matriks - markusmatangela.files.wordpress.com · menentukan invers matriks persegi. ... muka atau...

MATRIKS

Oleh Markus Yuniarto, S.Si

SMA SANTA ANGELA

TAHUN PELAJARAN 2018/2019

Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk

menentukan invers matriks persegi.

Menggunakan determinan dan invers matriks persegi

dalam penyelesaian sistem persamaan linear.

BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari unsur-unsur matriks,

ordo dan jenis matriks, kesamaan matriks, operasi penjumlahan

dan pengurangan matriks, determinan dan invers matriks, dan

penerapan matriks dalam sistem persamaan linear.

B. Prasyarat

Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah

menguasai dasar-dasar aljabar.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan

adalah sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi

yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari

materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah

semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal

Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi

yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui

kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah

mempelajari materi yang terkait.

4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda

pecahkan, catatlah,

kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap

muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan

materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda

juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks

2. Menentukan determinan matriks 2x2

3. Menentukan invers dari matriks 2x2

4. Menentukan persamaan matriks dari persamaan linear

5. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan

invers matriks.

BAB II. PEMBELAJARAN

A. PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk

baris dan kolom.

Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen

matriks.

Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.

Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.

Bentuk umum :

A =

nmmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

.3.2.1.

.33.32.31.3

.23.22.21.2

.13.12.11.1

...

:...:::

...

...

...

1.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 1

2.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 2

3.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 3

. . .

nma . elemen matriks pada baris m, kolom n

Contoh :

B =

761

452

Ordo matriks B adalah B2 x 3

3.1a - 4

2.2a 6

B. JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks baris

adalah matriks yang hanya memiliki satu baris

Contoh : A = [ 2 3 0 7 ]

2. Matriks kolom

adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom

Contoh : C =

7

0

1

2

3. Matriks persegi

adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Contoh : A =

10537

6095

4681

3502

Diagonal samping Diagonal utama

4. Matriks Identitas

adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal

utamanya 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol.

Contoh :

A =

10

01

B =

100

010

001

5. Matriks segitiga atas

adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah

diagonal utamanya nol.

Contoh :

A =

500

410

132

6. Matriks segitiga bawah

adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal

utamanya nol.

Contoh :

B =

523

019

002

7. Matriks nol

adalah matriks yang semua elemennya nol.

Contoh :

C =

000

000

C. TRANSPOSE MATRIKS

adalah perubahan bentuk matriks dimana elemen pada baris

menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.

Contoh :

A =

053

142

At = AT = A =

01

54

32

D. KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo

yang sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.

Contoh :

A = B

45

32 =

45

39

36

Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut

a.

59

412

52

43

b

a

3a = -12

a = -12/3

a = -4

2b = 9

b = 9/2

b = 4,5

b

32

231

354

161

a

b

a

a

4a + 5 = 2a

4a – 2a = -5

2a = -5

a = -5/2

6a – 1 = 3b + 2

6(-5/2) – 1 = 3b + 2

-15 – 1 = 3b + 2

-16 = 3b + 2

3b = -18

b = -6

LATIHAN 1

1. Diketahui matriks A =

51510411

412651

36472

20161263

a. Tentukan ordo matriks A

b. Sebutkan elemen-elemen pada baris ke-2

c. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ke-3

d. Sebutkan elemen a2.3

e. Sebutkan elemen a3.5

2. Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut :

a.

ba

a

a

ba

76

54

152

b.

144

107

1432

57

a

ba

c.

baa

b

b

aa

1

1210

83

22

3. Tentukan nilai x, y, dan z dari kesamaan matriks berikut :

a.

2

14

1

3

z

x

zy

x

b.

zy

xx

zy

129 2

2

c.

9

112

3

5

y

x

y

x

4. Diketahui P =

yxyx

xyx

2

32 dan Q =

12

47

y

Jika P = QT, maka tentuka x – y

E. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo

sama, dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang

seletak.

Contoh :

112

03

65

41

53

42

2. PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo

sama, dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang

seletak.

Contoh :

2105

143

742

531

563

472

LATIHAN 2

1. Selesaikan operasi matriks berikut :

a.

b

a

b

a

3

72

b.

4

1

3

2

n

m

c.

ba

ba

ba

ba

4

2

3

2

d.

yx

yx

yx

yx

22

32

2. Diketahui P =

42

35, Q =

33

72, dan R =

96

28

Tentukan :

a. P + Q

b. Q - R

c. (P + Q) - R

d. P + (Q - R)

3. Tentukan matriks X nya, jika X berordo 2x2

a. X +

12

20

10

010

b. X -

35

74

12

53

c.

13

42

72

43X

4. Tentukan x, y, w, dan z jika diketahui :

3

4

26

1

33

33

wz

yx

w

x

wz

yx

F. PERKALIAN MATRIKS

1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL

Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka

setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan k.

Contoh :

2

128

106

64

53

2. PERKALIAN DUA MATRIKS

Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks

sebelah kiri sama dengan banyaknya matriks sebelah

kanan.

Am x n . Bp x q = Cm x q

n = p

Contoh :

1.

2004)3(

)15(0)3(2

5.40.31.4)1.(3

5).3(0.21).3()1.(2

51

01.

43

32

=

201

155

2.

8

17

08

152

3.02.4

3.52.1

3

2.

04

51

3.

541

13113

323110

949230

331

210.

11

32

4.

126

84

42

42.

3

2

1

LATIHAN 3

1. Jika X adalah matriks berordo 2x2, tentukan matriks X dari :

a. 2

45

203

73

11X

b.

68

1253

34

17X

2. Diketahui A =

cb

a

32

4 dan B =

7

1232

ba

aba

Jika A = 2BT, tentukan nilai a + b + c

3. Jika 3

3

4

21

2

sr

qp

s

qp

sr

p

Tentukan nilai p, q, r, dan s.

4. Hitung perkalian matriks berikut :

a.

65

04.

11

23

b.

6

1

3

.

512

103

312

c.

52

13

40

.

040

324

212

5. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut :

A =

34

23, B =

23

42, C =

12

32

Tentukan :

a. A.B

b. B.A

c. B.C

d. (A.B).C

e. A.(B.C)

f. Buatlah kesimpulan untuk a dan b, serta d dan e

6. Jika P =

cb

ba1, Q =

dc

a 01, dan R =

10

01

Tentukan nilai d jika P + QT = R2

7. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

11

30.

42

13.2

611

86.

23

24 x

8. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut :

18

8.

43

21

y

x

G. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2

Jika matriks A =

dc

ba, determinan dari matriks A

dinotasikan det A atau

A = ad - bc

Invers matriks A dinyatakan dengan notasi

A-1 =

ac

bd

bcad

1

Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Jika ad – bc 0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non singular.

Contoh :

Diketahui A =

31

52, Tentukan determinan dan invers matriks

A. Det A = ad – bc = 2.3 – 5.1 = 6 – 5 = 1

A-1 =

ac

bd

bcad

1

A-1 =

21

53

1

1=

21

53

LATIHAN 4

1. Diketahui matriks A =

39

52

x

x, dan B =

x313

45

Tentukan nilai x, jika Det A = Det B 2. Tentukan nilai x nya :

a. 513

x

xx

b. 1833

55

xx

x

3. Diketahui matriks A =

53

21, dan B =

21

64

Tentukan : a. A-1 b. B-1 c. A.B d. B.A e. A-1.B-1 f. B-1.A-1 g. (AB)-1 h. (BA)-1 i. Buatlah kesimpulan dari hasil tersebut

4. Diketahui B =

24

49, Tentukan :

a. A-1 b. A-1.A c. A.A-1 d. Buatlah kesimpulan H. PERSAMAAN MATRIKS 1. A.X = B A-1.A.X = A-1.B I.X = A-1.B X = A-1.B Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B

2. X.A = B X.A.A-1 = B.A-1

X.I = B.A-1 X = B.A-1 Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1

Contoh : Tentukan matriks X nya

1.

100

155.

21

13X

100

155.

21

131

X

100

155.

31

12

16

1

455

4010

5

1

91

82

2.

42

46

41

21.X

1

41

21.

42

46

X

11

24

24

1.

42

46X

11

24.

42

46.

2

1X

812

1628.

2

1X

46

814X

I. PEMAKAIAN INVERS MATRIKS Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem

persamaan linear. Contoh : Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriks x + 7y = 13 2x + 5y = 8 jawab :

8

13.

52

71

y

x

8

13.

52

711

y

x

8

13.

12

75

145

1

y

x

18

9

9

1

y

x

2

1

y

x

jadi x = -1, dan y = 2 LATIHAN 5 1. Tentukan matriks X nya :

a.

31

24.

31

21X

b.

41

03

14

13.X

2. Tentukan matriks B nya :

21

12.

12

01.

12

11B

3. Tentukan matriks X nya :

10

01

01

13..

11

22X

4. Tentukan nilai x + y, jika diketahui :

4

3.

23

32

y

x

5. Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan linear berikut :

a. 2x – 3y = -1 x + 2y = 11 b. 3x + y = 7 x – 3y = -1 Tes Kompetensi Dasar 4.1

1. Diketahui A =

74

32 B =

176

312 tentukan nilai matriks-

matriks dibawah ini! a. A + B b. B –A c. A + 2B d. -2A + 3B

2. Jika

62

94+

24

13=

d4c3

b2a7 tentukan nilai a, b.c, d

3. Tentukan elemen-elemen dari suatu matriks G2x2 !

723

826

4915

25G

4. Diketahui

26

11

12

4

3

2

.p

3

2

1

.2 tentukan nilai p !

5. Tentukan hasil dari perkalian

a.

4

5

71

04

b.

53

22

1

012

632

c.

352

631

71

02

6. Tentukan niali x + y dari perkalian matriks dibawah inin !

a.

62

39

y2

5x=

2814

5415

b.

51

3

y

x

56

32

7. Perhatikan matriks dibawah ini!

7

3

6

4

2

5R

2

0

1

10

0

3P

52

41L

24

10A

0

2Y

Tentukan nilai dari

a. PR2 c. TAL e. TPR

b. LT + A d. YAT

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat :

1. Diketahui matriks A=

96

315, B=

103

2 x

dan C=

133

41. Bila x merupakan

penyelesaian dari persaman A – B = C-1, maka

nilai x adalah...

a. 3 c. 7 e. 11

b. 5 d. 9

2. Diketahui matriks A = ,52

03

B =

1

1

y

x dan

C =

515

10, At adalah transpos dari A . Jika At . B = C

maka nilai 2x + y =…

a. – 4 b. – 1 c. 1 d. 5 e. 7

3. Matriks x berordo ( 2 x 2 ) yang memenuhi

43

21 x =

12

34 adalah ...

a.

45

56 b.

54

65 c.

54

56

d.

13

24 e.

810

1012

4. Diketahui matriks A =

96

315, B =

103

2 x, dan

C =

133

41 , Bila x merupakan penyelesaian persamaan

A – B = C- 1 maka x = ...

a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11

5. Diketahui matriks A =

52

13 dan A2 = Ax + Iy

x , y bilangan real , I matriks identi tas dengan ordo

2 x 2 .Nilai x + y =...

a. – 1 b. – 3 c. 5 d. 11 e. 15

6. Jika

8

7

15

32

y

x, maka nilai x2 + y2 =…

a. 5 b. 9 c. 10 d. 13 e. 29

7. Jika matriks A =

32

41 , maka nilai x yang memenuhi

persamaan | A – x I | = 0 dengan I matriks satuan adalah...

a. 1 dan – 5 b. – 1 dan – 5 c. – 1 dan 5

d. – 5 dan 0 d. 1 dan 0

8. Jika x1 dan x2 adalah akar akar persamaan

0323

142

xx

xx dan x1 > x2 maka x2

1 + x22 =...

a. 4 b. 14 c. 24 d. 34 e. 49

9. Diketahui persamaan matriks

23

71

12

41.

21

53M invers matriks

M adalah M -1 =...

a.

11

10 b.

11

10 c.

11

10

d.

01

11 d.

01

11

10. Jika 3x2 + 7x – 6 ditulis sebagai perkalian matriks

11

xAx , maka A = ...

a.

30

67 b.

60

73 c.

37

06

d.

67

03 e.

30

67

11. Jika A =

32

2

11

,1

y

xB

yx

xyx , dan B

Adalah transpos dari matriks A , maka

x2 + ( x + y ) + xy + y2 = ...

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

12. Jika A =

01

10

11

11Bdan , maka

( A + B ) ( A – B ) – ( A – B ) ( A + B ) adalah matriks …

a.

00

00 b.

10

01 c. 4

10

01

d. 8

10

01 e.

10

01

13. Jika P =

xx

xx

1

1 dan P-1 adalah invers dari P

maka ...)( 21 P

a.

xx

xx

212

221 b.

xx

xx

221

212

c.

xx

xx

212

221 d.

xx

xx

212

221

e.

xx

xx

212

221

14. Jika P =

yxxQ

12,

49

25 , dan

P.Q =

10

01, maka x – y =...

a. 2

23 b.

2

21 c.

2

19 d.

2

17 e.

2

15

15. Diketahui

1

1

xy

yx

q

p , maka p2 + q2

dinyatakan dalam x dan y adalah...

a. ( x – y )2 b. 2( x – y )2 c. 2( x + y )2

d. 2 ( x2 – y2 ) e. 2( x2 + y2)

16. Jika

34

12

43

21

dc

ba, maka bc =…

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

17. Jika A =

20

12 , maka A2 – A =

a.

20

12 b.

20

22 c.

20

32

d.

20

42 e.

40

44

18. Diketahui persamaan matriks

rs

pqM

sr

qp

p , q , r , s konstan real ps qr . M adalah…

a.

10

01 b.

01

10 c.

11

11

d.

10

11 e.

11

01

19. Jika

01

10

43

21A maka 2A =…

a.

34

42 b.

2

3

2

1

21

c.

21

42

d.

62

84 e.

31

42

20. Jika A =

43

21 B =

12

34 maka ( A + B )2 =…

a.

2410

1024 b.

1024

2410 c.

2424

1010

d.

2410

1024 e.

2410

1024

21. Jika M = A3 dan A =

23

21

21

23

, maka M

1

2 =…

a.

2

1 b.

2

1 c.

1

2

d.

1

2 e.

2

1

22. Determinan matriks K yang memenuhi persamaan

12

13

53

74K adalah...

a. 3 b. 1 c. – 1 d. – 2 e. – 3

23. Jika ad bc dan dari sistem persamaan

x = ax’ + by’ , y = cx’ + dy’ dapat dihitung menjadi

x’ = px + qy , y’ = rx + sy maka

...

sr

qp

dc

ba

tm

hg

a.

gm

ht b.

tm

hg c.

gh

mt

d.

tm

hg e.

tm

hg

24. Untuk nilai x dan y yang memenuhi

9

3

52

34

y

x , berlaku x – y =...

a. 6 b. 3 c. 1 d. 0 e. – 3

25. Jika A =

43

32

25

13B , maka ( A B )-1 =...

a.

2129

811 b.

34

57 c.

34

57

d.

75

43 e.

75

43

26. Nilai c yang memenuhi persamaan

109

35

510

3

5

12 f

fc adalah...

a. – 4 b. – 3 c. – 2 d. 0 e. 3

27. Jika p , q , r , dan s memenuhi persamaan

11

11

2

2

2 pq

rs

sr

qp maka

p + q + r + s =...

a. – 7 b. – 3 c. – 2 d. 0 e. 1

28. Diketahui A =

2

414

322

qr

qp

B =

745

55

7

r

qp

, C =

513

241

652

Jika A + B = C , maka nilai p , q , dan r berturut turut...

a. – 2 , – 3 dan 2 b. 2 , – 3 dan – 2

c. 2 , – 4 dan 2 d. 2 , – 3 dan 2

e. – 2 , – 4 dan 2

29 Jika P = ,53

2,

32

16Q

y

xtPdanQ

Maka x – y =...

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

30 Jika A =

413

021 dan At adalah transpos matriks A,

Maka baris pertama dari At A adalah...

a. 12110 b. 12110 c. 14110

d. 12110 e. 12110

31. Jika

9

2

26

12

y

x maka 5x + 2y =...

a. – 32

1 b. – 3 c. – 2

2

1 d. 2

2

1 e. 3

2

1

32. Jika dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks

7

5

6

2

y

x

b

a adalah sejajar , maka ab =...

a. – 12 b. – 3 c. 1 d. 3 e. 12

33. Jika x : y = 5 : 4 , maka x dan y yang memenhi

Persamaan matriks

136010

5

2530

541102

yx

adalah...

a. x = 1 dan y = 5

4 b. x =

4

5 dan y = 1

c. x = 5 dan y = 4 d. x = – 10

e. x = 10 dan y = 8

34. Diketahui A =

34

12 . Nilai k yang memenuhi

Persamaan k . det At = det A-1 adalah...

a. 2 b. 14

1 c. 1 d.

2

1 e.

4

1

35. Hasil kali akar akar persamaan 021

313

xx

xadalah...

a. 3

2 b.

3

4 c.

3

5 d.

3

2 e.

3

4

36 Invers matriks

cossin

sincos adalah...

a.

cossin

sincos b.

sincos

cossin

c.

cossin

cossin d.

sincos

sincos

e.

cossin

sincos

37. Jika diketahui A =

10

01

13

42Idan

Matriks ( A – kI ) adalah matriks singular untuk nilai k = …

a. – 2 atau 5 b. – 5 atau 2 c. 2 atau 5

d. 3 atau 4 e. 1 atau 2

38. Diketahui persamaan matriks :

2

d

c

b

a

3

52

43

2

11

134

41

2

Nilai a + b + c + d = ...

a. 13 b. 15 c. 17 d. 19 e. 21

39. Diketahui A =

25

31

12

253

142Bdan jika

C = AB maka determinan matriks C =...

a. – 60 b. – 56 c. – 52 d. – 50 e. – 48

40. Diketahui persamaan

326

1310

43

12X dengan X

matriks ordo 2x2. Jumlah bilangan baris ke 1 matriks X adalah

a. 11 b. 9 c. 7 d. 5 e. 3

41. Bila matriks A =

43

21 dan f (x) = x2 + 4x

maka f ( A ) =...

a.

3221

125 b.

3212

215 c.

3827

1811

d.

3818

2711 e.

3612

187

42. Diketahui matriks A =

x

xx

4

22 dan

B =

33

46

x Bila det A = det B dan x1 dan x2

penyelesaian persamaan tersebut , maka 2

1

1

2xx

xx

=...

a. 729.

734.

739.

744.

745 edcb

43. Matriks

baa

aba tidak mempunyai invers jika...

a. a dan b sembarang b. a 0 , b 0 dan a = b

c. a 0 , b 0 dan a = - b d. a = 0 dan b sembarang

e. b = 0 dan a sembarang

44. Jika A =

32

01 dan I matriks satuan ordo 2 , maka

A2 – 2 A + I =...

a.

40

04 b.

43

00 c.

43

01

d.

44

00 e.

44

02

45. Nilai a yang memenuhi

21

00

34

12

12

21

dc

ba

adalah…

a. – 2 b. – 1 c. 0 d. 1 e. 2

DAFTAR PUSTAKA

Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu

Pengetahuan Sosial, Semarang :

H. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005.

Matematika IPS, Penerbit Bumi Aksara, Jakarta.

Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit

Erlangga, Jakarta.