model kronig penney

MODEL KRONIG PENEY

Sebuah potensial periodik yang persamaan gelombang dapat di pecahkan dalam hal fungsi dasar adalah array persegi. Persamaan gelombang pada Gambar 4

−ђ2

2m d2

dx2 + u(x) 𝛙 = ϵ 𝛙 ( 11)

dimana U (x) adalah energi potensial dan merupakan nilai eigen energi.

Di kawasan itu 0 <x < 𝛼 dimana U = 0, fungsi eigen adalah linear kombinasi,

𝛙= A eikx + Be-ikx (12)

Pada gelombang pesawat ke kanan dan ke kiri, dengan energi

ϵ =ђ2 K2 / 2 m (13)

Di kawasan itu -b < x < o dalam penghalang solusinya adalah dalam bentuk

𝛙= CeQ3 + De-Qx (14)

Dengan

U0 –ϵ = ђ2Q2/2m (15)

Gambar 4 Potensial persegi periodikdiperkenalkan oleh Kronig dan Penney.

solusinya memiliki bentuk Bloch (7). Jadi di wilayah 𝛼 < x < 𝛼 + b harus berhubungan dengan solusi (14) di wilayah -b < x < 0 dengan teorema Bloch yaitu

𝛙 (𝛼 <x< 𝛼 +b) ≈ 𝛙 ( - b <x < o ) eik (𝛼 +b) (16)

dimana berfungsi untuk mendefinisikan vector gelombang k digunakan sebagai indeks untuk

label solusi. Konstanta A, B, C, D dipilih sehingga 𝛙 dan d 𝛙 / dx yang kontinu pada x = 0 dan

x = 𝛼. Ini adalah kondisi batas kuantum mekanik biasa dalam masalah yang melibatkan potensial persegi Pada x = 0,

A+ B = C+ D (17)

Ik ( A-B) = Q ( C- D ) (18)

dengan Q dari (14). Pada x = 𝛼, dengan menggunakan (16) untuk 𝛙 (𝛼) di bawah penghalang di

hal 𝛙 (- h),

A e ik 𝛼 + Be-ik = (Ce-Qb + DeQb )eik (𝛼 +b) (19)

Ik ( A e ik 𝛼 – Be-ik 𝛼 ) = Q ( Ce- Qb –De Qb ) eik (𝛼 + b ) ( 20)

Pada pertanyaan (17) ke (20) memiliki solusi hanya jika determinan koefisien dari A, B, C, D menghasilkan

[(Q2-K2)/2QK ] sin h Qb sin K 𝛼 + cos h Qb cos k 𝛼 = cos K (𝛼 + b ) (21 a)

Hasil disederhanakan untuk mendapatkan persamaan ini. Hasilnya disederhanakan jika kita mewakili potensial oleh delta periodic Fungsi diperoleh ketika kita melewati batas b = 0 dan Uo

= ∞ sedemikian rupa bahwa Q2b 𝛼 /2 = p, jumlah terbatas. Dalam batas ini Q > K dan Qb < 1. Kemudian (21a) tereduksi menjadi

( p/ K 𝛼) sin K𝛼 + cos K𝛼 = cos k 𝛼 ( 21 b)

Kisaran K yang persamaan ini memiliki solusi lsa kembali diplot pada Gambar. 5,

untuk kasus P = 3 𝜋/ 2. Nilai nilai yang sesuai pada energi diplot di Gambar. 6. Perhatikan celah energy pada batas. vector gelombang k dari Fungsi Bloch adalah indeks penting, bukan K di (12), yang terkait dengan energy oleh (13). Sebuah cara dalam masalah ini dalam ruang vector gelombang diberikan kemudian dalam bab ini.

Model Kronig-Penney di Ruang timbal balik

Sebagai contoh penggunaan persamaan (31) untuk masalah yang sama dipecahkan, digunakan model Kronig-Penney dari periodik fungsi delta potensial:

U(x) 2 ∑G>OUG cos Gx = A 𝛼∑δ ( x - s 𝛼 ) (33)

dimana A adalah konstan dan jarak kisi. Jumlah ini atas semua bilangan bulat s antara 0 dan l/a. Kondisi batas periodik satuan panjang, yang lebih dari atom l / 0. Dengan demikian koefisien Fourier dari potensialnya adalah :

UG = ∫0

1

dxU ( x )cosGx=A α∑δ∫

0

1

dx δ(x−sa) (34)

Semua UG adalah sama untuk potensial fungsi delta. Ditulis persamaan pusat dengan k sebagai indeks Bloch. Jadi persamaan (31) Menjadi

(λ k - ϵ ) C ( k ) + A ∑n

C (k−2πn /a) (35)

dimana λk = ђ2k2/ 2m dan jumlahnya lebih dari semua bilangan bulat n, memecahkan Persamaan (35) untuk ϵ (k), didefinisikan sebagai berikut :

F( k) = ∑n

C (k−2πn /a) (36)

Kemudian Persamaan 35 menjadi

C ( k ) = −(2m A /ђ2) f (k )¿/¿ (37 )

Karena Persamaan (36) di atas semua koefisien C, yang dimiliki, untuk setiap n adalah

F ( k ) = f ( k – 2 𝜋 n / a ) (38)

Hubungan ini memungkinkan bisa ditulis sebagai berikut :

C (( k – 2 𝜋 n / a¿ = - ( 2 m A/ ђ2 ) f ( k ) [ ( k - 2 𝜋 n / a )2 - 2 mϵ /ђ2) ] -1 ( 39 )

Jumlah sisi atas segala n untuk mendapatkannya, menggunakan Persamaan (36) dan membatalkan f (k) dari kedua belah pihak,

¿¿ / 2 m A ) = - ∑n

¿¿/ α )2 – (2 mϵ /ђ2) ] -1 (40)

Jumlah tersebut dapat dilakukan dengan bantuan hubungan standar yaitu sebagai berikut :

Etn x = ∑n

1nπ+x (41)

Setelah manipulasi trigonometri di mana kita menggunakan hubungan untuk perbedaan

dua cotangents dan produk dari dua sinus, jumlah dalam Persamaan (40) menjadi

a sin ka4 ka¿¿

(42)

di mana ditulis k2 = 2 m ϵ / ђ2, seperti pada Persamaan (13). Hasil akhir untuk Persamaan (40) adalah sebagai berikut :

( m Aa2/ 2 ђ2 ) ( ka ) -1 sin ka + cos k a = cos ka ( 43)

yang setuju dengan hasil Kronig-Penney (21b) dengan P ditulis untuk m A𝛼2 / 2 ђ2