lks-03 persmaan linear dan kuadrat
Post on 27-Oct-2015
602 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
49 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 49
A. SISTEM PERSAMAAN LINIIER DUA PEUBAH
A.1 ARTI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PEUBAH
Perhatikan persamaan x – y = 4. Persamaan ini dinamakan persamaan liner dua peubah ( variabel ) sebab ada dua variabel dalam persmaan itu yaitu x dan y . Ada banyak pasangan bilangan ( x,y ) yang dapat memenuhi persamaan tersebut, misalnya (5,1), ( 6,2), (0,-4), (-1,-5) dsb. Perhatikan juga persamaan 2x + y = -4 . Perssamaan ini juga mempunyai banyak penyelesain, misalnya : ( 1,-6), (0,-4), (2,-8) dsb. Dari sekian banyak penyelesaian yang memenuhi dua persamaan sekaligus hanyalah ( 0,-4 ). Ini artinya (0,-4) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua peubah x – y = 4 dan 2x + y = -4. Jika ditulis dalam bentuk himpunan penyelesian maka HP : { (0,-4) }. Jadi sistem persamaan ini hanya mempunyai satu penyelesaian.
Kompetensi Dasar 1 : • Menggunakan sifat dan aturan tentang system persamaan linier dan
kuadrat dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 2:
• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan system persamaan
Kompetensi Dasar 3: • Merancang model matematika yang berkaitan dengan system persamaan
linier , menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh
Indikator 1: a. Menjelaskan arti penyelesaian sustu system persamaan b. Menentukan penyelesaian system persamaan linier dua variabel c. Memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian system persamaan linier dua
variabel Indikator 2:
a. Menentukan penyelesaian system persamaan linier tiga variabel b. Menentukan penyelesaian system persamaan linier-kuadrat dua variabel c. Menentukan penyelesaian system persamaan kuadrat dua variable
Indikator 3: a. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya system
persamaan linier b. Menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variable system
persamaan linier c. Merumuskan system persamaan linier yang merupakan model matematika dari
masalah d. Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah
Materi Pokok
SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT
50 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 50
Perhatikan sistem persamaan : 2x +y = 4 dan 2x + y = 8. Sistem persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, sebab tidak ada satupun harga x dan y yang sekaligus memenuhi sistem persamaan tersebut. Berikutnya kita perhatikan sistem persamaan : 2x – y = 4 dan 4x – 2y = 8. Sistem persamaan ini mempunyai tak hingga penyelesaian , misalnya (0,-4), (1,-2), (2,0 ) dsb. Dengan demikian secara umum sistem persamaan linier dua peubah dapat dinyatakan dalam bentuk :
=+=+
rqypx
cbyax
Jika ( x0 , y0 ) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linier tersebut maka haruslah memenuhi a x0 + b y0 = c dan p x0 + q y0 = r Jadi secara umum jika diketahui sistem persamaan linier dua peubah maka ada 3 kemungkinan penyelesaian, yaitu : 1. mempunyai satu penyelesaian 2. mempunyai tak terhingga penyelesaian
3. tidak mempunyai penyelesaian
A.2. MENENTUKAN PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PEUBAH
Setidaknya ada 4 cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah, yaitu : 1. cara grafik 2. cara substitusi
3. cara eliminasi
4. cara determinan
A.2.1. CARA GRAFIK Pada waktu di SMP kita pernah mempelajari bahwa grafik sebuah persamaan linier dengan dua peubah dapat digambarkan sebagai sebuah garis lurus . Sebuah garis lurus minimal terdiri dari dua titik, sehingga untuk melukiskan grafik sebuah persamaan linier dua peubah kita harus menentukan terlebih dahulu dua titk tersebut. Untuk memahami cara menentukan penyelesaian �ystem persamaan linier dua peubah dengan cara grafik , perhatikan contoh berikut :
Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari
−=+=−
42
4
yx
yx
Penyelesaian : Kita terlebih dahulu menentukan masing-masing dua titik yang terletak pada dua persamaan tersebut, yaitu : • untuk x – y = 4 2x + y = -4 y X 0 4 Y -4 0 Titik ( 0, -4 ) ( 4, 0 )
• untuk 2x + y = - 4 x – y = 4 X 0 -2 Y -4 0 Titik ( 0, -4 ) ( -2, 0 )
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
51 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 51
Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong antara garis x – y = 4 dan 2x + y = -4 , yaitu titik ( 0,-4 ). Jadi HP : { (0,-4) }
Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari
=+=+
82
42
yx
yx
Penyelesaian : Kita terlebih dahulu menentukan masing-masing dua titik yang terletak pada dua persamaan tersebut, yaitu : • untuk 2x + y = 4 2X + Y = 8
• untuk 2x + y = 8 X 0 4 Y 8 0 Titik ( 0, 8 ) ( 4, 0 )
2x + y = 4 Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa tidak ada titik potong antara garis 2x + y = 4 dan 2x + y = 8 karena kedua garis tersebut saling sejajar. Maka sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari
=+=−
824
42
yx
yx
Penyelesaian : Kita terlebih dahulu menentukan masing-masing dua titik yang terletak pada dua persamaan tersebut, yaitu : • untuk 2x - y = 4 2x - y = 4
• untuk 4x - 2y = 8 X 0 2 Y -4 0 Titik ( 0, -4 ) ( 2, 0 )
2x + y = 4 Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa kedua garis berimpit sehingga mempunyai tak terhingga titik potong, dikatakan sistem persamaan tersebut mempunyai tak hingga penyelesaian. Dengan demikian dapat disimpulkan tafsiran geometri dari penyelesaian sistem persamaan linier dua peubah, yaitu :
1. jika dua garis tersebut berpotongan di satu titik, maka sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian
2. jika dua garis tersebut saling sejajar, maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian 3. jika dua garis tersebut berimpit, maka sistem persamaan mempunyai tak terhingga penyelesaian
X 0 2 Y 4 0 Titik ( 0, 4 ) ( 2, 0 )
X 0 2 Y -4 0 Titik ( 0, -4 ) ( 2, 0 )
52 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 52
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan cara grafik :
1.
−=−−=−
435
2
yx
yx 8.
=+−=−
84
632
yx
yx 15.
=−=+
023
82
yx
yx
2.
−=+=−
1252
135
yx
yx 9.
=+−=−
127
1434
yx
yx 16.
=+−=−
2725
92
yx
yx
3.
=+−=+
224
335
yx
yx 10.
=+−=−792
936
yx
yx 17.
−=−=+
473
257
yx
yx
4.
=−=+
647
2283
yx
yx 11.
−=−−=−
278
94
yx
yx 18.
−=−−=+
1223
1273
yx
yx
5.
−=−=+−209
1972
yx
yx 12.
=+=+−
249
2462
yx
yx 19.
=+=−
1143
1552
yx
yx
6.
=−
=+
28
1
4
3
34
1
4
1
yx
yx 13.
−=−−=−
278
94
yx
yx 20.
−=−−=+
1223
1273
yx
yx
7.
−=−=+−209
1972
yx
yx 14.
=+=+−
249
2462
yx
yx
A.2.2. CARA SUBSTITUSI Untuk memahami cara ini perhatikan contoh berikut ini :
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari
−=−−=+
723
1252
yx
yx
Penyelesaian : Kita berinama 2x + 5y = 12………….. persamaan (1) -3x – 2y = -7………….. persamaan (2) misalkan kita memilih persamaan (1) substitusi ke persamaan (2) maka dikerjakan sebagai berikut: persamaan (1) 2x + 5y = 12 diubah menjadi : 2x = 12 – 5y 5y pindah keruas kiri
x = 6 - 2
5y kedua ruas dibagi 2
untuk selanjutnya x = 6 - 2
5y disubstitusikan ke persamaan (2) :
persamaan (2) –3x – 2y = -7
1 UJI KOMPETENSI PENYELESAIAN SISTEM
PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL DENGAN GRAFIK
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
53 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 53
-3( 6 - 2
5y ) – 2y = -7 substitusi nilai x pers. (1)
-18 + 2
15y – 2y = -7 distributif
-36 + 15y – 4y = -14 kedua ruas dikalikan 2 -36 + 11y = -14 penjumlahan 11y = -14 + 36 kedua ruas ditambah 36 11y = 22 penjumlahan y = 2 kedua ruas dibagi 11 setelah diperoleh harga y = 2 tersebut , untuk mencari harga xmaka harga y = 2 disubstitusikan ke salah satu persamaan, misalnya kita pilih ke persamaan (1), maka diperoleh persamaan : persamaan (1) 2x + 5y = 12 2x + 5.2 = 12 substitusi harga y = 2 2x + 10 = 12 perkalian 2x = 12 – 10 kedua ruas dikurangi 10 2x = 2 pengurangan x = 1 kedua ruas dibagi 2 kedua peubah sudah diperoleh yaitu x = 1 dan y = 2. Jika ditulis dalam himpunan penyelesaian ,maka HP : { (1,2) } Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan cara substitusi :
1.
−=−−=−
435
2
yx
yx 8.
=+−=−
84
632
yx
yx 15.
=−=+
023
82
yx
yx
2.
−=+=−
1252
135
yx
yx 9.
=+−=−
127
1434
yx
yx 16.
=+=+
753
432
yx
yx
3.
−=+−=−
1952
1843
yx
yx 10.
=+−−=−
5595
1824
yx
yx 17.
=−=+
135
72
yx
yx
4.
=+=+−1462
3175
yx
yx 11.
−=+=+−
5310
4776
yx
yx 18.
=−−=−+8843
01126
yx
yx
5.
=+=−
1034
2253
yx
yx 12.
−=−=−
634
12
yx
yx 19.
=−+=−−02
0932
yx
yx
6.
=−−
=−+
054
1
3
1
013
1
2
1
yx
yx 13.
=−−=−+
01232
02024
yx
yx 20.
=−+=−+
242454
863
yx
yx
7.
=−+=−−
0291812
0926
yx
yx 14.
=−+=−+
055,12,0
045,03,0
yx
yx
2 UJI KOMPETENSI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA
VARIABEL DENGAN SUBSTITUSI
54 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 54
A.2.3. CARA ELIMINASI Untuk memahami cara ini perhatikan kembali contoh berikut ini :
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari
−=−−=+
723
1252
yx
yx
Penyelesaian : Jika kita akan mencari nilai x maka peubah y harus dieliminasi / dihilangkan sebagai berikut : 2x + 5y = 12 2 4x + 10y = 24 kedua ruas dikalikan 2 -3x – 2y = -7 5 -15x –10y = -35 kedua ruas dikalikan 5 (+) -11x = -11 penjumlahan x = 1 kedua ruas dibagi –11 untuk mencari nilai y maka peubah x harus dieliminasi sebagai berikut : 2x + 5y = 12 3 6x + 15y = 36 kedua ruas dikalikan 3 -3x – 2y = -7 2 -6x – 4y = -14 kedua ruas dikalikan 2 (+) 11y = 22 penjumlahan y = 2 kedua ruas dibagi 11 jadi HP : { (1,2) } Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan cara substitusi :
1.
−=−−=−
435
2
yx
yx 9.
=+−=−
84
632
yx
yx 17.
=−=+−123
32
yx
yx
2.
−=−−=−
435
2
yx
yx 10.
=+−=−
84
632
yx
yx 18.
=−=+
023
82
yx
yx
3.
−=+=−
1252
135
yx
yx 11.
=+−=−
127
1434
yx
yx 19.
=+=+
753
432
yx
yx
4.
−=+−=−
1952
1843
yx
yx 12.
=+−−=−
5595
1824
yx
yx 20.
=−=+
135
72
yx
yx
5.
=+=+−1462
3175
yx
yx 13.
−=+=+−
5310
4776
yx
yx 21.
=−+=−−02
0932
yx
yx
6.
=+=−
1034
2253
yx
yx 14.
=−−=−+8843
01126
yx
yx 22.
−=−=−
634
12
yx
yx
3 UJI KOMPETENSI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA
VARIABEL DENGAN ELIMINASI
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
55 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 55
7.
=−−
=−+
054
1
3
1
013
1
2
1
yx
yx 15.
=−−=−+
01232
02024
yx
yx 23.
=−+=−+
242454
863
yx
yx
8.
=−+=−−
0291812
0926
yx
yx 16.
=−+=−+
055,12,0
045,03,0
yx
yx
A.2.4. CARA DETERMINAN A.2.4.1. PENGERTIAN DETERMINAN ORDO DUA Susunan bilangan yang terdiri dari 2 baris dan 2 kolom seperti dibawah ini dinamakan determinan ordo dua yang dilambangkan dengan D. : a b baris ke 1 c d baris ke 2
kolom ke 1 kolom ke 2 untuk mencari nilai determinan tersebut dikerjakan sebagai berikut : D = a b = ad – bc
c d
Contoh : tentukan nilai determinan dari 31
42 −
Penyelesaian :
D = 31
42 −= 2.3 – (-4).1= 6 + 4 = 10
A.2.4.2. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PEUBAH DENGAN CARA DETERMINAN
Jika qp
ba = D yang merupakan determinan dari koefisien-koeifisien peubah x dan y
qr
bc = Dx yang merupakan determinan D dimana kolom pertama diganti oleh konstanta c dan r
rp
ca = Dy yang merupakan determinan D dimana kolom kedua diganti oleh konstanta c dan r
maka penyelesaian sistem persamaan linier dua peubah :
=+=+
rqypx
cbyax dapat ditentukan dengan
rumus :
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
56 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 56
Pada sistem persamaan linier
=+=+
rqypx
cbyax jika :
1. D ≠ 0 maka mempunyai satu penyelesaian 2. Dx ≠ 0, Dy ≠ 0, D = 0 maka tidak mempunyai penyelesaian 3. D = Dx = Dy = 0 maka mempunyai tak hingga penyelesaian
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan :
−=−−=+
723
1252
yx
yx
Penyelesaian :
D = 23
52
−− = 2.(-2) – 5.(-3) = -4 + 15 = 11
Dx = 27
512
−− = 12.(-2) – 5.(-7) = 12.(-2) – 5.(-7) = 11
Dy = 73
122
−− = 2.(-7) – 12.(-3) = -14 + 36 = 22
maka x = D
Dx = 11
11 = 1
y = D
Dy = 11
22 = 2
jadi HP : { (1,2) }
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan cara determinan :
1.
−=−−=−
435
2
yx
yx 7.
=+−=−
84
632
yx
yx 13.
=−=+
023
82
yx
yx
2.
−=+=−
1252
135
yx
yx 8.
=+−=−
127
1434
yx
yx 14.
=+=+
753
432
yx
yx
3.
−=+−=−
1952
1843
yx
yx 9.
=+−−=−
5595
1824
yx
yx 15.
=−=+
135
72
yx
yx
4.
=+=+−1462
3175
yx
yx 10.
−=+=+−
5310
4776
yx
yx 16.
=−+=−−02
0932
yx
yx
danD
Dx x=
D
Dy y=
4 UJI KOMPETENSI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA
VARIABEL DENGAN DETERMINAN
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
57 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 57
5.
=+=−
1034
2253
yx
yx 11.
=−−=−+8843
01126
yx
yx 17.
−=−=−
634
12
yx
yx
6.
=−−
=−+
054
1
3
1
013
1
2
1
yx
yx 12.
=−−=−+
01232
02024
yx
yx 18.
=−+=−+
242454
863
yx
yx
A.2.4.3 MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PEUBAH
Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering berhubungan dengan matematika. Persoalan – persoalan tersebut sering kali dapat diubah menjadi model matematika diantaranya berbentuk sistem persamaan linier dua peubah. Untuk memahami penerapan sistem persamaan linier dua peubah simaklah contoh berikut ini : Contoh : Farid dan Fila berbelanja disebuah toko yang sama untuk membeli keperluan sekolahnya. Farid membeli 8 buku tulis dan 3 pensil, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp. 14.250,-. Sedangkan Fila membeli 6 buku tulis dan 4 pensil, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp. 12.000,-. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis dan harga sebuah pensil ? Penyelesaian: Untuk menyelesaian persoalan tersebut diatas harus diubah ke dalam bahasa matematika yang dinamakan model matematika. Model matematika yang cocok untuk persoalan tersebut adalah sistem persamaan linier dua peubah. Untuk itu kita kerjakan sebagai berikut : Kita misalkan : - harga sebuah buku tulis = x rupiah - harga sebuah pensil = y rupiah maka dapat dibuat tabel sebagai berikut :
Buku tulis Pensil Jumlah uang yang.dibayarkan (Rp) Farid 8 3 14.250 Fila 6 4 12.000
Harga per buah X y
Dari tabel tersebut dapat dibuat sistem persamaan liniernya :
=+=+
1200046
1425038
yx
yx
Untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut dapat menggunakan salah satu cara yang sudah pernah kita pelajari, misalnya cara eliminasi berikut ini : 8x + 3y = 14250 4 32x + 12y = 57000 kedua ruas dikalikan 4 6x + 4y = 12000 3 18x + 12y = 36000 kedua ruas dikalikan 3 (-) 14x = 21000 pengurangan x = 1500 kedua ruas dibagi 14 8x + 3y = 14250 3 24x + 9y = 42750 kedua ruas dikalikan 3 6x + 4y = 12000 4 24x + 16y = 48000 kedua ruas dikalikan 4 (-) -7y = - 6250 pengurangan y = 750 kedua ruas dibagi –7 jadi : - harga sebuah buku tulis ( x ) adalah Rp. 1500,-
- harga sebuah pensil ( y ) adalah Rp. 750,-
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
58 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 58
1. Dua orang anak A dan B mengikuti lomba dalam rangka HUT kemerdekaan RI yang diselenggarakan
oleh RT setempat. Lomba yang diadakan ada dua macam yaitu makan krupuk dan mencari uang didalam tepung. Dalam waktu yang ditentukan panitia, A dapat memakan 5 krupuk dan dapat mencari uang dalam tepung sebanyak 7 koin. Sedangkan B dapat memakan 6 krupuk dan dapat mencari uang dalam tepung sebanyak 5 koin. Untuk itu panitia memberi hadiah kepada A dan B masing – masing sebesar Rp. 8.500,-. Berapa rupiah hadiah untuk makan krupuk sebuah dan untuk mencari satu koin uang dalam tepung ?
2. Keliling sebuah persegi panjang adalah 28 cm. Jika panjangnya 6 cm lebih dari lebarnya , tentukan panjang dan lebar persegi panjang tersebut ?
3. Sebuah mesin penggilingan padi jenis A mampu menghasilkan 100 kg beras per jam. Sedangkan mesin jenis B mampu menghasilkan 150 kg beras per jam. Dalam satu hari kedua mesin itu mampu menghasilkan 2600 kg beras per jam. Dalam satu hari jumlah jam kerja kedua mesin itu adalah 20 jam. Berapa jam mesin A dan B berkerja dalam satu hari ?
4. Sebuah agen bus melayani penjualan tiket kelas exekutive dan kelas ekonomi. Jumalh tiket yang terjual dalam satu hari untuk kelas exekutive sebanyak 40 dan kelas ekonomi sebanyak 50. Jika dalam satu hari agen bus tersebut mendapatkan uang sebesar Rp. 6.600.000,- dari penjualan dua jenis tiket tersebut, tentukan harga untuk sebuah tiket kelas exekutive dan kelas ekonomi.
5. Sebuah agen penjualan tiket kereta api dalam satu hari mampu menjual 200 tiket untuk dua jenis. Harga tiap lembar jenis I adalah Rp. 2000,- sedangkan jenis II adalah Rp. 3000,- . Jumlah uang hasil penjualan ke dua jenis tiket tersebut sebesar Rp. 510.000,- . Berapakah banyaknya tiket yang terjual untuk jenis I ?
6. Sebuah garis dengan persamaan ax + by = 12. Tentukan nilai a dan b jika garis tersebut melalui titik ( 1,-1 ) dan ( -4,-6 )
7. Sebuah industri mebel memproduksi almari dan kursi. Hasil penjualan 10 almari dan 14 kursi adalah Rp. 8.200.000,- , sedangkan hasil penjualan 15 almari dan 8 kursi adalah Rp. 8.400.000,-. Hitunglah harga jual untuk satu almari dan untuk satu kursi.
8. Sepuluh tahun yang lalu ayah 6 kali umur saya. Lima tahun yang akan datang jumlah umur ayah dan umur saya adalah 65. Hitunglah umur ayah dan umur saya sekarang.
9. Jumlah karyawan sebuah pabrik tekstil dan pabrik rokok adalah 300 orang. Jumlah karyawan pabrik tekstil 200 kurangnya dari dua kali jumlah karyawan pabrik rokok. Hitunglah jumlah karyawan pabrik tekstil dan pabrik rokok
10. Jumlah dua bilangan sama dengan hasil kali kedua bilangan itu. Selisih bilangan yang pertama dengan dua kali bilangan kedua sama dengan dua kali perkalian ke dua bilangan itu. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.
11. Jumlah dua bilangan adalah 29, sedangkan selisih kedua bilangan itu adalah 11. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.
12. Enam tahun yang lalu jumlah umur ayah dan ibu adalah sembilan kali selisihnya. Sekarang umur ayah
17
22 umur ibu .Tentukan umur ayah dan ibu delapan tahun yang akan datang
13. Dalam sebuah gedung bioskop terdapat 250 orang penonton. Hasil penjualan karcis diperoleh Rp. 1.050.000,-. Jika harga karcis kelas I adalah Rp 5000,- dan kelas II Rp. 3000,-. Berapa banyaknya penonton pada kelas I dan pada kelas II
14. Keliling sebuah persegi panjang adalah 38 cm. Jika panjangnya dibuat dua kali panjang semula dan lebarnya dibuat empat kali lebar semula maka kelilingnya menjadi 96 cm. Hitung panjang dan lebar persegi panjang semula.
5 UJI KOMPETENSI
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
DUA VARIABEL
59 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 59
B. SISTEM PERSAMAAN LINIIER TIGA PEUBAH
Sistem persamaan linier tiga peubah ( x, y dan z ) dapat ditulis dalam bentuk :
=++=++=++
nmzlykx
srzqypx
dczbyax
keterangan : • a,b,c,p,q,r,k,l dan m dinamakan koefisien peubah • d,s dan n dinamakan konstanta jika x0 , y0 dan z0 , memenuhi sistem persamaan linier tersebut maka himpunan penyelesaiannya ditulis HP : { (x0 , y0 , z0) } Paling tidak ada 3 cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah, yaitu : a. cara substitusi b. cara eliminasi c. cara determinan B.1. CARA SUBSTITUSI Untuk memahami cara ini perhatikan contoh berikut ini :
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari
−=−+=++−
=+−
742
932
235
zyx
zyx
zyx
Penyelesaian : Misal kita beri nama 5x – 3y + z = 2 ……… persamaan (1) -2x + y + 3z = 9…….. persamaan (2) x + 2y – 4z = -7…….... persamaan (3) Langkah 1 : kita memilih salah satu persamaan disubstitusikan ke salah satu persamaan yang lain. Peubah yang disubstitusikan dipilih salah satu ( x,y atau z ) . Misal kita memilih persamaan (1) dimana yang dipilih peubah z substitusi ke persamaan (2), maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (1) 5x – 3y + z = 2 diubah menjadi : z = 2 – 5x + 3y kedua ruas dikurangi 5x – 3y Selanjutnya z = 2 – 5x + 3y disubstitusikan ke persamaan (2) sebagai berikut : Persamaan (2) -2x + y + 3z = 9 -2x + y + 3( 2 – 5x + 3y ) = 9 substitusi harga z -2x + y + 6 – 15x + 9y = 9 distributif -2x – 15x + y + 9y + 6 = 9 penjumlahan -17x + 10y + 6 = 9 penjumlahan -17x + 10y = 9 – 6 kedua ruas dikurangi 6 -17x + 10y = 3 pengurangan untuk selanjutnya -17x + 10y = 3 diberi nama persamaan (4)
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
60 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 60
Langkah 2 : kita melakukan seperti langkah 1 namun untuk persamaan yang lain. Misal kita pilih persamaan (2) substitusi ke persamaan ( 3). Untuk langkah 2 ini peubah yang disubstitusikan ke persamaan (3) harus sama dengan peubah pada langkah (1) ( yaitu z ), maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (2) –2x + y + 3z = 9 diubah menjadi : 3z = 9 + 2x – y kedua ruas ditambah 2x – y
z = 3
29 yx −+ kedua ruas dibagi 3
selanjutnya z = 3
29 yx −+ disubstitusikan ke persamaan (3) sebagai berikut :
persamaan (3) x + 2y – 4z = -7
x + 2y – 4(3
29 yx −+) = -7 substitusi harga z =
3
29 yx −+
3x + 6y –4( 9 + 2x – y ) = -21 kedua ruas dikalikan 3 3x + 6y – 36 – 8x + 4y = -21 distrbutif 3x – 8x + 6y + 4y – 36 = -21 dikelompokkan -5x + 10y – 36 = -21 penjumlahan -5x + 10y = 36 - 21 kedua ruas ditambah 36 -5x + 10y = 15 pengurangan untuk selanjutnya –5x + 10y = 15 diberi nama persamaan (5) Langkah 3 : langkah ini kita bisa memilih substitusi persamaan (4) ke (5) atau sebaliknya. Misal kita pilih substitusi persamaan (4) ke (5) dimana yang disubstitusikan peubah x maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (4) -17x + 10y = 3 diubah menjadi : -17x = 3 – 10y kedua ruas dikurangi 10y
x = 17
103
−− y
kedua ruas dibagi –17
selanjutnya x = 17
103
−− y
disubstitusikan ke persamaan (5) sebagai berikut :
persamaan (5) -5x + 10y = 15
-5(17
103
−− y
) + 10y = 15 substitusi harga x = 17
103
−− y
-5( 3 – 10y ) – 170y = - 255 kedua ruas dikalikan –17 -15 + 50y – 170y = -255 distributif 50y – 170y = -255 + 15 kedua ruas ditambah 15 -120y = -240 penjumlahan y = 2 kedua ruas dibagi –120 untuk mencari harga peubah yang lain maka harga y = 2 disubstitusikan ke salah satu persamaan (4) atau (5) maka akan diperoleh harga peubah x. Misal kita substitusikan harga y=2 ke persamaan (4) sebagai berikut : persamaan (4) -17x + 10y = 3 -17x + 10.2 = 3 substitusi harga y =2 -17x + 20 = 3 perkalian -17x = 3 – 20 kedua ruas dikurangi 20 -17x = -17 pengurangan x = 1 kedua ruas dibagi –17 sudah diperoleh harga x = 1 dan y = 2, untuk menentuka peubah z kita dapat mensubstitusikan ke persamaan (1), (2) atau (3). Misal kita pilih substitusi ke persamaan (1) sebagai berikut : persamaan (1) 5x – 3y + z = 2 5.1 – 3.2 + z = 2 substitusi harga x=1 dan y=2 5 – 6 + z = 2 perkalian -1 + z = 2 pengurangan z = 2 + 1 kedua ruas ditambah 1
61 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 61
z = 3 penjumlahan jadi HP : { (1,2,3) }
Tentukan HP dari sistem persamaan berikut ini dengan cara substitusi :
1.
−=−+−=−+−
=+−
1232
4325
6543
zyx
zyx
zyx
9.
−=+−=−+
=−
723
14642
135
zy
zyx
zx
2.
=−+−−=++
=−−
1233
723
11524
zyx
zyx
zyx
10.
−=+−=+=−
725
1456
2547
zx
zy
yx
3.
−=−+−=−−−
=+−
345
243
18247
zyx
zyx
zyx
11.
−=+−=+−=−
1624
632
1535
zx
zy
yx
4.
=−+−=−+−
=+−
1054
5324
135
zyx
zyx
zyx
12.
−=−+=−+−−=+−
15,225,16,05,1
12,03,04,05,0
9,02,03,04,0
zyx
zyx
zyx
5.
=+−=−+
−=−+−
22976
0325
1247
zyx
zyx
zyx
13.
−=+−=−
−=+
425
1743
232
yx
zy
yx
6.
−=+−=−+−
−=+−
6547
1432
1
zyx
zyx
zyx
14.
=++=++=++
235
323
124
zyx
zyx
zyx
7.
=+−
=+−
=++
2351
5123
12112
zyx
zyx
zyx
15.
=++−
=++
−=++
01241
1421
2
1241
zyx
zyx
zyx
8.
=−+=++−
−=+−
943
7325
1632
zyx
zyx
zyx
6 UJI KOMPETENSI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
TIGA VARIABEL DENGAN SUBSTITUSI
62 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 62
B.2. CARA ELIMINASI
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini :
−=−+=++−
=+−
742
932
235
zyx
zyx
zyx
Penyelesaian : Kita beri nama 5x – 3y + z = 2 persamaan (1) -2x + y + 3z = 9 persamaan (2) x + 2y – 4z = -7 persamaan (3) Langkah 1 : memilih dua persamaan untuk dikerjakan dengan eliminasi, misal kita memilih persamaan (1) dan (2) yang dieliminasi/ dihilangkan boleh memilih peubah x,y atau z. Misal kita memilih peubah y yang dieliminasi maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (1) 5x – 3y + z = 2 1 5x - 3y + z = 2 kedua ruas dikalikan 1 Persamaan (2) -2x + y + 3z = 9 3 -6x + 3y + 9z = 27 kedua ruas dikalikan 3 (+) -x + 10 z = 29 penjumlahan selanjutnya –x + 10z = 29 diberi nama persamaan (4) Langkah 2 : seperti langkah 1 namun untuk pasangan persamaan yang berbeda. Misal kita pilih persamaan (2) dan (3) dikerjakan sebagi berikut : Persamaan (2) -2x + y + 3z = 9 2 -4x + 2y + 6z = 18 kedua ruas dikalikan 2 Persamaan (3) x + 2y – 4z = -7 1 x + 2y – 4z = -7 kedua ruas dikalikan 1 (-) -5x + 10z = 25 selanjutnya –5x + 10z = 25 diberi nama persamaan (5) Langkah 3 : eliminasi persamaan (4) dan (5) sebagai berikut : Persamaan (4) -x + 10z = 29 Persamaan (5) -5x + 10z = 25 (-) 4x = 4 pengurangan x = 1 kedua ruas dibagi 4 jika persamaan (4) dan (5) dieliminasi maka akan diperoleh harga z sebagai berikut : Persamaan (4) -x + 10z = 29 5 -5x + 50z = 145 kedua ruas dikalikan 5 -5x + 10z = 25 1 -5x + 10z = 25 kedua ruas dikalikan 1 (-) 40 z = 120 pengurangan z = 3 kedua ruas dibagi 40 Harga x = 1 dan z = 3 selanjutnya disubstitusikan ke salah satu persamaan (1), (2) atau (3) maka akan didapatkan peubah y, misal subsitutisi ke persamaan (2) sebagai berikut : Persamaan (2) -2x + y + 3z = 9 -2.1 + y + 3.3 = 9 substitusi harga x dan z -2 + y + 9 = 9 perkalian y + 7 = 9 penjumlahan y = 9 – 7 kedua ruas dikurangi 7 y = 2 pengurangan jadi HP : { (1,2,3) }
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
63 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 63
Tentukan HP dari sistem persamaan berikut ini dengan cara eliminasi :
1.
−=−+−=−+−
=+−
1232
4325
6543
zyx
zyx
zyx
9.
−=+−=−+
=−
723
14642
135
zy
zyx
zx
2.
=−+−−=++
=−−
1233
723
11524
zyx
zyx
zyx
10.
−=+−=+=−
725
1456
2547
zx
zy
yx
3.
−=−+−=−−−
=+−
345
243
18247
zyx
zyx
zyx
11.
−=+−=−+−
−=+−
6547
1432
1
zyx
zyx
zyx
4.
=−+−=−+−
=+−
1054
5324
135
zyx
zyx
zyx
12.
−=−+=−+−−=+−
15,225,16,05,1
12,03,04,05,0
9,02,03,04,0
zyx
zyx
zyx
5.
=+−=−+
−=−+−
22976
0325
1247
zyx
zyx
zyx
13.
−=+−=−
−=+
425
1743
232
yx
zy
yx
6.
=+−
=+−
=++
2351
5123
12112
zyx
zyx
zyx
14.
=++−
=++
−=++
01241
1421
2
1241
zyx
zyx
zyx
7.
=−+=++−
−=+−
943
7325
1632
zyx
zyx
zyx
15.
=++=++=++
235
323
124
zyx
zyx
zyx
8.
−=+−=+−=−
1624
632
1535
zx
zy
yx
7 UJI KOMPETENSI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
TIGA VARIABEL DENGAN ELIMINASI
64 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 64
B.3. CARA DETERMINAN E.3.1. PENGERTIAN DETERMINAN ORDO 3 Susunan bilangan yang terdiri dari 3 baris dan 3 kolom yang ditulis dalam bentuk : a b c baris ke 1 p q r baris ke 2
k l m baris ke 3
kolom ke 1 kolom ke 3 kolom ke 2 dinamakan determinan ( D ) ordo 3. Untuk menentukan nilai determinan dapat digunakan cara sebagai berikut :
D =
mlk
rqp
cba
=
mlk
rqp
cba
lk
qp
ba
_ _ _ + + + = a.q.m + b.r.k + c.p.l – c.q.k – a.r.l – b.p.m
Contoh : tentukan nilai determinan dari :
232
143
012
−−
−
Penyelesaian :
D =
232
143
012
−−
−
=
232
143
012
−−
−
32
43
12
−
−
= 2.4.(-2) + (-1).1.(-2) + 0.3.3 – 0.4.(-2) – 2.1.3 – (-1).3.(-2) nilai determinan = -16 + 2 + 0 + 0 – 6 – 6 perkalian
= - 26 penjumlahan
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
kolom ke 1 dan ke 2 ditulis kembali disebelah kanan determinan dengan urutan yang tetap
65 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 65
Tentukan nilai dari determinan berikut :
1.
121
334
251
−−
−− 6.
134
172
480
−− 11.
130
174
455
−
2.
214
438
243
−−− 7.
340
650
111
−−−
12.
341
551
119
−−−
3.
347
113
354
−−−− 8.
121
320
755
− 13.
212
406
121
−−−
−
4.
447
416
327
−
− 9.
424
333
261
−−
− 14.
731
178
581
−−
5.
254
435
226
−−−−
− 10.
340
650
114
−−−
15.
371
113
053
−−−
−
B.4. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA PEUBAH DENGAN CARA DETERMINAN Jika dilambangkan dengan notasi determinan maka dapat ditulis :
x =
mlk
rqp
cba
mln
rqs
cbd
y =
mlk
rqp
cba
mnk
rsp
cda
z =
mlk
rqp
cba
nlk
sqp
dba
Jika D =
mlk
rqp
cba
yang mana merupakan determinan dari koefisien-koefisien peubah x,y dan z
8 UJI KOMPETENSI
PENGERTIAN DETERMINAN ORDO
TIGA
66 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 66
Dx =
mln
rqs
cbd
yang mana merupakan determinan D dengan mengganti kolom pertama dengan
konstanta d, s, dan n
Dy =
mnk
rsp
cda
yang mana merupakan determinan D dengan mengganti kolom kedua dengan
konstanta d, s, dan n
Dz =
nlk
sqp
dba
yang mana merupakan determinan D dengan mengganti kolom ketiga dengan
konstanta d, s, dan n
Jadi sistem persamaan linier tiga peubah :
=++=++=++
nmzlykx
srzqypx
dczbyax
dapat diselesaiakan dengan rumus :
Contoh : tentukan penyelesaian dari sistem persamaan :
−=−+=++−
=+−
742
932
235
zyx
zyx
zyx
Penyelesaian :
D =
421
312
135
−−
− =
421
312
135
−−
−
21
12
35
−−
= 5.1.(-4) + (-3).3.1 + 1(-2).2 – 1.1.1 – 5.3.2 – (-3)(-2)(-4) nilai deteriminan = -20 – 9 –4 – 1 – 30 + 24 perkalian = -40 penjumlahan
Dx =
427
319
132
−−
− =
427
319
132
−−
−
27
19
32
−
−
= 2.1.(-4) + (-3).3.1 + 1.9.2 – 1.1.(-7) – 2.3.2 – (-3).9.(-4) nilai deteriminan = -8 – 9 + 18 + 7 – 12 - 108 perkalian = -40 penjumlahan
Dy =
471
392
125
−−− =
471
392
125
−−−
71
92
25
−−
= 5.9.(-4) + 2.3.1 + 1(-2).(-7) – 1.9.1 – 5.3.(-7) – 2.(-2)(-4) nilai deteriminan = -180 + 6 + 14 – 9 + 105 - 16 perkalian
x = D
D x , y = D
D y dan z = D
D z
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
67 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 67
= -80 penjumlahan
Dz =
721
912
235
−−
− =
721
912
235
−−
−
21
12
35
−−
= 5.1.(-7) + (-3).9.1 + 2.(-2).2 – 2.1.1 – 5.9.2 – (-3)(-2)(-7) nilai deteriminan = -35 – 27 – 8 – 2 – 90 + 42 perkalian = - 120 penjumlahan
maka x = D
Dx = 40
40
−−
= 1
y = D
Dy = 40
80
−−
= 2
z = D
Dz = 40
120
−−
= 3
jadi HP : { (1,2,3) }
Tentukan HP dari sistem persamaan berikut ini dengan cara determinan :
1.
−=−+−=−+−
=+−
1232
4325
6543
zyx
zyx
zyx
6.
−=+−=−+
=−
723
14642
135
zy
zyx
zx
11.
−=+−=+=−
725
1456
2547
zx
zy
yx
2.
=−+−−=++
=−−
1233
723
11524
zyx
zyx
zyx
7.
−=−+−=−−−
=+−
345
243
18247
zyx
zyx
zyx
12.
=−+−=−+−
=+−
1054
5324
135
zyx
zyx
zyx
3.
−=−+=−+−−=+−
15,225,16,05,1
12,03,04,05,0
9,02,03,04,0
zyx
zyx
zyx
8.
−=+−=−
−=+
425
1743
232
yx
zy
yx
13.
=+−=−+
−=−+−
22976
0325
1247
zyx
zyx
zyx
4.
−=+−=−+−
−=+−
6547
1432
1
zyx
zyx
zyx
9.
=++=++=++
235
323
124
zyx
zyx
zyx
14.
=−+=++−
−=+−
943
7325
1632
zyx
zyx
zyx
9 UJI KOMPETENSI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
TIGA VARIABEL DENGAN DETERMINAN
68 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 68
5.
=+−
=+−
=++
2351
5123
12112
zyx
zyx
zyx
10.
=++−
=++
−=++
01241
1421
2
1241
zyx
zyx
zyx
15.
−=+−=+−=−
1624
632
1535
zx
zy
yx
B.5. MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN
LINIER TIGA VARIABEL
Pada pembahasan sebelumnya persoalan sehari-hari dapat diselesaikan dengan sistem persamaan linier dua peubah. Pada pembahasan kali ini akan dipelajari penerapan persoalan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan sistem persamaan linier tiga peubah. Untuk itu simaklah contoh berikut ini : Contoh 1 : Farid , Fila dan Fiqih berbelanja di sebuah toko yang sama . Farid membeli 4 buku tulis , 3 buku gambar dan 2 pensil. Fila membeli 3 buku tulis , 5 buku gambar dan 3 pensil. Sedangkan Fiqih membeli 2 buku tulis , 4 buku gambar dan 2 pensil. Farid, Fila dan Fiqih masing-masing harus membayar Rp. 14.000,-, Rp. 17.500,- dan Rp. 13.000,-. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis, sebuah buku gambar dan sebuah pensil ? Penyelesaian : Untuk mempermudah persoalan tersebut kita buat tabel sebagai berikut :
Buku tulis Buku gambar Pensil Jumlah uang yang dibayarkan
Farid 4 3 2 14.000
Fila 3 5 3 17.500
Fiqih 2 4 2 13.000
Harga per buah x y z
Dari tabel tersebut dapat dibuat sistem persamaan liniernya sebagai berikut :
=++=++=++
13000242
17500353
14000234
zyx
zyx
zyx
Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan cara substitusi, eliminasi atau determinan , yang mana setelah dihitung menghasilkan x = 1500 , y = 2000 dan z = 1000. Jadi : harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp. 1.500,- harga untuk sebuah buku gambar adalah Rp. 2.000,- harga untuk sebuah pensil adalah Rp. 1.000,- Contoh 2 : sebuah grafik parabola y = ax2 + bx + c melalui titik ( 3,10 ), ( 1,0 ) dan ( 2,4 ) . Tentukan persamaan grafik parabola tersebut. Penyelesaian : • parabola melalui titik ( 3,10 ) berlaku hubungan :
10 = a.3 2 + b.3 + c substitusi harga x=3 dan y=10 10 = 9a + 3b + c pangkat dan perkalian 9a + 3b + c = 10 komutatif
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
69 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 69
selanjutnya 9a + 3b + c = 10 diberi nama persamaan ( 1 ) • parabola melalui titik ( 1,0 ) berlaku hubungan :
0 = a.1 2 + b.1 + c substitusi harga x=1 dan y=0 0 = a + b + c pangkat dan perkalian a + b + c = 0 komutatif selanjutnya a + b + c = 0 diberi nama persamaan ( 2 )
• parabola melalui titik ( 2,4 ) berlaku hubungan : 4 = a.2 2 + b.2 + c substitusi harga x=2 dan y=4 4 = 4a + 2b + c pangkat dan perkalian 4a + 2b + c = 4 komutatif selanjutnya 4a + 2b + c = 4 diberi nama persamaan ( 3 )
dengan demikian diperoleh sistem persamaan linier 3 peubah sebagai berikut :
−=−+−=−+−
=+−
1232
4325
6543
zyx
zyx
zyx
untuk menyelesaikannya dapat menggunakan salah satu cara yaitu substitusi, eliminasi atau determinan, yang mana akan mengahasilkan harga a = 1, b = 1 dan c = -2. Jadi persamaan grafik parabola adalah : y = ax2 + bx + c y = 1.x2 + 1.x + (-2) substitusi harga a,b dan c y = x2 + x – 2 perkalian dan penjumlahan Jadi persamaan grafik parabola adalah : y = x2 + x – 2
1. A, B dan C berbelanja di sebuah toko yang sama . A membeli 3 buah barang x , 4 buah barang y dan 1
buah barang z, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp. 14.000,-. Bmembeli 2buah barang x , 6buah barang y dan 3buah barang z, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp.23.000,-. Cmembeli 5buah barang x , 2buah barang y dan 4buah barang z, untuk itu ia harus membayar sebesar Rp. 21.000,-.. Tentukan harga per unit barang x, y dan z.
2. Grafik suatu parabola y = ax2 + bx + c melalui titik A(2,15), B(-1,-6) dan C(-3,0). Tentukan persamaan grafik parabola tersebut.
3. Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 melalui titik P(1,1) ,Q(-1,3) dan R(-1,0). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
4. A , B dan C mengikuti ujian matematika . Jumlah nilai ketiga orang tersebut adalah 78. Nilai A 10 lebih besar dari nilai B, sedangkan nilai C 4 kurangnya dari nilai A. Tentukan nilai masing-masing nilai A, B dan C
5. Tiga bilangan x, y dan z jika dijumlahkan menghasilkan 6. Jika bilangan x ditambah bilangan y menghasilkan bilangan z. Bilangan y dua kali bilangan x. Tentukan masing-masing bilangan x , y dan z
6. Tiga buah bilangan rata-ratanya adalah 4. Bilangan kedua ditambah empat meghasilkan jumlah bilangan yang lain. Bilangan ke tiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi dua. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.
7. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c melalui titik A( 1,4 ) , B( -1,-5 ) dan C( 3,30 ). Tentukan nilai a,b dan c, kemudia tuliskan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut.
8. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c melalui titik A( 1,15), B( 2,14) dan C(-2,-6 ). Tentukan nilai a,b dan c, kemudia tuliskan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut.
10 UJI KOMPETENSI
MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN PERSAMAAN
LINIER TIGA VARIABEL
70 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 70
9. Bentuk kuadrat ax2 + bx + c mempunyai nilai –2 untuk x = 1 , mempunyai nilai 3 untuk x = 2 dan mempunyai nilai 58 untuk x = -3. Carilah nilai a,b dan c. Kemudian tuliskan bentuk kuadratnya
10. Bentuk kuadrat px2 + qx + r mempunyai nilai 42 untuk x = -1, mempunyai nilai 9 untuk x = 2 dan mempunyai nilai 44 untuk x = -3. Carilah nilai a,b dan c. Kemudian tuliskan bentuk kuadratnya
11. Grafik suatu parabola y = ax2 + bx + c melalui titik A(2,15), B(-1,-6) dan C(-3,0). Tentukan persamaan grafik parabola tersebut.
12. Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 melalui titik P(1,1) ,Q(-1,3) dan R(-1,0). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
13. A , B dan C mengikuti ujian matematika . Jumlah nilai ketiga orang tersebut adalah 78. Nilai A 10 lebih besar dari nilai B, sedangkan nilai C 4 kurangnya dari nilai A. Tentukan nilai masing-masing nilai A, B dan C
14. Tiga bilangan x, y dan z jika dijumlahkan menghasilkan 6. Jika bilangan x ditambah bilangan y menghasilkan bilangan z. Bilangan y dua kali bilangan x. Tentukan masing-masing bilangan x , y dan z
15. Suatu pabrik tekstil memproduksi barang jenis A, B dan C. Banyaknya barang yang diproduksi untuk masing-masing jenis barang dan biaya produksi per minggu selama tiga hari ditampilkan seperti tabel berikut : Jenis A Jenis B Jenis C Biaya produksi
Minggu ke 1 Minggu ke 2 Minggu ke 3
30 unit 40 unit 5 unit
20 unit 15 unit 10 unit
5 unit 10 unit 15 unit
Rp. 8.500.000 Rp. 10.000.000,- Rp. 7.000.000,-
Tentukan biaya per unit barang jenis A, B dan C
C. SISTEM PERSAMAAN DUA PEUBAH LINIER DAN KUADRAT
Bentuk umum sistem persamaan linier tersebut dapat ditulis :
→=+++++→=++
kuadratbentuktysxrxyqypx
linierbentukcbyax
...............04
..............022
Sistem persamaan itu dapat diselesaikan dengan cara substitusi persamaan bentuk linier ke bentuk kuadrat. Untuk memahami cara ini menyelesaian sistem persamaan ini , perhatikan contoh berikut ini :
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari
=−=+−0
062 yx
yx
Penyelesaian : Kita berinama x – y + 6 = 0 ………persamaan (1) x2 – y = 0 .…….. persamaan (2) Selanjutnya kita substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) . Peubah yang disubstitusikan dapat dipilih x atau y. Misal kita pilih peubah y yang disubstitusikan maka dikerjakan sebagai berikut : Persamaan (1) x – y + 6 = 0 diubah menjadi : -y = -x – 6 kedua ruas dikurangi x+6 y = x + 6 kedua ruas dibagi –1 selanjutnya y = x + 6 disubstitusikan ke persamaan (2) sebagai berikut : persamaan (2) x2 – y = 0 x2 – ( x + 6 ) = 0 substitusi harga y = x+6 x2 – x – 6 = 0 distributif ( x – 3 )( x + 2 ) = 0 difaktorkan
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
71 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 71
x = 3 atau x = -2 arti perkalian untuk mencari nilai y maka harga x = 3 dan x = -2 disubstitusikan ke salah satu persamaan (1) atau (2). Misal kita pilih ke persamaan (1) maka dikerjakan sebagai berikut : persamaan (1) x – y + 6 = 0 untuk x = 3 → 3 – y + 6 = 0 substitusi harga x=3 -y + 9 = 0 penjumlahan -y = -9 kedua ruas dikurangi 9 y = 9 kedua ruas dibagi –1 untuk x = -2 → -2 – y + 6 = 0 substitusi harga x=-2 -y + 4 = 0 penjumlahan -y = -4 kedua ruas dikurangi 4 y = 4 kedua ruas dibagi –1 jadi himpunan penyelesaiannya ada dua pasang titik yaitu ditulis HP : { (3,9), (-2,4) }
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini :
1.
=−−+=−−
02544
0322 xyyx
yx 5.
=−=+−0
022 yx
yx 8.
=+−−=−−
045
012 yxx
yx
2.
=−−+=−−
0652
012 yxyy
yx 6.
=−+−+=−−
01246
016322 yxyx
yx 9.
=+−−=+−
0742
0322 yxx
yx
3.
=+−−=−+
034
032 xyx
yx 7.
=+−=−+
03
043222 yx
yx 10.
=−=
22
23
xy
xy
4.
+=+=−−
652
012 yyxy
yx
C.1 MODEL MATEMATIKA YANG BERHUUNGAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN
LINIER DAN KUADRAT DUA PEUBAH Contoh 1 : Sebuah bus pariwisata bergerak dengan kecepatan konstan 100 m/det melewati terminal bus. Pada saat bus pariwisata tepat melewati terminal bus , sebuah bus reguler bergerak dari keadaan berhenti dengan arah yang sama dengan bus pariwisata dengan percepatan konstan a = 10 m/det2. Hitunglah : a. waktu yang ditempuh bus reguler agar tepat bersama-sama dengan bus pariwisata b. pada jarak berapakah kedua bus tersebut dapat tepat Penyelesaian : a. Kita misalkan S adalah jarak yang ditempuh ( dalam meter ) diukur ketika bus reguler mulai
bergerak meninggalkan terminal dan t adalah waktu yang diperlukan ( dalam detik ) untuk menempuh jarak sejauh S meter.
11 UJI KOMPETENSI
SISTEM PERSAMAAN DUA VARIABEL LINER-
KUADRAT
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
72 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 72
b. Dari keterangan soal yang ada dapat diperoleh : - untuk bus pariwisata yang bergerak dengan kecepatan konstan, menurut pelajaran Fisika dapat
ditulis : Vo = 100 m / det S = Vo .t rumus jarak = 100 t substitusi harga Vo selanjutnya S = 100 t diberi nama persamaan (1)
- untuk bus reguler yang bergerak dengan percepatan konstan, menurut pelajaran Fisika dapat ditulis : a = 10 m / det2 dan Vo = 0 m / det
S = Vo + 2
1 a.t2 rumus jarak
= 0 + 2
1 .10.t2 substitusi Vo dan a
= 5.t2 penjumlahan & perkalian selanjutnya S = 5.t2 diberi nama persamaan (2)
c. untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (2) dapat dikerjakan dengan cara substitusi sebagai berikut : persamaan (1) disubstitusi ke (2) diperoleh persamaan : persamaan (2) S = 5.t2 100 t = 5.t2 substitusi harga S pers (1) 5.t2 – 100 t = 0 kedua ruas dikurangi 100 t 5t (t – 20 ) = 0 difaktorkan 5t = 0 atau t – 20 = 0 arti perkalian t = 0 atau t = 20 arti persamaan untuk menentukan jarak yang ditempuh dapat disubstitusikan ke salah satu persamaan (1) atau (2) , misal ke persamaan (1) diperoleh : - untuk t = 0
persamaan (1) S = 100 t = 100 . 0 = 0 ini artinya bus pariwisata tepat melewati terminal, karena itu untuk t = 0 bukan suatu penyelesaian
- untuk t = 20 persamaan (1) S = 100 t = 100 . 20 = 2000 ini artinya bus reguler dapat bersamaan dengan bus pariwisata ketika t = 20 detik pada jarak S = 2000 meter
Contoh 2 : Sebuah garis dengan persamaan x – y – 3 = 0 memotong parabola y = x2 – 4x + 1 . Tentukan titik potong tersebut Penyelesaian : Persamaan garis x – y – 3 = 0 diubah menjadi : -y = -x + 3 y = x – 3 selanjutnya y = x – 3 disubstitusikan ke persamaan parabola y = x2 – 4x + 1, diperoleh persamaan :x2 – 4x + 1 = x – 3 x2 – 4x + 1 – x + 3 = 0 kedua ruas dikurangi x - 3 x2 – 4x – x + 1+ 3 = 0 pengelompokan x2 – 5x + 4 = 0 penjumlahan a = 1 , b = -5 dan c = 4 koefisien persamaan kuadrat
a
acbbx
2
42 −±−= rumus abc
73 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 73
1.2
)1(1.4)5()5( 2 −−−±−−=x substitusi harga a,b dan c
2
4255 +±=x perpangkatan & perkalian
2
295±=x penjumlahan
2
2951
+=x dan 2
2952
−=x selanjutnya disubstitusikan ke persamaan parabola y=x-3
- untuk 2
2951
+=x diperoleh 32
295 −+=y
= 2
6295 −+ menyamakan penyebut
= 2
291+− pengurangan
- untuk 2
2952
−=x diperoleh 32
295 −−=y
= 2
6295 −− menyamakan penyebut
= 2
291−− pengurangan
Jadi titik potongnya adalah ( ,2
295+2
291+−) dan (
2
295−,
2
291−− )
1. Grafik parabola y = x2 – 6x + p menyinggung garis 2x – y – 8 = 0, tentukan :
a. nilai p b. titik singgungnya
2. Grafik parabola y = x2 +px + 8 memotong garis x + y – 2 = 0, tentukan : a. nilai p b. titik potongnya
3. Sebuah garis dengan persamaan y = x + 2 memotong lingkaran x2 + y 2 + px – 4y + 1 = 0, tentukan : a. nilai p b. titik potongnya
4. Sebuah garis y = mx – 1 menyinggung lingkaran x2 + y 2 + 6x +2y + 1 = 0, tentukan : a. nilai m b. titik singgungnya
5. Dalam sebuah lomba lari, A berlari dengan kecepatan konstan 10 m / det mengejar B yang berjarak 40 m yang hendak berlari dari keadaan diam dimana B mempunyai percepatan konstan 2 m / dt2. Jika A terus berlari berusaha mengejar B, tentukan :
12 UJI KOMPETENSI
MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN DUA
VARIABEL LINIER-KUADRAT
74 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 74
SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA PEUBAH
a. waktu yang dibutuhkan A agar dapat bertepatan dengan B b. jarak yang ditempuh A agar bertepatan dengan B
D.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini dapat dikerjakan dengan cara substitusi, perhatikan contoh berikut ini :
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan
−=
=2
2
2 xy
xy
Penyelesaian : Misal kita beri nama y = x2 ……………… persamaan (1) y = 2 - x2 ……………… persamaan (2) Jika kita substitusikan persamaan (1) ke (2) maka diperoleh persamaan : x2 = 2 - x2 x2 + x2 = 2 kedua ruas ditambah x2 2 x2 = 2 penjumlahan x2 = 1 kedua ruas dibagi 2 x2 – 1 = 0 kedua ruas dikurangi 1 ( x – 1 ) ( x + 1 ) = 0 difaktorkan x = 1 atau x = -1 arti perkalian Untuk mencari harga y maka harga x = 1 dan x = -1 disubstitusikan ke salah satu persamaan (1) atau (2) . Misal kita memilih ke persamaan (1) maka : Persamaan (1) y = x2 Untuk x = -1 y = (-1) 2 substitusi harga x = -1 y = 1 perpangkatan maka diperoleh titik ( -1, 1 ) Untuk x = 1 y = (1) 2 substitusi harga x = 1 y = 1 perpangkatan Jadi HP : { ( - 1, 1 ) , ( 1 , 1 ) }
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini :
1.
−=
+=2
2
4
2
xy
xy 6.
−+−=
+−=2
2
43
34
xxy
xxy 10.
+−=
=+
442
42
22
xxy
yx
2.
=−+
=+
010
922
22
xyx
yx 7.
=++
=+−
996
16912422
22
yxyx
yxyx 11.
=+−−
=−−
01
012
2
yx
yx
13 UJI KOMPETENSI
SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
75 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 75
3.
=+−+
=+
012
02
2
yxx
yx 8.
=+−−
=+−
023
02
2
yxx
yxx 12.
=−−−
=−−
032
012
2
yxx
yx
4.
=−−
=+−
04
0422
2
yxx
yx 9.
=+−−
=−++
032
022
2
yxx
yxx 13.
=+−−
=+−
032
012
2
yxx
yx
5.
=−+−
=+−−
032
0342
2
yxx
yxx
Tentukan nilai p supaya sistem persamaan berikut mempunyai penyelesaian tunggal :
14.
=−−−
=+−
065
022
2
yxx
pyx 15.
=+−+
=+−−
052
0432
2
ypxx
yxx
C.1 MODEL MATEMATIKA YANG BERHUUNGAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN
KUADRAT DUA PEUBAH Contoh : Sebuah bola A dijatuhkan dari ketinggian 22 meter dengan kecepatan awal 10 m / det. Pada saat yang sama bola B dilempar keatas dengan kecepatan awal 12 m / det dari permukaan tanah tepat dibawah bola A sehinnga terjadi tumbukan. Jika tinggi pelempar bola B diabaikan , tentukan : a. waktu saat kedua bola bertumbukan b. jarak dari tanah pada saat terjadi kedua bola bertumbukan Penyelesaian : Lintasan bola B
22 m Lintasan bola A S
Bola A :
S = Vo . t + 2
1g.t2 rumus fisika
22 – S = 10 . t + 2
110.t2 g = 10 ( g=grafitasi)
- S = - 22 + 10 t + 5.t2 kedua ruas dikuarngi 22 S = 22 – 10 t - 5.t2 kedua ruas dikalikan –1 Selanjutnya S = 22 – 10 t - 5.t2 diberi nama persamaan (1) Bola B :
S = Vo . t - 2
1g.t2 rumus fisika
= 12. t - 2
110.t2 g = 10 ( g=grafitasi)
= 12. t - 5.t2 perkalian
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
76 Matematika SMA Kelas X Semester 1 Bab 3 : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 76
selanjutnya S = 12. t - 5.t2 diberi nama persamaan (2) a. Substitusi persamaan (1) ke (2) diperoleh :
22 – 10 t - 5.t2 = 12. t - 5.t2 22 – 10 t – 12 t = 0 kedua ruas ditambah 5.t2 22 – 22 t = 0 penjumlahan - 22 t = - 22 kedua ruas dikurangi 22 t = 1 kedua ruas dibagi – 22 jadi waktu saat kedua bola bertumbukan adalah 1 menit
b. untuk menentukan jarak yang ditempuh dapat dicari dengan mensubstitusikan harga t = 1 ke salah satu persamaan (1) atau (2), misal ke (2) maka diperoleh persamaan : persamaan (2) S = 12 t – 5 t2 = 12. 1 – 5 . 12 substitusi harga t = 1 = 12 – 5 perpangkatan & perkalian = 7 pengurangan jadi jarak yang ditempuh saat kedua bola bertumbukan adalah 7 meter
14 UJI KOMPETENSI
MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN
SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL
top related