BAB I

BAB IPENDAHULUAN1.1. Latar Belakang

Pada kebanyakan permasalahan yang berhubungan di antara atau antara variabel adalah lebih tepat kita nyatakan dalam bentuk laju perubahan. Laju perubahan setiap variabel itu dapat dinyatakan sebagai fungsi laju perubahan atau nilai variabel lain. Sebagai contoh, dalam fisika, persamaan yang mencakup laju perubahan dalam energi digunakan pada penurunan hukum konservasi energi; dalam ekonomi kita mengasumsikan bahwa laju yang harganya mendekati nilai kesetimbangannya tergantung pada besarnya ketidasetimbangan diantara kuantitas yang ditawarkan dan yang diminta.

Laju perubahan dapat dinyatakan dalam dua bentuk matematik, tergantung pada apakah waktu (atau, lebih umum, setiap variabel yang berkenaan dengan perubahan mana yang akan dibahas) dianggap kontinu atau diskrit. Jika perubahan tersebut dianggap terjadi secara kontinu atau sektrika, maka laju perubahan itu dinyatakan sebagai turunan (derivatif) dan persamaan yang mencakupnya adalah persamaan diferensial. Akan tetapi, jika perubahan tersebut terjadi secara diskrit atau tidak kontinu pada titik waktu tertentu atau sebagai perubahan rata-rata sepanjang periode waktu tertabtu. Maka laju perubahan itu dinyatakan sebagai diferensi dalam nilai variabel pada berbagai titik waktu dan persamaan yang tercakup dengannya adalah persamaan diferensi. Persamaan diferensi ini merupakan kasus terbatas dari persamaan diferensi sebagaimana periode waktu diantara perubahan-perubahan tersebut atau sepanjang mana perubahan rata-rata yang kita hitung adalah mendekati nol.

Persamaan diferensial, yakni, persamaan-persamaan yang mencakup turunan, akan kita bahas pada bab ini; persamaan diferensial eksak, yaitu persamaan yang meliputi perbedaan-perbedaan di antara nilai veriabel pada berbagai titik waktu atau yang bertalian dengan berbagai nilai variabel lain. Definisi dan klasifikasi dari persamaan diferensial eksak tersebut akan kita bahas dan berbagai bentuk penyelesaian persamaan diferensial eksak yang biasa akan kita uraikan dan kita ilustrasikan secara gamblang. Definisi dan klasifikasi persamaan-persamaan diferensial.Sebuah persamaan diferensial eksak adalah sebuah persamaan yang meliputi satu atau lebih turunan-turunan.

1.2. Tujuan

Dapat mengetahui dan menyelesaikan persamaan diferensial dengan solusi eksak.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Syarat yang perlu dan cukup yaitu :

1)

Tidak eksak

2)

Seringkali persamaan akan terlihat eksak setelah mengelompokkan kembali suku-sukunya. Persamaan dalam berntuk pengelompokan kembali ini selanjutnya diintegrasikan suku demi suku.

Sebagai contoh, adalah eksak, karena

Hal ini dapat dilihat setelah pengelompokan kembali, sehingga :

. Persamaan ini dapat diintegrasikan suku demi suku untuk memperoleh primitif . Persamaan , bagaimanapun juga tidak eksak karena .

Jika 1) adalah diferensial eksak dari persamaan

maka

dan , dimana menunjukkan bahwa dalam mengintegrasikan y diperlakukan sebagai konstanta dan dapat dicari.

2.2. Faktor-faktor pengintegral. Jika 1) tidak eksak, faktor pengintegral dicari.

a) Jika fungsi x saja, maka adalah faktor pengintegral 1).

Jika , fungsi y saja, maka adalah faktor pengintegral.

b) Jika 1) homogen dan , maka adalah faktor pengintegral.

c) Jika 1) dapat ditulis dalam bentuk , di mana , maka adalah faktor pengintegral.

d) Seringkali faktor pengintegral dapat diperoleh dengan pemeriksaan, setelah mengelompokkan kembali suku-suku persamaannya, dengan mengenal kelompok suku-suku yang tertentu merupakan suatu bagian di ferensi eksak. Sebagai contoh :

Kelompok suku-sukuFaktor pengintegralDiferensial eksak

xdy-ydx

xdy-ydx

xdy-ydx

xdy-ydx

, jika n1

xdy-ydx

, jika n=1

, jika n1

xdx+ydy

, jika n1

e) Persamaan dengan r,s,m,n,p,,,v adalah konstanta-konstanta dan m,v-n0, mempunyai faktor pengintegral yang terbentuk . Metode penyelesaian yang biasanya diberikan, terdiri dari penentuan dan dengan cara menurunkan formula tertentu.2.3. Persamaan-persamaan deferensial eksak

Turunan (derivative) total sebuah fungsi x dan y, katakanlah F(x,y), diberikan dengan

dan oleh karena itu persamaan diferensial

mempunyai penyelesaian umum F(x,y)=C dan disebut sebagai persamaan diferensial eksak.Suatu persamaan diferensial dengan bentuk umum

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Adalah merupakan sebuah diferensi eksak jika M(x,y)dx + N(x,y)dy adalah turunan total dari beberapa fungsi F(x,y); M(x,y) dan N(x,y) karenanya adalah turunan persial dari F(x,y) masing-masing terhadap x dan y.Jika turunan parsial campuran orde kedua dari F(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 adalah eksak, maka,

Dapatlah ditunjukkan bahwa ini juga merupakan syarat cukup untuk keeksakan; yaitu,

adalah eksak.

Jika sebuah persamaan diferensial adalah eksak, penyelesaiannya dapatlah diperoleh dengan metode berikut ini :

1. Integralkanlah M(x,y) ke x menggantikan tetapan pengintegralan bisa denga sebuah fungsi f(y) dari y.

F(x,y) =

2. Diferensiasikanlah F(x,y) = G(x,y) + f(y) yang diperoleh dari langkah 1 ke y dan bandingkanlah dengan N(x,y) dari persamaan diferensial yang akan diselesaikan untuk mendapatkan nilai

EMBED Equation.3

3. Integritalkanlah ke y untuk mendapatkan f(y).

tidaklah perlu untuk mencakup tetapan pengintegralan biasa, karena tetapan itu dinyatakan pada langkah akhir dari penyelesaian.4. Penyelesaian, dari langkah-langkah 1 dan 3, adalah :

F(x,y) = G(x,y) + f(x) + C = 0

Jelaslah, penyelesaian itu dapat juga diperoleh dengan mengintegralkan terlebih dahulu ke y.

CONTOH

Selesaikanlah persamaan

, jadi persamaan diferensial itu adalah eksak.

integralkan ke x,

F(x,y) =

(langkah 1)

(langkah 2)

jadi

f(y) = Cdan

(langkah 4)

maka penyelesaian itu adalah

CONTOH

Selesaikanlah persamaan (x2-x + y) dx (yey 2 xy) dy = 0

jadi, persamaan itu adalah eksak

diintegralkan ke x

(langkah 1)

(langkah 2)

jadi

f(y) = -(y-1)ey

(langkah 3)dan

(langkah 4)maka penyelesaian itu adalah

2x2-3x2+6xy2-6xy2-6(y-1)ey = Ccatatan :

Alternatif lain, unsur-unsur persamaan semula dapat dipikirkan dalam dua set : x2dx x dx yey dy adalah eksak melalui permeriksaan dan dapat diintegralkan dengan metode-metode biasa : y2 dx + 2 xy dy adalah d (y2x) dan karenanya eksak dan dapat diintegralkan dengan metode di atas. Apabila ancangan ini digunakan, f(y) adalah sebuah tetapan, seperti diilustrasikan pada contoh yang berikut ini.

CONTOH

Selesaikanlah persamaan dan carilah penyelesaian khusus jika y = 1 bila x = 2.

eksak, dapat diintegralkan dengan metode-metode biasa untuk mendapatkan x2 + 3 In yjadi persamaan itu adalah eksak

integralkan terhadap x,

(langkah 1)

(langkah 2)

jadi

f(x) = C

(langkah 3)dan

F(x,y) =

(langkah 4)

Maka

dan penyelesaian adalah

x2y x-3y In y = Cy

jika y = 1 bila x = 24 2 = C

C = 2

Dan

x2y x 2y + 3y In y = 0

Merupakan penyelesaian khusus untuk x = 2, y = 1CONTOH

Perubahan dalam harga, y, dengan menggunakan perubahan dalam kualitas yang diminta, x, dari suatu komoditi tertentu diberikan dengan :

carilah hubungan diantara harga dan kualitas yang diminta jika harga adalah 7,5 dan jika kuantitas yang diminta adalah 4.

(2xy + 24x) dx + (x2 + 16) dy = 0

jadi persamaan itu adalah eksak.

Integritalkan terhadap x :

(langkah 1)

(langkah 2)

maka

(langkah 3)

f(x) = 16ydan

F(x,y) = x2y + 12x2 + 16x + C = 0

(langkah 4)Sehingga penyelesaiannya adalah

x2y + 12x2 + 16y = Cjika y = 7.5 bila x = 4120 + 192 + 120 = C

C = 432

Dan

x2y + 12x2 + 16 y 432 = 0

merupakan penyelesaian khusus untuk x = 4, y = 7,5 (lihat Gambar 5.4)

y

(0,27)

x2y + 12x2 + 16y 432 = 0 harga

(6,0) kualitas yang diminta x

BAB III

KESIMPULAN

Persamaan diferensial eksak, yaitu persamaan yang meliputi perbedaan-perbedaan di antara nilai veriabel pada berbagai titik waktu atau yang bertalian dengan berbagai nilai variabel lain. Sebuah persamaan diferensial eksak adalah sebuah persamaan yang meliputi satu atau lebih turunan-turunan. Persamaan diferensial eksak mempunyai penyelesaian umum F(x,y)=CBAB IV

DAFTAR PUSTAKA

Ayres,frank,jr.1990. Teori dan Soal-Soal Persamaan Differensial Dalam Satuan SI Metric. Jakarta : Erlangga

Weber,jean.1999. Analisis Matematika : Penerapan Bisnis dan Ekonomi. Jakarta : Erlangga

www.bukugeratis.4shared.com _1311153650.unknown

_1311156640.unknown

_1311158759.unknown

_1311160196.unknown

_1311160974.unknown

_1311161826.unknown

_1311165018.unknown

_1311165122.unknown

_1311165360.unknown

_1311164960.unknown

_1311161207.unknown

_1311161601.unknown

_1311161047.unknown

_1311160522.unknown

_1311160568.unknown

_1311160457.unknown

_1311159224.unknown

_1311159641.unknown

_1311160045.unknown

_1311159355.unknown

_1311159050.unknown

_1311159146.unknown

_1311158910.unknown

_1311157592.unknown

_1311158249.unknown

_1311158549.unknown

_1311158683.unknown

_1311158330.unknown

_1311158056.unknown

_1311158141.unknown

_1311157793.unknown

_1311157267.unknown

_1311157453.unknown

_1311157538.unknown

_1311157370.unknown

_1311157115.unknown

_1311157262.unknown

_1311156920.unknown

_1311154937.unknown

_1311155252.unknown

_1311156037.unknown

_1311156136.unknown

_1311155266.unknown

_1311155031.unknown

_1311155106.unknown

_1311154954.unknown

_1311153799.unknown

_1311154388.unknown

_1311154848.unknown

_1311154238.unknown

_1311153773.unknown

_1311151689.unknown

_1311152723.unknown

_1311153021.unknown

_1311153340.unknown

_1311153584.unknown

_1311153269.unknown

_1311152767.unknown

_1311152823.unknown

_1311152873.unknown

_1311152785.unknown

_1311152749.unknown

_1311151956.unknown

_1311152099.unknown

_1311152316.unknown

_1311152067.unknown

_1311151843.unknown

_1311151932.unknown

_1311151774.unknown

_1311149667.unknown

_1311151358.unknown

_1311151484.unknown

_1311151616.unknown

_1311151424.unknown

_1311149829.unknown

_1311149903.unknown

_1311149775.unknown

_1311149232.unknown

_1311149542.unknown

_1311149607.unknown

_1311149440.unknown

_1311149028.unknown

_1311149153.unknown

_1311148708.unknown