8 24 1782 3881 5843 6898 9001 9718 10039 13245 13289

9 39 745 4148 7048 9858 15336 16515 17055 21899 21971

10 306 1728 5321 8864 12096 18410 19831 20480 26381 26468

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 7→8 8→9 9→10

1 1.113 -1.043 -0.922 -1.495 -1.465 0.051 -0.732 -0.788

2 0.226 -0.759 -0.685 1.300 0.009 0.114 1.136 0.667

3 -0.790 2.501 -0.783 0.751 0.385 -1.070 -0.391

4 3.875 3.100 -0.142 0.043 -0.153 1.384

5 -0.940 -0.566 0.179 0.686 1.320

6 9.572 -0.835 1.870 -0.937

7 -0.663 0.653 2.029

8 3.662 -0.056

9 -0.617

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 -0.469 -0.256 -0.692 -0.451 -0.443 0.352 0.175 0.223 -0.810

2 -0.598 0.029 -0.120 1.053 -0.016 0.244 0.204 -1.185 0.587

3 0.883 1.036 1.357 1.359 1.617 0.765 0.879 0.739

4 0.418 -0.662 -1.731 -1.613 -1.444 0.109 -1.468

5 2.108 0.990 0.596 -0.007 -0.318 -1.794

6 -0.321 -1.309 0.149 -0.367 -0.054

7 -0.854 -0.482 -0.724 -0.320

8 -0.343 1.640 0.876

9 -1.438 -0.897

10 -0.073

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.220 0.066 0.479 0.203 0.196 0.124 0.031 0.050 0.656

2 0.357 0.001 0.014 1.110 0.000 0.059 0.042 1.405 0.344

3 0.780 1.074 1.841 1.848 2.614 0.586 0.772 0.546

4 0.174 0.438 2.997 2.602 2.085 0.012 2.155

5 4.445 0.980 0.355 0.000 0.101 3.219

6 0.103 1.714 0.022 0.134 0.003

7 0.729 0.233 0.524 0.102

8 0.117 2.689 0.768

9 2.069 0.805

10 0.005

35

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠) res(𝐼𝑖,𝑡) dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan Q dari data Lloyd’s

Hasil perhitungan 𝑓𝑠→𝑡�� + 𝜆��

𝜎𝑠→𝑡��

𝜌𝑠𝐼 (𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞��) dari data Lloyd’s

Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s dengan metode

Munich chain-ladder

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 -0.522 0.267 0.638 0.674 0.649 0.018 -0.128 -0.175 0.000

2 -0.135 -0.022 0.082 1.369 0.000 0.028 0.232 -0.790 0.000

3 -0.697 2.592 -1.063 1.021 0.623 -0.819 -0.344 0.000

4 1.618 -2.052 0.245 -0.070 0.221 0.151 0.000

5 -1.983 -0.561 0.106 -0.005 -0.420 0.000

6 -3.077 1.093 0.278 0.344 0.000

7 0.566 -0.315 -1.468 0.000

8 -1.255 -0.092 0.000

9 0.887 0.000

10 0.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.120 0.224 0.355 0.438 0.512 0.852 0.912 0.970 0.972 0.979

2 0.103 0.253 0.432 0.752 0.581 0.825 0.912 0.945 0.983 0.996

3 0.270 0.372 0.593 0.727 0.751 0.865 0.927 0.975 1.101 0.996

4 0.328 0.134 0.205 0.219 0.383 0.807 0.855 0.985 1.139 0.996

5 0.404 0.388 0.556 0.525 0.532 0.544 1.009 0.992 1.258 0.996

6 0.082 0.088 0.475 0.455 0.575 1.097 1.002 0.985 1.140 0.996

7 0.060 0.164 0.320 0.460 1.253 1.099 1.002 0.985 1.137 0.996

8 0.081 0.504 0.604 0.996 1.237 1.091 1.002 0.985 1.146 0.996

9 0.019 0.138 1.914 0.996 1.250 1.098 1.002 0.985 1.139 0.996

10 0.172 3.795 1.855 0.996 1.249 1.097 1.002 0.985 1.140 0.996

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2 0.996

3 1.101 0.996

4 0.985 1.139 0.996

5 1.009 0.992 1.258 0.996

6 1.097 1.002 0.985 1.140 0.996

7 1.253 1.099 1.002 0.985 1.137 0.996

8 1.331 1.237 1.091 1.002 0.985 1.146 0.996

9 1.914 1.357 1.250 1.098 1.002 0.985 1.139 0.996

10 3.795 1.855 1.354 1.249 1.097 1.002 0.985 1.140 0.996

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1530 8238 10564 12332 12173 10576 10630 10316 10325 10280

2 1505 6247 8728 10500 15241 16720 16845 16829 19675 19589

3 2505 6150 17937 22143 29511 33336 32162 31500 34670 34519

4 204 2748 9948 13167 16523 17807 18959 18673 21259 21167

5 2285 4361 6342 8834 12092 15309 15452 15332 19287 19203

6 269 5549 7214 12422 13581 14892 14922 14698 16754 16681

7 1271 2657 6187 11004 13790 15156 15184 14954 17005 16930

8 298 3533 6423 8551 10580 11543 11570 11401 13064 13007

9 2023 5415 10362 14063 17583 19299 19336 19045 21687 21592

10 1779 6751 12520 16952 21168 23218 23264 22915 26113 25999

Tahun

kejadian

Tahun penundaan

36

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada hari Rabu, 26 Januari 1994 di Padang. Penulis

merupakan putra pertama dari Bapak Agus Darusman dan Ibu Mardiana. Tahun

2011 penulis lulus dari SMA Negeri 10 Kota Padang dan lulus seleksi masuk

Institut Pertanian Bogor melalu Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri

(SNMPTN) jalur undangan. Penulis diterima di Departemen Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selain mengikuti perkuliahan pada

mayor Matematika, penulis juga mengikuti perkuliahan minor Statistika Terapan.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan berorganisasi.

Di tahun pertama penulis aktif menjadi anggota Koperasi Mahasiswa (Kopma)

IPB, aktif di Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) yakni Ikatan Pelajar

Mahasiswa Minang (IPMM) dan Himpunan Mahasiswa Padang (HIMAPD).

Penulis pernah menjabat sebagai Vice President External Relation (VP-ER) di

Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) AIESEC IPB, dan menjadi Ketua Departemen

Public Relation di Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB. Penulis juga

pernah menjadi panitia di beberapa kegiatan, di antaranya menjadi ketua

pelaksana The 3𝑟𝑑 IPB Mathematics Challenges 2014, ketua Divisi Sponsorship

Matematika Ria 2014, dan anggota divisi di beberapa kegiatan Gumatika IPB.

Penulis juga pernah tampil bersama grup akustik Elipsoid dan grup nasyid Guma-

voice di beberapa seminar nasional dan acara fakultas.

Penulis pernah menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II selama dua periode

yaitu periode Semester Ganjil Tahun Ajaran 2013/2014 dan 2014/2015 serta mata

kuliah Pemrograman Linear pada periode Semester Genap Tahun Ajaran

2013/2014. Penulis pernah mengikuti program magang profesi di bagian

Departemen Aktuaria PT. Asuransi Jiwa Manulife Indonesia selama tiga bulan

(Juni-Agustus 2014).

Selama perkuliahan, penulis pernah mendapatkan beasiswa Peningkatan

Prestasi Akademik (PPA) dari DIKTI. Penulis juga memperoleh beasiswa AIA

Future Actuaries Program yang diberikan oleh PT. AIA Financial.