m2 lp

Srikandi Kumadji

DOSEN FIA UB

Srikandi Kumadji

DOSEN FIA UB

LINEAR PROGRAMMINGLINEAR PROGRAMMING

1.1. TUJUAN LP TUJUAN LP 2. PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN

DALAM LP3. ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP4. SEJARAH LP5. MODEL FORMULASI

MODEL FORMULASI

SEJARAH LP

ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP

PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN DALAM LP

1.1. TUJUAN LPTUJUAN LP

TUJUAN LPTUJUAN LP

Tujuan Tujuan utama suatu usaha bisnis:

1. Memaksimumkan laba atau2. Meminimumkan biaya.

Untuk itu, pasti usaha itu memiliki berbagai kendalakendala sumberdaya Baik tujuan maupun kendala pada umumnya dalam kondisi deterministik.

Sehubungan dengan itu, Linier Programming (LP) memberikan solusi dalam pengambilan keputusan usaha bisnis tersebut .

Linier programming adalah suatu teknik atau cara yang membantu dalam keputusan mengalokasi sumberdaya yang dimiliki perusahaan.

Sumberdaya meliputi: mesin-mesin tenaga kerja uang waktu kapasitas gudang (ruangan) material dll

Sumberdaya tersebut akan digunakan utk memproduksi: barang:

sandang pangan papan dll

jasa : rencana pengiriman dan produksi keputusan investasi kebijakan advertensi dll

PERSYARATAN YG DIPERLUKAN DLM L P

1. Perusahaan mempunyai tujuan,yaitu memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya

2. Perusahaan mempunyai keterbatasan atau kendala sumberdaya dalam mencapai tujuan.

3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan alternatif, salah satu di antaranya dipakai atau

dipilih untuk mencapai tujuan.

4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan persamaan ( = ) dan pertidaksamaan ( < / > ) matematik yang linier.

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP

1. Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan dalam kepastian di mana nilai-nilai, jumlah-jumlah dalam fungsi tujuan dan kendala diketahui dengan pasti (deterministik), tidak berubah selama periode analisis.

2. Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala adalah proporsional dalam bentuk matematik yang linier, contoh :

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP

1 L = 10 X ⇒ jika X = 2, maka L = 20 jika X = 4, maka L = 40

M < 60X ⇒ jika X = 2, maka M < 120

jika X = 5, maka M < 300

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP...lanjt

3. Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity, artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan dari nilai-nilai kegiatan individu :

L = $3 X1 + $5 X2 ⇒ Jika X1 = 10 dan X2 = 20, maka

L = $3(10) + $5(20) = $ 130.

4. Barang dan jasa yang dihasilkan (variabel keputusan) harus positif bukan negatif (non negatively) paling tidak nol (tidak menghasilkan)

Sejarah Linier Program1. LP dikembangkan sebelum PD II oleh

matematikawan Rusia, A.N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi Perencanaan”.

2. Dalam aplikasi LP dikembangkan oleh Stigler (1945) dalam persoalan Diit (kesehatan).

3. Tahun (1947), George D. Dantzig mengembangkan Solusi LP Dengan Metode Simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita kenal sampai sekarang dengan istilah “Linier Programming”. Dantzig matematikawan di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara.

Sejarah Linier Program…. lanjt

Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit-unit tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier.

4. Setelah PD II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll.

5. Tahun 1984 N.Karmarkar mengembangkan model yang lebih superior dari metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.

Model Formulasi

Model LP berisikan beberapa komponen dan karakteristik tertentu.

Komponen adalah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala, yg didalamnya terdapat Variabel Keputusan dan Parametrer.

Model Formulasi

Variabel Keputusan adalah simbul matematik dari kegiatan yang dilakukan oleh perusahaan, misalnya :

X1 = jumlah Radio

X2 = jumlah Televisi

X3 = jumlah Kulkas

yang akan diproduksi

Model Formulasi… lanjt

Parameter adalah nilai-nilai di depan variabel keputusan yang pada dasarnya sudah diketahui.

Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yg menggambarkan tujuan perusahaan baik memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya untuk membuat variabel keputusan.

Model Formulasi… lanjt

Fungsi Kendala juga merupakan hubungan linier antar variabel keputusan yg menggambarkan keterbatasan sumberdaya.

Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah Tenaga Kerja utk memproduksi radio sebesar 40 jam/hari selama periode produksi.

Nilai-nilai Konstanta dalam fungsi tujuan atau kendala juga merupakan parameter.

METODE GRAFIK

Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,00 per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk setiap produk.Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R.

PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ

Lamanya waktu mesin-mesin tersebut berope-rasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin.

Pertanyaan: 1. Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula

matematika)

2. Gambarlah persoalan LP tersebut dan Hitunglah berapa produk A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal

METODE GRAFIK

PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ ....lanjt

SdSd AA BB Kap.Kap.

PP 22 11 << 30 30

QQ 22 33 << 60 60

RR 44 33 << 72 72

HargaHarga 30003000 30003000

Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut :

Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya :

Max. TR = 3000A + 3000B

Stc. P : 2A + B < 30

Q : 2A + 3B < 60

R : 4A + 3B < 72

A , B > 0

Metode Grafik / Maksimasi

Max. TR = 3000A + 3000B

Stc. P : 2A + B < 30

Q : 2A + 3B < 60

R : 4A + 3B < 72

A , B > 0

R : 4A + 3B < 72

Q : 2A + 3B < 60

GAMBAR FUNGSI KENDALA

2A + B < 30

•

•P : 2A + B < 30Jika A = 0 , maka B = 30

Jika B = 0 , maka A = 15

Metode Grafik / Maksimasi

•

•

•

••

TR = 3000A + 3000B → B = TR/3000 - A

0 = 3000(0) + 3000(0)45000 = 3000(15) + 3000(0)60000 = 3000(0) + 3000(20)63000 = 3000(9) + 3000(12)

> 66000 = IMPOSIBLE66000 = 3000(6) + 3000(16)

FISIBLE AREA dan ISO REVENUE

Solusi : Produk A = 6 unit Produk B = 16 unit TR = $ 66000

Evaluasi Sumberdaya :P : 2(6) + 1(16) = 28 jam → sisa 2 jamQ : 2(6) + 3(16) = 60 jam → persisR : 4(6) + 3(16) = 72 jam → persis

B

A

Metode Grafik / Maksimasi

P

Q

R

KEPUTUSAN BERALTERNATIFKEPUTUSAN BERALTERNATIF

A •

B •

C •

D •

1) Antara titik A dan B

2) Antara titik B dan C

3) Antara titik C dan D

Metode Grafik / Maksimasi

Variabel SlackVariabel Slack

Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai persamaan daripada pertidaksamaan.

Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. -

Metode Grafik / Maksimasi

Variabel SlackVariabel Slack

Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah :P : 2A + B < 30Q : 2A + 3B < 60R : 4A + 3B < 72

Penambahan sebuah variabel slack, S1 pada kendala P, S2 pada kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. :

P : 2A + B + S1 = 30Q : 2A + 3B + S2 = 60R : 4A + 3B + S3 = 72

Metode Grafik / Maksimasi lanjt

Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan.

Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan :

P : 2(9) + 10 + S1 = 30 S1 = 2 Q : 2(9) + 3(10) + S2 = 60 S2 = 12 R : 4(9) + 3(10) + S3 = 72 S3 = 6

Metode Grafik / Maksimasi …lanjt

Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada

sumberdaya P atau disebut slack P. Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan.

Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, sehingga slacknya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam

Metode Grafik / Maksimasi… lanjt

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B. Koefisien 3000 dan 3000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap A dan B. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S1 dan S2 ?. Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis :

TR = 3000A + 3000 B + 0S1 + 0S2 + 0S3

Metode Grafik / Maksimasi

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan

Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), variabel slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumber-daya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya :

A, B , S1, S2 dan S3 > 0Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb.:

Maksimumkan: TR = 3000 A + 3000 B + 0S1 + 0S2 +0S3 Kendala : 2A + B + S1 < 30 2A + 3B + S2 < 60 4A + 3B + S3 < 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0

Metode Grafik / Maksimasi

• w

•X

•Y

Z •

Max. TR = 3000 A + 3000B Kendala : 2A + B + S1 < 30 2A + 3B + S2 < 60 4A + 3B + S3 < 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0

A = 0B = 20TR = 60000S1 = 10S2 = 0S3 = 12

A = 6B = 16TR = 66000S1 = 2S2 = 0S3 = 0

A = 9B = 12TR = 63000S1 = 0S2 = 6S3 = 0

A = 15B = 0TR = 45000S1 = 0S2 = 30S3 = 12

Metode Grafik / Maksimasi

Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio

Perusahaan RPerusahaan Raadio memproduksi 2 macam bahan pelarut dio memproduksi 2 macam bahan pelarut (A dan B). Untuk me(A dan B). Untuk memmproduksi kedua bahan tersebut produksi kedua bahan tersebut memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter. liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter.

Metode Grafik / MinimasiKASUS MINIMASI

Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio (lanjt)(lanjt)

Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B masing sebesar Rp 80 dan Rp 100masing sebesar Rp 80 dan Rp 100>>Pertanyaan:Pertanyaan:BBerapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar erapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar biaya produksi minimalbiaya produksi minimal??

Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula penggunaan bahan bakunya. penggunaan bahan bakunya.

Metode Grafik / MinimasiKASUS MINIMASI

GAMBAR FUNGSI KENDALA

Min. TC = 80A + 100BStc. MT : 8A + 6B > 24 D : 10A + 4B > 20 S : 6A + 12B > 24 A , B > 0

MT : 8A + 6B > 24 B > 4 – 4/3 A

D : 10A + 4B > 20 B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24

B > 2 - 0,5 A

A

B

B

A

B

A

Metode Grafik / Minimasi

GAMBAR FUNGSI KENDALA

Min. TC = 80A + 100BStc. MT : 8A + 6B > 24 D : 10A + 4B > 20 S : 6A + 12B > 24 A , B > 0

MT : 8A + 6B > 24 B > 4 – 4/3 A

D : 10A + 4B > 20 B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24

B > 2 - 0,5 A

A

B

B

A

B

A

Metode Grafik / Minimasi

FISIBLE AREA dan ISO FISIBLE AREA dan ISO COSTCOST

( 2, 4 ; 0,8 ) •

Solusi Optimal :B.Pelarut A = 2,4 unitB.Pelarut B = 0,8 unitTC min = 80 (2,4) + 100(0,8) = Rp 272

Penggunaan Sumberdaya :MT = 8(2,4) + 6(0,8) = 24 Lt. → persisD = 10(2,4) + 4(0,8) = 27,2 Lt. → > 20S = 6(2,4) + 12(0,8) = 24 Lt. → persis

Metode Grafik / Minimasi

PENDAHULUAN Kenyataan yang sering dihadapi oleh para manajer dalam pengambilan keputusan adalah kompleks.Keputusan yang harus diambil tidak hanya untuk 2 variabel saja, bisa saja lebih, sementara metode grafik terbatas hanya 2 demensi atau paling banyak mencakup 3 variabel.Untuk mengatasi persoalan linier programming yang kompleks jelas menjadi tidak sederhana.Satu cara sederhana (simple) dan efisien yang dapat menyelesaikan persoalan adalah dengan Metode Smplex, di mana metode ini menggunakan tabel yang unik yang sering disebut “Tabel Simplek”

METODE SIMPLEKMETODE SIMPLEK

Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai. Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solosi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.

METODE SIMPLEKMETODE SIMPLEK

MENYUSUN SOLUSI AWALMENYUSUN SOLUSI AWAL

Untuk memperoleh pengertian yang lebih mudah dan Untuk memperoleh pengertian yang lebih mudah dan cepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalan cepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalan yang meliputi 2 variabel riil sajayang meliputi 2 variabel riil saja (sekedar untuk cross (sekedar untuk cross cek)cek)Dengan menggunakan contoh kasus perusahaan XYZ Dengan menggunakan contoh kasus perusahaan XYZ di muka, penyelesaian dapat dilakukan dengan di muka, penyelesaian dapat dilakukan dengan beberapa langkah :beberapa langkah :Langkah 1. Menyususun Persoalan Dalam Matematik

Maksimumkan : TR = 3000 A + 3000 BKendala : P : 2A + B < 30

Q : 2A + 3B < 60 R : 4A + 3B < 72

A , B > 0

Metode Simplek / Maksimasi

Langkah 2. Mengubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan

Mengandung pengertian : tidak selalu kapasitas SD digunakan seluruhnya, diantaranya masih ada yang tersisa → ada kelong-garan (slack) untuk menambah sebuah variabel sehingga menjadi persamaan. Variable baru ini disebut Variabel SlackVariabel Slack = sejumlah unit kapasitas yang tidak dipakai dalam suatu Departemen/ SD.

Misal : SP = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. P → SP = 30 - 2A - B SQ = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep.Q → SQ = 60 - 2A - 3B SR = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. R → SR = 72 - 4A - 3B

Atau dari persamaan diatas dapat disusun :

2A + B + SP = 302A + 3B + SQ = 604A + 3B + SR = 72

Metode Simplek / Maksimasi

Variabel Slack ini harus dimasukkan dalam fungsi tujuan dan kendala. Koefisien setiap variabel pada kedua fungsi tsb. harus terlihat dengan jelas. Oleh karena itu, untuk variabel yang tidak mempunyai pengaruh terhadap persamaan, koefisiennya harus ditulis dengan “nol”, sehingga tidak merubah hakekatnya.

Misalkan, karena : SP, , SQ, dan SR tidak menghasilkan TR, SQ, dan SR tidak berpengaruh terhadap Dep. P, SP dan SR tidak berpengaruh terhadap Dep. Q, dan SP, dan SQ tidak berpengaruh terhadap Dep. R, maka fungsi tujuan dan kendala dapat ditulis sbb. :

TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ + 0 SR . P : 2A + B + 1 SP + 0SQ + 0SR = 30 Q : 2A + 3B + 0SP + 1SQ + 0SR = 60R : 4A + 3B + 0SP + 0SQ + 1SR = 72

Metode Simplek / Maksimasi

Langkah 3. Memasukkan Fungsi Tujuan dan Kendala ke Tabel Simplek

3000 3000 0 0 0 Cj Variabel Basis

Kuantitas A B SP SQ SR

Ri

0 SP 30 2 1 1 0 0 0 SQ 60 2 3 0 1 0 0 SR 72 4 3 0 0 1 Zj 0 0 0 0 0 0 Cj - Zj 3000 3000 0 0 0

Zj = Σ aij . BiSollusi Awal, belum berproduksi, Zj = 0

Metode Simplek / Maksimasi

TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ + 0 SR .P : 2A + B + 1 SP + 0SQ + 0SR = 30 Q : 2A + 3B + 0SP + 1SQ + 0SR = 60R : 4A + 3B + 0SP + 0SQ + 1SR = 72

MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUAMENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA

Solusi awal menunjukkan perusahaan masih belum berproduksi. Selanjutnya kita akan melakukan perubahan sehingga TR sebagai tujuan tercapai lebih baik.

Jika tabel yang telah diperbaiki masih ada kemungkinan dirubah untuk mencapai tujuan yang lebih baik lagi, maka perubahanpun terus berlanjut sampai tercapai solusi yang optimal.

Tahap-tahap perubahan dari tabel satu ke tabel yang lain disebut “pivoting”.

Perhitungan solusi kedua dapat diikuti dengan langkah-langkah berikut ini.

Metode Simplek / Maksimasi

Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasuk- kan dalam solusi (going in)

Secara rasional, memilih varibel riil yang tepat adalah variabel yang mempunyai kontribusi menambah laba/TR atau mengurangi biaya yang paling besar.

Dengan memilih nilai-nilai baris Cj - Zj pada kolom variabel riil yang terbesar, mengindikasikan adanya peningkatan laba/TR yang lebih baik.

Oleh karena Nilai Cj - Zj untuk kedua kolom variabel riil A dan B sama, maka bisa kita pilih salah satu.

Misalnya saja, kita tentukan kolom B, maka kolom B tersebut dinamakan “kolom optimum”, yang bakal pertamkalinya masuk dalam kolom variabel basis.

Metode Simplek / Maksimasi

Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti (going out)

Pertama kali, kita membagi nilai-nilai dalam kolom variabel basis dengan nilai-nilai pada kolom optimum, dan kemudian hasil bagi-hasil bagi tersebut kita pilih yang paling kecil.

Baris yang mempunyai nilai “Ri” terkecil bakal diganti atau dikeluakan dari variabel basis.

Baris SP : 30 / 1 = 30Baris SQ : 60 / 3 = 20 → dikeluarkanBaris SR : 72 / 3 = 24

Elemen-elemen (nilai) pada basis SP, SQ dan SR di bawah kolom optimum, disebut elemen interseksi-onal, yang akan beerperan dalam perhitungan nilai nilai pada tabel berikutnya.

Metode Simplek / Maksimasi

Cj 3000 3000 0 0 0 VB Q A B Sp Sq Sr Ri

Iterasi 1 0 Sp 30 2 1 1 0 0 30 0 Sq 60 2 3 0 1 0 20 0 Sr 72 4 3 0 0 1 24 Zj 0 0 0 0 0 0 Cj - Zj 3000 3000 0 0 0

Iterasi 2

Langkah 1 : menentukan kolom optimum (going in)

Langkah 2 : menentukan baris optimum (going out)

Aplikasi Langkah 1 dan Langkah 2

Cj 3000 3000 0 0 0 VB Q A B Sp Sq Sr Ri

Iterasi 1 0 Sp 30 2 1 1 0 0 30 0 Sq 60 2 3 0 1 0 20 0 Sr 72 4 3 0 0 1 24

Zj 0 0 0 0 0 0 Cj - Zj 3000 3000 0 0 0

Iterasi 2

Zj Cj - Zj

Iterasi 3

Zj Cj - Zj

Menentukan / Menghitung :

- Nilai baris baru yang lain :

NBBL= NBL− (N Intsek x NBBM)Baris Sp :30 − ( 1 x 20) = 10 2 − ( 1 x 2/3) = 1 1/3

1 − ( 1 x 1) = 0 1 − ( 1 x 0) = 1 0 − ( 1 x 1/3) = -1/3

0 − ( 1 x 0) = 0

- Nilai baris baru yang masuk : NBBM = NBL : N Insek : 60/3 = 20 ; 2/3 = 2/3 ; 3/3 = 1; 0/3 = 0 ; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0

3000 B 20 2/3 1 0 1/3 0

Baris Sr :72 − ( 3 x 20) = 12 4 − ( 3 x 2/3) = 2 3 − ( 3 x 1) = 0 0 − ( 3 x 0) = 0 0 − ( 3 x 1/3) = -1 1 − ( 3 x 0) = 1

0 Sp 10 11/3 0 1 -1/3 0

0 Sr 12 2 0 0 -1 1

60000 2000 3000 0 1000 0 1000 0 0 -1000 0

Cj 3000 3000 0 0 0 VB Q A B Sp Sq Sr Ri

Iterasi 2 0 Sp 10 1.3333 0 1 - 0.333 0 7.5

3000 B 20 0.6667 1 0 0.333 0 30 0 Sr 12 2 0 0 - 1 1 6

Zj 60000 2000 3000 0 1000 0 Cj - Zj 1000 0 0 -1000 0

Iterasi 3

Zj Cj - Zj

MENGEMBANGKAN SOLUSI MENGEMBANGKAN SOLUSI KETIGAKETIGA

Menentukan / Menghitung :- Kolom optimum : pilih nilai Cj - Zj yang terbesar- Baris yang diganti : Pilih nilai Ri yang terkecil Ri = nilai Q / kolom optimum- Nilai baris baru yang masuk : NBBM = NBL : N Insek : 12/2 = 6 ; 2/2 =1 ; 0/2 = 0; 0/2 = 0; -1/2 = - 0,5; 1/2 = 0,5

3000 A 6 1 0 0 - 0,5 0,5

- Nilai baris baru yang lain :

NBBL= NBL− (N Intsek x NBBM)Baris Sp :10 − (1,33 x 6) = 21,33 − (1,33 x1) = 0 0 − (1,33 x 0) = 0 1 − (1,33 x 0) = 1- 0,33 − (1,33 x -0,5) = 0,33 0 − (1,33 x 0,5) = - 0.67

0 Sp 2 0 0 1 0,333 - 0,667

Baris B :20 − (0,67 x6) = 160,67 − (0,67 x 1) = 01 − (0,67 x 0) = 10 − (0,67 x 0) = 00,33 − (0,67 x - 0,5) = 0,670 − (0,67 x 0,5) = - 033

3000

B 16 0 1 0 0,67 - 0,33

66.000 3000 3000 0 500 500

0 0 0 - 500 - 500

NILAI-NILAI Cj - Zj < 0 → SOLUSI OPTIMAL

Cj 3000 3000 0 0 0 VB Q A B Sp Sq Sr Ri

Iterasi 3 0 Sp 2 0 0 1 0.3333 -0.6667

3000 B 16 0 1 0 0.6667 -0.3333 3000 A 6 1 0 0 -0.5 0.5

Zj 66000 3000 3000 0 500 500 Cj - Zj 0 0 0 -500 -500

INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK

Nilai2 pada Kolom Q Tabel 3 :Baris Sp = 2 (Sisa Sbrdaya P)Baris B = 16 (Jml Prduksi B)Baris A = 6 (Jml Prduksi A)Baris Zj = 66000 (TR max.)

Nilai2 pada Baris Cj-Zj di bawah ko-lom vaibel riil menunjukkan nilai produk marginal :Jika positif menunjukkan kemung-kinan tambahan TR jika variabel riil ditambah 1 unitJika negatif menunjukkan pengura-ngan TR jika variabel riil ditambah 1 unit

Nilai2 Negatif pada Baris Cj-Zj di bawah kolom variabel Slack :menunjukkan tambahan TR yg dapat dicapai jika ditambahkan 1 jam lagi pada departemen diwakili variabel slack

Nilai2 di baris Zj menggambarkan berkurangnya TR (oportunity cost) akibat tambahan 1 unit kegiatan riil atau disposal

Anga-angka dalam kwadran matrik (input-outpu) atau diberi simbul aij menunjukkan MRTS atau Koefisien Teknologi antara kegiatan pada kolom dengan sbrdaya pada baris.

CONTOH : PERUSAHAAN PNTPerusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat pesanan makanan campuran "141-B" dengan ukuran/paket 200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan ramuan , yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat).Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan kandungan bahan Carbohidrat (C) paling tidak tersedia 30 %. Persoalan PNT adalah menetapkan berapa banyak masing-masing bahan digunakan agar biaya minimal.

FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( IDENTIFIKASI)Minimumkan : Cost = $ 3P+ $ 8CKendala : P + C = 200 pon

P < 80 pon C > 60 pon P dan C > 0

Metode Simplek / Minimasi

SOLUSI AWAL

Merubah persamaan dan pertidaksamaan pada kendala

- Untuk tanda Persamaan ( = ) harus ditambah dengan variabel Artifisial (A)

- Untuk Pertidaksamaan”lebih besar sama dengan” ( > ) harus dikurangi variabel surplus (S) dan ditambah variabel Artifisial (A)

- Untuk Pertidaksamaan kurang sama dengan ( < ) harus ditambah variabel slack (S)

Untuk Kendala : P + C = 200 → P + C + A1 = 200 P < 80 → P + S1 = 80 C > 60 → C − S2 + A2 = 60

Metode Simplek / Minimasi

SOLUSI AWAL

Koefisien teknologi (para meter) masing-masing variabel , secara ekplisit harus ditulis, dengan ketentuan yang tidak ada pengaruhnya ditulis nolNilai biaya untuk variabel Artifisial diberi nilai yang sangat besar (M), dan untuk variabel Slack/Surplus = 0

Secara lengkap : Minimize: Cost = 3P + 8C + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

P + C + A1 = 200 P + S1 = 80 C − S2 + A2 = 60 P, C, S1, S2, A1, A2 > 0

Metode Simplek / Minimasi

$3 $8 $M $0 $0 $M Cj

BV Quantity P C A1 S1 S2 A2 Ri

$M $0 $M

A1 S1 A2

200 80 60

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0

−1

0 0 1

200 -

60

Zj Cj –Zj

$260M $M $3 − $M

$2M $8 − $2M

$M $0

$0 $0

−$M $M

$M $0

$M $0 $8

A1 S1 C

140 80 60

1 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 -1

-1 0 1

140 80 -

Zj Cj –Zj

$140M+$480 $M $3 - $M

$8 $0

$M $0

$0 $0

$M-$8 $8-$M

$8-$M $2M-$8

$M $3 $8

A1 P C

60 80 60

0 1 0

0 0 1

1 0 0

−1 1 0

1 0 -1

-1 0 1

- 60 -

60

Zj Cj –Zj

$60M+ $720 $3 $0

$8 $0

$M $0

$3 − $M $M − $3

$M − $8 $8 − $M

$8 − $M $2M−$8

$0 $3 $8

S2 P C

60 80 120

0 1 0

0 0 1

1 0 1

−1 1

−1

1 0 0

-1 0 1

Zj Cj –Zj

$1200 $3 $0

$8 $0

$8 $M − $8

− $5 $5

$0 $0

$8 $M - $8

SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

$3 $8 $M $0 $0 $M Cj

BV Quantity P C A1 S1 S2 A2 Ri

$M $0 $M

A1 S1 A2

200 80 60

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0

−1

0 0 1

200 -

60

Zj Cj –Zj

$260M $M $3 − $M

$2M $8 − $2M

$M $0

$0 $0

−$M $M

$M $0

$M $0 $8

A1 S1 C

140 80 60

1 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 -1

-1 0 1

140 80 -

Zj Cj –Zj

$140M+$480 $M $3 - $M

$8 $0

$M $0

$0 $0

$M-$8 $8-$M

$8-$M $2M-$8

$M $3 $8

A1 P C

60 80 60

0 1 0

0 0 1

1 0 0

−1 1 0

1 0 -1

-1 0 1

- 60 -

60

Zj Cj –Zj

$60M+ $720 $3 $0

$8 $0

$M $0

$3 − $M $M − $3

$M − $8 $8 − $M

$8 − $M $2M−$8

$0 $3 $8

S2 P C

60 80 120

0 1 0

0 0 1

1 0 1

−1 1

−1

1 0 0

-1 0 1

Zj Cj –Zj

$1200 $3 $0

$8 $0

$8 $M − $8

− $5 $5

$0 $0

$8 $M - $8

SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

DUALITAS ANTARA MAKSIMASI dan MINIMASI

Untuk setiap permasalahan optimasi yang mempunyai kendala/pembatas, akan terdapat “permasalahan dual”, yaitu dengan memaksimasi atau meminimasi fungsi ken-dala dan fungsi tujuan sebelumnya menjadi kendalanya.Hubungan ini disebut sebagai dualitas (duality)

Permasalahan yang pertama disebut dengan “primal” dan permasalahan kedua disebut dengan “dual”.

Jadi misalnya, jika permasalahan primalnya adalah maksimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi dual, yaitu minimasi kendala dengan kendalanya adalah fungsi tujuannya.

Demikian sebaliknya, jika permasalahan primalnya adalah menimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi maksimasi kendala dengan fungsi tujuan sebagai kendalanya.

Dengan demikian dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.Bentuk Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut:

Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal)

Koefisien fungsi tujuan …………… Nilai kanan fungsi batasanMaksimumkan Z (atau Y) ………… Minimumkan Y (atau Z)Batasan i …………………………… Variabel yi (atau xi)Bentuk < …………………………. yi > 0Bentuk = …………………………… yi > dihilangkanVariabel Xj ………………………. . Batasan jXj > 0 ………………………………. Bentuk <Xj > 0 dihilangkan ………………… Bentuk =

Contoh 1:PrimalMinimumkan Z = 5X1 + 2X2 + X3

Fungsi batasan: 1) 2X1 + 3X2 + X3 > 20 2) 6X1 + 8X2 + 5X3 > 30 3) 7X1 + X2 + 3X3 > 40

X1 , X2 , X3 > 0DualMaksimumkan Z ’ = 20Y1 + 30Y2 + 40Y3

Fungsi batasan: 1) 2Y1 + 6Y2 + 7Y3 < 5

2) 3Y1 + 8Y2 + Y3 < 2

3) Y1 + 5Y2 + 3Y3 < 1

CONTOH : ( Ek. Mikro)

Maksimumkan : Q = L . CKendala : 1200 = 30L + 40CL dan C optimum = ?

JawabSlope Isoquant = Slope Budget Line− MPL / MPC = −

PL/ PC

− C / L = − 30/ 40

C = 3 / 4 L

1200 = 30L + 40 (3 / 4 L )1200 = 60L Jadi : L = 20 dan C = 15 Q max. = 20 x 15 = 300

Minimumkan : B = 30L + 40CKendala : 300 = L . CL dan C optimum = ?

JawabSlope Isoquant = Slope Budget Line d C / d L = −

PL/ PC

− 300 / L2 = −

30/ 40

L2 = 400Jadi : L = (400)1/2 = 20 dan C = 15Bmin. = 30(20) + 40 (15 )

= 1200

PRIMAL DUAL

CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM)Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. :

Minimumkan : Z = 150X1 + 100X2 + 350X3 + 250X4 + 320X5

Kendala : Protein : 8,3 X1 + 246 X2 + 17,2 X3 + 5,2 X4 + 2,01 X5 > 70 Karbohidrat : 5 X1 + 26 X2 + 595 X3 + 3,1 X4 + 4 X5 > 3000 Lemak : 0,4 X1 + 793 X2 + 14,8 X3 + 0,6 X4 + 0,16 X5 > 800 Vitamin : 6 X1 + 93 X2 + 61,6 X3 + 6,8 X4 + 2,05 X5 > 40 Zat Besi : 24,9 X1 + 243 X2 + 810 X3 + 16,4 X4 + 0,57 X5 > 12

Dimana : X1 = Nasi X4 = BuahX2 = Sayur X5 = SusuX3 = Lauk pauk

Buatlah model Dual persoalan di atas, dan selesaikan !

JAWAB :

Maksimumkan : Z’ = 70Y1 + 3000Y2 + 800Y3 + 40Y4 + 12Y5

Kendala :

X1 : 8,3 Y1 + 5,0 Y2 + 0,4 Y3 + 6,0 Y4 + 24,9 Y5 < 150

X2 : 246 Y1 + 26 Y2 + 793 Y3 + 93 Y4 + 243 Y5 < 100

X3 : 17,2 Y1 + 595 Y2 + 14,8 Y3 + 61,6 Y4 + 810 Y5 < 350

X4 : 5,2 Y1 + 3,1 Y2 + 0,6 Y3 + 6,8 Y4 + 16,4 Y5 < 250

X5 : 2,01 Y1 + 4 Y2 + 0,16 Y3 + 2,05 Y4 + 0,57 Y5 < 320

Y1 , Y2, Y3, Y4 , Y5 > 0

Cj Basic Variable

Quantity 70 Y1

3000 Y2

800 Y3

40 Y4

12 Y5

0 slack 1

0 slack 2

0 slack 3

0 slack 4

0 slack 5

Langka 1 0 slack 1 150 8.3 5 0.4 6 24.9 1 0 0 0 0 0 slack 2 100 246 26 793 93 243 0 1 0 0 0 0 slack 3 350 17.2 595 14.8 61.6 810 0 0 1 0 0 0 slack 4 250 5.2 3.1 0.6 6.8 16.4 0 0 0 1 0 0 slack 5 320 2.01 4 0.16 2.05 0.57 0 0 0 0 1

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cj-zj 70 3,000 800 40 12 0 0 0 0 0

Langkah 2 0 slack 1 147.0588 8.1555 0 0.2756 5.4824 18.0933 1 0 -0.0084 0 0 0 slack 2 84.7059 245.2484 0 792.3533 90.3082 207.605 0 1 -0.0437 0 0

3,000 Y2 0.5882 0.0289 1 0.0249 0.1035 1.3613 0 0 0.0017 0 0 0 slack 4 248.1765 5.1104 0 0.5229 6.4791 12.1798 0 0 -0.0052 1 0 0 slack 5 317.6471 1.8944 0 0.0605 1.6359 -4.8754 0 0 -0.0067 0 1

zj 1,764.71 86.7227 3,000 74.6218 310.5882 4,084.03 0 0 5.042 0 0 cj-zj -16.7227 0 725.3782 -270.588 -4,072.03 0 0 -5.042 0 0

Langkah3 0 slack 1 147.0294 8.0701 0 0 5.4509 18.0211 1 -0.0003 -0.0084 0 0

800 Y3 0.1069 0.3095 0 1 0.114 0.262 0 0.0013 -0.0001 0 0 3,000 Y2 0.5856 0.0212 1 0 0.1007 1.3548 0 0 0.0017 0 0

0 slack 4 248.1206 4.9485 0 0 6.4195 12.0428 0 -0.0007 -0.0052 1 0 0 slack 5 317.6406 1.8756 0 0 1.629 -4.8912 0 -0.0001 -0.0067 0 1

zj 1,842.25 311.241 3,000 800 393.263 4,274.09 0 0.9155 5.002 0 0 cj-zj -241.241 0 0 -353.263 -4,262.09 0 -0.9155 -5.002 0 0

SOLUSI

Soal N0. 8Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.

MM KK KapKap

MaximizeMaximize 4000040000 5000050000

LaborLabor 1010 88 <=<= 8080

KayuKayu 66 22 <=<= 3636

DemandDemand 00 11 <=<= 66

Solution->Solution-> 3.23.2 66 428.000428.000

SOAL N0. 8

Soal N0.12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing-masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.

Soal N0.12Bahan 1Bahan 1 Bahan 2Bahan 2 KaPKaP

MinimizeMinimize 8000080000 5000050000

Antibiotik 1Antibiotik 1 33 11 >=>= 66

Antibiotik 2Antibiotik 2 11 11 >=>= 44

Antibiotik 3Antibiotik 3 22 66 >=>= 1212

KASUS UCP

SDSD X1X1 X2X2 Kap.Kap. Sur.Sur.

KlaimKlaim 1616 1212 >> 450 450 3030

RusaRusakk

0,50,5 1,41,4 >> 25 25 3131

KompKomptt

11 11 << 40 40 00

CC 6400640000

4200420000

SolusSolusii

00 4040 TC = TC = 168000168000

KASUS Giman Piza

SDSD PIPI PSPS KapKap SlackSlack

DMDM 11 11 << 150150

17,517,5

TMTM 44 88 << 800800

00

Sales Sales PIPI

11 << 75 75 00

Sales Sales PIPI

11 << 125125

62,562,5

LabaLaba 500500 750750

SolusiSolusi 7575 62,562,5 8437843755

KASUS Toko Perhiasan

SdSd KK GG KapKap SlackSlack

EmasEmas 3030 2020 1818

PlatinPlatinaa

2020 4040 2020

DGDG 11 4040

LabaLaba 300003000000

400004000000

SolusSolusii

0,40,4 0,30,3 L=240000L=240000

KASUS Obat

SdSd B1B1 B2B2 KapKap SurSur

A1A1 33 11 >> 6 6 00

A2A2 11 11 >> 4 4 00

A3A3 22 66 >> 12 12 88

TCTC 8000800000

5000500000

SolusSolusii

11 33 TC=230000TC=230000

KASUS Usaha Ternak

Min. TC = 60A + 100KStc. Pr : 20 A + 40 K > 30 Lm : 2 A + 0,5 K > 1 Prod. : 1 A + 1 K < 1

A, K ,> 0

SdSd AA KK kapkap SlacSlackk

PrPr 2020 4040 >> 30 30 00

LmLm 22 0,50,5 >> 1 1 00

ProdProd 11 11 << 1 1 0,070,07

SoluSolusisi

0,360,36 0,570,57

TCTC 21,421,433

57,157,144

78,578,577

78,57178,5714343

78,57178,5714343

78,57178,5714343

KASUS Della & Pandu

Mak. L = 2C + 2TStc. K : 8 C + 6 T < 120 Tom : 3 C + 6 T < 90 B : 3 C + 2 T < 45 Prod : 1 C + 1 T < 24

C, T > 0

SdSd CC TT kapkap SlacSlackk

KK 88 66 << 120 120 00

TomTom 33 66 << 90 90 00

BB 33 22 << 45 45 33

ProdProd 11 11 << 24 24 66

SoluSolusisi

66 1212

LabaLaba 1212 2424 3636

78,57178,5714343

78,57178,5714343

78,57178,5714343

KASUS Untitled

Mak. L = 3 X + 2 YStc. A : 3 X + 2 Y < 120 F : 1 X + 2 Y < 80 Pro X : 1 X + 0 Y > 10 Pro Y : 0 X + 1 Y > 10

X, Y > 0

SdSd XX YY kapkap SS

AA 33 22 << 120 120 00

FF 11 22 << 80 80 26,626,677

Pro Pro XX

11 -- >> 10 10 13,313,333

Pro Pro YY

-- 11 >> 10 10 00

SoluSolusisi

33,333,333

1010

LabaLaba 100100 2020 120120

7575