mata kuliah kalkulus i (4 sks) dosen : ir. renilaili, mt

MATA KULIAH KALKULUS I (4 sks)

Dosen : Ir. RENILAILI, MT

Pertemuan ke 1sistem bilangan

Sistem bilangan

• Bilangan merupakan angka mulai dari 0 sampai 10 , tetapi bisa juga bilangan itu berupa pernyataan , seperti bilangan biner , bilangan decimal, bilangan ekponen , bilangan irrasional,bilangan imaginer dll.

Bilangan dasar 10

• 2763 = 2.10

• 2783 = 2.10 3 +7.10 2+ 8.10 1+3.10 0

• 3896,475 = 3.10 3 +8.10 2 + 9.10.1

• +6.10 0 + 4. 10 -1 + 7.10 -2

+ 5.10 -3

Pertemuan ke dualatihan soal-soal

Latihan soal soal

• Latihan untuk merubah ke bilangan biner

• Soal-soal:

2789 =

4789 =

9765 =

7569 =

6754 =

Pertemuan ketigamerubah basis

Merubah basis

• Cara merubah basis dapat dilakukan dengan jalan membagi bilangan tersebut secara terus menerus sampai bilangan tersebut menghsilkan bilangan 0

• Contoh

• 524 = 1014 8

• 897 = 629 12

• 0,526 = 0,4152 8

Pertemuan ke empatlimit

LIMIT

Difinisi :

f (x) dikatakan mempunyai limit L untuk x → x0, bila untuk setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjuk bilangan positif δ sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi

TEOREMA LIMIT

Teorema Limit Jika K suatu konstanta, f dan g adalah fungsi – fungsi yang

mempunyai limit untuk x → a, a ε R.• f (x) = k → lim f (x) = k x → a• f (x) = k → lim f (x) = a x → a• Lim [ f(x) + g (x) ] = lim f(x) + lim g (x) x → a x → a x → a• Lim [ f(x) – g (x)] = lim f(x) – lim g (x) x → a x → a x → a• Lim k f(x) = K. lim f(x) x → a x → a

1. Lim [ f(x) . g (x) = lim f(x) . lim g (x) x → a x → a x → a

)(

)(

xg

xf

)(

)(

xgaxLim

xfaxLim

2. Lim =

x → a

3. Lim [ f(x) ]n = [lim f(x)]n , n bilangan bulat

x → a x → a

n xf )( n xf )(lim4. Lim = , n bilangan asli n ≥ 2

x → a x → a

5. Lim [ f(x)]m/n = nmxf )](lim

x → a x → a

= mn xfLim )( , m bilangan bulat lim f(x) ε R

x → a

3

3214

222

3lim1lim31lim.2 22

xxx

xxxx

1055

55

5lim

5

55lim

5

25lim.3

2

xx

x

x

xx

x

x

xx

xx

xx

xxx

xx

10

3

5

11107

53

lim51110

753lim.7

3

23

22

Contoh-contoh penyelesaian limit

22

4222

22lim

2

4lim.12

2

xx

x

xx

x

x

105323

333

5limlim2lim52lim.10

2

22

xxx

xxxx

4

lim

x 2

4

x

x4

lim

x2

)2)(2(

x

xx4) =

=

4

lim

x 4242 x

Pertemuan ke limalatihan soal-soal limit

Soal-soal latihan

Lanjutan soal

Pertemuan ke enamdifferensial

DIFFERENSIAL

Fungsi Aljabar

f (x) difefenisikan sebagai fungsi x, dapat ditulis dengan singkat sebagai y dan f’ (x) merupakan turunan dari f (x) juga dalam hal ini dapat ditulis dengan dy/dx, tetapi ada fungsi-fungsi lainnya yang dalam buku ini ditulis sebagai u dan v yang digunakan untuk memperpendek cara penulisan.

RUMUS-RUMUS DASAR

1. f (x) = xn

f’ (x) = n. xn-1

Contoh

f (x) = x5

f’ (x) = 5. x4

f (x) = 2x3

f’ (x) = 6x2

2. f (x) = u - v

f’ (x) = u’ – v’

Contoh 1 : f(x) = (2x + 5) – (3x2 + 10) f’(x) = (2) – (6x)

Contoh 2 : f(x) = (2x3 + 5x) – (3x2 + 4) f'(x) = (6x2 + 5) – (6x + 4) f’(x) = 6x2 – 6x + 1

3. f (x) = u + v

f’ (x) = u’ + v’

Contoh 1 : f(x) = (3x3 + 10) + (5x2 + 6) f’(x) = (9x2) + (10x)

Contoh 2 : f(x) = (2x5 + 6x) + (3x2 + 10x) f’(x) = (10x4 + 6) + (6x + 10) = 10x4 + 6x + 16

4. f (x) = u . v f’ (x) = u’v + v’u

Contoh 1 : f(x) = (2x5 + 3) . (3x2 + 1)

f’x) = (10x4) (3x2 + 1) + (6x) (2x5 + 3) = (30x6 + 10x4) + (12x6 + 18x) = 42x6 + 10x4 + 18x

Pertemuan ke tujuhlatihan soal -soaldiff fungsi aljabar

LATIHAN SOAL

1.f(x) = (x3+3) – (x4+4x2)

2.f(x) = (x3+3x2) + (x3+5x)

3.f(x) = (x3+4x2+5x+10)

4.f(x) = (x5+3x) . (x2+2x)

5.f(x) = (x3 + 2x) 1/2

2

111

.5

v

vuvuxf

v

uxf

Contoh 1 :

2

2

2

22

2

21

2

12

1066

12

106612

12

532126

12

53

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

x

xxf

6. f (x) = un f’x) = n.un-1.u’

Contoh :

f(x) = (3x2 + 4)3

f’(x) = 3(3x2 + 4)3-1(6x)

= 18x (3x2 + 4)2

2

1111

.7

v

uvvu

v

unxf

v

uxf

n

n

6

4

2

4

2

4

1

5

1

5

1

1

15

1

111

15

1

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

xxf

x

xxf

Contoh 1 :

Pertemuan ke lapanQuisioner

QUISIONER

f(x) = (x3 + 5) (2x + 1)

f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7)

f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x)

f(x) = (2x3+3x)5

52

12

x

xxf

5

2

2

3

1

x

xxf

21

1

8

x

xxf

Pertemuan ke sembilandiff fungsi implisit

Fungsi Implisit

Differensial secara implisit, caranya differensialkan variabel x seperti biasa, kemudian differensialkan variabel y seperti variabel x, tetapi

harus dikalikan dengan dy/dx

2

2

22

22

32

32

32

0032

02

xx

xxyy

dx

dy

xxyydx

dyxx

xdx

dyxxyy

dx

dyx

xyxyx

Pertemuan ke sepuluhlatihan soal-soal

diff fungsi implisit

Latihan soal-soaluntuk fungsi implisit

selesaikanlah differensial fungsi implisit berikut ini :

0105.

052.22

223

xxyyxb

yxxyyxa

Pertemuan ke sebelasdiff fungsi trigonometri

Fungsi Trigonometri

Tabel 1.

Koefisien Differensial Baku

xfdx

dy 1

No

y = f(x)

1 sin x cos x

2 cos x -sin x

3 tg x sec2 x

4 ctg x -cosec2 x

5 sec x sec x tg x

6 Cosec x -cosec x tg x

Pertemuan ke duabelasdiff fungsi eksponen

FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARIMA

Pertemuan ke tigabelaslatihan soal-soal

diff fungsi exponen dan logaritma

xx eedx

dy 1

xx eedx

dy 33 632

xdx

dy 1

aadx

dy x ln

axdx

dy

ln

1

)3()3( 1 xx eedx

dy

1. y = ex

2. y = 2e3x

3. y = ln x

4. y = ax

5. log a x

6. y = e(3-x)

CONTOH PENYELESAIAN SOAL-SOAL

Pertemuan ke empatbelasmid test

MID TESTSELESAIKANLAH DIFFERENSIAL FUNGSI-FUNGSI BERIKUT INI DENGAN WAKTU 60 MENIT.

1. f(x) = ( 2x4 + 3x2 + 5x + 55 )

2. f(x) = ( 3x2 + 5x3 ) + ( 4x3 - 2x3 )

3. f(x) = ( 3x4 + 5x2 ) 7

4. f(x) = ( 3x 3_ 4x2 ) . ( 2x4 + 5x )

5. f(x) = sin 2x3 + 3tg 2x

6. f(x) = ( cos 3x + 5 ) . ( sin 3x2 )

7. f(x) = ( e 3x + 5x2 ) + ( sin 3x2 + 5 )

Pertemuan ke limabelaspenerapan differensial

PENERAPAN DIFFERENSIAL

• Garis Singgung dan Garis Normal suatu kurva disebuah titik tertentu.Kemiringan kurva y = f(x) disebuah titik P pada kurva ditentukan oleh kemiringan garis singgungnya dititik P. Kemiringan ini juga diberikan oleh harga dititik P. Yang dapat dihitung bila persamaan kurvanya diketahui. Jadi kita dapat menghitung kemiringan garis singgung suatu kurva dititik P. Kita tahu bahwa garis singgung tersebut melalui titik P, yaitu bila x = x1 dan y = y1.

• Persamaan garis untuk menghitung kemiringan adalah: y-y1 = m (x-x1)

JARI-JARI KELENGKUNGAN

Pertemuan ke enambelaslatihan soal

penerapan differensial

Latihan soal

1. Tentukanlah jari-jari kelengkungan kurva

dititik (2,3)

2. Tentukanlah persamaan garis singgung

dari garis normal kurva

y = x3 – 2x2 + 3x – 1 dititik (2,5).

x

xy

3

411

Pertemuan ke tujubelasIntegral

INTEGRAL

PengertianIntegral boleh disebut sebagai “anti turunan” atau kebalikan dari differensial, kalau dalam differensial pangkat dari variabel x berkurang satu, sebaliknya dalam integral pangkat dari variabel x bertambah satu. Dalam operasi matematika ada dua macam operasi yang saling berlawanan, operasi yang demikian merupakan operasi balikan (inversi).

Dalam operasi balikan itu misalnya pengurangan dan penambahan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar serta penarikan logaritma dan perhitungan logaritma.

MACAM –MACAM INTEGRAL

Dalam menyelesaikan suatu fungsi integral, maka perlu kita ketahui bahwa ada beberapa macam fungsi yang dapat dikelompokkan sebagai beriktu :

• Integral tak tentu• Integral parsiil• Integral fungsi rasional• Integral fungsi trigonometri• Integral logaritma dan exponen• Integral denan substitusi

RUMUS-RUMUS DASAR

Ca

adxa

Cek

dxe

Cedxe

Cxx

dx

CXn

dxx

xx

kxkx

xx

nn

ln.5

1.4

.3

ln.2

1

1.1 1

Cxdxxctg

Cxdxxtg

Cxdxx

Cxdxx

sinln.9

cosln.8

sincos.7

cossin.6

Cxx

dx

Cxctgdxxec

Cxtgdxx

Cxctgxecdxxec

Cxtgxdxx

arcsin1

.14

cos.13

sec.12

coslncos.11

seclnsec.10

2

2

2

Pertemuan ke delapanbelasIntegral tak tentu

INTEGRAL TAK TENTU

CXn

dxx nn

1

1

1

INTEGRAL TAK TENTU

Contoh-contoh

XXXX

CXX

CXX

dxxdxxxxxxdxx

Cxxxdxdxxdxxdxxxdxx

CXCXCXdxXX

dx

CXXCXCXdxxxdx

2

2

5

2

3

12

31

2

1

3

3

2

1

23222

33

113

2

3

2

3 2

2

3

13

1

2

1

5

2

3

25

2

3

2

12

31

12

11

1.6

42

4

3

144442.5

331

3

21

.4

3

2

3

2

12

11

.3

Pertemuan ke sembilanbelasIntegral dengan substitusi

INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

dxxx 223 3.2

Cx

Cu

Cuduu

33

3

122

23

13

1

12

1

Misalnya : x3 + 2 = u 3x2dx = du

Cx

Cu

Cu

duuduudxxx

2

32

2

1

12

1

2

1

2

123

29

23

2

3

1

121

1

3

1

3

1

3

1.2

Pertemuan ke duapuluhlatihan soal-soal

integral tak tentu danintegral dg substitusi

Latihan soal

dxx 4.1

2.2

x

dx

dxx3 2.3

5 3.4

x

dx

dx

x

xx 24.5

2

x

dx

32.6

1

.72x

dxx

3 23

2

5.8

x

dxx

Pertemuan ke duapuluhsatuIntegral parsiil

INTEGRAL PARSIIL

Suatu bentuk integral yang sering timbul, ialah suatu integral yang integralnya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x dengan differensial dari fungsi x yang lain. Andaikan u dan v adalah fungsi dari x, maka dicari hasil dari bentuk :

Agar kita dapat menggunakan rumus ini, bentuk dari integral dari integral yang kita ketahui harus dibuat menjadi dua bagaian satu bagain sesuai dengan u dan bagian yang lain bersama-sama dengan dx sesuai dv. Untuk lebih jelasnya kita ambil beberapa

vduvuudv .

Contoh Integral parsiil

Cxxx

dxxxx

dxx

xxx

vduvudxxx

Cxdxxv

dxxdv

dxx

du

xuyaMisa

dxxx

x

33

23

3

2

32

2

2

9

1ln

3

13

1ln

3

1

1

3

1

3

1ln

ln

3

1.

1

ln:ln

ln.

Pertemuan ke duapuluhdualatihan soal-soalIntegral parsiil

Latihan soal

dxxx 2cos

dxex x32

dxxx ln3

Pertemuan ke duapuluhtigaIntegral fungsi rasional

Integral fungsi rasional

Dalam menyelesaikan integral fungsi rasional ada cara yang dapat digunakan agar penyelesaian tersebut dapat dengan mudah kita selesaikan.

Caranya adalah sebagai berikut : Bagian kiri identik dengan bagian kanan, berarti koefisien-koefisien dari x yang berpangkat sama dari kedua bagian tersebut harus sama.

CONTOH INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

dx

xx

x

67

123

213132

302167

12

32167

3

3

xxCxxBxxA

x

C

x

B

x

Adx

xx

x

xxxxx

dalam hal ini x3 – 7x + 6 kita uraikan dalam bentuk faktor :

Maka persamaan menjadi :

Cxxx

x

dx

x

dx

x

dx

dxx

dxx

dxx

dxx

Cdx

x

Bdx

x

Adx

xx

x

3ln4

12ln1ln

4

3

34

1

21

14

3

34

1

2

1

14

3

32167

123

Pertemuan ke duapululimalatihan soal-soal

Integral fungsi rasional

6116

5223 xxx

dxx

604712

10523 xxx

dxx

LATIHAN SOAL FUNGSI RASIONAL

Pertemuan ke duapuluenamlatihan soal-soal

campuran

Slatihan soal-soal campuran

1.f(x) = (x3 + 5) (2x + 1) 2. f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7) 3. f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x) 4. f(x) = (2x3+3x)5

Pertemuan ke duapulutujuhlatihan soal-soal

campuran

Slatihan soal-soal campuran

1.f(x) = (x3 + 5) (2x + 1) 2. f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7) 3. f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x) 4. f(x) = (2x3+3x)5

Pertemuan ke duapuluhdelapanujian semester