materi kalkulus

Salis Ambar Wibowati

Kalkulus I

Bilangan Asli contohnya : 1, 2, 3, 4, 5, ...

Bilangan Bulat contohnya : ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Bilangan Rasional Bilangan ini terbentuk karena bilangan asli dan bilangan bulat tidak memadai untuk keperluan pengukuran.Bentuk umumnya :

dimana m merupakan bil. bulat n merupakan bil. bukan nol

Bilangan Tak Rasional Bilangan ini terbentuk karena bilangan rasional tidak bisa digunakan untuk mengukur semua panjang.Fakta :

contoh bilangan tak rasional : , , , ...

Menurut pythagoras

a

b maka

Jika :a= 1b= 1maka panjang sisi miring =

: bilangan tak rasional

Bilangan Komplexbilangan ini didefinisikan dengan formula berikut :

a + b a + b i

Bil. riil sendiri termasuk bil. Komplex b = 0contoh bil. Komplex :4+3i, -7+5i, 9-i, 3, 1000, 8, 0, dll

B. Riil

B. Riil

i

Aturan Operasi Matematik pada Bil Komplex :( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i( a + bi ) - ( c + di ) = ( a - c ) + ( b - d )i( a + bi ) . ( c + di ) = ac + bc i + ad i + bd i2

; i2 = -1 = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i

; asal c & d ≠ 0

Empat Operasi Hitungan1. Penambahan (+)2. Perkalian ( x atau . )

Sifat – sifat penambahan dan perkalian : Hukum Komutatif

x + y = y + x dan xy = yx Hukum Asosiatif

x + ( y + z ) = ( x + y ) + z dan x(yz) = (xy)z Hukum Distribusi

x (y + z ) = (xy) + (xz)

Elemen – elemen Identitas ada 2 yaitu 0 dan 1x + 0 = x dan x.1 = x

Balikan (Invers)o Setiap bilangan x mempunyai balikan

aditif (negatif x) yang memenuhi : x + (-x) = 0o Setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai

balikan perkalian (seper x) yang memenuhi :

3. Pengurangan (-)Dapat dipandang sebagai penambahan, karena :

Sehingga pengurangan memiliki sifat-sifat di atas.

4. Pembagian ( : )Dapat dipandang sebagai perkalian karena :

sehingga pembagian memiliki sifat-sifat di atas.

Urutan pada Garis Bilangan

Misalkan x < y berarti x berada di sebelah kiri y pada garis bilangan riil.

x y

sifat – sifat urutan :

Desimal, Kerapatan, Kalkulator

Desimal Semua bilangan rasional dapat ditulis dalam desimal. Contohnya :

Pola desimal ada 2 :Desimal tak berulang

contohnya : Desimal berulango Tak mempunyai akhir. Ex :o Mempunyai akhir. Ex :

KerapatanDiantara 2 bilangan riil sembarang yg berlainan x dan y terdapat bilangan riil lainnya, khususnya z = (x+y)/2 adalah bilangan pertengahan antara x dan y.

x

z

y

antara 2 bilangan riil yg berlinan (berapapun dekatnya) terdapat tak terhingga bilangan riil lainnya.

rasional

Tak rasional

KalkulatorPanjang desimal pada kalkulator telah ditentukan sebelumnya(oleh pembuat) sehingga bila berhadapan dengan desimal yg melebihi panjang desimal kalkulator (berhadapan dengan bilangan tak rasional) maka kalkulator akan melakukan pembulatan.Contohnya:kalkulator 10 digitmaka :

dll..

KetaksamaanMenyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari

semua himpunan bilangan riil yg membuat ketaksamaan berlaku.

Himpunan pemecahan suatu ketaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan.

Selang / Interval :o Selang terbuka a < x < b a & b tdk termasuk

dlm xo Selang tertutup a ≤ x ≤ b a & b termasuk dlm xo Selang campuran a ≤ x < b a termasuk dlm x, b

tdk

a < x ≤ b a tdk, b termasuk dlm x

Menyelesaikan KetaksamaanOperasi berikut dpt digunakan dalam proses penyelesaian ketaksamaan :

1) Menambahkan bilangan yg sama pada kedua sisi ketaksamaan.

2)Mengalikan kedua sisi ketaksamaan dengan suatu bilangan positif.

3)Mengalikan kedua sisi ketaksmaan dengan suatu bilangan negatif, kemudian membalikkan arah tanda ketaksamaan.

Sebagai contoh :1.

Penyelesaian :

Penyelesaian : atau Secara grafik :

(ditambahkan 7)

(tambahkan -4x)

(kalikan dengan )

-3

-5/2 -2

Nilai MutlakNilai mutlak suatu bilangan riil x dinyatakan oleh |x|, didefinisikan sebagai :

|x| = x jika x ≥ 0|x| = -x jika x < 0

Sifat – sifat Nilai Mutlak :|ab| = |a| |b| |a – b|≥ ||a| - |b|| |a + b| ≤ |a| + |b| ketaksamaan segitiga