pertemuan 3 transformasi laplace

Pertemuan-3: Transformasi Laplace

Pierre Simon Laplace (1749-1827)

Pendahuluan

Laplace, ahli matematika, astronomi dan fisika prancis yang mengembangkan aplikasi teori

gravitasi Newton ke dalam Solar system dan juga salah satu ilmuwan yang mengembangkan

system metric.

Teori Laplace sangat luas digunakan pada aplikasi-aplikasi keteknikan (mechanical dan

elektronika) terutama pada aplikasi gaya tidak berurutan (discontinue force) dan solusi yang

dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial pada system control (problem control

process).

Ide utama dari transformasi Laplace adalah menyelesaikan sebuah persamaan system yang

memiliki unsure diferensiasi dan integral dengan mentransformasikan sebuah persamaan

dengan domain t (“t-space”) ke domain s (bentuk “s-space”).

Meskipun metoda ini sangat banyak digunakan untuk analisa sirkuit dimana sebelumnya sangat

rumit bila menggunakan persamaan diferensial, Transformasi Laplace juga dipakai untuk:

1. Proportional Integral Derivative (PID) control

2. DC motor speed control system

3. DC motor position control system

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 1

4. Persamaan diferensial system order 2 (underdamped, overdamped dan critically

damped)

Sebuah fungsi Transformasi Laplace f(t) for t > 0 didefiniskan dengan sebuah integral 0 hingga

∞:

{ f(t)} =

Hasilnya berupa fungsi s dimana ditulis dengan F(s) atau dengan kata lain disebut Transformasi

Laplace dari sebuah fungsi f(t) sama dengan fungsi F(s)

Dan ditulis:

{f(t)} = F(s)

Persamaannya , sebuah transformasi Laplace fungsi g(t) ditulis dengan:

{g(t)} = G(s)

Dalam prakteknya kita tidak perlu menyelesaikan infinite integral dari setiap fungsi f(t) tapi

cukup dengan melihat table transformasi Laplace dibawah.

Tabel transformasi laplace ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan dengan

Transformasi Laplace dimana di kolum kedua (transformasi Laplace) didapat dari infinite

integral dari kolum pertama.

Time Function f(t) 

  f(t) = -1{F(s)}

Laplace Transform of f(t)

F(s) = { f(t)}

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 2

1s > 0

t (unit-ramp function)s > 0

tn (n, a positive integer)s > 0

eat

s > a

sin ωts > 0

cos ωts > 0

tng(t), for n = 1, 2, ...

t sin ωts > |ω|

t cos ωts > |ω|

g(at)   Scale property

eatg(t) G(s − a)   Shift property

eattn, for n = 1, 2, ...s > a

te-t

s > -1

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 3

1 − e-t/T

s > -1/T

eatsin ωts > a

eatcos ωts > a

u(t)s > 0

u(t − a)s > 0

u(t − a)g(t − a)e-asG(s)

Time-displacement theorem

g'(t) sG(s) − g(0)

g''(t) s2 • G(s) − s • g(0) − g'(0)

g(n)(t) sn • G(s) − sn-1 • g(0) − sn-2 • g'(0) − ... − g(n-1)(0)

SCOPE:

Pembahasan hanya pada Transformasi Laplace sebuah fungsi f(t) kebentuk F(s) (dan proses

kebalikanya/inverse) dengan bentuk-bentuk fungsi sebagai berikut:

Unit step functions: f(t) = u(t), dan

Ramp functions: f(t) = t.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 4

Dan tidak membahas impulse functions: f(t) = δ(t)

Unit step function: f(t) = u(t)

Ramp function: f(t) = (t)

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 5

Impulse function: f(t) = δ(t)

Sifat-sifat Transformasi Laplace

1. Constant Multiple

Jika a sebuah konstanta dan f(t) sebuah fungsi dari t, maka

{a f(t)} = a {f(t)}

Contoh:

{7 sin t} = 7 {sin t}

2. Linearity Property

Jika a dan b adalah konstanta sementara f(t) dan (t) adalah fungsi dari t, maka

{a f(t) + b g(t)} = a {f(t)} + b {g(t)}

Contoh:

{3t + 6t2 } = 3 {t} + 6 {t2}

3. Change of Scale Property

Jika {f(t)} = F(s) maka

Contoh:

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 6

4. Shifting Property (Shift Theorem)

{eatf(t)} = F(s − a)

Contoh dengan fungsi g(t):

{eatg(t)} = G(s − a)

dimana g(t) = sin 3t

Maka,

Contoh:

{e3tf(t)} = F(s − 3)

5. Property 5

6. Property 6

The Laplace transforms of the real (or imaginary) part of a complex function is equal to the

real (or imaginary) part of the transform of the complex function.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 7

Let Re denote the real part of a complex function C(t) and Im denote the imaginary part of

C(t), then

{Re[C(t)]} = Re {C(t)}

and

{Im[C(t)]} = Im {C(t)}

Exercise:

1. f(t) = 4t2

Lihat table:

Dari sifat Constant Multiple Laplace diatas, didapat:

2. v(t) = 5 sin 4t

lihat table:

Dari soal secara langsung didapat ω = 4.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 8

3. g(t) = t cos 7t

4. f(t) = e2t sin 3t

5. f(t) = t4e-jt

6. f(t) = te-t cos 4t

7. f(t) = t2 sin 5t

8. f(t) = t3 cos t = t2(t cos t)

9. f(t) = cos23t, dimana;

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Salman DASAR SISTEM KONTROL 9