konvers, invers dan kontraposisi · hubungan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “p...

Konvers, Invers dan

Kontraposisi

Represented by : Firmansyah, S.Kom

MODUL

5

A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Tema Konvers, Invers dan Kontraposisi

2. Fokus

Pembahasan

Materi Pokok

1. Konvers, invers dan kontra posisi

2. Ekivalensi Logika

3. Negasi / ingkaran implikasi, konvers, invers

dan kontraposisi

3. Tujuan

Kegiatan

Pembelajaran

1. Mahasiswa memahami pengertian konvers,

invers dan kontraposisi dari suatu implikasi.

2. Mahasiswa mampu menunjukkan ekivalensi

antara pernyataan implikasi, konvers, invers

dan kontraposisi.

3. Mahasiswa mampu menentukan negasi atau

ingkaran antara pernyataan implikasi,

konvers, invers dan kontraposisi.

Konvers, Invers dan

Kontraposisi dari suatu

implikasi.

Misalkan diketahui implikasi p q

Maka:

Konversnya adalah q p

Inversnya adalah ¬p ¬q

Kontraposisinya adalah ¬q ¬p

Hubungan Konvers, Invers, dan

Kontraposisi dari Implikasi “p q”

Catatan :

Bahwa nilai suatu implikasi selalu ekivalen dengan kontraposisi.

p q ¬q ¬p

p q ¬p ¬q p q q p ¬p ¬q ¬q ¬p

T T F F T T T T

T F F T F T T F

F T T F T F F T

F F T T T T T T

Contoh 1.

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:

“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” (p

q)

Penyelesaian:

Konvers : (q p)

Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil

Invers : (¬p ¬q)

Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang

kaya

Kontraposisi : (¬q ¬p)

Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai

mobil

Contoh 2

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:

Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5.

Penyelesaian:

Konvers:

Jika suatu bilangan asli habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut berangka satuan 0

Invers:

Jika suatu bilangan asli tidak berangka satuan 0 maka bilangan tersebut

tidak habis dibagi 5.

Kontraposisi:

Jika suatu bilangan asli tidak habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut tidak berangka satuan 0

Tugas

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari

pernyataan di bawah !

1) Jika n bilangan ganjil, maka (-1)n = -1

2) Harimau binatang bertaring, maka ia binatang buas

3) Jika a3 : a3 = a0 , maka a0 =1

4) Jika semua jeruk manis, maka jeruk ini harus manis

5) Jika Beijing di RRC, maka Tokyo di Jepang (konvers)

6) Iwan lulus ujian jika ia belajar

EKUIVALENSI LOGIKA

Sesi 2

EKUIVALENSI

Jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka dapat dipastikan bahwa kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis.

Demikian juga jika dua buah ekspresi logika adalah kontradiksi, maka dapat dipasikan kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis.

EKUIVALENSI

Persoalannya ada pada contingent, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis.

Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.

EKUIVALENSI Contoh: 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik.

Dari dua pernyataan di atas, tanpa pikir panjang kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pernyataan di atas adalah ekuivalen. Tetapi untuk membuktikan kebenarannya apakah kedua pernyataan tersebut ekuivalen harus dibuktikan dengan tabel kebenaran.

EKUIVALENSI

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Ubahlah pernyataan-pernyataan tersebut ke dalam pernyataan atomik dengan simbol logikanya!

Dewi sangat cantik dan peramah Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam pernyataan atomiknya dan kita permisalkan dengan simbol logikanya, yaitu: p = Dewi sangat cantik q = Dewi peramah

EKUIVALENSI

2. Ubahlah pernyataan-pernyataan majemuknya kedalam simbol-simbol logikanya.

1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam simbol logikanya, yaitu: 1. p q 2. q p

EKUIVALENSI

p q p q q p B B S S

B S B S S

B S S

S

B S S

3. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut!

EKUIVALENSI

HASIL AKHIR

p q q p

B S S S

B S S S

p q p q (x) (y) (x y)

B B B B

EKUIVALENSI

Dari hasil tabel kebenaran di atas diperoleh hasil bahwa nilai dari p q sama dengan nilai q p.

Sedangkan jika kedua pernyataan di atas dihubungkan dengan logika biimplikasi diperoleh bukti bahwa:

(p q) (q p)

Semuanya nilai logikanya bernilai benar atau tautologi.

EKUIVALENSI

Dengan demikian karena kedua logika jika dihubungkan dengan logika biimplikasi adalah tautologi maka dapat disimpulkan bahwa kedua logika tersebut adalah ekuivalen.

Maka pernyataan yang menyatakan: 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. adalah pernyataan yang ekuivalen secara logis.

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA

Identitas p 1 1 p 0 p Ikatan p 1 1 p 0 0 Idempoten p p p p p p Negasi p p 1 p p 0 Negasi Ganda (p) p Komutatif p q q p p q q p Asosiatif (pq) r p(qr) (pq)r q(pr) Distributif p(qr) (pq)(pr) (pq)r (pq)(pr)

De Morgan’s (pq) pq (pq) pq Aborbsi p(pq) p p(pq) p

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA

Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, untuk menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis atau tidak, dapat juga digunakan hukum-hukum ekuivalensi logika, yang akan kita bahas secara aplikatif di materi Penyederhanaan Aljabar Boolean

CARA INI LEBIH SINGKAT TETAPI....!!!?

21

GIMANA YA ....

X, Y, Z

ATAU P, Q, R,

ATAU... ATAU...

ATAU X 200 BINTANG

KECIL

DILANGIT

YANG BIRU

TAPI JANGAN KAWATIR COY, YAKINKAN DIRI ANDA UNTUK BISA, SEBAB KEMUDAHAN ITU ADANYA DIBALIK KESUSAHAN....!

EKUIVALEN LOGIKA

Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan tabel kebenaran. (pq) (pq) p

TABEL KEBENARAN

EKUIVALEN LOGIKA

TABEL KEBENARAN

EKUIVALEN LOGIKA (pq) (pq) p

p q p q pq (pq) pq (pq)(pq)

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

S

S

S

B

S

S

B

B

Dari tabel kebenaran diperoleh hasil bahwa p sama dengan (pq)(pq) p. Untuk membuktikan lebih lanjut maka p dan (pq)(pq) dihubungkan dengan logika biimplikasi.

EKUIVALEN LOGIKA (pq) (pq) p

Dari tabel tabel di atas diperoleh hasil bahwa (pq)(pq) p bernilai benar untuk setiap nilai p dan q, Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terbukti (pq) (pq) p adalah ekuivalen secara logis.

p (pq)(pq) (pq) (pq) p

S

S

B

B

S

S

B

B

B

B

B

B

Negasi / Ingkaran Implikasi,

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Sesi 3

HUKUM EKUIVALEN LOGIKA

(p q)

Perhatikan hukum Morgan’s Dimana: (p q) p q

Maka: (p q) p (q) (p q)

Ekivalensi Pernyataan implikasi :

(p → q) p v q

Negasi suatu implikasi

Untuk memperoleh negasi dari suatu implikasi, kita dapat

mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian

dinegasikan, yaitu:

p q p q

maka negasinya adalah

(p q) ( p q) p q

Negasi suatu Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan

majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan

dengan p q (p q) (q p)

sehingga,

(p q) [ (p q) (q p) ]

[ ( p q) ( q p) ]

( p q) ( q p)

(p q) (q p)

Ingkaran konvers, invers dan kontraposisi

Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers dan kontraposisi

dari implikasi berikut:

“Jika suatu bendera adalah bendera RI, maka bendera

tersebut berwarna merah putih”

Penyelesaian :

Misal, p : Suatu bendera adalah bendera RI q : Bendera tersebut berwarna merah putih

maka kalimatnya menjadi p q

atau jika menggunakan operator or, maka p q ekuivalen

(sebanding) dengan p q . Sehingga

1). Negasi dari Konvers

Konvers : q p q p

Negasinya : (q p) q p

Kalimatnya : “Terdapat bendera berwarna merah putih

tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”

2). Negasi dari Invers

Invers : p q (p) q p q Negasinya : ( p q) p q

Kalimatnya : “Suatu bendera bukan bendera RI tetapi

bendera tersebut berwarna merah putih”

3). Negasi dari Kontraposisi

Kontraposisi : q p (q) p q p Negasinya : (q p) q p

Kalimatnya : “Suatu bendera tidak berwarna merah

putih dan bendera tersebut adalah bendera RI”