matriks - · pdf fileukuran atau ordo dari suatu matriks ... contoh (determinan matriks ukuran...
Post on 01-Feb-2018
348 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MATRIKS
Departemen MatematikaFMIPA-IPB
Bogor, 2012
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66
Topik Bahasan
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Determinan matriks
4 Matriks Invers
5 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
6 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
7 Solusi
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 2 / 66
Matriks
Definisi matriks
Definisi (Matriks)Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentukpersegi panjang atau persegi. Ukuran atau ordo dari suatu matriksditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya.
Notasi: huruf kapital A, B, C, D, . . .Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb.
Am×n =[aij]
m×n =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
aij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j.i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.m× n = ukuran atau ordo matriks A.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 3 / 66
Matriks
Mendefinisikan matriks
Cara mendefinisikan matriks:
dituliskan seluruh elemennyadidefinisikan elemennya
Soal
Tentukan matriks A yang elemennya didefinisikan sebagai berikut:
1 A =(aij)
3×3 , aij =
{1, i = ji, i 6= j
2 A =(aij)
4×5 , aij =
{1+ i, i < ji− j, i ≥ j
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 4 / 66
Matriks
Submatriks
Definisi (Submatriks)Submatriks dari matriks A adalah suatu matriks baru yang diperolehdari matriks A dengan menghilangkan beberapa baris atau kolomnya.
Catatan: A adalah submatriks A sendiri.
Soal
Tentukan submatriks dari matriks
A =
(1 0 12 1 23 1 5
)
a. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 2 dan kolom 1.b. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2.
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 5 / 66
Matriks
Matriks khusus
1 Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama denganbanyaknya kolom.Catatan:
1 Khusus untuk matriks segi, ordo n× n, biasa ditulis ordo n.2 Jika A = (aij)n×n maka elemen a11, a22, . . . , ann disebut elemen
diagonal utama matriks A.
2 Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua elemen di bawahdiagonal utamanya nol.
3 Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua elemen di atasdiagonal utamanya nol.
4 Matriks identitas: Matriks yang semua elemen diagonalutamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol.Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan In.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 6 / 66
Operasi Matriks
Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar
Definisi (Penjumlahan dan pengurangan)
Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran m× n dan
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
, B =
b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...
.... . .
...bm1 bm2 . . . bmn
.
Penjumlahan/pengurangan matriks A dan B ditulis A± Bdidefinisikan sebagai berikut:
A± B =
a11 ± b11 a12 ± b12 . . . a1n ± b1na21 ± b21 a22 ± b22 . . . a2n ± b2n
......
. . ....
am1 ± bm1 am2 ± bm2 . . . amn ± bmn
.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 7 / 66
Operasi Matriks
Definisi (Perkalian skalar)Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, didefinisikan sebagaiberikut:
kA =
ka11 ka12 . . . ka1nka21 ka22 . . . ka2n
......
. . ....
kam1 kam2 . . . kamn
.
Catatan:−A = (−1)A
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 8 / 66
Operasi Matriks
Hukum penjumlahan dan perkalian skalar
Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuransama dan k adalah skalar, maka
1 (A+ B) + C = A+ (B+ C)2 A+ (−A) = A−A = O3 A+ B = B+A4 k(A+ B) = kA+ kB5 0A = O
dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennyanol.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 9 / 66
Operasi Matriks
Definisi (Perkalian matriks)
Misalkan A =(aij)
m×p dan B =(bij)
p×n adalah dua matriks yangberturut-turut berukuran m× p dan p× n. Perkalian matriks A dan B,ditulis AB, didefinisikan sebagai berikut:
dengan cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj =p
∑k=1
aikbkj. i = 1, 2, ..., m,
j = 1, 2, ..., n.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 10 / 66
Operasi Matriks
Hukum perkalian matriks
Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuaisehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalahskalar, maka
1 Hukum asosiatif(AB)C = A(BC)
2 Hukum distributif kiriA(B+ C) = AB+AC
3 Hukum distributif kanan(B+ C)A = BA+ CA
4 k(AB) = (kA)B = A (kB)
Catatan: secara umum AB 6= BA.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 11 / 66
Operasi Matriks
Putaran (transpos) matriks
Definisi (Putaran (transpos) suatu matriks)
Misalkan A = (aij) adalah matriks berukuran m× n. Putaran atautranspos dari matriks A, ditulis AT, adalah matriks berukuran n×myang didefinisikan sebagai berikut:
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 12 / 66
Operasi Matriks
Sifat matriks putaran
1 (A± B)T = AT ± BT
2 (AT)T = A3 (kA)T = k
(AT) ,dengan k skalar
4 (AB)T = BTAT
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 13 / 66
Operasi Matriks
Soal operasi matriks
Soal
Diketahui matriks A, B, C, dan D sebagai berikut:
A =
(1 −1 20 3 4
)B =
(4 0 −3−1 −2 3
)C =
(2 −35 1−1 0
)D =
(2−13
)
Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak, berikan alasannya.
a. 2A+ Bb. (2A+ B)Cc. CTD
d. (AC)T
e. AAT
f. 3A+ BDSOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 14 / 66
Determinan matriks
Definisi (Determinan matriks berukuran 1 x 1)Diberikan matriks A berukuran 1 x 1, yaitu
A = (a11) .
Didefinisikan determinan matriks A, yaitu det(A) = |A| = a11.
Catatan: Determinan matriks A, biasa juga ditulis |A|
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 15 / 66
Determinan matriks
Definisi (Determinan matriks berukuran n x n)
Misalkan A = (aij)n×n dan Aij adalah submatriks A yang diperolehdengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor elemen aij,notasi Mij, didefinisikan sebagai
Mij = det(Aij),
dan kofaktor elemen aij, notasi αij didefinisikan
αij = (−1)i+jMij.
Maka
1 det (A) =n
∑j=1
aijαij, untuk sebarang i, i = 1, 2, . . . , n
2 det (A) =n
∑i=1
aijαij, untuk sebarang j, j = 1, 2, . . . , n .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 16 / 66
Determinan matriks
Metode ini dikenal dengan nama metode minor-kofaktor.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 17 / 66
Determinan matriks
Contoh (Determinan matriks ukuran 2 x 2)Dengan menggunakan metode minor kofaktor, matriks A berukuran 2x 2
A =(
a bc d
),
maka tunjukkan det(A) = ad− bc.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 17 / 66
Determinan matriks
Contoh (Determinan matriks ukuran 3 x 3)Jika matriks A berukuran 3 x 3
A =
( a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
),
maka det(A) =(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)− (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32) .
Metode ini dikenal dengan nama metode Sarrus.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 18 / 66
Determinan matriks
Soal determinan matriks
Soal
Tentukan determinan matriks berikut:
1 A =(
1 23 −1
)2 B =
(3 −2 11 3 20 −3 1
)
3 C =
0 0 1 11 0 0 −10 1 1 1−1 1 −1 1
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 19 / 66
Determinan matriks
Sifat-sifat Determinan
1 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol,maka det(A) = 0.
2 Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitigabawah, maka determinan matriks A adalah perkalianelemen-elemen diagonal utamanya.
3 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang merupakan kelipatandari baris/kolom yang lain, maka det(A) = 0.
Soal
Tentukan determinan matriks-matriks berikut:
A =
(3 0 04 2 05 1 0
), B =
(2 5 30 3 70 0 −1
), dan C =
3 −2 4 80 3 3 60 2 2 40 −5 −5 −10
.
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 20 / 66
Matriks Invers
Matriks invers
Definisi (Matriks invers)Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan memilikiinvers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = In .Matriks B disebut invers matriks A.Notasi: B = A−1 (dibaca: invers matriks A)
Sifat matriks invers:
1 Invers suatu matriks bersifat tunggal.2 Jika matriks A dan B memiliki invers, maka
(A−1)−1 = A(AB)−1 = B−1A−1
(AT)−1 = (A−1)T
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 21 / 66
Matriks Invers
Metode matriks adjoin
Teorema (Metode matriks adjoin)
Misalkan A = (aij) adalah matriks segi berordo n. Jika det(A) 6= 0 danmatriks C = (αij), dengan αij adalah kofaktor elemen aij, maka invers matriksA adalah
A−1 =1
det (A)CT
CT disebut matriks adjoin dari matriks A.
Catatan:Jika det (A) = 0, A tidak memiliki invers dan disebut singular.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 22 / 66
Matriks Invers
ContohDengan menggunakan metode matriks adjoin, dapat ditunjukkan jikamatriks A berukuran 2 x 2
A =(
a bc d
), det (A) 6= 0, ad− bc 6= 0
maka
A−1 =1
ad− bc
(d −b−c a
).
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 23 / 66
Matriks Invers
Soal
Dengan menggunakan metode matriks adjoin, tentukan inversmatriks-matriks berikut
A =(
3 1−2 −1
), B =
(2 1 30 2 11 1 2
)
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 24 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
Operasi baris dasar (OBD)
1 Tukarkan baris ke-i dan ke-jNotasi: Eij
2 Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k 6= 0Notasi: Ei(k)
3 Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j, k 6= 0, i 6= jNotasi: Eij(k)
Catatan: Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E1, E2, . . . , Enyang dikenakan pada matriks A ditulis
En . . . E2E1(A).
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 25 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
Soal operasi baris dasar
Soal
Jika diketahui
A =
(1 2 32 1 21 1 4
).
Tentukan matriks B = E2(−1)E13(2)E12(A).SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 26 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
Ekuivalen baris
DefinisiMatriks A dikatakan ekuivalen baris dengan matriks B, notasi A ∼ B,apabila terdapat serangkaian operasi baris dasar E1, E2, . . . , En,sehingga
B = En . . . E2E1(A).A˜E1˜A1˜E2˜...˜En˜B
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 27 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
Soal
Tentukan serangkaian operasi baris dasar terhadap matriks A,
A =
(1 2 −32 6 −101 −2 9
)
sehingga A ekuivalen baris dengan matriks segitiga atas kemudian tentukandeterminan dari matriks segitiga atas tersebut.
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 28 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
Pangkat matriks
Definisi (Pangkat matriks)
Misalkan A matriks berordo m× n. Pangkat atau rank matriks A,notasi: p (A) (dibaca: pangkat matriks A), didefinisikan sebagai ordoterbesar submatriks segi A yang determinannya tidak nol.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 29 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
Soal
Tentukan pangkat matriks berikut.
1 A =(
1 0 1 21 1 0 0
)2 B =
(1 −1 00 1 10 2 2
)
3 C =
(5 −1 00 2 10 0 −1
)SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 30 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
Menentukan pangkat matriks menggunakan OBD
Teorema (Menentukan pangkat matriks)
Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkatmatriks asal.
Catatan: Jika A ∼ B, maka p (A) = p (B).Prosedur:
1 Lakukan operasi baris dasar terhadap matriks sehinggaberbentuk matriks mirip segitiga atas
(aij = 0, i > j
).
2 Pangkat matriks adalah banyaknya baris matriks hasil OBD yangtidak semua elemennya nol.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 31 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks
Soal
Dengan menggunakan operasi baris dasar, tentukan pangkat matriks berikut.
1 A =
(1 −1 23 −1 04 −2 2
)
2 B =
(1 −1 2 13 −1 0 14 −2 2 1
)SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 32 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Persamaan Linear
Definisi (Persamaan linear)Suatu persamaan dalam n variabel x1, x2, . . . , xn dikatakan linear biladapat dituliskan dalam bentuk
c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn = k
di mana c1, c2, . . . , cn dan k adalah konstanta real.
Contoh:
1 2x = 5 adalah persamaan linear.2 3x+ 6y+ 2z = 10 adalah persamaan linear.3 4xy+ 6z = 7 bukan persamaan linear.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 33 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Sistem Persamaan Linear
Definisi (Sistem persamaan linear)
Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan nvariabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalambentuk
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 34 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks
AX = B
di mana
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
X =
x1x2...
xn
B =
b1b2...
bn
Catatan:
1 A disebut matriks koefisien2 (A|B) disebut matriks yang diperbesar atau matriks gandeng3 Jika B = O, SPL disebut SPL homogen4 Jika B 6= O, SPL disebut SPL takhomogen
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 35 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Soal
1 Periksa apakah persamaan di bawah ini linear atau tidak.1 2x1 + x2 − x3 = 02 x1 + x2x3 + x4 = 03 sin x1 + x2 + 3x3 = 24 x1 + x2 − 2x3 = x4 + 1
2 Tuliskan SPL berikut ke dalam bentuk perkalian matriks AX = B danmatriks yang diperbesar A|B.
2x− 3y+ 2z = 02x− y− z = 1
3x− 2y+ z = 1
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 36 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Soal
Tuliskan SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar berikut. −1 1 25 4 92 0 −30 1 −4
∣∣∣∣∣∣∣12−17
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 37 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Penyelesaian SPL
Definisi (Penyelesaian SPL)
Penyelesaian atau solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaandan n variabel adalah pasangan n bilangan (s1, s2, . . . , sn) yangmemenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. (s1, s2, . . . , sn)berkorespondensi secara berurutan dengan (x1, x2, . . . , xn).
Penyelesaian SPL:
tidak adatunggalbanyaknya takhingga
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 38 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Ilustrasi: Kemungkinan solusi SPL berikut
l1 : a1x+ b1y = c1
l2 : a2x+ b2y = c2
ada tiga, yaitu:
Tidak ada Penyelesaian tunggal Banyak penyelesaian
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 39 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Kekonsistenan SPL
Definisi (Kekonsistenan SPL)Suatu SPL dikatakan konsisten bila sekurang-kurangnya memilikisatu penyelesaian dan dikatakan takkonsisten bila tidak memilikipenyelesaian.
Teorema (Kekonsistenan SPL)Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m× n,konsisten jika dan hanya jika p(A) = p(A|B). Jika SPL konsisten dan
1 p(A) = n, maka SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal.2 p(A) < n, maka SPL tersebut memiliki banyak penyelesaian.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 40 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Soal
1 Tentukan kekonsistenan SPL berikut.
2x+ y− 2z+ 3w = 13x+ 2y− z+ 2w = 4
3x+ 2y+ 3z− 3w = 5
2 Tentukan α agar SPL berikut: a. konsisten b. takkonsisten
x− 3y+ 2z = 42x+ y− z = 1
3x− 2y+ z = α
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 41 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A berordom× n.Konsep dasar:
1 Jika (A|B) ∼ (C|D), maka penyelesaian SPL dengan matriks yangdiperbesar (A|B) dan penyelesaian SPL dengan matriks yangdiperbesar (C|D) adalah sama.
2 Jika C berbentuk matriks segitiga atas atau mirip matriks segitigaatas, sehingga matriks (C|D) seperti pada gambar:
(1) (2)
C matriks segitiga atas C mirip matriks segitiga atasmaka SPL AX = B konsisten.
3 Jika C berbentuk mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks(C|D) seperti pada gambar:
(3)
maka SPL AX = B takkonsisten.
Catatan: Bagian yang tidak diarsir semua elemennya nol.(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 42 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Prosedur Penyelesaian SPL
Prosedur:
1 Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar (A|B).2 Lakukan serangkaian operasi baris dasar sehingga(A|B) ∼ (C|D), dengan (C|D) merupakan matriks seperti padagambar (1),(2), atau (3).
3 Jika (C|D) merupakan matriks seperti pada (3), maka SPLtakkonsisten.
4 Jika (C|D) merupakan matriks seperti pada (1) atau (2), lakukansubstitusi mundur pada SPL CX = D.
5 Penyelesaian pada langkah 4 merupakan penyelesaian SPLAX = B.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 43 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Soal
Tentukan penyelesaian SPL berikut.
1 x1 + 2x2 + x3 = 52x1 + 2x2 + x3 = 6x1 + 2x2 + 3x3 = 9
2 x1 + x2 + 2x3 = 15x1 + x3 = 10
2x1 + x2 + 3x3 = 25SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 44 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Penerapan SPL
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 45 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Soal
Seorang petani yang sukses memiliki 3 buah kebun, yaitu kebun A, B dan C,yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebunA diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untukmemanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor dan 2mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orangkuli, 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut, tentukan luasmasing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebuttermanfaatkan seluruhnya.
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 46 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Soal
Sebuah perusahaan distributor barang akan mendistribusikan barang dari 2gudang yang terletak di kota A yang memuat 40 satuan barang, sedangkangudang yang kedua terletak di kota B yang memuat 30 satuan barang.Barang-barang tersebut akan didistribusikan ke kota C dan D yangmasing-masing membutuhkan 20 dan 50 satuan barang. Ongkospengangkutan dari kota A ke kota C sebesar Rp 2.000,00; dari kota A ke kotaD sebesar Rp 1.000,00; dari kota B ke kota C sebesar Rp 3.000,00 dan darikota B ke kota D sebesar Rp 1.000,00. Biaya minimum pengangkutanbarang-barang tersebut sebesar Rp 90.000,00. Tentukan banyaknya barangyang diangkut dari kedua gudang ke kota C dan D agar biaya pengangkutanminimum terpenuhi.
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 47 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)
Tentang Slide
Penyusun: Dosen Dep. Matematika FMIPA IPBVersi: 2012 (sejak 2009)Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 48 / 66
Solusi
Solusi Matriks A dengan elemen yang didefinisikan tersebut:
1 A =
(1 1 12 1 23 3 1
)
2 A =
0 2 2 2 21 0 3 3 32 1 0 4 43 2 1 0 5
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 49 / 66
Solusi
Solusi Submatriks dari matriks A adalah:
a. Aa =
(0 11 5
)b. Ab = ( 2 2 )
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 50 / 66
Solusi
Solusi Operasi matriks
a.(
6 −2 1−1 4 11
)b.(
1 −207 7
)c.(−4−7
)d.(
6 55 25
)e.(−5 11−4 3
)f. Tidak terdefinisi karena ukuran A adalah 2 x 3 sedangkan ukuranBD adalah 2 x 1.
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 51 / 66
Solusi
Solusi
|C| = 0− 0+ 1×∣∣∣∣∣ 1 0 −1
0 1 1−1 1 1
∣∣∣∣∣− 1×∣∣∣∣∣ 1 0 0
0 1 1−1 1 −1
∣∣∣∣∣= ((1+ 0+ 0)− (1+ 1+ 0))− ((−1+ 0+ 0)− (0+ 1+ 0))= −1+ 2 = 1
, determinant
1 Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 52 / 66
Solusi
Solusi |A| = 0|B| = −6|C| = 0
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 53 / 66
Solusi
Solusi
A−1 =
(1 1−2 −3
)B−1 =
(3 1 −51 1 −2−2 −1 4
)
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 54 / 66
Solusi
Solusi
B =
(4 3 10−1 −2 −31 1 4
)
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 55 / 66
Solusi
Solusi
A =
(1 2 −32 6 −101 −2 9
)∼(
1 2 −30 2 −40 −4 12
)∼(
1 2 −30 2 −40 0 4
)= B
dan determinan matriks B adalah 8.Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 56 / 66
Solusi
Solusi1 Pangkat = 22 Pangkat = 23 Pangkat = 3
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 57 / 66
Solusi
Solusi Penentuan pangkat matriks dengan operasi baris dasar.
1 A =
(1 −1 23 −1 04 −2 2
)∼(
1 −1 20 2 −60 0 0
). Pangkat = 2
2 B =
(1 −1 2 13 −1 0 14 −2 2 1
)∼(
1 −1 2 10 2 −6 −20 0 0 −1
). Pangkat = 3
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 58 / 66
Solusi
Solusi1 Persamaan sebelumnya adalah:
1 Linear.2 Tidak linear, karena terdapat perkalian x2x3.3 Tidak linear, karena terdapat fungsi trigonometri.4 Linear.
2 SPL dalam bentuk perkalian matriks yang diperbesar:(2 −3 22 −1 −13 −2 1
∣∣∣∣∣ 011
)
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 59 / 66
Solusi
Solusi SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar tersebutadalah:
−x+ y+ 2z = 15x+ 4y+ 9z = 2
2x− 3z = −1y− 4z = 7
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 60 / 66
Solusi
Solusi
1
2 1 −2 30 1
2 2 − 52
0 0 4 −5
∣∣∣∣∣∣1521
. Konsisten dan memiliki banyak
penyelesaian.2 Penentuan nilai α (
1 −3 20 7 −50 0 0
∣∣∣∣∣ 4−7
α− 5
)
Agar SPL tersebut konsisten, haruslah α = 5. Jika α 6= 5, makaSPL tersebut tak konsisten.
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 61 / 66
Solusi
Solusi1 Penyelesaian SPL (
1 2 10 −2 −10 0 2
∣∣∣∣∣ 5−44
)
Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan penyelesaiantunggal dengan nilai x3 = 2, x2 = 1, x1 = 1.
2 Penyelesaian SPL (1 1 20 −1 −10 0 0
∣∣∣∣∣ 15−50
)
Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan banyakpenyelesaian. Misal x3 = s, maka x2 = 5− s dan x1 = 10− s
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 62 / 66
Solusi
Solusi Misal x, y, z adalah luas kebun A, B dan C. Setiap barismerepresentasikan kuli, mandor dan mobil pengangkut.
x y z KetersediaanKuli 8 5 10 74
Mandor 2 3 - 18Mobil 1 2 3 20
8x+ 5y+ 10z = 742x+ 3y = 18
x+ 2y+ 3z = 20x, y, z ≥ 0
Diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar adalah:(8 5 102 3 01 2 3
∣∣∣∣∣ 741820
)E13
˜
(1 2 32 3 08 5 10
∣∣∣∣∣ 201874
)E21(−2)E31(−8)
˜
(1 2 30 −1 −60 −11 −14
∣∣∣∣∣ 20−22−86
)E32(−11)
˜
(1 2 30 −1 −60 0 52
∣∣∣∣∣ 20−22156
)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 63 / 66
Solusi
Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan
52z = 156 =⇒ z = 3−y− 6z = −22 =⇒ −y− 18 = −22 =⇒ y = 4
x+ 2y+ 3z = 20 =⇒ x+ 8+ 9 = 20 =⇒ x = 3
solusi z = 3, y = 4, x = 3.Solusi Jadi, agar aset petani tersebut dapat termanfaatkan seluruhnya,luas kebun A adalah 3 hektar, luas kebun B adalah 4 hektar, dan luaskebun C adalah 3 hektar. Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 64 / 66
Solusi
Solusi Misal diberikan variabel sebagai berikut:
w adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke C.x adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke D.y adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke C.z adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke D.
1 1 0 01 0 1 00 0 1 10 1 0 1
2000 1000 3000 1000
∣∣∣∣∣∣∣∣∣40203050
90000
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 65 / 66
Solusi
Dari hasil penyederhanaan tersebut, banyaknya distribusi barang agarbiaya pengangkutan minimum terpenuhi adalah sebagai berikut:Solusi
Banyaknya barang dari gudang A ke C adalah 20 barang.Banyaknya barang dari gudang A ke D adalah 20 barang.Tidak ada barang dari gudang B ke C.Banyaknya barang dari gudang B ke D adalah 30 barang.
Soal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 66 / 66
top related