makalah

MAKALAH

IMPLEMENTASI INTEGRAL LIPAT DUA

UNTUK MENENTUKAN LUAS DAN VOLUME PADA KOORDINAT

KARTESIUS

Disusun Untuk Memenuhi Tugas

Mata Kuliah Kalkulus Lanjut II

Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Astuti

Oleh:

ISMIYATI (4101409010)APRI KURNIAWAN (4101409014)

DIAN SEPTIANI (4101409053) TEGUH ANANTA W (4101409115) VANI FEBRI ITSNANI (4101409080)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2011

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Deskripsi

Makalah ini akan membahas tentang implementasi integral lipat dua dalam menghitung

luas dan volume.

1.2 Prasyarat

Materi Prasyarat yang diperlukan adalah sebagai berikut:

1. Geometri Dasar.

2. Kalkulus 1, Kalkulus 2, Kalkulus Lanjut 1.

1.3 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut:

1. Bagaimana menghitung luas menggunakan integral lipat dua.

2. Bagaimana menghitung volume menggunakan integral lipat dua.

1.4 Kompetensi dan Indikator

Kompetensi Dasar: Memahami dan menghitung luas dan volume menggunakan integral

lipat dua.

Indikator:

1. Mengetahui dan memahami konsep integral Riemann.

2. Mengetahui definisi integral lipat dua.

3. Memahami arti geometri integral lipat dua.

4. Mengetahui cara menghitung luas daerah dengan menggunakan integral lipat dua.

5. Mengetahui cara menghitung volume dengan menggunakan integral lipat dua.

1.5 Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu memahami dan dapat menghitung luas daerah dan volume benda

dengan menggunakan integral lipat dua.

yn

yj

yn-1

yj-1

qj

y1

c y0

d

Δyj

x1x0 x2 xi-1 pi xi xm-n

xm

a b

Δxi

ΔAij

YN

XN

ON

BAB II

PEMBAHASAN

A. INTEGRAL LIPAT DUA PADA DAERAH PERSEGI PANJANG

1. KONSTRUKSI INTEGRAL LIPAT DUA

Kita mempunyai fungsi dua peubah real

z = f(x,y)

yang terdefinisi pada daerah persegi panjang tertutup

P = [a,b] x [c,d] ={(x,y)│a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d}

1. Buatlah jaring Δ pada persegi panjang P dengan cara membagi [a,b] atas m

dan [c,d] atas n bagian sehingga diperoleh mn persegi panjang seperti

diperlihatkan pada gambar di bawah

Ukuran jaring Δ didefiniskan sebagai panjang diagonal terbesar dari

komponen jaringnya, ditulis dengan lambang ‖Δ‖. Luas komponen jaring ke –

ij adalah

Δ Aij = Δ xiΔ yi

di mana

Δ xi = xi - xi-1 dan Δ yi = yi – yi-1

2. Pilihlah titik [pi,qj] pada komponen jaring ke-ij, i = 1,2,...,m dan j =

1,2,...,n.lihat gambar

3. Definisikan bentuk jumlah

∑i=1

m

∑j=1

n

f ( p i , q j )Δx i Δyi atau

∑i=1

m

∑j=1

n

f ( p i , q j )ΔAij

yang dinamakan jumlah Riemann dari fumgsi f pada persegi panjang P.

4. Pehatikan bentuk limit jumlah Riemann

L= lim

‖Δ‖→0 ∑i=1

m

∑j=1

n

f ( p i , q j )Δx i Δyi

Jika limit ini ada, maka fungsi z = f (x,y) dikatakan terintegralkan secara

Riemann pada daerah persegi panjang P.

5. integral lipat dua dari fungsi z = f (x,y) pada persegi panjang teretutup P

didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann ini (bila limitnya ada, dan ditulis

dengan lambang

∫p∫ f ( x , y )dxdy=

lim

‖Δ‖→0 ∑i=1

m

∑j=1

n

f ( p i , q j )Δx i Δyi

atau

∫p∫ f ( x , y )dA=

lim

‖Δ‖→0 ∑i=1

m

∑j=1

n

f ( p i , q j )ΔA ij

2. Arti geometri integral lipat dua

Jika fungsi z = f(x,y) kontinu dan f(x,y) ≥ 0 pada daerah persegi panjang

P, maka integral lipat dua

∫p∫ f ( x , y )dA

Menyatakan isi benda padat di ruang yang terletak di bawah permukaan z

= f(x,y) dan di atas persegi panjang P. Perhatikan benda padatnya pada gambar

di bawah.

pi

dca

bO qj

Z

Y

X

Z = f(x,y)

Dalam kasus f(x,y) =1, maka integral lipat dua pada daerah P menyatakan

luas persegi panjangnya sendiri, yaitu (b-a)(d-c).

B. INTEGRAL LIPAT DUA PADA DAERAH SEBARANG

1. Definisi Integral Lipat Dua pada Daerah Sebarang

Karena fungsi F bernilai nol pada P−0 ,maka integral lipat dua dari fungsi f pada

D DAPAT didefinisikan sebagai integral lipat dua dari fungsi F pada daerah

persegi panjang P , yang artinya telah kita pelajari.

Definisi

Misalkan fungsi z=f (x , y ) terdefinisi pada daerah D dan fungsi z=F (x , y )

terdefinisi pada persegi panjang P yang tepat memuat D dengan persamaan

f ( x , y ) ,bila ( x , y )∈D

F ( x , y )=¿

0 , bila ( x , y )∉D

Jika fungsi F terintegralkan pada P ,maka integral lipat dua dari fungsi f pada D

didefinisikan sama dengan integral lipat dua pada P ,yaitu

∬D

f ( x , y )dA=∬P

F ( x , y ) dA

Catatan :

Benda padat

z=f(x,y)

Y

Z

X

D

O

1. Dengan cara mendefinisikan integral lipat dua dari fungsi z=f (x , y ) pada

daerah D seperti diatas ,semua rumus integral lipat dua yang telah di pelajari

berlaku juga untuk integral lipat dua pada daerah D.

2. Integral lipat dua pada daerah sebarang lainnya dapat dinyatakan sebagai

sejumlah berhingga integral lipat dua dari bentuk yang terakhir .Lihat soal yang

diselesaikan.

2. Arti Geometri Integral Lipat Dua pada Daerah Sebarang

Jika fungsi z=f (x , y ) kontinu dan f ( x , y )≥ 0 pada daerah D ,maka integral lipat dua

∬D

F ( x , y ) d A

Menyatakan isi benda padat diruang yang terletak bawah permukaan z=f (x , y ) dan

di atas daerah D .Perhatikan gambar disebelah kiri bawah.

Gbr.1

X

Y

O a x b

D

Gbr.2

Dalam hal f ( x , y )=1 ,maka integral lipat dua pada daerah D Secara numerik menyatakan

luas daerah D sendiri. Perhatikan Gbr.2. Ini berarti bahwa luas daerah sebarang pada bidang

datar dapat ditampilkan dalam bentuk integral lipat dua.

3. Cara Menghitung Integral Lipat Dua pada Daerah Sebarang dengan Integral Lipat Dua

Pengantar :

Intagral lipat dua pada daerah tertutup sebarang D dapat dihitung dengan cara yang sama seperti

integral lipat dua pada daerah persegi panjang tertutup P. Disini cara perhitungannya dibagi dalam

dua kasus.

Cara Menghitung :

a. Kasus pertama :

Proyeksi D pada sumbu X adalah [ a , b ]

Pada kasus ini daerah D ditulis sebagai

X0

c

y

d

Y

D

D= {( x , y ) } ∣a ≤ x≤ b ,ϕ (x )≤ y ≤ψ (x )

Maka integral lipat duanya dapat ditulis sebagai

∬D

f ( x , y )dA=∫a

b [∫ϕ (x)

ψ (x)

f ( x , y ) dy] dx

Integral di ruas paling paling kanan berbentuk integral berulang yang seringkali ditulis tanpa

menggunakan kurung, yaitu

∬D

f ( x , y )dA=∫a

b

∫ϕ (x)

ψ ( x)

f ( x , y )dy dx

b. Kasus Kedua:

Proyeksi D pada sumbu Y adalah [ c , d ]

Pada kasus ini daerah D ditulis sebagai

D= {( x , y ) } ∣c ≤ y ≤ d ,ϕ( y)≤ x ≤ ψ ( y)

Maka integral lipat duanya dapat ditulis sebagai

∬D

f ( x , y )dA=∫a

b [ ∫ϕ ( y)

ψ ( y)

f ( x , y )dx ]dy

Integral di ruas paling paling kanan berbentuk integral berulang yang seringkali ditulis tanpa

menggunakan kurung, yaitu

∬D

f ( x , y )dA=∫a

b

∫ϕ ( y)

ψ ( y)

f ( x , y ) dx dy

C. Volum Benda Pejal Pada Daerah Persegi Panjang

Andaikan f (x , y )≥ 0 pada P di mana Padalah persegi panjang P= {( x , y ) :a≤ x ≤ b , c≤ y≤ d }

maka kita dapat menghitung volum V dari benda padat di bawah permukaan f (x , y )≥ 0

dengan menggunakan integral lipat dua ∬P

❑

f ( x , y )dAseperti terlihat pada gambar

1. Kasus 1

V=∬P

❑

f ( x , y )dA ………………… (1)

Irislah benda padat tersebut menjadi lempengan – lempengan tipis yang sejajar dengan

bidang xz. Kepingan khusus ditunjukkan pada gambar.

Luas muka lempengan ini bergantung pada seberapa jauh lempengan tersebut dari bidang xz

yaitu tergantung pada y. oleh karena itu, kita menyatakan luas ini dengan A( y) (lihat

gambar)

Y

X

Z

b

a0 c

P

z = f(x,y)

d

Volum ∆ V =A ( y )∆ y atau dapat juga dituliskan:

V=∫c

d

A ( y )dy

disisi lain, untuk y yang tetap, kita dapat menghitung A( y)dengan menggunakan integral

tunggal biasa yang dinyatakan dengan:

A ( y )=∫a

b

灐 f ( x , y )dx

Jadi kita mempunyai benda padat di mana luas penampang melintangnya adalah A( y).

sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa:

V=∫c

d

A ( y )dy=∫c

d [∫a

b

f (x , y )] dy…… ………….(2)

Persamaan di atas itu disebut integral berulang (iterated integral).

Dengan menggabungkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:

V = V

∬P

❑

f ( x , y )dA=∫c

d [∫a

b

f (x , y)dx ]dy

2. Kasus 2

Apabila kita memulai proses di atas dengan mengiris benda padat tersebut dengan

menggunakan bidang – bidang yang sejajar dengan bidang yz, maka kita akan memperoleh

X

ab

ZBidang // XOZ

z = f(x,y), y tetap

sebuah integral berulang lainnya, dengan pengintegralan yang terjadi dalam urutan yang

berlawanan, seperti yang terlihat pada gambar.

maka∬P

❑

f (x , y ) dA=∫a

b [∫c

d

f (x , y )dy ]dx

Sehingga muncul teorema

Jika fungsi z=f (x , y ) kontinu pada daerah persegi panjang tertutup P=[a , b] x [c , d ] , maka

∬P

❑

f ( x , y )dA=∫c

d [∫a

b

f ( x , y ) dx ]dy

Y

X

Z

b

a0 c

P

z = f(x,y)

d

Yc d

Z Bidang // YOZ z = f(x,y), x tetap

X

Y

O a x b

D

Y

Z

O x x

L(x)

Bidang // YOZ

∬P

❑

f ( x , y )dA=∫a

b [∫c

d

f (x , y)dy ]dx

D. Volume Benda Padat Pada Daerah Sebarang

Integral lipat dua pada daerah sebarang D untuk fungsi z=f (x , y ) kontinu dan

f ( x , y )≥ 0 pada daerah D ,menyatakan isi benda padat yang terletak di atas daerah D dan

dibawah permukaan f.

Seperti integral lipat dua pada persegi panjang P ,dari arti geometri integral lipat dua pada

daerah sebarang sebagai isi benda padat kita dapat mengontruksi cara menghitung isi

bendanya dengan metode irisan sejajar kemudian memperumum hasilnya untuk

mendapatkan rumus diatas.Tinjauan untuk setiap kasus adalah sebagai berikut.

a. Kasus pertama:

Proyeksi D pada sumbu X adalah [ a , b ] Perhatikan gambar berikut:

Y

X0

c

y

d

D

Y

Z

O x x

L(x)

Bidang // YOZ

Gambar pertama memperlihatkan daerah D yang proyeksinya pada sumbu X adalah selang

tertutup [ a , b ] .Benda padat di ruang isinya dinyatakan sebagai integral lipat dua pada

daerah D diperlihatkan pada gambar kedua .Bidang irisan sejajar antara benda padat

dengan bidang sejajar YOZ dan melalui titik ( x ,0,0 ) , x∈ [ a , b ] Dapat dilihat pada gambar

ketiga.

Jika luas bidang irisan sejajar ini L(x) dan L kontinu pada [ a , b ] ,maka metode irisan sejajar

untuk isi benda padat memberikan

isi benda padat=∬D

f ( x , y ) dA=∫a

b

L ( x ) dx

dimana

L ( x )=∫ϕ (x )

ψ (x)

f ( x , y ) dy

Jadi

∬D

f ( x , y )d Α=∫a

b

L ( x ) dx=∫a

b (∫φ ( x )

ψ ( x )

f (x , y ) dy)dx

b. Kasus Kedua :

Proyeksi D pada sumbu Y adalah (c,d)

Perhatikan gambar dibawah ini :

Gambar pertama memperlihatkan daerah D yang proyeksinya pada sumbu Y adalah selang

tertutup (c,d). benda padat diruang yang isinya dinyatakan sebagai integral lipat dua pada

daerah D diperlihatkan pada gambar kedua. Bidang irisan sejajar antara benda padat dengan

bidang yang sejajar XOZ dan melalui titik (0,y,0), y Є (c,d) dapat dilihat pada gambar ketiga.

Jika luas bidang irisan sejajar ini L(y) dan L kontinu pada (c,d), maka metode irisan sejajar

untuk isi benda padat memberikan

Isi

benda padat =∬

D

f ( x , y )dΑ=∫c

d

L ( y ) dy

Dimana

L(y)=∫ϕ (y )

ψ ( y)

f ( x , y ) dx

Jadi

=∬D

f ( x , y )dΑ=∫c

d

L ( y ) dy=∫a

b [ ∫φ ( y )

ψ ( y )

f ( x , y )dx ]dy

E.Volume Benda yang terletak diantara 2 Permukaan

Misalkan suatu benda V terletak di atas daerah D dan terletak di antara dua

permukaan z = p(x,y) dan z = q (x,y) dengan q(x,y)≥ p(x,y) untuk semua (x,y) ∈ D.

Y

X

Z

0

X0 2

2

- 2

- 2

2x + y = 42

D

Y

Benda di atas daerah D dan terletak di antara permukaan z= p(x,y) dan z= q(x,y)

dengan q(x,y)≥ p(x,y)

Volume benda V yang terjadi jika diproyeksikan ke bidang XOY dapat dihitung

sebagai volume benda di bawah permukaan z = q (x,y) dikurangi volume benda di

bawah permukaan z = p(x,y) yaitu

V=∬D

❑

( z2−z1 ) dA

¿∬D

❑

[ q ( x , y )−p( x , y )]dy dx

Atau

¿∬D

❑

[ q ( x , y )−p( x , y )]dx dy

Secara singkat

V=∬D

❑

[ zatas−zbawah ] dA

contoh soal

1. Hitunglah luas daerah Dyang berupa daerah lingkaran berjari – jari 2 dengan pusat

(0,0) dengan memakai koordinat kartesius. Hitung menggunakan cara geometri dan

integral lipat dua.

Jawab

Perhatikan gambar di bawah yang memperlihatkan lingkaran x2 + y2 = 4.

Y

X0 2

2

-2

-2

D

Cara Geometri : L=π r2

¿ π .22 ¿ 4 π sl . Cara Integral Lipat Dua :Partisi terhadap sumbu XJika daerah D dipartisi terhadap sumbu X, maka daerah D sebagai berikut:

Jelas z=f (x , y )=4− y .

Jelas x2+ y2=4 ⟺ y2=4−x2

⟺ y=±√4−x2 .

Jadi, D = { (x , y )|−2 ≤ x ≤2 ,−√4−x2≤ y≤√4−x2 }.

Jelas L=∬D

❑

dA

¿∫−2

2

∫−√4−x2

√4− x2

dydx

¿∫−2

2

[ [ y ]−√4−x2

√4−x2 ]dx

¿∫−2

2

[ [√4−x2−(−√4−x2)] ]dx

¿∫−2

2

[ [√4−x2+√4−x2 ] ] dx

¿∫−2

2

[2√4−x2 ] dx

¿2∫−2

2

√4−x2 dx.

Mencari nilai ∫√4−x2 dx terlebih dahulu,

Tulis x=2 sintJelas dx=2cost dt

Jelas ∫√4−x2 dx=∫√(4−4 sin2t ). 2 cost dt

¿∫√4 (1−sin2t) . 2cost dt

¿∫2√cos2 t .2cost dt

¿∫4 cost .cost dt

¿4∫ cos2 t dt

Untuk batas-batas integrasiUntuk x=−2 Jelas x=2 sint⟺−2=2 sint⟺−1=sint

⟺ t=−π2

Untuk x=2

Jelas x=2sint

⟺2=2 sint⟺1=sint

⟺ t=π2

Jelas 2∫−2

2

√4−x2 dx=2.4∫−π

2

π2

cos2 t dt

= 8.12∫−π

2

π2

¿¿

=4 [∫−π2

π2

cos 2t dt+∫−π

2

π2

dt ]=4 [∫−π

2

π2

cos 2t d (2 t)+∫−π

2

π2

dt ]=4 [[ 1

2sin 2 t ]

π2

−π2

+ [ t ]

π2

−π2

]=4 ¿

¿4 [ (0−0 )+(π )]

=4π

Partisi terhadap sumbu YJika daerah D dipartisi terhadap sumbu Y, maka daerah D sebagai berikut:

Ingat :

cos2 t=2cos2t−1

⟺ cos2t=12

(cos2 t +1 )

Jelas z=f (x , y )=4− y .

Jelas x2+ y2=4 ⟺ x2=4− y2

⟺ x=±√4− y2 .

Jadi, D = { (x , y )|−2 ≤ y ≤ 2,−√4− y2 ≤ x ≤√4− y2}.

Jelas L=∬D

❑

dA

¿∫−2

2

∫−√4− y2

√4− y2

dxdy

¿∫−2

2

[ [ x ]−√4− y2

√4− y2 ]dy

¿∫−2

2

[ [√4− y2−(−√4− y2)] ]dy

¿∫−2

2

[ [√4− y2+√4− y2 ] ] dy

¿∫−2

2

[2√4− y2 ] dy

¿2∫−2

2

√4− y2 dy.

Mencari nilai ∫√4− y2dx terlebih dahulu,

x=−√4− y2

Tulis y¿2 sintJelas dy=2cost dt

Jelas ∫√4− y2dx=∫ √(4−4 sin2 t) .2cost dt

¿∫√4 (1−sin2t) . 2cost dt

¿∫2√cos2 t .2cost dt

¿∫4 cost .cost dt

¿4∫ cos2 t dt

Untuk batas-batas integrasiUntuk y¿−2 Jelas y=2 sint⟺−2=2 sint⟺−1=sint

⟺ t=−π2

Untuk y=2

Jelas y=2sint

⟺2=2 sint⟺1=sint

⟺ t=π2

Jelas 2∫−2

2

√4− y2 dy=2.4∫−π

2

π2

cos2t dt

= 8.12∫−π

2

π2

¿¿

=4 [∫−π2

π2

cos 2t dt+∫−π

2

π2

dt ]=4 [∫−π

2

π2

cos 2t d (2 t)+∫−π

2

π2

dt ]

Ingat :

cos2 t=2cos2t−1

⟺ cos2t=12

(cos2 t +1 )

=4 [[ 12

sin 2 t ]π2

−π2

+ [ t ]

π2

−π2

]=4 ¿

¿4 [ (0−0 )+(π )]

=4π

Jadi luas lingkaran tersebut adalah 4π satuan luas

2. Diketahui daerah D yang dibatasi oleh parabol. y = x2, hiperbol y = 8/x, garis y = x

– 2 dari sumbu Y.

(a). Gambarkan daerah D.

(b). Nyatakan luas daerah D sebagai Integral berulang dengan mengambil proyeksinya

terhadap sumbu X.

(c). Nyatakan luas daerah D sebagai Integral berulang dengan mengambil proyeksinya

terhadap sumbu Y.

(d). Hitunglah luas daerah D.

JAWAB

Untuk menggambar kurva kita harus mencari titik koordinatnya dahulu

y= x2

X 0 1 2 3

Y 0 1 4 9

y = 8x

y = x-2

X 1 2

Y 8 4

X 0 2

Y -2 0

0

(2,4)

(4,2)

Y

X2 4

Titik potong y=x2 dengan hiperbol y= 8x

x2 =8x

⇔ x3 = 8

⇔ x = 2

Untuk x= 2

y = 8x

= 82

y = 4

Jadi, titik potong y=x2 dengan hiperbol y= 8x

adalah (2,4)

Titik potong hiperbol y = 8/x dengan garis y = x – 2

8x

= x-2

⇔x2−2 x−8 = 0

⇔ (x-4)(x+2) = 0

⇔ x = 4 ˅ x= -2

y = 2 y = -4

(4,2) dan (-2,-4).

Jadi, titik potong hiperbol y = 8/x dengan garis y = x – 2 adalah (4,2).

Kemudian, garis y = x – 2 memotong sumbu x di titik (2,0) dan sumbu y di titik (0,-

2). Daerah D diperlihatkan pada gambar di bawah.

0

(2,4)

(4,2)

Y

X2 4

-2

D1

D2

(b.) Proyeksi daerah D terhadap sumbu X adalah selang (0,4) dan dapat diperlihatkan

seperti gambar di bawah ini

Daerah D dapat ditulis sebagai

D = D 1 U D 2

D1= {(x , y )|0 ≤ x ≤2 , x−2≤ y ≤ x2 }

dan

D2= {(x , y )|2≤ y ≤ 4 , x−2 ≤ y ≤8x}.

Karena itu luas daerah D adalah

L=L D1+L D2

¿∫0

2

∫x−2

x2

dydx+¿∫2

4

∫x−2

8x

dydx¿.

(c). Proyeksi daerah D terhadap sumbu y adalah selang (-2,4).

Kita tentukan dahulu invers dari lengkungan pembatas daerah D

D1

-2

0

(2,4)

(4,2)

X

2

4

D1

D2

D3

Invers dari y = x2 , x ≥ 0 adalah x = √ y , y ≥ 0.

Invers dari y = 8/x adalah x = 8/y.

Invers dari y = x-2 adalah x = y + 2 .

Daerah D dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini

Jadi daerah D dapat ditulis sebagai

D = D1 U D2 U D3

di mana

D1= {(x , y )|−2 ≤ y≤ 0 ,0 ≤ x ≤ y+2}

D2= {(x , y )|0 ≤ y ≤ 2 ,√ y ≤ x ≤ y+2 }

D3= {( x , y )|2≤ y ≤ 4 ,√ y≤ x≤8y}

Karena itu luas daerah D adalah

L=L D1+L D2+L D3¿∫−2

0

∫√ y

y +2

dx dy+¿∫0

2

∫√y

y+2

dx dy+¿∫2

4

∫√ y

8y

dx dy ¿¿

(d). - Dengan menggunakan hasil soal (b), luas daerah D adalah

L=L D1+L D2

¿∫0

2

∫x−2

x2

dydx+¿∫2

4

∫x−2

8y

dydx¿

Y

¿∫0

2

(x2−(x−2))dx+∫2

4

( 8x−(x−2))dx

¿∫0

2

( x2−x+2 ) dx+∫2

4

( 8x−x+2)dx

¿( 13

x3−12

x2+2 x)2

0+(8 ln x−12

x2+2 x )42

¿( 83−2+4)+¿

¿( 83+2)+(8 ln 4−8+8−8 ln 2+2−4 )

¿( 83+ 6

3 )+( 8 ln 4−8 ln 2−2 )

¿143

−63+(8 ln 4−8 ln2 )

¿83+8 ( ln 4−ln 2 )

¿223+8( ln

42 )

¿223+8 ln 2

- Dengan menggunakan hasil soal (c), luas daerah D adalah

L=L D1+L D2+L D3¿∫−2

0

∫0

y +2

dx dy+¿∫0

2

∫√y

y+2

dx dy+¿∫2

4

∫√ y

8y

dx dy ¿¿

¿∫−2

0

[ x ] y+20

dy+∫0

2

[ x ] y+2√ y

dy+∫2

4

[ x ]8y

√ ydy

¿∫−2

0

[ y+2 ] dy+∫0

2

[ y+2−√ y ] dy+∫2

4

[ 8y−√ y ]dy

¿ [ 12

y2+2 y ]0

−2+[ 12

y2+2 y−23

y32 ]

2

0+[8 ln y−23

y32]

42

¿ (0−(2−4 ) )+(2+4−23

812−0)+[8 ln 4−16

3−(8 ln 2

−23

812)]

X0 2

2

- 2

- 2

2x + y = 42

D

Y

¿ (2 )+(6−23

812)+¿

¿ (2¿ )+(6 −23

812 )+¿

¿83+8 ln 2

Jadi luas daerah D adalah 83+8 ln 2 satuanluas

3. Hitunglah isi benda padat yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = 4, bidang XOY dan y +

z = 4.

JawabBenda padat yang dibatasi oleh x2+ y2=4, bidang XOY dan y+z=4 apabila diproyeksikan terhadap bidang XOY maka diperoleh daerah integrasi D. Gambarnya diperlihatkan sebagai berikut.

Y

Y

X0 2

2

-2

-2

D

Jika daerah D dibawa ke bidang XOY dan di partisi terhadap sumbu X maka gambar dari daerah D tersebut adalah

Jelas z=f (x , y )=4− y .

Jelas x2+ y2=4 ⟺ y2=4−x2

⟺ y=±√4−x2 .

Jadi, D = { (x , y )|−2 ≤ x ≤2 ,−√4−x2≤ y≤√4−x2 }.

Jelas V=∬D

❑

f ( x , y )dA

¿∫−2

2

∫−√4−x2

√4− x2

z dydx

=∫−2

2

∫−√4−x2

√4−x2

(4− y ) dy dx

= ∫−2

2

[4 y−12

y2]−√4−x2

√4−x2

dx

= ∫−2

2

¿¿

= ∫−2

2

¿¿

= ∫−2

2

¿¿

= ∫−2

2

¿¿

= ∫−2

2

8√4−x2 dx

= 8∫−2

2

√4−x2 dx

Menghitung nilai ∫❑

❑

√4−x2 dx terlebih dahulu

Tulis x=2 sin tJelas dx=2cos t dt

Jelas ∫√4−x2 dx=∫√4−4sin2 t .2 cos t dt

⟺∫√4 (1−sin2 t ) .2 cos t dt

⟺∫2√cos2 t .2 cos t dt

⟺∫2 cos t .2 cos t dt

⟺4∫ cos2 t dt

Untuk batas-batas integrasi

Jika x=-2Jelas x= 2 sin t⟺−2=2sin t⟺−1=sin t

⟺ t=−π2

Jika x=2Jelas x=2 sin t⟺2=2 sin t⟺1=sin t

Ingat :

cos2 t=2cos2t−1

⟺ cos2t=12

(cos2 t +1 )

⟺ t=π2

Jelas 8∫−2

2

√4−x2 dx=8.4∫−π

2

π2

cos2t dt

⇔ 32∫−π2

π2

12¿¿

⟺16 [∫−π2

π2

12

. cos2 t d (2t )+∫−π

2

π2

dt ]⟺16[ [ 1

2(sin 2 t )]

π2

−π2

+ [t ]

π2

−π2

]⟺16 [(0−0 )+( π

2+ π

2 )]⟺16 πJadi volumenya adalah 16π satuan volume

Jika dareah D dibawa kebidang XOY dan dipartisi terhadap sumbu Y maka gambar dari daerah D tersebut adalah

Jelas z=f (x , y )=4− y .

Jelas x2+ y2=4 ⟺ x2=4− y2

x=√4− y2

x=−√4− y2

⟺ x=±√4− y2 .

Jadi, D = { (x , y )|−2 ≤ y ≤ 2,−√4− y2 ≤ x ≤√4− y2}.

Jelas V=∫−2

2

∫−√4− y2

√4− y2

z dA

¿∫−2

2

∫−√4− y2

√4− y2

z dxdy

¿∫−2

2

∫−√4− y2

√4− y2

(4− y ) dx dy

= ∫−2

2

[ 4 x−xy ]−√4− y2

√4− y2

dy

= ∫−2

2

¿¿

= ∫−2

2

[ 4√4− y2− y √4− y2+4 √4− y2− y √4− y2 ] dy

= ∫−2

2

[8√4− y2−2 y √4− y2 ] dy

= 8∫−2

2

√4− y2dy−∫−2

2

2 y√4− y2 dy

Mencari nilai ∫√4− y2dy terlebih dahulu,

Tulis y=2sin tJelas dy=2cos t dt

Jelas ∫√4− y2dy=∫ √4−4 sin2t .2 cos t dt

¿∫√4 (1−sin2 t ) .2 cos t dt

¿∫2√cos2 t .2cos t dt

¿∫2 cos t .2 cos t dt

¿4∫ cos2 t dt

Untuk batas-batas integrasi

Jika y=-2Jelas y= 2 sin t⟺−2=2sin t⟺−1=sin t

⟺ t=−π2

Jika y=2

Jelas y=2sin t⟺2=2 sin t⟺1=sin t

⟺ t=π2

Menghitung ∫❑

❑

2 y √4− y2 dy

Ingat ∫ y12 dy=

y32

32

Ganti x dengan 4− y2

Diperoleh ∫ 4− y2 d ( 4− y2 )=¿(4− y2)

32

32

¿

Jelas d(4− y2¿=−2 ydy

Jadi ∫❑

❑

2 y √4− y2 dy=∫❑

❑ −2 y2 y

√4− y2d (4− y2)

= −(4− y2)

32

32

Jelas 8∫−2

2

√4− y2dy−∫−2

2

2 y√4− y2 dy=8.4∫−π

2

π2

cos2t dt+[ (4− y2)32

32

] 2−2

¿32∫−π

2

π2

12

¿¿

¿16 [∫−π2

π2

12

. cos2 t d (2t )+∫−π

2

π2

dt ]+(0−0)

¿16[ [ 12

(sin 2 t )]π2

−π2

+ [t ]

π2

−π2

]¿16 [(0−0 )+( π

2+ π

2 )]¿16 πJadi volumenya adalah 16π satuan volume

Ingat :

cos2 t=2cos2t−1

⟺ cos2t=12

(cos2 t +1 )

4. Tentukan volume benda pejal dari Caturtira ( Bidang Empat ) yang dibatasi oleh bidang – bidang koordinat dan bidang datar z = 6 – 2x – 3y.

Penyelesaian :

z = 6-2x-3y

X 0 0 3

Y 0 2 0

Z 6 0 0

Benda padat beserta daerah pengintegralan D diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

z

6

y

S 2

3

x

a. Dengan cara geometri

V = 13

. Luasalas . tinggi

¿ 13 ( alas. tinggi segitiga

2 ) tinggi

¿ 13 ( 3 x2

2 )6¿6 satuanVolum

b. Dengan cara Integral Lipat Dua (ILD)

Apabila benda pejal yang dibatasi oleh bidang – bidang koordinat dan bidang datar z = 6 – 2x – 3y diproyeksikan kebidang XOY maka akan diperoleh daerah pengintegralan S. Gambarnya sebagi berikut

Z

Jika daerah S dibawa kebidang XOY dan dipartisi terhadap sumbu X maka gambar dari daerah S adalah

y2

2x + 3y = 6

S0 3 x

Persamaan garis melalui (3,0) dan (0,2)

⟺ y−02−0

= x−30−3

⟺ y=2−23

x

Fungsi yang diintegralkan adalah z = f(x,y) = 6-2x-3y

S

2

3

6

X

Y0

dengan D = {( x , y )|0 ≤ x≤ 3 , 0≤ y ≤2−23

x}V=∫∫

D

❑

f (x , y)dA

¿∫0

3

∫0

2−23

x

(6−2x−3 y )dydx

¿∫0

3

[6 y−2 xy−32

y2]0

2−23

xdx

¿∫0

3

(6−4 x+ 23

x2)dx

¿ [6 x−2 x2+ 29

x3]0

3

= 6 satuan volum

Jika daerah S dibawa kebidang XOY dan dipartisi terhadap sumbu X maka gambar dari daerah S adalah

y2

2x + 3y = 6

S0 3 x

Persamaan garis melalui (3,0) dan (0,2)

⟺ y−02−0

= x−30−3

⟺ x=3−32

y

Fungsi yang diintegralkan adalah z = f(x,y) = 6-2x-3y

dengan D = {( x , y )|0 ≤ x≤ 2 ,0 ≤ y ≤3−32

y }V=∫∫

D

❑

f (x , y)dA

¿∫0

2

∫0

3−32

y

(6−2 x−3 y ) dxdy

¿∫0

2

[6 x−x2−3 xy ]03−3

2y

dy

¿∫0

2

(9−9 y+ 94

y2)dy

¿ [9 y−92

y2+ 34

y3]0

2

= 6 satuan volume

Apabila benda pejal yang dibatasi oleh bidang – bidang koordinat dan bidang datar z = 6 – 2x – 3y diproyeksikan kebidang XOZ maka akan diperoleh daerah pengintegralan S. Gambarnya sebagi berikut

Apabila daerah pengintegralan

S dibawa kebidang XOZ dan dipartisi terhadap sumbu X, gambarnya adalah

2

3

6

Y

X

Z

0

S

Persamaan garis melalui (3,0) dan (0,6)

⟺ x−30−3

= z−06−0

⟺ z=6 – 2 x

Fungsi yang diintegralkan adalah y= f(x,z) = 2 - 23

x - 13

z

dengan D = {( x , z )|0≤ x≤ 3 ,0≤ z ≤6 – 2 x }

V=∫∫D

❑

f ( x , y ) dA

¿∫0

3

∫0

6−2x

(2−23

x−13

z )dzdx

¿∫0

3

[2 z−23

xz−16

z2]

0

6−2 x

dx

¿∫0

3

(6−4 x+ 23

x2)dx

¿ [6 x−2 x+ 34

y3]0

2

0 3

6

6 x+3 z=18

X

Z

S

= 6 satuan volum

Jika daerah D dibawa ke bidang XOZ dan dipartisi terhadap sumbu Z, maka

gambarnya adalag sebagai berikut

Z

6

6x + 3z = 18

S

0 3 x

Persamaan garis melalui (3,0) dan (0,6)

⟺ x−30−3

= z−06−0

⟺ x=3 –12

z

Fungsi yang diintegralkan adalah y= f(x,z) = 2 - 23

x - 13

z

dengan D = {( x , z )|0 ≤ x ≤ 6 , 0≤ z≤ 3 –12

z}V=∫∫

D

❑

f ( x , y ) dA

¿∫0

6

∫0

3– 12

z

(2−23

x−13

z )dxdz

¿∫0

6

[2 x−26

x2−13

zx ]0

3 –12

zdz

¿∫0

6

(3−z+ 112

z2)dz

¿ [3 z−12

z2+ 136

z3]0

6

= 6 satuan volum

Jadi volumenya adalah 6 satuan volum.

BAB III

PENUTUP

3.1. Simpulan

1. Teorema cara menghitung integral lipat dua dengan integral berulang. Jika fungsi z =

f (x,y) kontinu pada daerah persegi panjang tertutup p = {a,b} x {c,d} maka:

1.

∬p

❑

f ( x , y ) z=f (x , y )dA=∫c

d

∫a

b

f ( x , y ) dxdy=∫c

d [∫a

b

f ( x , y )dx ]dy

2.

∬p

❑

f ( x , y )dA=f (x , y)dA=∫a

b

∫c

d

f ( x , y )dydx=∫a

b [∫c

d

f ( x , y )dy ]dx

2. Misalkan fungsi z = f (x,y) terdefinisi pada daerah D dan fungsi z = F(x,y) terdefinisi

pada persegi panjang P yang tepat memuat D dengan persamaan

F ( x , y )={f ( x , y ) bila ( x , y )∈D0 ,bila ( x , y )∈D

Jika fungsi F terintegralkan pada P, maka integral lipat dua dari fungsi F pada D

diidefinisikan sama dengan integral lipat dua pada P, yaitu

∬D

❑

f ( x , y )dA=∬P

❑

F(x , y)dA

3. Cara menghitung luas daerah:

a. Menentukan batas-batas daerah integrasi.

b. Menggambar daerah pengintegralannya.

c. Menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang, baik dengan urutan dx dy

ataupun dy dx.

d. Menghitung integral tersebut.

4. Cara menghitung volume benda:

Misalkan f(x,y) fungsi dua peubah yang selalu bernilai tak negatif dan D adalah

daerah di bidang XOY. Volume benda yang terletak di atas daerah D dan terletak di

bawah permukaan z = f(x,y) dapat dihitung sebagai

∬D

❑

f ( x , y )dxdy

DAFTAR PUSTAKA

J. Purcell, Edwin. dkk. 2004. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga

Martono, Koko. 1990. Kalkulus Integral Lipat Dua. Bandung: Institut Teknologi

Bandung

Setya Budi, Wono. 2001. Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunannnya. Bandung:

Institut Teknologi Bandung

Sugiman. 2003. Kalkulus Lanjut. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta