matematika 2 - slide week 3 - integral substitusi trigonometrik

Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Matematika 2Integral Substitusi Trigonometrik

Beny Nugraha, MT, M.Sc

03

FAKULTAS TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Definisi

• Integral adalah proses kebalikan dari diferensiasi.

•Apabila diberikan suatu fungsi f(x) dan diinginkan

untuk mencari hasil integrasi F(x) sedemikian sehingga:

Definisi

• Setiap fungsi F(x) tersebut dinamakan suatu anti-derivatif dari fungsi f(x) dan dinotasikan dengan persamaan:

Definisi

• f (x) dinamakan integran (yang diintegralkan) dan x dinamakan integrator. Integral di atas dinamakan integral tak tentu sebab tidak merujuk pada nilai numerik tertentu, atau tidak menunjuk suatu batas tertentu untuk daerah integrasi.

• Nilai c disebut juga sebagai konstanta integrasi

Definisi

• Integral dari fungsi nol secara tepat adalah semua fungsi konstan. Dituliskan dengan persamaan berikut:

Integral Tak Tentu

• Telah disebutkan bahwa integral tak tentu adalah integral yang tidak dibatasi oleh suatu interval, dan dinotasikan sebagai berikut:

• Di mana nilai c disebut juga sebagai konstanta integrasi.

• Untuk menghitungnya digunakan rumus:

Integral Tak Tentu

Contoh:1. ∫x5 dx

Jawab:Dengan rumus:

Maka:

Integral Tak Tentu

Contoh:2. ∫(2x3 + 3x2 + x + 7) dx

Jawab:

Integral Tak Tentu

Beberapa Rumus Integral Tak Tentu:

Integral Tak Tentu

Contoh:3. ∫sin 3x sin 2x dxJawab:Dengan rumus trigonometri:

Maka:

Integral Tak Tentu

Contoh:4. ∫e4x dxJawab:

∫e4x dx = ¼ e4x + c

Integral Tak Tentu

Contoh:5. ∫ x2 (2x3 + 3)1/2 dxJawab:

Aturan Dalam Integral

• Aturan Perkalian Konstan:Jika suatu fungsi f (x) mempunyai anti-derivatif, maka untuk sembarang bilangan riil c, dipunyai:

Aturan Dalam Integral

• Aturan Penjumlahan:Jika f (x) dan g (x) mempunyai antiderivatif, maka:

Aturan Dalam Integral

• Contoh penggunaan dua aturan di atas:6. ∫(x3 + 3x + 1) dxJawab:

Integrasi Parsial

• Integrasi parsial dinotasikan sebagai berikut:

Integrasi Parsial

Contoh:7. ∫x cos (x) dx

Jawab:Untuk menghitung integral di atas, diambil u = x dan dv = cos (x) dx dengan du = dx dan v =∫cos(x) dx = sin (x) + k, konstanta k dihilangkan karena hanya dibutuhkan bagian sin(x) saja.

Integrasi Parsial

Dengan u = x dan dv = cos (x) dx & du = dx dan v =∫cos(x) dx = sin (x) + k. Maka:

Integral Tentu

• Integral tentu adalah integral yang memiliki interval. Integral ini dinotasikan sebagai berikut:

• Di mana nilai a & b adalah interval atau batasnya.

Integral Tentu

Contoh:8. Hitung hasil dari integral berikut:

Jawab:

Integral Substitusi Trigonometri• Untuk menyelesaikan integral yang memuat

bentuk akar kuadrat maka diperlukan substitusi trigonometri agar bentuk akarnya hilang.

• Apabila peubahnya telah diganti dengan fungsi trigonometri yang sesuai, maka bentuknya akan berubah menjadi fungsi trigonometri biasa.

Integral Substitusi Trigonometri• Bentuk konversinya adalah:

Integral Substitusi TrigonometriContoh:1. Selesaikan

Jawab:Dilihat pada tabel, substitusikan x = 3 sin θ dx = 3 cos θ dθ. Sehingga:

Integral Substitusi TrigonometriContoh:2. Selesaikan

Jawab:Dilihat pada tabel, substitusikan x = 2 tan θ dx = 2 sec2 θ dθ. Sehingga:

PR!!!!

Selesaikan

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc