open course

Open Course

Selamat Belajar

Analisis Rangkaian ListrikDi Kawasan Fasor - Course #5

Oleh : Sudaryatno Sudirham

Fasor dan Impedansi

Kaidah Rangkaian dan Diagram Fasor

Teorema Rangkaian dan Metoda Analisis

Isi Kuliah #5

Tujuan : Memahami dan mampu menyatakan sinyal

sinus ke dalam bentuk fasor

Mampu melakukan operasi-operasi fasor

Memahami konsep impedansi di kawasan fasor

Mampu melakukan perhitungan rangkaian impedansi

Mengapa Fasor

?

Di kawasan waktu, bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagai

)cos( tAySudut fasa

Frekuensi sudutAmplitudo

Analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral, karena hubungan arus-

tegangan elemen-elemen adalah

dt

diLv L

L dt

dvCi C

C dtiC

v CC1

Mengapa Fasor ?Mengapa Fasor ?

Mengapa Fasor ?Mengapa Fasor ?

Sementara itu bentuk gelombang sinus sangat luas di gunakan.

Energi listrik, dengan daya ribuan mega watt, disalurkan menggunakan bentuk gelombang sinus.

Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika

operasi-operasi diferensial dapat dihindarkan.

Siaran radio juga dipancarkan dengan menggunakan bentuk gelombang sinus.

Dalam matematika ada sebuah fungsi yang turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu

sendiri, yaitu

fungsi eksponensial

Mengapa Fasor ?Mengapa Fasor ?

Jika sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial, maka operasi diferensial

dan integral akan terhindarkan

xx

edx

de x

x

Aedx

dAe

Keinginan itu ternyata bisa dipenuhi karenaada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu

identitas Euler

xjxe jx sincos

Ini adalah fungsi eksponensial kompleks

Berikut ini kita akan melihat ulang bilangan

kompleks

Mengapa Fasor ?Mengapa Fasor ?

Bagian nyata pernyataan kompleks ini yang digunakan

untuk menyatakan sinyal sinus

Bilangan Kompleks

Pengertian Tentang Bilangan Kompleks

012 s

Tinjau Persamaan:

js 1

Akar persamaan adalah:

Bilangan tidak nyata (imajiner)

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

00.5

11.5

22.5

33.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

x

Tak ada nilai untuk negatifx x

Bilangan kompleks s didefinisikan sebagai:

jbas dengan a dan b

bagian nyata dari s Re(s) = a

bagian imajiner dari s Im(s) = b

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

Re(sumbu nyata)

Im(sumbu imajiner)

a

s = a + jbjb

Representasi Grafis Bilangan Kompleks

|S|cosθ = Re (S)

|S| sinθ = Im (S)

θ = tan1(b/a)

22 baS

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

bagian nyata dari S

bagian imaginer dari S

Bilangan kompleks dinyatakan dengan menggunakan vektor

S = |S|cosθ + j|S|sinθ

a Re

Im

S = a + jbjb

(sumbu nyata)

(sumbu imajiner)

Re

Im

S = a + jb

| S

|jb

a

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Re

Im

4

3

2

1

-1

-2

-3

3 + j4 = 5cos + j5sin

5

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

Contoh:

Operasi-Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Penjumlahan dan Pengurangan

jbas 1

)()(21 qbjpass

Perkalian

))(())(( 21 jqpjbass

Pembagian

jqp

jba

s

s

2

1

jqps 2

jbas 1

jqps 2

)()(21 qbjpass

)()( bpaqjbqap

22

)()(

qp

aqbpjbqap

jqp

jqp

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

+ --

43dan 32 21 jsjs

25

1

25

18

43

)98()126(

43

43

43

32

22

2

1

jj

j

j

j

j

s

s

75)43()32(21 jjjss

11)43()32(21 jjjss

176)98()126(

)43)(32())(( 21

jj

jjss

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

Contoh:diketahui:

maka:

Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar

)sin(cos)( jeeee jj

Fungsi eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagai

dengan e adalah fungsi eksponensial riil

jbaS

)sin(cos22 jbaS

jebaS 22

Dengan identitas Euler ini bilangan komleks yang dituliskan sebagai:

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

sincos je jdan Ini identitas Euler

Penulisan bilangan kompleks di atas adalah penulisan dalam bentuk sudut siku yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:

dapat dituliskan sebagai:

|S| = 10 sudut fasa: θ = 0,5 rad S = 10 e j0,5 Bentuk Polar

8,48,8)48,088,0( 10

)5,0sin5,0(cos 10

jj

jS

Bentuk Sudut Siku

rad 93,03

4tan 1

S = 3 + j4 543 || 22 SBentuk Sudut Siku

S = 5e j 0,93Bentuk Polar

543 || 22 S rad 93,03

4tan 1 SS = 3 j4 Bentuk Sudut Siku

S = 5e j 0,93Bentuk Polar

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

Contoh:

Kompleks Konjugat

* atau ||* 2 SS|S|SSS

**2121 SSSS * *

**

1

1

2

1

S

S

S

S

**2121 SSSS *

Bilangan KompleksBilangan Kompleks

Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut:

dan

S = a + jb

S* = a jb

Re

Im

Re

Im

Bilangan kompleks S mempunyai konjugat S*

Konjugat dari S = a + jb adalah S* = a - jb

S* = p + jq

S = p jq

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Fasor

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

hanya amplitudo A dan sudut fasa θ yang diperhatikan karena diketahui sama untuk seluruh sistem

Sinyal Sinus di kawasan waktu : )cos( tAv

Mengingat relasi Euler, fungsi ini bisa dipandang sebagai bagian riil dari suatu bilangan kompleks

A e j(t+) = A {cos(t + θ) + j sin(t + θ)} = V

v = Re(V) = Re ( A e j t e j θ )sehingga dapat ditulis dalam bentuk:

Jika seluruh sistem (rangkaian) mempunyai bernilai sama maka ejt bernilai tetap sehingga

tak perlu selalu dituliskan

V = A e j θ dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks :

dan sinyal sinus )cos( tAv

Re dan e j

tidak ditulis lagi

Inilah yang disebut Fasor

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Penulisan dan Penggambaran Fasor

A

Ae j

V

V

dituliskan

sincos jAAAV

a

bbajba 122 tanV

Karena hanya amplitudo dan sudut fasa saja yang diperhatikan maka

V

|A|

Im

Rea

jb

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Contoh: penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor

07,707,7)45sin(10)45cos(10

atau 4510oo

1

o1

jj

V

V )45500cos(10)( o1 ttv

)30500cos(15)( o2 ttv

5,799,12)30sin(15)30cos(15

atau 3015oo

2

o2

jj

V

V

menjadi:

menjadi:

Pada frekuensi = 500

1000cos4)( 1 tti

4)0sin(4)0cos(4

atau 04oo

1

o1

jI

I

)901000cos(3)( o2 tti

3)90sin(3)90cos(3

atau 903oo

2

o2

jj

I

I

menjadi:

menjadi:Pada frekuensi = 1000

Fasor Negatif dan Fasor Konjugat

A|A|

Im

Re A|A|

A*

a

jb

a

jb

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Jika AA

A*A

180

180 o

o

A

AA

maka negatif dari A adalah

dan konjugat dari A adalah

jba A

jba *A

jba AJika

• Perkalian )( 21 ABBA

)( 212

1

B

A

B

A

B

A• Pembagian

Operasi-Operasi Fasor

2121

2121

sinsincoscos

sinsincoscos

BAjBA

BAjBA

BA

BA

• Penjumlahan dan Pengurangan

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

2BB1AAJika diketahui :

maka :

343004213 jjj III

o1223 9,216 5

4

3tan)3()4(

I

ooo*111 4540 )04()4510( IVS

ooo*222 12045)903()3015( IVS

oo

o

2

22 1205

903

3015

I

VZ

oo

o

1

11 455.2

04

4510

I

VZ

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Contoho

1 4510 V

o2 3015V

o1 04I

o2 903 I

Diketahui:

maka :

Re

I3

-4

-3

Im

216,9o

5

Impedansi

ImpedansiImpedansi

Impedansi di kawasan fasor

Impedansi suatu elemen rangkaian di kawasan fasor adalah perbandingan antara

fasor tegangan dan fasor arus elemen tersebut

x

xxZ

I

V

impedansi

fasor tegangan

fasor arus

Catatan: Ada pengertian impedansi di kawasan s

yang akan kita pelajari kemudian

• Resistor

jtjRm

tjRm

RmR

eei

ei

titi

)cos()()(

+ vR

iR

jtj

Rm

RR

eeRi

tRitv

)()(

RR II

RR RIV

R

RRI

V

Kawasan fasor

Kawasan waktu

Impedansi

ImpedansiImpedansi

resistansi resistor di kawasan waktubernilai sama dengan

impedansinya di kawasan fasor

R

R

i

vR

• Induktor

ImpedansiImpedansi

iL

+ vL

jtjLm

tjLm

LmL

eei

ei

titi

)cos()()(

)(

)()(

jtjm

LL

eeiLj

dt

tdiLtv

LL II

LL Lj IV

LjZL

LL

I

V

Kawasan fasor

Impedansi

dt

diLv L

L

Kawasan waktu

hubungan diferensial hubungan linier

• Kapasitor

iC

+ vC `

)(

)(

)(

tjCm

CC

evCj

dt

dvCti

)(

)cos()(

tj

Cm

CmC

ev

tvtv Kawasan fasor

Impedansi

CC Cj VI

CC VV

Cj

CjZ

C

CC

1

1

I

V

ImpedansiImpedansi

dt

dvCi C

C

Kawasan waktu

hubungan diferensial hubungan linier

ImpedansiImpedansi

• Impedansi dan Admitansi

R

RRI

V LjZ

L

LL

I

V

Cj

CjZ

C

CC

1

1

I

V

Impedansi: Z

Admitansi: Y = 1 / Z

RYR

1

L

j

LjZY

LL

11

CjZ

YC

C 1

IV Z

Perhatikan: relasi ini adalah relasi linier.

Di kawasan fasor kita terhindar dari perhitungan diferensial.

VI Y

• Impedansi Secara Umum

)()( jXRZ

11

)/1(

)/1(2

2

2//RC

CRLj

RC

R

CjR

CjRLjZ CRL

• Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang berbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlah fasor. Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari dua konsep yang berbeda.– Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus – Impedansi adalah pernyataan elemen.

ImpedansiImpedansi

Memahami kaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasor

Mampu mengaplikasikan kaidah-kaidah rangkaian

Mampu menggambarkan diagram fasor

Tujuan:

Kaidah-Kaidah Rangkaian Impedansi

LjRZ seriRL

IV LjRseriRL

R

+ VR

I

+ VL

jL

C

jRZ seriRC

IV 1

Cj

RseriRC+ VC

Rj/C

+ VR

I

• Hubungan Seri

Kaidah-Kaidah Rangkaian Kaidah-Kaidah Rangkaian ImpedansiImpedansi

IV

C

jLjseriLC

CLjZ seriLC

1

j/CjL

+ VL + VC

I

• Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi Tegangan

Kaidah Pembagi Tegangan

nseritotal

seritotalseritotal

ZZZZ

Z

21

IV

totalseritotal

kk Z

ZVV

Kaidah-Kaidah Rangkaian Kaidah-Kaidah Rangkaian ImpedansiImpedansi

• Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi Arus

VV

I kk

k YZ

VVII total

n

kk

n

kktotal YY

11

n

n

kktotal ZZZ

YY111

211

totaltotal

kkk Y

YY IVI

I3

R

Itotal

jL

j/C

I1I2

Kaidah-Kaidah Rangkaian Kaidah-Kaidah Rangkaian ImpedansiImpedansi

Kaidah Pembagi Arus

Diagram Fasor

• Arus Dan Tegangan Pada Induktor

IL

VL

Re

Im Arus 90o di belakang

tegangan

L = 0,5 H , iL(t) = 0,4cos(1000t) A

5005,01000 jjZ L

V 9020004,090500

04,0)500(ooo

o

jZ LLL IV

Arus dijadikan referensi (sudut

fasa = 0)

Di kawasan waktu:

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0,002 0,004 0,006 0,008

100 iL(t)

vL(t)VA

detik

Diagram FasorDiagram Fasor

• Arus Dan Tegangan Pada Kapasitor

C = 50 pF , iC(t) = 0,5cos(106 t) mA

V 9010

)0105,0()901020(

k 20)1050(10

1

o

o3o3

126

CCC

C

Z

jj

CjZ

IV

IC

VC

Re

Im

arus 90o mendahului

tegangan

Arus dijadikan referensi (sudut

fasa = 0)

detik

Di kawasan waktu:

-10

-5

0

5

10

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

10 iC(t)V

mA

vC(t)

Diagram FasorDiagram Fasor

• Beban Kapasitif

A 405dan V 10120 oo IV

128,20)30sin(24)30cos(24

3024405

10120 oo

o

jj

Z B I

V

Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t +10o) V i(t) = 5cos(314t + 40o) A

IV

Re

Im arus mendahului

tegangan

Diagram FasorDiagram Fasor

• Beban Induktif

Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t + 20o) V i(t) = 5cos(314t 40o) A

8,2012

)60sin(24)60cos(24

6024405

20120

oo

oo

o

j

j

Z B I

V

I

V

Re

Im

arus tertinggal dari

tegangan

A 405 dan V 20120 oo IV

Diagram FasorDiagram Fasor

• Beban : RLC seri , mencari solusi di kawasan waktu

87,36125

100

75tan)75()100(

7510025 100100

o

122

jjjZ totA 36,872

87,36125

0250 oo

o

tot

s

Z

VI

Diagram FasorDiagram Fasor

i(t) = 2 cos(500t + 36,87o) A

Kembali ke kawasan waktu

251050500

1001020500

100 V; 0250

3

6

o

jjZ

jj

Z

Z

L

C

RsV

100 j100 j25

Vs=2500oV

+

Transformasi rangkaian ke kawasan fasor

100+

20F50mHvs(t) =

250 cos500t V

i = ?

87,36125

100

75tan)75()100(

7510025 100100

o

122

jjjZ tot

A 36,87287,36125

0250 oo

o

tot

s

Z

VI

100 j100 j25

Vs=2500oV

+

Diagram FasorDiagram Fasor

I

V Re

Im

100+

20F50mHvs(t) =

250 cos500t V

Transformasi rangkaian ke kawasan fasor

Beban RLC seri ini bersifat kapasitif |ZC| > |ZL| arus mendahului tegangan

25 ; 100

100 ;0250 o

jZjZ

Z

LC

RsV

• Beban : RLC seri , analisis di kawasan fasor

100 j100 j25

Vs=2500oV

+

VL = jXL I

VR = RI

Vs

Re

Im

VC = jXC II

Diagram FasorDiagram Fasor

V 26,87105025087,36125

9025

V ,1335200025087,36125

90100

V 36,87200025087,36125

100

ooo

o

ooo

o

ooo

L

C

R

V

V

V

A 36,87287,36125

0250 oo

o

tot

s

Z

VI

87,3612575100 o jZtot

Fasor Tegangan Tiap Elemen

Fasor tegangan rangkaian mengikuti hukum Kirchhoff

LCRs VVVV

• Beban : RLC seri, induktif

V 0250

100

25

100

o

s

L

C

R

jZ

jZ

Z

V

87,36125

100

75tan)75()100(

75100100 25100

o

122

jjjZtot

A 36,87287,36125

0250 oo

o

tot

s

Z

VI

100 j25 j100

Vs=2500oV

+

IV Re

Im

Diagram FasorDiagram Fasor

Pada beban kapasitif |ZL| > |ZC|arus tertinggal dari tegangan

• Beban : RLC paralel

Diagram FasorDiagram Fasor

.0250

01.0

04.0

01.0

o

s

L

C

R

jY

jY

Y

V

03.001.0

01.004.001.0

j

jjYtot

100

j25

j100Vs=

2500oV

+

I

o122 6.719.75.2

5.7tan5.72.5

5.75.2)03.001.0(250

jjYVI

I

V Re

Im

Tujuan:

• Memahami teorema-teorema rangkaian di kawasan fasor• Memahami metoda analisis rangkaian di kawasan fasor • Mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan fasor pada

sistem satu fasa

Teorema Rangkaian

• Prinsip Proporsionalitas

XY KY = fasor keluaran, X = fasor masukan, dan K = konstanta

proporsionalitas yang pada umumnya merupakan bilangan kompleks

• Prinsip Superposisi * selalu berlaku di kawasan waktu

* berlaku di kawasan fasor bila frekuensi sama

Teorema RangkaianTeorema Rangkaian

• Teorema Thévenin dan Norton

TNTNNNTT Z

YYZ1

; ; VIIV

RT

A

B

vT+ VT

ZT

A

B

+

Kawasan waktu Kawasan fasor

Teorema RangkaianTeorema Rangkaian

• Contoh Prinsip Superposisi

20cos4t V +_ 83cos4t Aio

3H

200o +_

8 j6

Io1 j12 8

30o j6

Io2 j12

A 9,3629,3610

020

68

020

6128

020

oo

o

oo

o1

jjjI

A 4,1932,4039,3610

3,564,14

0368

12803

)128/(1)6/(1

)6/(1

ooo

o

ooo2

j

j

jj

jI

24,07,544,11,42,16,1o21oo jjj III

oo 4,27,5 I )4,24cos(7,5)( o

o tti

Teorema RangkaianTeorema Rangkaian

V 3,399,19

45207,5995,0

452010010

100

V 9010901,0100

o

o

o

oo

j

jB

A

V

V

V 6,226,156,124,1510

3.399,199010 oo

jjjBAT

VVV

99,09,10910010

)100(10100 j

j

jZT

+j100

10

1000,190o A

2045o V

`

A B

Contoh Rangkaian Ekivalen Thévenin

+VT

ZT

A B

Teorema RangkaianTeorema Rangkaian

Metoda Analisis

• Metoda Keluaran Satu Satuan

j9 j3

+

140 V

12 A B C

D

9 3

Ix

j3 I1 I2

I3 I4

+ vx +

14cos2tV

12 A B C

D

9 3

ix

3/2 H

1/6 F1/18 F

ti

K

x

xx

2cos5,0

05,028

014

28

1

28

1 oo

AA

VIV

I

A )01(Misalkan jx I

V 2891213

4

jjBA VV

V 3jC VV 1

3 jC

VI4

A 11 jx 43 III

V 311333 jjjjCB 3IVV

A 3

1

92 BVI A 1

3

4 321

jIII

Metoda Analisis DasarMetoda Analisis Dasar

• Metoda Superposisi

A )8,732cos(3)9,364cos(2 sehingga

A )8,732cos(3dan A )9,364cos(2oo

o2o1o

o2o

o1o

ttiii

titi

Karena sumber berbeda frekuensi maka fasor Io1 dan Io2 tidak dapat langsung dijumlahkan. Kembali ke kawasan waktu, baru kemudian

dijumlahkan

20cos4t V +_ 93cos2t Aio

3H

200o+_

9 j6

Io1 j12 9

30o j12

Io2 j6

A 9,3629,3610

020

68

020

6128

020

oo

o

oo

o1

jjjI

A 8,733039,3610

9,3610

0368

6803

)68/(1)12/(1

)12/(1

ooo

o

ooo2

j

j

jj

jI

Metoda Analisis DasarMetoda Analisis Dasar

• Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin

+

18cos2t V

i

62 2

1H

A

B

2H

1/8 F

V 12

9 018

462

2 o

jjhtT

VV

A 2cos1

A 01

)12(2)47(

)12(

)12(

9

42o

ti

jjj

j

jjjZT

T

V

I

+

180o V

6

2

A

B

j4

j2 j4

I

2

+

180o V

6 2

A

B

j4

2

12

47

48

812816

462

4622

j

j

j

jj

j

jZT

+

VT

IA

B

j4

ZT j2

Metoda Analisis DasarMetoda Analisis Dasar

• Metoda Reduksi Rangkaian

i1 =0.1cos100t A

v =10sin100t V

200F 1H

50

ix?A B

A B

I1 =0.10o A

V=1090oV

j50 j100

50

Ix

Sumber tegangan dan sumber arus berfrekuensi sama, = 100. Tetapi sumber tegangan dinyatakan dalam sinus, sumber arus dalam cosinus.

Ubah kedalam bentuk standar, yaitu bentuk cosinus melalui kesamaan

sinx = cos(x90)

sumber tegangan tersambung seri dengan resistor 50 paralel

dengan induktor j100

Simpul B hilang. Arus Iy yang sekarang mengalir melalui resistor

50, bukanlah arus Ix yang dicari; Iy kali 50 adalah tegangan simpul A, bukan tegangan simpul B tempat Ix

keluar

IyA

I2

j50 j100

50

I1 =0.10o A

Iy

j50 j100

50I1 I2

Metoda Analisis DasarMetoda Analisis Dasar

• Metoda Tegangan Simpul

30

10

120

122 : Gauss eliminasi

10

10

11

122

B

A

B

A

V

V

V

V

j

jj

j

jj

I1 =0,10o A

V=1090oV

j50 j100

50

Ix=?A B

VVV

VVVI

BA

BBA1

: B

05010050

:A jj

o

o

B

A

9010

01,0

1150

1

100

1

50

1

V

Vjj

V 4,186,1215,0

1010

15,0

151010

6,26 0,268 V; 6,264,136125

)12(30

12

30

oBA

ooB

j

j

j

jjj

jj

j x

VV

IV

Metoda Analisis Metoda Analisis UmumUmum

• Metoda Arus Mesh

I =0,10o A

V=1090oV

j50 50

A B

I1 I2I3

0

10

1.0

100501000

1001005050

001

3

2

1

j

jj

jjjj

I

I

I

0

1

1.0

2120

1055

001

3

2

1

j

jj

jjj

I

I

I

3

5.1

1.0

10500

1050

001

3

2

1

j

j

j

jj

I

I

I

A 2,533,0

5

105,1

A 6,2627,0

105

3

A 01,0

o

32

o

3

01

j

jj

j

j

II

I

I

Metoda Analisis Metoda Analisis UmumUmum

Courseware

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Fasor

Course #5

Sudaryatno Sudirham