penggunaan integral

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN

Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Matematika SMA/MAKelas XII IPA Semester 1

Berdasarkan Kurikulum Berbasis

Kompetensi (KBK)

9

2xy

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Author Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Nama KASTOLAN, S.Pd.

Tempat Lahir Lamongan, 20 April 1970

Nama Sekolah MAN INSAN CENDEKIA SERPONG

Alamat Rumah

Jl. Cendekia BSD sektor XI

Serpong

Tangerang – Banten 15310

HP : 08128404280

E-mail : Mathkast@yahoo.com

Alamat Sekolah

Jl. Cendekia BSD sektor XI

Serpong

Tangerang – Banten 15310

Telp. (021) 7563578

Fax. (021) 7563582

Jabatan Guru Matematika

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Kompetensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Menggunakan integral untuk menghitung

luas daerah dan volume benda putar.

KompetensiKompetensi Dasar Dasar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan

dapat :

1. menggambarkan suatu daerah yang

dibatasi oleh beberapa kurva.

2. menentukan luas daerah dengan

menggunakan limit jumlah.

3. merumuskan integral tentu untuk luas

daerah dan menghitungnya.

4. merumuskan integral tentu untuk volume

benda putar dari daerah yang diputar

terhadap sumbu koordinat dan

menghitungnya.

Indikator Hasil BelajarIndikator Hasil Belajar

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Referensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Abdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang, 2005

Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1,

Erlangga, Jakarta 1996

Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII

Program IPA Jilid 3A, Yudhistira, Jakarta 2005

_______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004,

Depdiknas, Jakarta 2004

________, Microsoft Encarta Encyclopedia

________, Tutorial Maple 9.5

________, Kitaro

________, Bersyukur - Opick

www. mathdemos.gcsu.edu

www. curvebank.calstatela.edu

www. clem.mscd.edu

www.mathlearning.net

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Readme Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk

membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung.

Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka

pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa.

Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri

agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan.

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington

Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di

buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian

jembatan tersebut runtuh karena badai yang

berkekuatan 68 km/jam.

NextBack

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas

membentuk partisi-partisi yang akan kita

temukan dalam pokok bahasan menghitung

luas daerah dengan menggunakan integral.

NextBack

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Bola lampu di samping

dapat dipandang

sebagai benda putar

jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan

dipelajari juga

penggunaan integral

untuk menghitung

volume benda putar.

Back Next

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Luas sebagai limit jumlah Luas DaerahLuas Daerah

X

Y

xy sin

Menentukan luas daerah

dengan limit jumlah dapat

diilustrasikan oleh gambar

di samping. Langkah utama

yang dilakukan adalah

memartisi,

mengaproksimasi,

menjumlahkan, dan

menghitung limitnya.

Home NextBack1/19

Langkah menghitung luas

daerah dengan limit jumlah

adalah:

1. Bagilah interval menjadi

selang yang sama

panjang.

2. Partisilah daerah

tersebut.

3. Masing-masing partisi

buatlah persegi

panjang.

4. Perhatikan persegi

panjang pada interval

[xi-1 , xi].

y

a

x

0

Li

x

xi

)(xfy

)( ixf

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 2/19

Langkah menghitung luas

daerah ( lanjutan ) :

5. Tentukan luas persegi

panjang ke-i (Li)

6. Jumlahkah luas semua

persegi panjang

7. Hitung nilai limit

jumlahnya

y

a

x

0

Li

x

xi

)(xfy

)( ixf

Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x

Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x

Limit jumlah : L = lim f(xi) x ( n ∞ )

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 3/19

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x =

3 dengan menggunakan cara limit jumlah.

Contoh 1.Contoh 1.

Langkah penyelesaian:1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n

buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.

2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi

panjang pada interval [xi , xi+1]

dan hitunglah luasnya.

x0 = 0

x1 = 3/n

x2 = (3/n) × 2 = 6/n

Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n

y

0x

3

Li

3/n

21ix

2)( xxf

xi+1xix1 x2 x3

23i 1

27L i

n

nni

nix 32)1(3321iL

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah

JawabJawab

NextBack Home 4/19

4. Jumlahkan luas semua

partisi

1

0

23

127

Ln

ii

n

2223

...2127

L nn

)12)(1(6127

L3

nnnn

)2)(1(29

L 11nn

5. Tentukan

limitnya )2)(1(

29

L 11lim nnn

9)02)(01(29

L

Jadi luas daerah = 9 satuan

6)12)(1(

1

2

nnnn

kk

0x

3

Li

3/n

21ix

2)( xxf

xi+1xix1 x2 x3

y

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 5/19

Perhatikan gambar di bawah ini! Misalkan selang [a, b] dibagi

menjadi n bagian (lebar tidak

harus sama) dengan lebar selang

ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada

selang [xi-1, xi] diambil titik

sampel xk maka jumlah Riemann

dituliskan sebagai : kn

kk xxf Δ )(

1

y

ax

0 b

xi-1 xixk

xi

Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home

Selanjutnya didefinisikan

bahwa:

kn

kk

nxxfdxxf Δ )( lim )(

1

b

a

Bentukb

a )( dxxf disebut dengan integral tertentu (Integral

Riemann)6/19

=

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-

1)2]

= 16 – 8 + 2 - 2 = 8

2

1

2 dx 46 xx 2123 22 xx

Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah

Hitunglah nilai dari

2

1

2 dx 46 xx

Contoh 2.Contoh 2.

JawabJawab

NextBack Home

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,

b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,

b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus

)(F)(F )( abdxxfb

a

bax)(F

7/19

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat

diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada

interval [a, b]. y

x0 a bx

y

ax

0 b

b

adxxf )(

Jumlah Luas Partisi

Berubah Menjadi

Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

in

ii

n

b

axxfdxxfL

1)()( lim

NextBack Home 8/19

Kegiatan pokok dalam

menghitung luas daerah dengan

integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah

partisi Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi)

xi

6. Nyatakan dalam integral

x0

y)(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi

a

dxxf0

)(L

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 9/19

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,

dan garis x = 3

Contoh 3.Contoh 3.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya Li xi2

xi

4. Jumlahkan luasnya L

xi2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi

6. Nyatakan dalam integral

dan hitung nilainya

y

0x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

JawabJawab

NextBack Home 10/19

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan

A -(4xj - xj2)xj

5. Ambil limitnya L = lim (4xi -

xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj

2)xj

6. Nyatakan dalam integral

y

0x54

24)( xxxf

dxxx 4

0

2)4(L dxxx 5

4

2)4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5

Contoh Contoh 44..

JawabJawab

NextBack Home 11/19

dxxx 4

0

2)4(L

dxxx 5

4

2)4(A

y

0x54

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

33122L xx

3643

312 320)4()4(2L

54

33122A xx

33123

312 )4()4(2)5()5(2A

364

3125 3250A

18A 361

1832 daerah Luas 361

364

13 daerah Luas

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

NextBack Home 12/19

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVAPerhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)

pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara

: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,

integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua

kurva tersebut.Langkah penyelesaian:

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ]

x

4. Jumlahkan : L [ f(x) –

g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral

tertentu

y

ba

dxxgxfb

a )()(L

)(xfy

)(xgy

0x

Li

x

x

)()( xgxf

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 13/19

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan

garis y = 2 - x

Contoh 5.Contoh 5.

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 13. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x

4. Jumlahkan luasnya

L (2 - x - x2)x

5. Tentukan limit jumlah luasnyaL = lim (2 - x - x2)x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1

-2

-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

JawabJawab

NextBack Home 14/19

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1

-2

-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1

23

3

22L

xxx

3

3)2(2

2)2(3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 15/19

Untuk kasus tertentu

pemartisian secara vertikal

menyebabkan ada dua

bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama

untuk menghitungnya.

)(xfy y

a b

Lix

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

adxxgxf )()(

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 16/19

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas

daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih

sederhana dari sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

cdyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 17/19

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,

dan sumbu x

Contoh Contoh 66..

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y

– 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 23. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y

4. Jumlahkan luasnya

L (6 - y - y2)y

5. Tentukan limitnyaL = lim (6 - y - y2)y

6. Nyatakan dalam integral tertentu

Luas daerah =

2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

06

Liy

y

2)6( yy

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

JawabJawab

NextBack Home 18/19

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

06

Li yy

2)6( yy

Luas daerah = 2

03

3

26

yyy

Luas daerah = 0332

22)2(6

Luas daerah =

38112

Luas daerah = 325

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Home Back Next19/19

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu

sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar.

Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda

putar dengan integral adalah:

partisi, aproksimasi,

penjumlahan, pengambilan

limit, dan menyatakan dalam

integral tentu.

Gb. 4

Home NextBack1/17

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika

diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode

yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

NextBack Home 2/17

y

0 x

y

x

r = xx

h = x2

0x

1 21 2

y

1

2

3

4

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun

dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk

cakram.

NextBack Home 3/17

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Bentuk cakram di samping

dapat dianggap sebagai tabung

dengan jari-jari r = f(x), tinggi h

= x. Sehingga volumenya dapat

diaproksimasi sebagai V r2h

atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 xdxxfa0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

NextBack Home 4/17

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.Contoh 7.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan

nyatakan dalam

bentuk integral.

y

2x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

JawabJawab

NextBack Home 5/17

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

y

h=x

x

x

12 xr

V r2h

V (x2 + 1)2 x

V (x2 + 1)2 x

V = lim (x2 + 1)2

x dxxV

2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

NextBack Home 6/17

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh

360º.

Contoh 8.Contoh 8.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

2

yy

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

JawabJawab

NextBack Home 7/17

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

V r2h

V (y)2 y

V y y

V = lim y y

dyyV 2

0

2

02

21 yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV 2

0

2V

NextBack Home 8/17

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan memotong-

motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

NextBack Home 9/17

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Menghitung volume benda

putar dengan menggunakan

metode cincin dilakukan

dengan memanfaatkan

rumus volume cincin seperti

gambar di samping, yaitu V=

(R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

NextBack Home 10/17

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.Contoh 9.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan

nyatakan dalam

bentuk integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

JawabJawab

NextBack Home 11/17

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ] x

V (4x2 – x4) x

V (4x2 – x4) x

V = lim (4x2 – x4) x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)( 532

332 V

)( 1596160V

1564V

NextBack Home 12/17

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar

disamping.

NextBack Home 13/17

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

rr

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

NextBack Home 14/17

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar

mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.Contoh 10.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

JawabJawab

NextBack Home 15/17

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = xx

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim 2x3x

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

NextBack Home 16/17

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara

horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,

maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda

putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai

berikut.

0

x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

V (R2 – r2)y

V (4 - x2)y

V (4 – y)y

V = lim (4 –

y)y dyyV 4

04

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2x

2xy y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

Home Back Next17/17

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

1/19NextBack

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

Soal 1.Soal 1.

A

B

C

D

E

Back Next2/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Soal 1.Soal 1.

0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

NextBack3/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Soal 1.Soal 1.

dxx2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

0X

Y 2xy

2

4

x

x

4 - x2

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

NextBack4/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

Back Next5/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Benar

NextBack6/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

2-2

x

x

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Salah

NextBack7/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

Back Next8/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

L (8 – x2 -2x)

x dxxx )28(L2

0

2 ( Jawaban D )

319L

3

28

20

23318L xxx

416L 38

0X

Y

28 xy

xy 2

2

Jawaban Anda Benar

NextBack9/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

2

L (8 – x2 -2x)

x dxxx )28(L2

0

2 ( Jawaban D )

319L

3

28

20

23318L xxx

416L 38

Jawaban Anda Salah

NextBack10/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

Back Next11/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,4

29

L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21

0X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Benar

NextBack12/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,4

29

L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas 0X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Salah

NextBack13/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

Back Next14/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V

Jawaban Anda Benar

NextBack15/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

NextBack16/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

Back Next17/19

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40

221V x

8V

Jawaban Anda Benar

18/19 Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40

221V x

8V

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home Back Next19/19

Media Presentasi Pembelajaran

Penggunaan Integral

Matematika SMA/MA kelas XII IPA Semester 1 Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi

Dibuat oleh : Kastolan, S.Pd.

Terima Kasih