pd solusi eksak.doc
Post on 15-Oct-2015
21 Views
Preview:
TRANSCRIPT
BAB I
BAB IPENDAHULUAN1.1. Latar Belakang
Pada kebanyakan permasalahan yang berhubungan di antara atau antara variabel adalah lebih tepat kita nyatakan dalam bentuk laju perubahan. Laju perubahan setiap variabel itu dapat dinyatakan sebagai fungsi laju perubahan atau nilai variabel lain. Sebagai contoh, dalam fisika, persamaan yang mencakup laju perubahan dalam energi digunakan pada penurunan hukum konservasi energi; dalam ekonomi kita mengasumsikan bahwa laju yang harganya mendekati nilai kesetimbangannya tergantung pada besarnya ketidasetimbangan diantara kuantitas yang ditawarkan dan yang diminta.
Laju perubahan dapat dinyatakan dalam dua bentuk matematik, tergantung pada apakah waktu (atau, lebih umum, setiap variabel yang berkenaan dengan perubahan mana yang akan dibahas) dianggap kontinu atau diskrit. Jika perubahan tersebut dianggap terjadi secara kontinu atau sektrika, maka laju perubahan itu dinyatakan sebagai turunan (derivatif) dan persamaan yang mencakupnya adalah persamaan diferensial. Akan tetapi, jika perubahan tersebut terjadi secara diskrit atau tidak kontinu pada titik waktu tertentu atau sebagai perubahan rata-rata sepanjang periode waktu tertabtu. Maka laju perubahan itu dinyatakan sebagai diferensi dalam nilai variabel pada berbagai titik waktu dan persamaan yang tercakup dengannya adalah persamaan diferensi. Persamaan diferensi ini merupakan kasus terbatas dari persamaan diferensi sebagaimana periode waktu diantara perubahan-perubahan tersebut atau sepanjang mana perubahan rata-rata yang kita hitung adalah mendekati nol.
Persamaan diferensial, yakni, persamaan-persamaan yang mencakup turunan, akan kita bahas pada bab ini; persamaan diferensial eksak, yaitu persamaan yang meliputi perbedaan-perbedaan di antara nilai veriabel pada berbagai titik waktu atau yang bertalian dengan berbagai nilai variabel lain. Definisi dan klasifikasi dari persamaan diferensial eksak tersebut akan kita bahas dan berbagai bentuk penyelesaian persamaan diferensial eksak yang biasa akan kita uraikan dan kita ilustrasikan secara gamblang. Definisi dan klasifikasi persamaan-persamaan diferensial.Sebuah persamaan diferensial eksak adalah sebuah persamaan yang meliputi satu atau lebih turunan-turunan.
1.2. Tujuan
Dapat mengetahui dan menyelesaikan persamaan diferensial dengan solusi eksak.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. Syarat yang perlu dan cukup yaitu :
1)
Tidak eksak
2)
Seringkali persamaan akan terlihat eksak setelah mengelompokkan kembali suku-sukunya. Persamaan dalam berntuk pengelompokan kembali ini selanjutnya diintegrasikan suku demi suku.
Sebagai contoh, adalah eksak, karena
Hal ini dapat dilihat setelah pengelompokan kembali, sehingga :
. Persamaan ini dapat diintegrasikan suku demi suku untuk memperoleh primitif . Persamaan , bagaimanapun juga tidak eksak karena .
Jika 1) adalah diferensial eksak dari persamaan
maka
dan , dimana menunjukkan bahwa dalam mengintegrasikan y diperlakukan sebagai konstanta dan dapat dicari.
2.2. Faktor-faktor pengintegral. Jika 1) tidak eksak, faktor pengintegral dicari.
a) Jika fungsi x saja, maka adalah faktor pengintegral 1).
Jika , fungsi y saja, maka adalah faktor pengintegral.
b) Jika 1) homogen dan , maka adalah faktor pengintegral.
c) Jika 1) dapat ditulis dalam bentuk , di mana , maka adalah faktor pengintegral.
d) Seringkali faktor pengintegral dapat diperoleh dengan pemeriksaan, setelah mengelompokkan kembali suku-suku persamaannya, dengan mengenal kelompok suku-suku yang tertentu merupakan suatu bagian di ferensi eksak. Sebagai contoh :
Kelompok suku-sukuFaktor pengintegralDiferensial eksak
xdy-ydx
xdy-ydx
xdy-ydx
xdy-ydx
, jika n1
xdy-ydx
, jika n=1
, jika n1
xdx+ydy
, jika n1
e) Persamaan dengan r,s,m,n,p,,,v adalah konstanta-konstanta dan m,v-n0, mempunyai faktor pengintegral yang terbentuk . Metode penyelesaian yang biasanya diberikan, terdiri dari penentuan dan dengan cara menurunkan formula tertentu.2.3. Persamaan-persamaan deferensial eksak
Turunan (derivative) total sebuah fungsi x dan y, katakanlah F(x,y), diberikan dengan
dan oleh karena itu persamaan diferensial
mempunyai penyelesaian umum F(x,y)=C dan disebut sebagai persamaan diferensial eksak.Suatu persamaan diferensial dengan bentuk umum
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Adalah merupakan sebuah diferensi eksak jika M(x,y)dx + N(x,y)dy adalah turunan total dari beberapa fungsi F(x,y); M(x,y) dan N(x,y) karenanya adalah turunan persial dari F(x,y) masing-masing terhadap x dan y.Jika turunan parsial campuran orde kedua dari F(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 adalah eksak, maka,
Dapatlah ditunjukkan bahwa ini juga merupakan syarat cukup untuk keeksakan; yaitu,
adalah eksak.
Jika sebuah persamaan diferensial adalah eksak, penyelesaiannya dapatlah diperoleh dengan metode berikut ini :
1. Integralkanlah M(x,y) ke x menggantikan tetapan pengintegralan bisa denga sebuah fungsi f(y) dari y.
F(x,y) =
2. Diferensiasikanlah F(x,y) = G(x,y) + f(y) yang diperoleh dari langkah 1 ke y dan bandingkanlah dengan N(x,y) dari persamaan diferensial yang akan diselesaikan untuk mendapatkan nilai
EMBED Equation.3
3. Integritalkanlah ke y untuk mendapatkan f(y).
tidaklah perlu untuk mencakup tetapan pengintegralan biasa, karena tetapan itu dinyatakan pada langkah akhir dari penyelesaian.4. Penyelesaian, dari langkah-langkah 1 dan 3, adalah :
F(x,y) = G(x,y) + f(x) + C = 0
Jelaslah, penyelesaian itu dapat juga diperoleh dengan mengintegralkan terlebih dahulu ke y.
CONTOH
Selesaikanlah persamaan
, jadi persamaan diferensial itu adalah eksak.
integralkan ke x,
F(x,y) =
(langkah 1)
(langkah 2)
jadi
f(y) = Cdan
(langkah 4)
maka penyelesaian itu adalah
CONTOH
Selesaikanlah persamaan (x2-x + y) dx (yey 2 xy) dy = 0
jadi, persamaan itu adalah eksak
diintegralkan ke x
(langkah 1)
(langkah 2)
jadi
f(y) = -(y-1)ey
(langkah 3)dan
(langkah 4)maka penyelesaian itu adalah
2x2-3x2+6xy2-6xy2-6(y-1)ey = Ccatatan :
Alternatif lain, unsur-unsur persamaan semula dapat dipikirkan dalam dua set : x2dx x dx yey dy adalah eksak melalui permeriksaan dan dapat diintegralkan dengan metode-metode biasa : y2 dx + 2 xy dy adalah d (y2x) dan karenanya eksak dan dapat diintegralkan dengan metode di atas. Apabila ancangan ini digunakan, f(y) adalah sebuah tetapan, seperti diilustrasikan pada contoh yang berikut ini.
CONTOH
Selesaikanlah persamaan dan carilah penyelesaian khusus jika y = 1 bila x = 2.
eksak, dapat diintegralkan dengan metode-metode biasa untuk mendapatkan x2 + 3 In yjadi persamaan itu adalah eksak
integralkan terhadap x,
(langkah 1)
(langkah 2)
jadi
f(x) = C
(langkah 3)dan
F(x,y) =
(langkah 4)
Maka
dan penyelesaian adalah
x2y x-3y In y = Cy
jika y = 1 bila x = 24 2 = C
C = 2
Dan
x2y x 2y + 3y In y = 0
Merupakan penyelesaian khusus untuk x = 2, y = 1CONTOH
Perubahan dalam harga, y, dengan menggunakan perubahan dalam kualitas yang diminta, x, dari suatu komoditi tertentu diberikan dengan :
carilah hubungan diantara harga dan kualitas yang diminta jika harga adalah 7,5 dan jika kuantitas yang diminta adalah 4.
(2xy + 24x) dx + (x2 + 16) dy = 0
jadi persamaan itu adalah eksak.
Integritalkan terhadap x :
(langkah 1)
(langkah 2)
maka
(langkah 3)
f(x) = 16ydan
F(x,y) = x2y + 12x2 + 16x + C = 0
(langkah 4)Sehingga penyelesaiannya adalah
x2y + 12x2 + 16y = Cjika y = 7.5 bila x = 4120 + 192 + 120 = C
C = 432
Dan
x2y + 12x2 + 16 y 432 = 0
merupakan penyelesaian khusus untuk x = 4, y = 7,5 (lihat Gambar 5.4)
y
(0,27)
x2y + 12x2 + 16y 432 = 0 harga
(6,0) kualitas yang diminta x
BAB III
KESIMPULAN
Persamaan diferensial eksak, yaitu persamaan yang meliputi perbedaan-perbedaan di antara nilai veriabel pada berbagai titik waktu atau yang bertalian dengan berbagai nilai variabel lain. Sebuah persamaan diferensial eksak adalah sebuah persamaan yang meliputi satu atau lebih turunan-turunan. Persamaan diferensial eksak mempunyai penyelesaian umum F(x,y)=CBAB IV
DAFTAR PUSTAKA
Ayres,frank,jr.1990. Teori dan Soal-Soal Persamaan Differensial Dalam Satuan SI Metric. Jakarta : Erlangga
Weber,jean.1999. Analisis Matematika : Penerapan Bisnis dan Ekonomi. Jakarta : Erlangga
www.bukugeratis.4shared.com _1311153650.unknown
_1311156640.unknown
_1311158759.unknown
_1311160196.unknown
_1311160974.unknown
_1311161826.unknown
_1311165018.unknown
_1311165122.unknown
_1311165360.unknown
_1311164960.unknown
_1311161207.unknown
_1311161601.unknown
_1311161047.unknown
_1311160522.unknown
_1311160568.unknown
_1311160457.unknown
_1311159224.unknown
_1311159641.unknown
_1311160045.unknown
_1311159355.unknown
_1311159050.unknown
_1311159146.unknown
_1311158910.unknown
_1311157592.unknown
_1311158249.unknown
_1311158549.unknown
_1311158683.unknown
_1311158330.unknown
_1311158056.unknown
_1311158141.unknown
_1311157793.unknown
_1311157267.unknown
_1311157453.unknown
_1311157538.unknown
_1311157370.unknown
_1311157115.unknown
_1311157262.unknown
_1311156920.unknown
_1311154937.unknown
_1311155252.unknown
_1311156037.unknown
_1311156136.unknown
_1311155266.unknown
_1311155031.unknown
_1311155106.unknown
_1311154954.unknown
_1311153799.unknown
_1311154388.unknown
_1311154848.unknown
_1311154238.unknown
_1311153773.unknown
_1311151689.unknown
_1311152723.unknown
_1311153021.unknown
_1311153340.unknown
_1311153584.unknown
_1311153269.unknown
_1311152767.unknown
_1311152823.unknown
_1311152873.unknown
_1311152785.unknown
_1311152749.unknown
_1311151956.unknown
_1311152099.unknown
_1311152316.unknown
_1311152067.unknown
_1311151843.unknown
_1311151932.unknown
_1311151774.unknown
_1311149667.unknown
_1311151358.unknown
_1311151484.unknown
_1311151616.unknown
_1311151424.unknown
_1311149829.unknown
_1311149903.unknown
_1311149775.unknown
_1311149232.unknown
_1311149542.unknown
_1311149607.unknown
_1311149440.unknown
_1311149028.unknown
_1311149153.unknown
_1311148708.unknown
top related