STATISTIKA & PROBABILITASStatistics & Probability Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar, S.T., M.Eng.Sc. Program Studi Teknik Sipil Universitas Muhammadiyah Yogyakarta 9 Februari 2009 Filosofi Pembelajaran Tell me, Ill forget Show me, Ill remember Involve me, Ill understand Syllabus Topik Bahasan: Pengantar Peran statistika dan probabilitas dalam Teknik Sipil: Ketidakpastian dalam bidang Teknik, Contoh Kasus Dasar Model Probabilitas: Kejadian dan Probabilitas, Teori Pasangan, Matematika Probabilitas Model Analitik Kejadian Acak: Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas, Fungsi Dsitribusi Probabilitas. Fungsi Variabel Acak: Variable Tunggal dan Variabel Banyak. Simulasi Metode Probabilitas berbasis Komputer: Simulasi Monte Carlo. Analisis Statistik dan Pengamatan Data: Estimasi Parameter, Uji Hipotesis, Confidence Interval. Buku Acuan: Ang, A.H.S, and Tang, W.H., 2007, Probability Concepts in Engineering: Emphasis on Application in Civil & Environmental Engineering. 2nd Edition, John Wiley & Sons. Syllabus Tujuan: Mahasiswa dapat melakukan analisis statistik dan probabilitas sederhana dalam bidang Teknik Sipil. Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar statistik dan probabilitas. Kredit : 2 SKS Dosen: Nama: Dr.Eng. Agus Setyo Muntohar, S.T., M.Eng.Sc. Ruang: Lab. Komputer Teknik Sipil. Email: muntohar@umy.ac.id No. Ekstensi Telp.: 229 Kuliah: Pertemuan kelas : 14 kali Tutorial: 7 kali Mahasiswa wajib mengikuti seluruh pertemuan di kelas dan tutorial. Syllabus Sistem Penilaian: Kehadiran = 10% Tugas mandiri = 20% Ujian tengah semester = 30% Ujian akhir semester = 40% Nilai Akhir: A > 80 B = 70 80 C = 55 70 D = 40 55 E < 40 Segala perbuatan curang (menyontek, kerjasama dalam ujian, plagiat) selama perkuliahan dapat mengurangi nilai atau diberikan nilai E. Sistem Pengajaran: Mahasiswa dikelompokkan dalam 4 -5 kelompok membahas materi yang ditugaskan. Setiap kelompok menyiapkan makalah dan menyajikan sesuai topik bahasan. 1. PENGANTAR Filosofi Probabilitas 17 Februari 2009 Apakah yang Anda pikirkan tentang Probabilitas? Kondisi Tidak Pasti (uncertainty) v.s. Acak (randomness) Frekuensi Relatif (relative frequency) v.s. Derajat Yakin/Pasti (plausibility) Ilustrasi-1 Ketika Anda melemparkan uang logam (coin), terdapat dua kemungkinan hasil: gambar dan angka. Hasil tersebut tidak pasti atau acak? Kita mengganggap uang logam tersebut seimbang. Sehingga probabilitas hasil berupa gambar adalah 0,5. Untuk ilustrasi ini, apakah yang Anda pikirkan ketika mengatakan probabilitas gambar yang muncul adalah 0,5? Ilustrasi-2 Anda berdiri dibawah pohon, dan seseorang bertanya: Berapa banyak daun yang ada pada pohon? Jawabannya Tidak Pasti atau Acak. Setelah Anda melihat pohon, lalu, menjawab: probabilitas jumlah daun lebih dari 1000 adalag 0,1. Dengan demikian, Apakah yang dimaksud dengan Probabilitas menurut Anda? Ilustrasi-3 Anda adalah seorang Insinyur Sipil yang membangun suatu gedung, lalu seseorang bertanya: Berapa reaksi pada fondasi? Anda tidak yakin dan secara jujurmengatakan: Saya tidak yakin berapa reaksinya, tapi saya pikir probabilitas reaksinya lebih dari 100 kN sangat kecil yaitu 0,01. Untuk ilustrasi ini, Apakah yang dimaksud dengan Probabilitas menurut Anda? Kondisi Acak Frekuensi Relatif Kondisi acak adalah satu kondisi dimana hasil atau keadaan tidak dapat diprediksi. Jika dilakukan percobaan maka akan memberikan hasil yang berbeda dari waktu ke waktu. Sehingga pada ilustrasi 1, probabilitas 0,5 merupakan frekuensi relatif bahwa hasil lemparan berupa gambar. Tidak Pasti Derajat Yakin (plausibility) Konsep frekuensi relatif dapat membingungkan dalam bidang teknik sipil. Pada ilustrasi 3, apakah reaksi pada fondasi merupakankondisi acak? Tentu saja reaksi pada fondasi bukanlah kondisi acak. Sehingga, frekuensi relatif tidak bisa menunjukkan probabilitas. Probabilitas yang dimaksud adalah derajat yakin atau pasti. Maka probabilitas ini ukuran dari derajat yakin atau pasti (plausibility) seperti pada ilustrasi 2 dan 3. 2. DASAR-DASAR MODEL PROBABILITAS 04 Maret 2009 2.1. Probabilitas dan Kejadian KONSEP PROBABILITAS Banyaknya kejadian yang sulit diketahui dengan pasti. Akan tetapi kejadian tersebut dapat kita ketahui akan terjadi dengan melihat fakta-fakta yang ada. Dalam statistika fakta-fakta tersebut digunakan untuk mengukur derajat kepastian atau keyakinan yang disebut dengan Probabilitas atau Peluang dan dilambangkan dengan P. Karakteristik Probabilitas Probabilitas dapat diartikan sebagai kemungkinan (likelihood) terjadinya suatu kejadian (event) relatif terhadap kejadiannya lainnya. Dalam arti, dapat terjadi lebih dari satu kejadian. Secara kuantitative, probabilitas adalah pengukuran numerik terhadap kemungkinan terjadinya suatu kejadian dalam rangkaian alternatif kejadian yang akan dapat terjadi. Contoh Probabilitas dalam Teknik Sipil (1) Contoh 1: Suatu kontraktor alat-alat berat memerlukan bulldozer untuk mengerjakan suatu proyek baru. Berdasarkan pengalaman sebelumnya, hanya 50% bulldozer yang masih dapat dijalankan selama 6 bulan. Bila kontraktor tersebut membeli 3 bulldozer baru, berapakah probabilitas bahwa hanya 1 bulldozer saja yang masih beroperasi setelah 6 bulan? Kemungkinan hanya 1 bulldozer yang beroperasi yaitu: ONN, NNO, NON. Bila kemungkinan terjadinya adalah sama, maka probabilitasnya adalah 3/8 Kemungkinan beroperasinya bulldozer baru setelah 6 bulan dapat dinyatakan: OOO : semua bulldozer masih beroperasi OON : hanya bulldozer ke-1 dan ke-2 yang beroperasi, sedangkan bulldozer ke-3 tidak beroperasi ONN : hanya bulldozer ke-1 yang beroperasi NNN : tidak ada bulldozer yang beroperasi NOO NNO ONO NON Contoh Probabilitas dalam Teknik Sipil (2) Contoh 2: Di suatu ruas jalan direncanakan untuk membuat jalur khusus belok kanan. Probabilitas 5 mobil menunggu berbelok diperlukan untuk menentukan panjang garis pembagi jalan. Untuk keperluan ini dilakukan survey selama 2 bulan dan diperoleh 60 hasil pengamatan. Probabilitas kejadian 5 mobil menunggu untuk berbelok kanan adalah 3/60 (2/60 + 1/60) Banyaknya Mobil Jumlah Pengamatan Frekuensi relative 044/60 11616/60 22020/60 31414/60 433/60 522/60 611/60 700 800 ... PERUMUSAN PROBABILITAS Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dimana masing-masing n cara tersebut mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E adalah : ( )nmE P =PERUMUSAN PROBABILITAS (lanjutan) Contoh : Hitung probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap! Jawab: Jumlah seluruh kartu = 52 Jumlah kartu hati = 13 Misal E adalah kejadian munculnya kartu hati, maka : ( )5213 nmE P = =2.2. Kejadian dan Rangkaian Kejadian BILANGAN FAKTORIAL Bilangan faktorial ditulis n! Rumus : n! = n(n-1)(n-2)3.2.1 dimana : 0! = 1 dan 1! = 1 Contoh : 5! = 5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)=5.4.3.2.1 =120 PERMUTASI (1) Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut. Permutasi ditulis dengan P. PERMUTASI (2) Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah : Contoh : Bila n=4 dan r=2, maka ( )n,rn!P =Pn-r !rn =( )4,24! 4! 4.3.2.1P124-2 ! 2! 2.1= = = =PERMUTASI (3) Bila himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama, maka banyak permutasi yang dapat dibuat adalah : dimana n1+n2+n3++nk = n Contoh : Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kata TEKNIK SIPIL? Banyak n = 11 Huruf E = 1 = n1Huruf I = 3 = n2Huruf K = 2 = n3 Huruf L = 1 = n4Huruf N = 1 = n5Huruf P = 1 = n6 Huruf S = 1 = n8Huruf T = 1 = n9 Maka banyak permutasi adalah : ( )! n ... ! n ! n ! nn! k 3 2 1nn ,..., n , n , nk 3 2 1=( )111,3,2,1,1,1,1,111! 39.916.800=3.326.4001!3!2!1!1!1!1!1! 12= =KOMBINASI (1) Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut. Kombinasi ditulis dengan C. KOMBINASI (2) Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah : Contoh : Bila n=4 dan r=2, maka ( )( )! r - n r!n!Cnr r n= =( )( )61.2.2!4.3.2! 2!2!4! ! 2 - 4 2!4!C42 2 4= = = = =KOMBINASI (3) Contoh : Dalam suatu kelompok terdiri dari 4 orang ahli geoteknik dan 3 orang ahli struktur. Buatlah juri yang terdiri dari 2 orang ahli geoteknik dan 1 orang ahli struktur! Jawab : Banyaknya jenis juri yang dapat dibentuk adalah 6 x 3 = 18 pasangan juri. ( )( )( )( )44 2 233 1 14! 4! 4.3.2.1C62! 4-2 ! 2!2! 2.1.2.13! 3! 3.2!C31! 3-1 ! 1!2! 1!2!= = = = == = = = =LATIHAN 1. Dalam berapa cara 6 kelereng yang warnanya berbeda dapat disusun dalam satu baris? 2. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana teknik sipil dan 7 sarjana ekonomi. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana teknik sipil dan 3 sarjana ekonomi. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu jika : a. tiap orang dapat dipilih dengan bebas b. seorang sarjana ekonomi harus ikut dalam tim itu c. dua sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu 2.3. Ruang Sampel dan Kejadian Definisi Penting Ruang sampel (sample space) adalah himpunan yang unik dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan kondisi acak. Ruang sampel dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanya disebut titik sampel. Kejadian sederhana (simple event):satu hasil dari ruang sampel atau hasil yang dimungkinkan dari suatu kondisi acak. Kejadian (event) adalah himpunan dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan acak. Kejadian dilambangkan dengan A dan anggota-anggotanya disebut juga titik sampel. Ruang Sampel dan Digram Venn Ruang sampel SHimpunan semesta S Kejadian AHimpunan bagian A Titik sampel Anggota himpunan A S Ruang Sampel dan Kejadian (1) Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara maka probabilitas kejadian A adalah : dimana : n(A) = banyak anggota A n(S) = banyak anggota S ()()( ) nm S nA nA P = =Ruang Sampel dan Kejadian (3) Contoh : Pada pelemparan 2 buah uang logam : a. Tentukan ruang sampel! b. Bila A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari 2 uang logam tersebut, tentukan probabilitas kejadian A! Jawab : a. Ruang sampelnya : b. A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga probabilitas kejadian A adalah : Uang logam 2 ga Uang Logam 1 g(g,g)(g,a) a(a,g)(a,a) ()()( ) 21 42 S nA nA P = = =Ruang Sampel dan Kejadian (4) Latihan : Pada pelemparan dua buah dadu : a. Tentukan ruang sampelnya! b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama, tentukan P(A)! c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)! d. Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu lebih dari sama dengan 7, tentukan P(C)! 2.4. Matematika Probabilitas Sifat Probabilitas Kejadian A Bila 0