potensial kotak 1, 2, dan 3 dimensi
Post on 20-Dec-2015
337 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
HANDOUT POTENSIAL KOTAK 1, 2, dan 3 DIMENSI
disusun guna memenuhi tugas mata kuliah
Fisika Kuantum Rombel 3
Dosen Pengampu : Ngurah Made Dharma Putra
Oleh :
1. Rachma Afifah (4201412015)
2. Ekonita Yulia Rahmawati (4201412025)
3. Fiki Layyinatun Najwa (4201412097)
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2015
POTENSIAL KOTAK 1 DIMENSI
Sebagai pendahuluan dalam menentukan gambaran statistik sistem partikel maka kita
tinjau keadaan yang paling sederhana yaitu sistem dengan 1 partikel dalam kotak 1
dimensi. Tujuan kita adalah mendapatkan gambaran untuk menjelaskan karakteristik
partikel dalam kotak 1 dimensi. Dilakukan dalam kotak karena dalam kotak aspek
dimensinya justru akan memudahkan perhitungan lebih lanjut walaupun dalam
kenyataannya partikel tidak selalu berada dalam kotak).
Kotak yang ditinjau adalah kotak 1 dimensi kemudian setelah itu dengan melihat
prinsip yang ada dalam kotak 1 dimensi, dengan mudah kita dapat menentukan partikel
dalam kotak 2 dimensi maupun 3 dimensi.
Potensial dalam kotak 1dimensi dapat ditulis sebagai berikut:
0, 0 ≤ x≤ L
V ( x )
∞, untuk daerah selain itu.
Persamaan schrodinger bebas waktu untuk 1dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.
−ħ2
2m∇2ψ ( r⃗ )+V ( r⃗ ) ψ ( r⃗ )=Eψ ( r⃗ )
Untuk menyelesaikan persamaan di atas kita dapat menganggap bahwa 1 dimensi dapat
diselesaikan,
ψ ( r⃗ )=ψ ( x )
Sehingga, persamaaan
−ħ2
2m ( ∂2
∂ x2 )ψ ( x )+V ( x )ψ ( x )=E ψ (x )
Untuk daerah luar kotak ψ ( x )=0, sedangkan di dalam kotak V ( x )=0 , sehingga
−ħ2
2m ( ∂2
∂ x2 )ψ ( x )=E ψ ( x )
( ∂2
∂ x2 )ψ ( x )=−2 mEħ2 ψ ( x )
( ∂2
∂ x2 )ψ ( x )=−k 2ψ ( x )
Dengan k2=2mE
ħ2 ,
( ∂2
∂ x2 )ψ ( x )+k2ψ ( x )=0
Maka solusi dari persamaan-persamaan di atas adalah
ψ ( x )=A sin k x+B cos kx
Syarat kontinyu padaψ ( x )menghendaki bahwa pemecahan di luar dan di dalam kotak
bernilai sama pada daerah batas kotak. Jadiψ=0di x=0danx=L .
ψ=0di x=0
ψ (0 )=A sin k x+B coskx
0=A sin k 0+B cosk 0
0=B cos 0
B=0
ψ=0di x=L
ψ ( L )=A sin k L+B cos kL
0=A sin kL+0
Agar A tidak bernilai 0, maka
sin kL=0
kL=π ,2 π ,3 π …
k=nπL
Setelah nilai A , B dan k diketahui maka dengan mudah kita akan mendapatkan,
ψ ( x )=A sin k x
ψ ( x )=A sinnπL
x
Koefisien A didapati dengan menggunakan syarat normalisasi, yang dalam dua dimensi
menjadi,
∫ψ2 dx dy=1
A2∫0
Lx
sin2 kxdx=1
A=√ 2L
Sehingga,
ψ ( x )=√ 2L
sinnπL
x
Nilai E dapat ditentukan dengan ,
k 2=2mE
ħ2
E= k2ħ2
2m
E= ħ2
2 mk 2
E=π2 ħ2 n2
2m L2
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai
E=E0 n2
Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa partikel dapat ditemukan dengan energy
Eo, 4 Eo, 9Eo, 16Eo, dan seterusnya dan tidak pernah ditemukan dengan energi 2Eo dan
3Eo.
POTENSIAL KOTAK 2 DIMENSI
Potensial dalam kotak 2 dimensi dapat ditulis sebagai berikut:
0, 0 ≤ x≤ Lx atau 0 ≤ y≤ Ly
V ( x , y , z )
∞, untuk daerah selain itu.
Persamaan schrodinger bebas waktu untuk 2 dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.
−ħ2
2m∇2ψ ( r⃗ )+V ( r⃗ ) ψ ( r⃗ )=Eψ ( r⃗ )
Untuk menyelesaikan persamaan di atas kita dapat menganggap bahwa 2 dimensi dapat
dipecah satu-persatu, sehingga
ψ ( r⃗ )=ψ ( x , y )=X (x ) Y ( y )
Sehingga, persamaaan
−ħ2
2m ( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 )X ( x )Y ( y )+V ( x , y ) X ( x )Y ( y )=E X ( x ) Y ( y )
Untuk daerah luar kotak ψ ( x , y )=0, sedangkan di dalam kotak V ( x , y )=0 , sehingga
−ħ2
2m ( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 )X ( x )Y ( y )=E X ( x ) Y ( y )
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 )X ( x ) Y ( y )=−2mEħ2 X (x ) Y ( y )
Dengan k2=2 mE
ħ2 ,
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 )X ( x ) Y ( y )=−k2 X ( x )Y ( y )
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 )X ( x ) Y ( y )+k2 X (x ) Y ( y )=0
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 )X ( x ) Y ( y )+(k x2+k y
2 ) X ( x )Y ( y )=0
Persamaan di atas dapat diselesaikan satu persatu sebagai berikut.
∂2
∂ x2 X (x )+k x2 X (x )=0
∂2
∂ y2 Y ( y )+k y2Y ( y )=0
Maka solusi dari persamaan-persamaan di atas adalah
X ( x )=A sin k x x+B cosk x x
Y ( y )=C sin k y y+ Dcos k y y
Syarat kontinyu pada ψ ( x , y )menghendaki bahwa pemecahan di luar dan di dalam kotak
bernilai sama pada daerah batas kotak. Jadi ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y, dan
ψ=0di y=0 dan y=L yuntuk semua x
ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y
X (0 )=A sin k x x+B cos k x x
0=A sin k x 0+B cosk x 0
0=B cos 0
B=0
X ( Lx)=A sin k x Lx+B cosk x Lx
0=A sin k x Lx+0
Agar A tidak bernilai 0, maka
sin k x Lx=0
k x Lx=π ,2 π ,3 π …
k x=nx π
Lx
Dengan cara yang sama, diperoleh bahwa D=0, sehingga
k y=ny π
L y
Setelah nilai A , B ,C , D , E ,F dan k x , k y diketahui maka dengan mudah kita akan
mendapatkan,
ψ ( x , y )=X ( x ) Y ( y )
ψ ( x , y )=A sin kx x C sin k y y
ψ ( x , y )=AC sinnx π
Lx
x sinny π
Ly
y
ψ ( x , y )=G sinnx π
Lx
x sinny π
Ly
y
Hasil A dan C telah dinyatakan dengan G . Koefisien G didapati dengan menggunakan
syarat normalisasi, yang dalam dua dimensi menjadi,
∬ψ2dx dy=1
G2∫0
Lx
sin2 kx xdx∫0
Ly
sin2 k y ydy=1
G= 2
√ Lx Ly
Sehingga, ψ ( x , y )= 2
√ Lx L y
sinnx π
Lx
x sinny π
L y
y
Nilai E dapat ditentukan dengan ,
k 2=2mE
ħ2
E= k2ħ2
2m
E= ħ2
2 m(k x
2+k y2)
E=π2 ħ2
2 m ( nx2
Lx2 +
n y2
L y2 )
POTENSIAL KOTAK 3 DIMENSI
Potensial dalam kotak 3 dimensi dapat ditulis sebagai berikut:
0, 0 ≤ x≤ Lx atau 0 ≤ y≤ Ly atau 0 ≤ z≤ Lz
V ( x , y , z )
∞, untuk daerah selain itu.
Persamaan schrodinger bebas waktu untuk 3 dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.
−ħ2
2m∇2ψ ( r⃗ )+V ( r⃗ ) ψ ( r⃗ )=Eψ ( r⃗ )
Untuk menyelesaikan persamaan di atas kita dapat menganggap bahwa 3 dimensi dapat
dipecah satu-persatu, sehingga
ψ ( r⃗ )=ψ ( x , y , z )=X ( x )Y ( y ) Z (z )
Sehingga, persamaaan
−ħ2
2m ( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X (x ) Y ( y ) Z (z )+V ( x , y , z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )=E X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
Untuk daerah luar kotak ψ ( x , y , z )=0, sedangkan di dalam kotak V ( x , y , z )=0 , sehingga
−ħ2
2m ( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X (x ) Y ( y ) Z (z )=E X (x ) Y ( y ) Z (z )
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )=−2 mEħ2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )=−k 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )
Dengan k2=2mE
ħ2 ,
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )+k2 X ( x )Y ( y ) Z (z )=0
( ∂2
∂ x2 +∂2
∂ y2 +∂2
∂ z2 )X ( x )Y ( y ) Z ( z )+(kx2+k y
2+k z2) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
Persamaan di atas dapat diselesaikan satu persatu sebagai berikut.
∂2
∂ x2 X (x )+k x2 X (x )=0
∂2
∂ y2 Y ( y )+k y2Y ( y )=0
∂2
∂ z2 Z (z )+kz2 Z ( z )=0
Maka solusi dari persamaan-persamaan di atas adalah
X ( x )=A sin k x x+B cosk x x
Y ( y )=C sin k y y+ Dcos k y y
Z ( z )=E sin k z z+ F cos kz z
Syarat kontinyu pada ψ ( x , y , z )menghendaki bahwa pemecahan di luar dan di dalam
kotak bernilai sama pada daerah batas kotak. Jadi ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y
dan z, dan ψ=0di y=0 dan y=L yuntuk semua x dan z, serta ψ=0di z=0 dan z=L z
untuk semua x dan y.
ψ=0di x=0 dan x=Lxuntuk semua y dan z
X (0 )=A sin k x x+B cos k x x
0=A sin k x 0+B cosk x 0
0=B cos 0
B=0
X ( Lx)=A sin k x Lx+B cosk x Lx
0=A sin k x Lx+0
Agar A tidak bernilai 0, maka
sin k x Lx=0
k x Lx=π ,2 π ,3 π …
k x=nx π
Lx
Dengan cara yang sama, diperoleh bahwa D=0 dan F=0, sehingga
k y=ny π
L y
k z=nz π
Lz
Setelah nilai A , B ,C , D , E ,F dan k x , k y , kz diketahui maka dengan mudah kita akan
mendapatkan,
ψ ( x , y , z )=X ( x )Y ( y ) Z (z )
ψ ( x , y , z )=A sin k x xC sin k y y E sin k z z
ψ ( x , y , z )=ACE sinnx π
Lx
x sinny π
L y
y sinnz π
Lz
z
ψ ( x , y , z )=Gsinnx π
Lx
x sinn y π
Ly
y sinnz π
L z
z
Hasil A, C, dan E telah dinyatakan dengan G . Koefisien G didapati dengan
menggunakan syarat normalisasi, yang dalam dua dimensi menjadi,
∭ψ2 dx dydz=1
G2∫0
Lx
sin2 kx xdx∫0
Ly
sin2 k y ydy∫0
L z
sin2 k z zdz=1
G= 2√2
√ Lx Ly L z
Sehingga, ψ ( x , y )= 2√2
√ Lx L y Lz
sinnx π
Lx
x sinny π
Ly
y sinnz π
Lz
z
Nilai E dapat ditentukan dengan ,
k 2=2mE
ħ2
E= k2ħ2
2m
E= ħ2
2 m(k x
2+k y2+kz
2)
E= ħ2
2 m(k x
2+k y2+kz
2)
E=π2 ħ2
2m ( nx2
Lx2 +
n y2
L y2 +
nz2
L z2 )
Contoh soal 1 :
Carilah tingkat energi sebuah elektron dalam kotak yang lebarnya 0,1 nm.
Jawab :
Lebar kotak L = 10-10 m
Massa electron = 9,1 x 10-31 kg
Sehingga, energy electron yang diizinkan adalah
E=π2 ħ2 n2
2m L2
En=n2 h2 π 2
2 m L2 (2π )2=
n2 x (6,63 x10−26 )2
8 x9,1 x10−31 x ( 10−10 )2=38n2 eV
Energi minimum yang dimiliki electron adalah 38 eV, yang bersesuaian dengan harga
n=1, deretan tingkat energy yang diteruskan dengan E2 = 152 eV, E3= 342 eV, E4= 608
eV, dan seterusnya. Tingkat energy ini cukup berjauhan, sehingga kuantisasi energy
electron dalam kotak seperti itu jelas tampak bila kotak semacam itu memang ada.
Contoh soal 2 :
Hitung tingkat energy kelereng yang bermassa 10 g dalam kotak yang lebarnya 10 cm.
Jawab :
Massa kelereng = 10 g = 10-2 kg
Lebar kotak = 10 cm = 10-1 m
Sehingga,
En=n2h2
8 m L2=n2 x ( 6,63 x 10−26 )2
8 x10−2 x (10−1 )2=5,5 x10−64n2 J
Energy minimum yang dapat dimiliki kelereng itu adalah 5,5 x10−64 J yang bersesuaian
dengan n = 1, sebuah kelereng yang memiliki energy kinetic sebesar ini memiliki
kecepatan hanya sebesar 3,3 x 10-31 m/s, sehingga secara eksperimental tidak bisa
dibedakan dari kelereng yang diam. Kecepatan yang nalar dapat dimiliki kelereng itu,
dikatakan 1/3 m/s yang bersesuaian dengan tingkat energy yang berbilangan kuantum n =
1030. Tingkat energy yang diizinkan sangat berdekatan sehingga tidak ada cara untuk
menentukan apakah kelereng tersebut dapat memiliki energy tertentu atau energy yang
lainnya. Jadi dalam daerah pengalaman sehari-hari efek kuantum tidak teramati, hal ini
menerangkan suksesnya mekanis newton dalam daerah ini.
Pertanyaan :
1. Nova Rahmawati
Bagaimana menentukan grafik fungsi gelombang dan kerapatan peluang?
2. Lia Lorenza
Bagaimana cara menentukan syarat batas?
3. Rizki Aji
Bagaimana aplikasi kotak potensial dalam kehidupan sehari-hari? Berikan contohnya?
Jawaban :
1. Grafik fungsi gelombang didapat dengan memasukkan n dan x ke dalam fungsi
keadaan, yaitu
ψ ( x )=√ 2L
sinnπL
x
Sedangkan grafik kerapatan peluang dapat diperoleh dari persamaan kerapatan
peluang,
|ψ ( x )|2=|√ 2
Lsin
nπL
x|2
2. Di daerah di luar kotak, tidak mungkin ada partikel karena daerah tersebut memiliki
potensial yang tak hingga. Sedangkan, dalam kotak potensial nilai potensial adalah
nol, sehingga jika ada partikel di dalamnya maka partikel tersebut akan terjebak di
dalamnya. Oleh sebab itu, pada daerah batas antara daerah luar dan dalam kotak nilai
fungsi keadaan sama dengan nol, karena tidak mungkin ada partikel yang terdapat
dalam daerah batass tersebut.
3. Aplikasi dari potensial kotak adalah persamaan energi En=n2h2
8 m L2 berguna untuk
menjelaskan molekul dengan electron bebas seperti poliena terkonjugasi. Panjang
gelombang molekul-molekul tersebut kemudian dapat dihitung.
top related