open course
DESCRIPTION
Open Course. Selamat Belajar. Analisis Rangkaian Lis trik Di Kawasan Fasor - Course #5 Oleh : Sudaryatno Sudirham. Isi Kuliah #5. Fasor dan Impedansi Kaidah Rangkaian dan Diagram Fasor Teorema Rangkaian dan Metoda Analisis. BAB 1. Fasor dan Impedansi. Tujuan : - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Open Course
Selamat Belajar
Analisis Rangkaian ListrikDi Kawasan Fasor - Course #5
Oleh : Sudaryatno Sudirham
Fasor dan Impedansi
Kaidah Rangkaian dan Diagram Fasor
Teorema Rangkaian dan Metoda Analisis
Isi Kuliah #5
Tujuan : Memahami dan mampu menyatakan sinyal
sinus ke dalam bentuk fasor
Mampu melakukan operasi-operasi fasor
Memahami konsep impedansi di kawasan fasor
Mampu melakukan perhitungan rangkaian impedansi
Mengapa Fasor
?
Di kawasan waktu, bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagai
)cos( tAySudut fasa
Frekuensi sudutAmplitudo
Analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral, karena hubungan arus-
tegangan elemen-elemen adalah
dt
diLv L
L dt
dvCi C
C dtiC
v CC1
Mengapa Fasor ?Mengapa Fasor ?
Mengapa Fasor ?Mengapa Fasor ?
Sementara itu bentuk gelombang sinus sangat luas di gunakan.
Energi listrik, dengan daya ribuan mega watt, disalurkan menggunakan bentuk gelombang sinus.
Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika
operasi-operasi diferensial dapat dihindarkan.
Siaran radio juga dipancarkan dengan menggunakan bentuk gelombang sinus.
Dalam matematika ada sebuah fungsi yang turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu
sendiri, yaitu
fungsi eksponensial
Mengapa Fasor ?Mengapa Fasor ?
Jika sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial, maka operasi diferensial
dan integral akan terhindarkan
xx
edx
de x
x
Aedx
dAe
Keinginan itu ternyata bisa dipenuhi karenaada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu
identitas Euler
xjxe jx sincos
Ini adalah fungsi eksponensial kompleks
Berikut ini kita akan melihat ulang bilangan
kompleks
Mengapa Fasor ?Mengapa Fasor ?
Bagian nyata pernyataan kompleks ini yang digunakan
untuk menyatakan sinyal sinus
Bilangan Kompleks
Pengertian Tentang Bilangan Kompleks
012 s
Tinjau Persamaan:
js 1
Akar persamaan adalah:
Bilangan tidak nyata (imajiner)
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
00.5
11.5
22.5
33.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
x
Tak ada nilai untuk negatifx x
Bilangan kompleks s didefinisikan sebagai:
jbas dengan a dan b
bagian nyata dari s Re(s) = a
bagian imajiner dari s Im(s) = b
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
Re(sumbu nyata)
Im(sumbu imajiner)
a
s = a + jbjb
Representasi Grafis Bilangan Kompleks
|S|cosθ = Re (S)
|S| sinθ = Im (S)
θ = tan1(b/a)
22 baS
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
bagian nyata dari S
bagian imaginer dari S
Bilangan kompleks dinyatakan dengan menggunakan vektor
S = |S|cosθ + j|S|sinθ
a Re
Im
S = a + jbjb
(sumbu nyata)
(sumbu imajiner)
Re
Im
S = a + jb
| S
|jb
a
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Re
Im
4
3
2
1
-1
-2
-3
3 + j4 = 5cos + j5sin
5
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
Contoh:
Operasi-Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Penjumlahan dan Pengurangan
jbas 1
)()(21 qbjpass
Perkalian
))(())(( 21 jqpjbass
Pembagian
jqp
jba
s
s
2
1
jqps 2
jbas 1
jqps 2
)()(21 qbjpass
)()( bpaqjbqap
22
)()(
qp
aqbpjbqap
jqp
jqp
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
+ --
43dan 32 21 jsjs
25
1
25
18
43
)98()126(
43
43
43
32
22
2
1
jj
j
j
j
j
s
s
75)43()32(21 jjjss
11)43()32(21 jjjss
176)98()126(
)43)(32())(( 21
jj
jjss
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
Contoh:diketahui:
maka:
Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar
)sin(cos)( jeeee jj
Fungsi eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagai
dengan e adalah fungsi eksponensial riil
jbaS
)sin(cos22 jbaS
jebaS 22
Dengan identitas Euler ini bilangan komleks yang dituliskan sebagai:
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
sincos je jdan Ini identitas Euler
Penulisan bilangan kompleks di atas adalah penulisan dalam bentuk sudut siku yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:
dapat dituliskan sebagai:
|S| = 10 sudut fasa: θ = 0,5 rad S = 10 e j0,5 Bentuk Polar
8,48,8)48,088,0( 10
)5,0sin5,0(cos 10
jj
jS
Bentuk Sudut Siku
rad 93,03
4tan 1
S = 3 + j4 543 || 22 SBentuk Sudut Siku
S = 5e j 0,93Bentuk Polar
543 || 22 S rad 93,03
4tan 1 SS = 3 j4 Bentuk Sudut Siku
S = 5e j 0,93Bentuk Polar
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
Contoh:
Kompleks Konjugat
* atau ||* 2 SS|S|SSS
**2121 SSSS * *
**
1
1
2
1
S
S
S
S
**2121 SSSS *
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut:
dan
S = a + jb
S* = a jb
Re
Im
Re
Im
Bilangan kompleks S mempunyai konjugat S*
Konjugat dari S = a + jb adalah S* = a - jb
S* = p + jq
S = p jq
Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor
Fasor
Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor
hanya amplitudo A dan sudut fasa θ yang diperhatikan karena diketahui sama untuk seluruh sistem
Sinyal Sinus di kawasan waktu : )cos( tAv
Mengingat relasi Euler, fungsi ini bisa dipandang sebagai bagian riil dari suatu bilangan kompleks
A e j(t+) = A {cos(t + θ) + j sin(t + θ)} = V
v = Re(V) = Re ( A e j t e j θ )sehingga dapat ditulis dalam bentuk:
Jika seluruh sistem (rangkaian) mempunyai bernilai sama maka ejt bernilai tetap sehingga
tak perlu selalu dituliskan
V = A e j θ dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks :
dan sinyal sinus )cos( tAv
Re dan e j
tidak ditulis lagi
Inilah yang disebut Fasor
Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor
Penulisan dan Penggambaran Fasor
A
Ae j
V
V
dituliskan
sincos jAAAV
a
bbajba 122 tanV
Karena hanya amplitudo dan sudut fasa saja yang diperhatikan maka
V
|A|
Im
Rea
jb
Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor
Contoh: penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor
07,707,7)45sin(10)45cos(10
atau 4510oo
1
o1
jj
V
V )45500cos(10)( o1 ttv
)30500cos(15)( o2 ttv
5,799,12)30sin(15)30cos(15
atau 3015oo
2
o2
jj
V
V
menjadi:
menjadi:
Pada frekuensi = 500
1000cos4)( 1 tti
4)0sin(4)0cos(4
atau 04oo
1
o1
jI
I
)901000cos(3)( o2 tti
3)90sin(3)90cos(3
atau 903oo
2
o2
jj
I
I
menjadi:
menjadi:Pada frekuensi = 1000
Fasor Negatif dan Fasor Konjugat
A|A|
Im
Re A|A|
A*
a
jb
a
jb
Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor
Jika AA
A*A
180
180 o
o
A
AA
maka negatif dari A adalah
dan konjugat dari A adalah
jba A
jba *A
jba AJika
• Perkalian )( 21 ABBA
)( 212
1
B
A
B
A
B
A• Pembagian
Operasi-Operasi Fasor
2121
2121
sinsincoscos
sinsincoscos
BAjBA
BAjBA
BA
BA
• Penjumlahan dan Pengurangan
Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor
2BB1AAJika diketahui :
maka :
343004213 jjj III
o1223 9,216 5
4
3tan)3()4(
I
ooo*111 4540 )04()4510( IVS
ooo*222 12045)903()3015( IVS
oo
o
2
22 1205
903
3015
I
VZ
oo
o
1
11 455.2
04
4510
I
VZ
Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor
Contoho
1 4510 V
o2 3015V
o1 04I
o2 903 I
Diketahui:
maka :
Re
I3
-4
-3
Im
216,9o
5
Impedansi
ImpedansiImpedansi
Impedansi di kawasan fasor
Impedansi suatu elemen rangkaian di kawasan fasor adalah perbandingan antara
fasor tegangan dan fasor arus elemen tersebut
x
xxZ
I
V
impedansi
fasor tegangan
fasor arus
Catatan: Ada pengertian impedansi di kawasan s
yang akan kita pelajari kemudian
• Resistor
jtjRm
tjRm
RmR
eei
ei
titi
)cos()()(
+ vR
iR
jtj
Rm
RR
eeRi
tRitv
)()(
RR II
RR RIV
R
RRI
V
Kawasan fasor
Kawasan waktu
Impedansi
ImpedansiImpedansi
resistansi resistor di kawasan waktubernilai sama dengan
impedansinya di kawasan fasor
R
R
i
vR
• Induktor
ImpedansiImpedansi
iL
+ vL
jtjLm
tjLm
LmL
eei
ei
titi
)cos()()(
)(
)()(
jtjm
LL
eeiLj
dt
tdiLtv
LL II
LL Lj IV
LjZL
LL
I
V
Kawasan fasor
Impedansi
dt
diLv L
L
Kawasan waktu
hubungan diferensial hubungan linier
• Kapasitor
iC
+ vC `
)(
)(
)(
tjCm
CC
evCj
dt
dvCti
)(
)cos()(
tj
Cm
CmC
ev
tvtv Kawasan fasor
Impedansi
CC Cj VI
CC VV
Cj
CjZ
C
CC
1
1
I
V
ImpedansiImpedansi
dt
dvCi C
C
Kawasan waktu
hubungan diferensial hubungan linier
ImpedansiImpedansi
• Impedansi dan Admitansi
R
RRI
V LjZ
L
LL
I
V
Cj
CjZ
C
CC
1
1
I
V
Impedansi: Z
Admitansi: Y = 1 / Z
RYR
1
L
j
LjZY
LL
11
CjZ
YC
C 1
IV Z
Perhatikan: relasi ini adalah relasi linier.
Di kawasan fasor kita terhindar dari perhitungan diferensial.
VI Y
• Impedansi Secara Umum
)()( jXRZ
11
)/1(
)/1(2
2
2//RC
CRLj
RC
R
CjR
CjRLjZ CRL
• Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang berbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlah fasor. Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari dua konsep yang berbeda.– Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus – Impedansi adalah pernyataan elemen.
ImpedansiImpedansi
Memahami kaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasor
Mampu mengaplikasikan kaidah-kaidah rangkaian
Mampu menggambarkan diagram fasor
Tujuan:
Kaidah-Kaidah Rangkaian Impedansi
LjRZ seriRL
IV LjRseriRL
R
+ VR
I
+ VL
jL
C
jRZ seriRC
IV 1
Cj
RseriRC+ VC
Rj/C
+ VR
I
• Hubungan Seri
Kaidah-Kaidah Rangkaian Kaidah-Kaidah Rangkaian ImpedansiImpedansi
IV
C
jLjseriLC
CLjZ seriLC
1
j/CjL
+ VL + VC
I
• Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi Tegangan
Kaidah Pembagi Tegangan
nseritotal
seritotalseritotal
ZZZZ
Z
21
IV
totalseritotal
kk Z
ZVV
Kaidah-Kaidah Rangkaian Kaidah-Kaidah Rangkaian ImpedansiImpedansi
• Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi Arus
VV
I kk
k YZ
VVII total
n
kk
n
kktotal YY
11
n
n
kktotal ZZZ
YY111
211
totaltotal
kkk Y
YY IVI
I3
R
Itotal
jL
j/C
I1I2
Kaidah-Kaidah Rangkaian Kaidah-Kaidah Rangkaian ImpedansiImpedansi
Kaidah Pembagi Arus
Diagram Fasor
• Arus Dan Tegangan Pada Induktor
IL
VL
Re
Im Arus 90o di belakang
tegangan
L = 0,5 H , iL(t) = 0,4cos(1000t) A
5005,01000 jjZ L
V 9020004,090500
04,0)500(ooo
o
jZ LLL IV
Arus dijadikan referensi (sudut
fasa = 0)
Di kawasan waktu:
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 0,002 0,004 0,006 0,008
100 iL(t)
vL(t)VA
detik
Diagram FasorDiagram Fasor
• Arus Dan Tegangan Pada Kapasitor
C = 50 pF , iC(t) = 0,5cos(106 t) mA
V 9010
)0105,0()901020(
k 20)1050(10
1
o
o3o3
126
CCC
C
Z
jj
CjZ
IV
IC
VC
Re
Im
arus 90o mendahului
tegangan
Arus dijadikan referensi (sudut
fasa = 0)
detik
Di kawasan waktu:
-10
-5
0
5
10
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
10 iC(t)V
mA
vC(t)
Diagram FasorDiagram Fasor
• Beban Kapasitif
A 405dan V 10120 oo IV
128,20)30sin(24)30cos(24
3024405
10120 oo
o
jj
Z B I
V
Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t +10o) V i(t) = 5cos(314t + 40o) A
IV
Re
Im arus mendahului
tegangan
Diagram FasorDiagram Fasor
• Beban Induktif
Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t + 20o) V i(t) = 5cos(314t 40o) A
8,2012
)60sin(24)60cos(24
6024405
20120
oo
oo
o
j
j
Z B I
V
I
V
Re
Im
arus tertinggal dari
tegangan
A 405 dan V 20120 oo IV
Diagram FasorDiagram Fasor
• Beban : RLC seri , mencari solusi di kawasan waktu
87,36125
100
75tan)75()100(
7510025 100100
o
122
jjjZ totA 36,872
87,36125
0250 oo
o
tot
s
Z
VI
Diagram FasorDiagram Fasor
i(t) = 2 cos(500t + 36,87o) A
Kembali ke kawasan waktu
251050500
1001020500
100 V; 0250
3
6
o
jjZ
jj
Z
Z
L
C
RsV
100 j100 j25
Vs=2500oV
+
Transformasi rangkaian ke kawasan fasor
100+
20F50mHvs(t) =
250 cos500t V
i = ?
87,36125
100
75tan)75()100(
7510025 100100
o
122
jjjZ tot
A 36,87287,36125
0250 oo
o
tot
s
Z
VI
100 j100 j25
Vs=2500oV
+
Diagram FasorDiagram Fasor
I
V Re
Im
100+
20F50mHvs(t) =
250 cos500t V
Transformasi rangkaian ke kawasan fasor
Beban RLC seri ini bersifat kapasitif |ZC| > |ZL| arus mendahului tegangan
25 ; 100
100 ;0250 o
jZjZ
Z
LC
RsV
• Beban : RLC seri , analisis di kawasan fasor
100 j100 j25
Vs=2500oV
+
VL = jXL I
VR = RI
Vs
Re
Im
VC = jXC II
Diagram FasorDiagram Fasor
V 26,87105025087,36125
9025
V ,1335200025087,36125
90100
V 36,87200025087,36125
100
ooo
o
ooo
o
ooo
L
C
R
V
V
V
A 36,87287,36125
0250 oo
o
tot
s
Z
VI
87,3612575100 o jZtot
Fasor Tegangan Tiap Elemen
Fasor tegangan rangkaian mengikuti hukum Kirchhoff
LCRs VVVV
• Beban : RLC seri, induktif
V 0250
100
25
100
o
s
L
C
R
jZ
jZ
Z
V
87,36125
100
75tan)75()100(
75100100 25100
o
122
jjjZtot
A 36,87287,36125
0250 oo
o
tot
s
Z
VI
100 j25 j100
Vs=2500oV
+
IV Re
Im
Diagram FasorDiagram Fasor
Pada beban kapasitif |ZL| > |ZC|arus tertinggal dari tegangan
• Beban : RLC paralel
Diagram FasorDiagram Fasor
.0250
01.0
04.0
01.0
o
s
L
C
R
jY
jY
Y
V
03.001.0
01.004.001.0
j
jjYtot
100
j25
j100Vs=
2500oV
+
I
o122 6.719.75.2
5.7tan5.72.5
5.75.2)03.001.0(250
jjYVI
I
V Re
Im
Tujuan:
• Memahami teorema-teorema rangkaian di kawasan fasor• Memahami metoda analisis rangkaian di kawasan fasor • Mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan fasor pada
sistem satu fasa
Teorema Rangkaian
• Prinsip Proporsionalitas
XY KY = fasor keluaran, X = fasor masukan, dan K = konstanta
proporsionalitas yang pada umumnya merupakan bilangan kompleks
• Prinsip Superposisi * selalu berlaku di kawasan waktu
* berlaku di kawasan fasor bila frekuensi sama
Teorema RangkaianTeorema Rangkaian
• Teorema Thévenin dan Norton
TNTNNNTT Z
YYZ1
; ; VIIV
RT
A
B
vT+ VT
ZT
A
B
+
Kawasan waktu Kawasan fasor
Teorema RangkaianTeorema Rangkaian
• Contoh Prinsip Superposisi
20cos4t V +_ 83cos4t Aio
3H
200o +_
8 j6
Io1 j12 8
30o j6
Io2 j12
A 9,3629,3610
020
68
020
6128
020
oo
o
oo
o1
jjjI
A 4,1932,4039,3610
3,564,14
0368
12803
)128/(1)6/(1
)6/(1
ooo
o
ooo2
j
j
jj
jI
24,07,544,11,42,16,1o21oo jjj III
oo 4,27,5 I )4,24cos(7,5)( o
o tti
Teorema RangkaianTeorema Rangkaian
V 3,399,19
45207,5995,0
452010010
100
V 9010901,0100
o
o
o
oo
j
jB
A
V
V
V 6,226,156,124,1510
3.399,199010 oo
jjjBAT
VVV
99,09,10910010
)100(10100 j
j
jZT
+j100
10
1000,190o A
2045o V
`
A B
Contoh Rangkaian Ekivalen Thévenin
+VT
ZT
A B
Teorema RangkaianTeorema Rangkaian
Metoda Analisis
• Metoda Keluaran Satu Satuan
j9 j3
+
140 V
12 A B C
D
9 3
Ix
j3 I1 I2
I3 I4
+ vx +
14cos2tV
12 A B C
D
9 3
ix
3/2 H
1/6 F1/18 F
ti
K
x
xx
2cos5,0
05,028
014
28
1
28
1 oo
AA
VIV
I
A )01(Misalkan jx I
V 2891213
4
jjBA VV
V 3jC VV 1
3 jC
VI4
A 11 jx 43 III
V 311333 jjjjCB 3IVV
A 3
1
92 BVI A 1
3
4 321
jIII
Metoda Analisis DasarMetoda Analisis Dasar
• Metoda Superposisi
A )8,732cos(3)9,364cos(2 sehingga
A )8,732cos(3dan A )9,364cos(2oo
o2o1o
o2o
o1o
ttiii
titi
Karena sumber berbeda frekuensi maka fasor Io1 dan Io2 tidak dapat langsung dijumlahkan. Kembali ke kawasan waktu, baru kemudian
dijumlahkan
20cos4t V +_ 93cos2t Aio
3H
200o+_
9 j6
Io1 j12 9
30o j12
Io2 j6
A 9,3629,3610
020
68
020
6128
020
oo
o
oo
o1
jjjI
A 8,733039,3610
9,3610
0368
6803
)68/(1)12/(1
)12/(1
ooo
o
ooo2
j
j
jj
jI
Metoda Analisis DasarMetoda Analisis Dasar
• Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin
+
18cos2t V
i
62 2
1H
A
B
2H
1/8 F
V 12
9 018
462
2 o
jjhtT
VV
A 2cos1
A 01
)12(2)47(
)12(
)12(
9
42o
ti
jjj
j
jjjZT
T
V
I
+
180o V
6
2
A
B
j4
j2 j4
I
2
+
180o V
6 2
A
B
j4
2
12
47
48
812816
462
4622
j
j
j
jj
j
jZT
+
VT
IA
B
j4
ZT j2
Metoda Analisis DasarMetoda Analisis Dasar
• Metoda Reduksi Rangkaian
i1 =0.1cos100t A
v =10sin100t V
200F 1H
50
ix?A B
A B
I1 =0.10o A
V=1090oV
j50 j100
50
Ix
Sumber tegangan dan sumber arus berfrekuensi sama, = 100. Tetapi sumber tegangan dinyatakan dalam sinus, sumber arus dalam cosinus.
Ubah kedalam bentuk standar, yaitu bentuk cosinus melalui kesamaan
sinx = cos(x90)
sumber tegangan tersambung seri dengan resistor 50 paralel
dengan induktor j100
Simpul B hilang. Arus Iy yang sekarang mengalir melalui resistor
50, bukanlah arus Ix yang dicari; Iy kali 50 adalah tegangan simpul A, bukan tegangan simpul B tempat Ix
keluar
IyA
I2
j50 j100
50
I1 =0.10o A
Iy
j50 j100
50I1 I2
Metoda Analisis DasarMetoda Analisis Dasar
• Metoda Tegangan Simpul
30
10
120
122 : Gauss eliminasi
10
10
11
122
B
A
B
A
V
V
V
V
j
jj
j
jj
I1 =0,10o A
V=1090oV
j50 j100
50
Ix=?A B
VVV
VVVI
BA
BBA1
: B
05010050
:A jj
o
o
B
A
9010
01,0
1150
1
100
1
50
1
V
Vjj
V 4,186,1215,0
1010
15,0
151010
6,26 0,268 V; 6,264,136125
)12(30
12
30
oBA
ooB
j
j
j
jjj
jj
j x
VV
IV
Metoda Analisis Metoda Analisis UmumUmum
• Metoda Arus Mesh
I =0,10o A
V=1090oV
j50 50
A B
I1 I2I3
0
10
1.0
100501000
1001005050
001
3
2
1
j
jj
jjjj
I
I
I
0
1
1.0
2120
1055
001
3
2
1
j
jj
jjj
I
I
I
3
5.1
1.0
10500
1050
001
3
2
1
j
j
j
jj
I
I
I
A 2,533,0
5
105,1
A 6,2627,0
105
3
A 01,0
o
32
o
3
01
j
jj
j
j
II
I
I
Metoda Analisis Metoda Analisis UmumUmum
Courseware
Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Fasor
Course #5
Sudaryatno Sudirham