probabilitas dan statistika bab 9 uji hipotesis sampel tunggal

Probabilitas dan Statistika

BAB 9 Uji Hipotesis Sampel

Tunggal

Pokok BahasanProsedur Umum Uji HipotesisUji Hipotesis Sampel Tunggal MeansUji Hipotesis Sampel Tunggal PersentaseUji Hipotesis Sampel Tunggal VariansNilai P pada Uji Hipotesis

Prosedur Umum Uji HipotesisPengantarHipotesis statistik asumsi-asumsi atau perkiraan-perkiraan mengenai populasi yang mungkin salah atau juga mungkin benar.

Error dalam uji hipotesis :Bila “menolak suatu hipotesis yang seharusnya

diterima”Bila “menerima suatu hipotesis yang

seharusnya ditolak”

Prosedur Umum Uji HipotesisProsedur Uji Hipotesis

Uji Hipotesis Mean dengan Sampel Tunggal

Uji Dua-Ujung (two-tailed test)

Uji Satu-Ujung (one-tailed test)

Uji Dua-UjungUji dua-ujung (two-tailed test) uji hipotesis yang menolak hipotesis nol jika statistik sampel secara signifikan lebih tinggi atau lebih rendah daripada nilai parameter populasi yang diasumsikan

Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya :H0 : μ = nilai yang diasumsikan

H1 : μ ≠ nilai yang diasumsikan

Daerah Penerimaan dan Penolakan Uji Dua-ujung Dengan Populasi Terdistribusi Normal

Uji Dua-Ujung dengan Deviasi Standar Populasi DiketahuiJika n>30 atau deviasi standar populasi

diketahui dan populasi terdistribusi secara normal, maka dapat digunakan tabel distribusi normal standar (tabel z)

Notasi : (batas penolakan)zα nilai numerik pada sumbu z di mana luas daerah di bawah kurva normal standar di sebelah kanan zα adalah α.

Contoh SoalManajer pemasaran produk Ponari Sweat

mengatakan bahwa jumlah rata-rata produk yang terjual adalah 1500 kaleng. Seorang karyawan di pabrik ungin menguji pernyataan manajer pemasaran itu dengan mengambil sampel selama 36 hari. Dia mendapati bahwa jumlah penjualan rata-ratanya adalah 1450 kaleng. Dari catatan yang ada, deviasi standarnya adalah 120 kaleng. Dengan menggunakan tingkat kepentingan α = 0,01, apakah kesimpulan yang bisa ditarik oleh karyawan tersebut?

Jawaban1. Hipotesis

H0 : μ = 1500

H1 : μ ≠ 1500

2. α = 0,013. n = 36 > 30 digunakan distribusi z4. Batas-batas daerah penolakan uji dua-ujung :

α = 0,01 α/2 = 0,005 + z0,005

Dari tabel distribusi normal, batas yang bersesuaian adalah + z0,005 = + 2,575

5. Aturan keputusan :Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -2,575 atau RUz > +2,575. Jika tidak demikian terima H0

Jawaban6. Rasio uji :

7. Pengambilan keputusan :Karena RUz berada di antara + 2,575, maka H0 diterima. Ini berarti klaim sang manajer pemasaran dapat diterima (tidak bisa ditolak) dengan resiko kesalahan (tingkat kepentingan) 0,01.

5,236/120

15001450

/00

n

xxRU H

x

HZ

Uji Dua-Ujung dengan Deviasi Standar Populasi Tidak DiketahuiLangkah-langkahnya sama seperti

sebelumnya, namun perlu diperhatikan aspek-aspek berikut :1. Distribusi sampling hanya dapat diasumsikan

mendekati bentuk normal (Gaussian) jika ukuran sampel n > 30.

2. Dalam perhitungan rasio uji (RUz) digunakan error standar estimasi, di mana s = deviasi standar sampel.

nsx

/ˆ

Uji Satu-UjungDalam uji satu-ujunga hanya ada satu daerah penolakan,

dan hipotesis nol ditolak hanya jika nilai statistik sampel berada dalam daerah ini.

Daerah penolakan dan penerimaan :

Uji Satu-Ujung dengan Deviasi Standar Populasi DiketahuiHipotesis nol dan hipotesis alternatifnya :

H0 : μ = nilai yang diasumsikan

H1 : μ > nilai yang diasumsikan uji ujung-kanan

H1 : μ < nilai yang diasumsikan uji ujung-kiri

Aturan pengambilan keputusan : Uji ujung-kiri

Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -zα. Jika tidak demikian terima H0.

Uji ujung-kananTolak H0 dan terima H1 jika RUz > +zα. Jika tidak demikian

terima H0.

Uji Satu-Ujung dengan Deviasi Standar Populasi Tidak DiketahuiProsedurnya sama dengan sebelumnya,

namun perlu diperhatikan aspek-aspek :1. Distribusi sampling hanya dapat diasumsikan

mendekati bentuk normal (Gaussian) jika ukuran sampel n > 30.

2. Dalam perhitungan rasio uji (RUz) digunakan error standar estimasi, di mana s = deviasi standar sampel.

nsx

/ˆ

Contoh SoalPemilik sebuah usaha tambang batu granit

mengatakan bahwa rata-rata per hari dapat ditambang 4500 kg batu granit. Seorang calon investor mencurigai angka tersebut sengaja dibesar-besarkan untuk menarik minat investor baru. Kemudian ia mengambil sampel selama 40 hari dan mendapati bahwa rata-rata per hari batu granit yang ditambang adalah 4460 kg dengan deviasi standar 250 kg. Terbuktikah kecurigaan calon investor tersebut?

Jawaban1. Hipotesis

H0 : μ = 4500

H1 : μ < 4500

2. α = 0,01 (misal dipilih tingkat kepentingan 1%)3. n = 40 > 30 digunakan distribusi z4. Batas daerah penolakan uji ujung-kiri :

α = 0,01 -z0,001

Dari tabel distribusi normal, batas yang bersesuaian adalah -z0,001 = -2,5325

5. Aturan keputusan :Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -2,3275. Jika tidak demikian terima H0

Jawaban6. Rasio uji :

7. Pengambilan keputusan :Karena RUz > -2,325, maka H0 diterima. Ini berarti klaim pemilik tambang dapat diterima (tidak bisa ditolak) dengan resiko kesalahan (tingkat kepentingan) 0,01.

012,140/250

45004460

/00

ns

xxRU H

x

HZ

Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel TunggalProsedur sama dengan Uji Umum HipotesisPerbedaannya pada perhitungan rasio uji (RU) :

Dimana : = persentase sampel= nilai hipotesis dari persentasi populasi

n

pRU

HHp

p

HZ

)100(00

0

0H

p

0H

p

Contoh SoalEditor “Jurnal Teknologi” dalam suatu seminar

mengatakan bahwa hanya 25% dari mahasiswa fakultas teknik membaca jurnal tersebut setiap edisi terbitan. Suatu sampel acak 200 mahasiswa menunjukkan 45 mahasiswa membaca jurnal tersebut setiap edisi terbitannya. Pada tingkat α = 0,05 ujilah kebenaran pernyataan editor tersebut.

Jawaban1. Hipotesis

H0 : μ = 25

H1 : μ ≠ 25

2. α = 0,053. n = 200 > 30 digunakan distribusi z4. Batas-batas daerah penolakan uji dua-ujung :

α = 0,05 α/2 = 0,025 + z0,025

Dari tabel distribusi normal, batas yang bersesuaian adalah + z0,025 = + 1,96

5. Aturan keputusan :Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -1,96 atau RUz > +1,96. Jika tidak demikian terima H0

Jawaban6. Rasio uji :

7. Pengambilan keputusan :Karena RUz berada di antara + 1,96, maka H0 diterima. Ini berarti klaim editor dapat diterima dengan resiko kesalahan (tingkat kepentingan) 5%.

81,0

200)25100(25

25)200/45(

)100(00

00

n

ppRU

HH

H

p

HZ

Uji Hipotesis Varians dengan Sampel TunggalSesuai dengan prosedur umum uji hipotesis.Perbedaannya distribusi yang digunakan

adalah distribusi chi-kuadrat dan perhitungan rasio ujinya (RUx2) :

Di mana : = varians sampel= varians populasi

2

2

2

)1(

snRU

2

2

s

Contoh SoalSebuah perusahaan farmasi membuat tablet

untuk mengobati suatu jenis penyakit tertentu, dan proses pembuatan obat tersebut dianggap di luar kontrol jika deviasi standar dari berat tablet yang dihasilkan melebihi 0,0125 miligram. Suatu sampel acak yang terdiri dari 20 tablet diperiksa dalam pemeriksaan periodik dan diperoleh deviasi standar 0,019 miligram. Dengan resiko kesalahan 5%, tentuka apakah produksi tablet tersebut sudah di luar kontrol?

Jawaban1. Hipotesis

H0 : μ = 0,0125

H1 : μ > 0,0125

2. α = 0,053. Uji varians digunakan distribusi chi-kuadrat

Derajat kebebasan (df), v = n – 1 = 20 – 1 =194. Batas daerah penolakan uji ujung-kanan :

α = 0,05 ; n = 19 χ219,0.05

Dari tabel chi-kuadrat, batas yang bersesuaian adalah = 30,1

5. Aturan keputusan :Tolak H0 dan terima H1 jika RUχ2 < 30,1. Jika tidak demikian terima H0

Jawaban6. Rasio uji :

7. Pengambilan keputusan :Karena RUχ2 > 30,1, maka H0 ditolak.

Ini berarti bahwa proses produksi berjalan di luar kontrol dan harus segera diperbaiki.

9,43)0125,0(

)0190,0)(120()1(2

2

2

2

2

snRU

Nilai P pada Uji HipotesisNilai P sebuah tingkat kepentingan yang teramati (observed significance level) yang merupakan nilai kepentingan terkecil di mana hipotesis nol akan ditolak apabila suatu prosedur pengujian hipotesis tertentu digunakan pada suatu sampel.

Jika nilai P < α maka hipotesis nol ditolak pada tingkat kepentingan α

Jika nilai P > α maka hipotesis nol diterima pada tingkat kepentingan α

Penentuan Nilai P

Contoh SoalKetebalan yang diinginkan dari wafer silikon

yang digunakan untuk membuat sejenis IC adalah 245 mm. Suatu sampel yang terdiri dari 50 wafer silikon diperiksa ketebalannya masing-masing dan diperoleh rata-rata ketebalan sampel tersebut adalah 246,18 mm serta deviasi standarnya 3,60 mm. Dengan tingkat kepentingan 0,01 apakah data yang diperoleh ini menunjukkan bahwa rata-rata ketebalan populasinya berbeda dengan ketebalan yang diinginkan?

JawabanUji hipotesis menggunakan nilai P dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :1. Hipotesis

H0 : μ = 245

H1 : μ ≠ 245

2. α = 0,013. N = 50 > 30 digunakan distribusi z4. Aturan keputusan :

Tolak H0 dan terima H1 jika P < α. Jika tidak demikian (P > α) terima H0

5. Rasio uji :32,2

50/60,3

24518,246

/ˆ00

ns

xxRU H

x

HZ

Jawaban6. Penentuan nilai P :

Karena uji hipotesisnya adalah uji dua-ujung, maka nilai P adalah jumlah luas di ujung kanan dan kiri yang dibatasi oleh z = + RUz, dan dinotasikan sebagai :Nilai P = 2 (1 – Ф(2,32)) = 0,0204

7. Pengambilan keputusanKarena nilai P > α (0,0204 > 0,01) maka H0 diterima. Ini berarti ketebalan rata-rata populasi tidak berbeda dengan ketebalan yang diinginkan.