kalkulus 1
Post on 24-Jun-2015
472 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
KALKULUS 1
DOSEN PEMBIMBING
HETTY ROHAYANI,Ah,St,M.Kom
Disusun oleh:
Taufik Hidayah
Nim:8020140186
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
SEKOLAH TINGGI ILMU KOMPUTER DINAMIKA
BANGSA JAMBI
2014/2015
ii
KATA PENGANTAR
Pertama-tama penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT
dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyusun Resume Ini.
Shalawat beserta salam tidak lupa penulis ucapkan kepada nabi besar Muhammad
SAW yang telah membawa kita semua umatnya dari alam kegelapan menuju alam
yang terang-menerang, dari alam kebodohan menuju alam yang penuh ilmu
pengetahuan.
Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan resume ini masih banyak terdapat
kekurangan dan kesalahan, oleh sebab itu Penulis mohon maaf dan menerima
kritik dan saran yang membangun/membaca.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat menjadi motipasi
Dan pembelajaran bagi kita semua. Amin ya robbal ‘alamin
iii
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR ....................................................................... ii
DAFTAR ISI ..................................................................................... iii
BAB I PEMBAHASAN
1.1 Bilangan Riil ....................................................................... 1
1.2 Persamaan Linier .............................................................. 14
1.3 Nilai Mutlak...................................................................... 33
1.4 Fungsi ............................................................................... 35
1.5 Limit ................................................................................. 42
1.6 Turunan1 ........................................................................... 46
1.7 Turunan 2 .......................................................................... 52
BAB II
2.1 Simpulan .......................................................................... 55
2.2 Saran ................................................................................. 55
Daftar Pustaka
1
BAB I
1.1 Bilangan Riil
A. Himpunan Bilangan Riil
Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk .
Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan
desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang
dalam daur yang tetap selamanya. Misalnya
=1,18181818
Bilangan yang tak bisa dinyatakan dalam bentuk
dengan m.n bilangan
bulat dan disebut bilangan tak rasional. Sebarang bilangan takrasional juga
dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan
takrasional tidak berulang menurut suatu daur. Misalnya,0 n ≠ 0
√2=1,41421356223 π3,1415926335
Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan tak
rasional disebut himpunan bilangan riil ( biasa dilambangkan ). Anggota
himpunan tersebut dinamakan bilangan riil. R
B. Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan riil dibentuk dari himpunan bilangan riil dan operasi
yang didefinisikan pada himpunan tersebut. R yang dilengkapi dengan operasi
penjumlahan dan perkalian membentuk sistem aljabar lapangan, yakni berlaku:
1. x + y + y + x untuk sebarang x, y di R
2. (x + y) + z + x + (y + z) untuk sebarang x, y, z di R
3. Terdapat 0 di R demikian sehingga 0 + x + x + 0 + x untuk sebarang x di R
4. Untuk sebarang x di R terdapat - x di R demikian sehingga x + (+x) + (+x) + x
+ 0
5. xy + yx untuk sebarang x, y di R
6. (xy)z + x(yz) untuk sebarang x, y, z di R
7. Terdapat 1 di R demikian sehingga 1.x + x.1+ x untuk sebarang x di R
2
8. Untuk sebarang x di R dengan x 0 terdapat
demikian sehingga
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan dan ) (y-x=x+(-y dan
C. Urutan pada Himpunan Bilangan Riil
Terdapat himpunan bagian dari R yang unsurnya dinamakan himpunan
bilangan positif, yang memenuhi aksioma :
jika a € R maka a= 0, atau a positif, atau –a
jumlah dan hasil dua kali bilangan positif adalah suatu bilngan fositif
ini memungkinkan kita mendfinisikan relasi urutan pada bilangan
riil Dinefenisikan relasi urutan < (dibaca “kurang dari”) sebagai x<y
– y-x positif selanjutnya relasi urutan<(Dibaca (“lebih
dari”)didefinisikan sebagai x>yy<x
urutan tersebut memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka satu diantara yang
berikut berlaku x<y atau x=y atau x>y
Ketransitifan, x<y dan y<zx<z untuk sebarang x,y,z di R
x<yx+z untuk sebarang x,y,z di R
jika z positif, berlaku x< y xz<yz untuk sebarang x,y di R dan
jika z negatif berlaku x < y xz > yz untuk sebarang x,y di R,
relasi≤ (dibaca” kurang dari atau sama dengan”), didefinisikan
sebagai x ≤ y y ≤ x sifat sifat urutan 2,3 dan 4 berlaku dengan
lambang < dan> diganti dengan lambang ≤ atau ≥.
D. Kerapatan pada Himpunan Bilangan Riil
Diantara dua bilangan riil sebarang yang berlainan x dan y terdapat suatu
bilangan riil lainnya, khususnya z=
dan karenanya terdapat juga bilangan
riil diantara x dan z dan diantara z dan y. Argumentasi ini dapat diulang
sampai tak hingga, sehingga kita dapat mengambil kesimpulan diantara dua
3
bilangan riil sebarang ( tak peduli betapun dekatnya ) terdapat takterhingga
banyaknya bilangan riil lain.
E. Garis riil
Bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis
mendatar. Pada garis tersebut bilangan riil mengukur jarak berarah ke kanan
atau ke kiri dari suatu titik tetap yang diberi label . 0
c
0
Garis tersebut dinamakan garis riil
Catatan:
Mengatakan x<y bearti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis riil.
x y
Pada garis riil, bilangan riil positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan
riil negatif terletak di sebelah kiri 0 .
F. Selang
Himpunan bagian tertentu dari himpunan bilangan riil yang disebut
selang sering muncul dalam Kalkulus. Secara geometris ini berkaitan dengan
ruas garis pada garis riil. Jika a b, interval buka dari a ke b terdiri dari
semua bilangan diantara a dan b dan menggunakan simbol (a,b) . Dalam
notasi pembentuk himpunan ditulis x a x b. Perlu dicatat bahwa titik a
4
dan b tidak termasuk dalam selang tersebut. Selang tertutup dari a ke b adalah
himpunan a,bx a x b, dalam hal ini a dan b termasuk dalam selang
tersebut. Lebih lanjut perhatikan tabel berikut
Simbol pada notasi di atas bukan mewakili sebuah bilangan. (a,)
berartihimpunan semua bilangan yang lebih dari a . Secara geometris selang
ini membentang mulai dari titik a tak berhingga jauhnya ke kanan dalam arah
positif. Analog untuk [a,) , (,b) , (,b] dan (,) .
G. Macam-macam bilangan riil
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk
memebilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...
A = {1,2,3,4,...}
2. Bilangan Genap (G)
Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA
G = {2,4,6,8,...}
5
3. Bilangan Ganjil (Gj)
Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA
Gj = {1,3,5,7,...}
4. Bilangan Prima (P)
Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat
dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1
P = {2,3,5,7,...}
5. Bilangan Komposit (Km)
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan
yang lain
Km = {4,6,8,9,...}
6. Bilangan Cacah (C)
Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol
C = {0,1,2,3,4,...}
7. Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan
bilangnan bulat positif.
B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
8. Bilangan Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk
, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,
dengan a dan b ÎB serta b ≠0
9. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk
, a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan
bilangan pecahan)
6
10. Bilangan Irasional (I)
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan
dalam bentuk
, a dan b €B serta b ≠0.
Contoh: 2, 3,p = 3,14159..., e = 2,71828...
11. Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan
bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis
bilangan.
Contoh:
12. Bilangan Khayal (Kh)
Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam
pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.
Contoh: 1, 2, 3
13. Bilangan Kompleks (K)
Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan
khayal.
Contoh: 2 + -1,5 - - 2
H. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional
Bilangan Rasional:
1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa
2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas.
7
Bilangan Irasional:
1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa
2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas.
Contoh:
3= 1,7320...
2= 1,4142...
3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar.
Contoh: 2, 3, 7
I. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat
1. Sifat Komutatif:
a + b = b + a
a.b = b.a
Contoh:
1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11
2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27
2. Sifat Assosiatif:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Contoh:
1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10
2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6
= 15 + 30
= 45
4. Terdapat Dua Elemen Identitas
8
Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga
memenuhi:
a + 0 = a
a . 1 = a
5. Terdapat Elemen Invers
Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu a
yang memenuhi:
a + (-a) = 0
Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu
, yang memenuhi:
a.
=1
J. Operasi Pada Bilangan Bulat:
1. Operasi Penjumlahan
a + b = c a, b dan c bilangan bulat
Contoh: 14 + 10 = 24
2. Operasi Pengurangan
A – b = c Ûa + (-b) = c a, b dan c bilangan bulat
Contoh: 10 – (-2) = 10 + 2 = 12
3. Operasi Perkalian
a . b = c a, b dan c bilangan bulat
Contoh: 5 . 4 = 20
(-9) . (-4) = 36
4. Operasi Pembagian
a . b = c a, b dan c bilangan bulat
Contoh: 5 . 4 = 20
(-9) . (-4) = 36.
5. Operasi Pembagian
. a,
b bilangan bulat dan b ≠ 0, c bilangan real
9
K. Operasi Pada Bilangan Pecahan
1. Operasi Penjumlahan
2. Operasi Pengurangan
Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut!
3. Operasi Perkalian
Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut:
4. Operasi Pembagian
Contoh:
Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini!
L. Konversi Pecahan
1. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal
10
Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya.
Dengan pembagian berulang
Contoh:
Ubahlah
ke dalam pecahan desimal!
= 0,33333... = 0,33
2. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen.
Mengubah penyebutnya menjadi 100
3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan!
4. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal
Contoh:
Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal!
M. Perbandingan, Skala, Dan Persen
1) Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan
a. Perbandingan senilai Bentuk Umum:
=
atau a1 : b1 = a 2 : b 2
b. Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:
11
atau a1 : b 2 = a 2 : b1
Contoh:
1. Seorang ibu menghabiskan ½ liter minyak tanah untukmerebus air
sebanyak 15 liter air. Jika dia akan merebus airsebanyak 100 liter, berapa
liter minyak tanah yangdiperlukan?
2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukangdalam 20 hari.
Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari,maka berapa orang tukang
yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?
Jawab:
1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A)
adalah M : A, maka:
2. Jika 4 orang tukang (T1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H1 ),maka untuk
selesai selama 2 hari (H2 ) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang.
2) Skala
Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau
perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya
(kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan
dari ukuran sesungguhnya.
Skala pembesaran
Contoh:
Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak
sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B?
Jawab:
Misal jarak pada peta = x
12
Misal jarak sesungguhnya = y
X : y = 10 cm : 100 km
= 10 cm : 10.000.000 cm
= 1 : 1.000.000
Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000
Skala Pengecilan
Contoh:
Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut
pada layar TV jika skalanya 1 : 100?
Jawab:
Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm
Tinggi pada TV = B
=
Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm
3. Persen
Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari
perbandingan
yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100.
Contoh:
Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan
30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam
perunggu itu?
Jawab:
Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg
13
N. Penerapan Pada Bidang Keahlian
1) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat
penjualan yang dilakukan.
2) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada
pembeli
3) Laba dan Rugi
Laba = Penjualan – Pembelian
Rugi = Pembelian – Penjualan
Contoh soal:
Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang
senilai Rp2.000.000,00. Tentukan komisi yang diterima!
Jawab:
Komisi = 20% x Rp2000.000,00
=Rp.2000.000.00
Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang
tersebut dijual dengan harga Rp750.000,00. Hitunglah persentase
keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp750.000,00 – Rp500.000,00 = Rp250.000,00
Persentase laba dari harga beli
:
Persentase laba dari harga jual:
14
1.2 Persamaan Linier
A. Persamaan Linear
Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap
sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama
dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear
karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus.
Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena
dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk
persamaan linear satu variabel yaitu y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m
menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis
dengan sumbu-y.
Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem
persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai
bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk
standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.
Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut
:
Titik potong dengan sumbu x maka
15
Titik potong dengan sumbu y maka
Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk
umum :
dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk
yang lainnya sampai variabel ke-n.
Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :
A.. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah
termasuk persamaan linear atau bukan.
a. x + y = 5 (persamaan linear dua variabel)
b. x2
+ 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)
c. p2
+ q2
= 13 (persamaan kuadrat dua variabel)
d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)
B. Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Jawab ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6 | x 1 | –> 2x – y = 6 – ………*
5y = 10
16
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}
C. Selesaikan soal no 2 menggunakan cara substitusi
Jawab :
Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua
menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
17
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
D. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila
membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah
mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan
penggunaan model matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 – ( karena x persamaan
1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
18
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah
jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5
buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-
B. Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika
yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda
pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :
ax+by>c
ax+by<c
ax+by≥c
ax+by≤c
dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c
anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .
Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan
grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan
linear yaitu sebagai berikut :
1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan
19
2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.
3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.
4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.
Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh
berikut :
contoh 1.
20
Contoh 2.
21
Contoh 3.
Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut
untuk x, y anggota bilangan real.
–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
22
Penyelesaian :
Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang
koordinat.
23
Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat
dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini
menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)
Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah,
sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang
mengandung titik (0,12).
24
Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh
grafik sebagai berikut.
Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang
terkena seluruh arsiran, yaitu :
25
C. Persamaan linier satu variable
Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang
menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Dari bentuk-bentuk 3(x – 1) + x
dan –x + 7, kita dapat membentuk persamaan
yang merupakan suatu persamaan linear satu variabel (PLSV). Untuk
menyelesaikan suatu persamaan, kita harus menentukan nilai dari x sedemikian
sehingga persamaan tersebut menjadi benar, yang berarti, nilai dari ruas kiri
sama dengan ruas kanan. Perhatikan tabel berikut.
Berdasarkan tabel di atas, kita dapat menemukan bahwa persamaan 3(x –
1) + x = –x + 7 akan bernilai benar ketika kita mengganti x dengan bilangan 2,
dan akan salah jika kita mengganti x dengan bilangan selain 2. Bilangan
pengganti yang dapat menyebabkan suatu persamaan bernilai benar disebut
selesaian atau akar.
Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan tabel akan memakan
waktu yang cukup lama. Untuk itu, kita dapat menuliskan suatu persamaan
yang diberikan ke dalam persamaan ekuivalen yang lebih sederhana, sampai
kita mendapatkan solusi yang diminta. Persamaan-persamaan yang ekuivalen
26
adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan selesaian sama, dan
diperoleh dari penyederhanaan kedua ruas persamaan dengan menggunakan
sifat-sifat penjumlahan, perkalian, dan distributif dari suatu persamaan, sampai
diperoleh suatu persamaan dalam bentuk x = konstanta.
Sifat Penjumlahan dan Perkalian Suatu Persamaan Jika A, B, dan C
merupakan bentuk-bentuk aljabar dan A = B, maka A + C = B + C, AC = BC,
dan A/C = B/C (C ≠ 0).
Dengan kata lain, berdasarkan sifat penjumlahan suatu persamaan, kita
dapat menambahkan suatu bilangan atau bentuk aljabar lain ke dalam ruas
kanan dan kiri persamaan tersebut. Pernyataan yang serupa dapat dibuat untuk
menyatakan sifat perkalian suatu persamaan. Sifat-sifat dari persamaan ini
dapat dikombinasikan untuk dijadikan panduan dalam menyelesaikan suatu
persamaan linear. Sebagai catatan, tidak semua langkah dalam panduan ini
diperlukan dalam menyelesaikan setiap persamaan.
Berikut ini merupakan panduan/langkah-langkah dalam menyelesaikan
persamaan linear satu variabel.
1. Hilangkan tanda kurung dengan menggunakan sifat distributif,
kemudian operasikan suku-suku yang serupa.
2. Gunakan sifat penjumlahan suatu persamaan untuk menulis
persamaan tersebut sehingga semua variabel berada di satu ruas,
sedangkan semua konstanta berada di ruas lainnya. Sederhanakan
masing-masing ruas.
3. Gunakan sifat perkalian suatu persamaan untuk menghasilkan
persamaan yang berbentuk x = konstanta.
4. Untuk soal penerapan, jawablah ke dalam kalimat sempurna dan
gunakan satuan yang sesuai dengan perintah.
Sebagai contoh pertama, kita akan mencoba menyelesaikan persamaan 3(x – 1)
+ x = –x + 7 yang merupakan masalah di awal pembahasan ini.
27
Contoh 1: Menyelesaikan PLSV dengan Menggunakan Sifat-sifat Persamaan
Selesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7.
Pembahasan
Seperti selesaian dengan menggunakan tabel, kita juga memperoleh bahwa
selesaian dari persamaan tersebut adalah x = 2.
Untuk menguji selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikan
selesaian ini ke dalam persamaan semula (proses ini sering disebut substitusi-
balik), dan pastikan bahwa nilai pada ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari
contoh 1 kita mendapatkan:
Jika ada koefisien-koefisien dalam suatu persamaan berbentuk pecahan,
kalikan kedua ruas dengan Berikut ini merupakan panduan/langkah-langkah
dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel.
28
1. Hilangkan tanda kurung dengan menggunakan sifat distributif, kemudian
operasikan suku-suku yang serupa.
2. Gunakan sifat penjumlahan suatu persamaan untuk menulis persamaan
tersebut sehingga semua variabel berada di satu ruas, sedangkan semua
konstanta berada di ruas lainnya. Sederhanakan masing-masing ruas.
3. Gunakan sifat perkalian suatu persamaan untuk menghasilkan persamaan
yang berbentuk x = konstanta.
4. Untuk soal penerapan, jawablah ke dalam kalimat sempurna dan gunakan
satuan yang sesuai dengan perintah.
Sebagai contoh pertama, kita akan mencoba menyelesaikan persamaan 3(x –
1) + x = –x + 7 yang merupakan masalah di awal pembahasan ini.
Contoh 1: Menyelesaikan PLSV dengan Menggunakan Sifat-sifat Persamaan
Selesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7.
Pembahasan
Seperti selesaian dengan menggunakan tabel, kita juga memperoleh bahwa
selesaian dari persamaan tersebut adalah x = 2.
Untuk menguji selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikan
selesaian ini ke dalam persamaan semula (proses ini sering disebut substitusi-
balik), dan pastikan bahwa nilai pada ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari
contoh 1 kita mendapatkan:
Jika ada koefisien-koefisien dalam suatu persamaan berbentuk pecahan,
kalikan kedua ruas dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari
penyebut-penyebutnya, untuk menghilangkan pecahan tersebut. Karena setiap
bilangan desimal dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan, maka dalam
29
menyelesaikan persamaan yang memuat koefisien desimal, kita dapat
mengubah bentuk desimal tersebut ke dalam bentuk pecahan terlebih dahulu.uk
menghilangkan pecahan tersebut. Karena setiap bilangan desimal dapat ditulis
ke dalam bentuk pecahan, maka dalam menyelesaikan persamaan yang memuat
koefisien desimal, kita dapat mengubah bentuk desimal tersebut ke dalam
bentuk pecahan terlebih dahulu.
D. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1. Pengertian persamaan linear dua variabel (PLDV) Persamaan linear dua
variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana
pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk Umum
PLDV : ax + by = c x dan y disebut variabel
2. Sistem persamaan linear dua variable (SPLDV) Sistem persamaan linear
dua variable adalah dua persamaan linear dua variable
yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu
penyelesaian. Bentuk umum SPLDV : ax + by = c px + qy =
r dengan x , y disebut variabel a, b, p, q disebut
keifisien c , r disebut konstanta C.
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)
Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :
1. Metode Substitusi
Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain
contoh : Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y =
6
jawab : Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x
+ 2y = 8
Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua
menjadi x = 8 – 2y)
30
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
2. Metode Eliminasi
Dengan cara menghilangkan salaj satu variable x atau y.
contoh :
Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:
Jawab ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6 | x 1 | –> 2x - y = 6 - ………*
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
31
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}
* catatan nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah
satu variable agar menjadi 0
Contoh (i) yang dieliminasi adalah x :
x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + digunakan tanda -
(ii) yang dieliminasi adalah y :
y dalam persamaan satu +, persamaan dua - atau sebaliknya digunakan
tanda +
3. Penggunaan sistem persamaan linear dua variable
Contoh: Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000,
kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah
Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4
buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan
penggunaan model matematika.
32
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x
persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah
jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5
buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-
33
1.3 Nilai Mutlak
A. Memahami dan menemukan konsep Nilai Mutlak
Kegiatan pramuka adalah salah satu kegiatan
ekstrakurikuler yang diadakan di sebuah sekolah.
Sebuah grup pramuka sedang belajar baris berbaris
di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah
dari pimpinan pasukan: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal
ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah
ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur
3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan
bergerak melawan arah sejauh 3 langkah. Demikian
seterusnya.
Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan
nilai mutlak, tidak ditentukan arah. “Maju 4 langkah”,
berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur
3 langkah, berarti mutlak 3 langkah dari posisi
diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya,
bukan arahnya. Lebih jelasnya, mari bersama-sama mempelajari kasus-kasus di
bawah ini.
B. Alternatif Penyelesaian
Kita definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif,
dengan
demikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.
Perhatikan sketsa berikut:
34
Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak.
Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan, langkah
pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif),
anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke
sumbu x negatif) dari posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya
sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah ke 5.
Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1
langkah saja ke belakang (x = –1). Banyak langkah yang dijalani si anak
merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak
langkah, bukan arahnya. Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan
bulat positif walaupun arahnya ke arah sumbu x negatif. Banyak langkah dapat
dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur 3
langkah dinyatakan dengan harga mutlak negatif 3 (|-3|). Sehingga banyak
langkah anak tersebut adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9 (9 langkah).
Perhatikan Tabel 2.1 berikut.
Dari ilustrasi dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik sebuah kesimpulan
tentang pengertian nilai mutlak tersebut? Jika x adalah variabel pengganti
semua
bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak x tersebut?
Perhatikan bahwa x elemen himpunan bilangan real, kita tuliskan dengan x
∈ R.
Dari contoh pada tabel tersebut, kita melihat bahwa nilai mutlak akan bernilai
positif atau nol. Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada
garis bilangan real. Perhatikan garis bilangan berikut. Kita lakukan beberapa
percobaan perpindahan posisi sebagai berikut.
35
1.4 Fungsi
A. Fungsi
Fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Misal
terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi merupakan
daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan fog
(baca f circle g) dan didefinisikan sebagai :
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g
maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan
didefinisikan sebagai:
Misal A dan B adalah suatu himpunan.
Suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat
satu anggota B disebut fungsi atau pemetaan dari A ke B, yang dinotasikan
dengan f:A->B.
A disebut daerah asal / domain.
B disebut daerah kawan / kodomain.
Himpunan dari B yang merupakan peta dari A disebut daerah hasil atau
range.
B. Jenis jenis fungsi
36
C. Fungsi komposisi
Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan
hasilnya disebut fungsi komposisi.
37
Misal:
Fungsi f:R->R, fungsi g:R->R dengan f(x)=x2+1 dan g(x)=x+1. Tentukan
D. Fungsitrigonometrik
Fungsitrigonometrik: fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan
bilangangonometrik. (sinus, cosinus, tangent, cotangent, secantdan cosecant).
persamaantrigonometriky = sin x
persamaanhiperboliky = arc cosx
))(())(()(
))(()(
)(:
))(()(:
)(:
xfgxfgxh
atauxfgxhJadi
xhzdenganCAhFungsi
xfgygzdenganCBgFungsi
xfydenganBAfFungsi
))0((. ))0((.
))((. ))((.
)1)((. )1)((.
))((. ))((.
fghgfg
xfgfxgfe
gfdfgc
xgfbxfga
38
39
E. Rumus trigonometri
F. Grafik Fungsi sinus
40
G. Grafik Fungsi cosinus
H. Grafik fungsi Tangen
I. Grafik Fungsi Contangen
J. Grafik Fungsi Secant
41
K. Grafik Fungsi Cosecant
Latihan
Jika fog(x) = -2x+3 dan f(x) = 2x + 1 tentukan fungsi g(x).
Jawaban :
f(g(x)) = fog(x)2(g(x)) + 1 = -2x+32(
g(x)) = -2x+3 -12(
g(x)) = -2x+2
g(x)= -2x+2/2 = -x + 1
42
Diketahui :
f(x) = x2-2x dan g(x) = x-1
tentukan gof dan fog kemudian gambar grafiknya masing-masing.
Diketahui f(x) = x +5,g(x) = 2x +3 dan h(x) = 3x -1Tentukan :
a. (fog)oh (x)
b. fo(goh) (x)
c. (hog)of (x)
d. ho(gof) (x)
1.5 Limit
Pengertian Limit dan sifat-sifatnya.
Teorema Limit.
Kontinuitas Fungsi
A. Definisi Limit Fungsi
Lxf
xxxfxx
xxx
xxx
hLxf
xxx
h
xxLf(x)
xx
)(lim
dengan dituliskan
untuk Llimit mempunyai )( ,Untuk
,
memenuhi yang semuauntuk berarti ,0 Pernyataan
.)(berlaku
0 memenuhi yang harga semuauntuk hingga sedemikian
,0bilangan ditunjuk dapat kecilnya),pun (bagaimana 0bilangan
setiapuntuk bila ,untuk limitmempunyaidikatakan
0
00
00
0
0
0
43
Limit Kiri
Limit Kanan
Kontinuitas Fungsi:
axfaxf
a
xxxx
x
)(atau )(lim
:berikut sebagai
dituliskan maka ,misalnya fungsilimit harga biladan kiri,limit makan
-dinalimit maka, ditulisatau kiri dari didekati Apabila
0x
00
0
axfaxf
a
xxxx
x
)(atau )(lim
:berikut sebagai
dituliskan maka ,misalnya fungsilimit harga biladan kanan,limit makan
-dinalimit maka, ditulisatau kanan dari didekati Apabila
0x
00
0
axfaxfxf
axf
xxaxf
)(lim )(lim)(lim
lain katadengan Atau .dengan samayaitu sama,adalah )( dari kiri
limitdan kanan limit bila,untuk limit mempunyaidikatakan )(
000 xxxxxx
0
).(lim 3.
ada. lim 2.
si. terdefini)( 1.
bila pada dikatakan fungsiSebuah
aff(x)
f(x)
af
axkontinuf(x)y
ax
ax
axfaxfxf
axf
xxaxf
imitDefinisi L
)(lim )(lim)(lim
lain katadengan Atau .dengan samayaitu sama,adalah )( dari kiri
limitdan kanan limit bila,untuk limit mempunyaidikatakan )(
000 xxxxxx
0
?0 padakontinu apakah dan ),(limTentukan
0 bila ,0
0 bila ,1)( Misal,
0
xf(x)xf
x
xxf
x
44
Contoh:
Limit Fungsi Istimewa:
? titik semua padakontinu Apakah .2
4)( .2
?0 padakontinu apakah selidiki sama, yang caraDengan c.
lim
?0 padakontinu apakah Selidiki b.
?0 padakontinu apakah Selidiki a.
domain / definisiDaerah
titik.semua padakontinu bahwaBuktikan .)( Bila 1.
2
f(x)x
xxf
bf(x)
|a|f(x)
|a|f(a)
af(x)
xf(x)
}x{x|-D
f(x)xxf
ax
25
)5sin()104(lim 3.
2cos1
tanlim 2.
3sin
5sinlim 1.
:
1tan
limtan
lim 2.
1sin
limsin
lim 1.
25
0
0
00
00
x
xx
x
xx
x
x
Contoh
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xxx
xx
xx
xxx
xx
x
22
2
2
22
0
sincos2cos.6
1cos22cos.5
sin212cos.4
cossin22sin.3
1sincos.2
)(90sin x cos 1.
:riTrigonomet Rumus
45
akar. asirasionalisatau n pemfaktora caradengan
dilakukan limit n perhitunga maka ,0
0
)(
)(
)(
)(limatau
0
0 tentu bentuk takan menghasilk langsung subtitusi Jika 2.
.)(
)( langsung subtitusi 1.
cara 3dengan dilakukan dapat ,)(
)(lim menentukanUntuk
ag
af
xg
xf
ag
af
xg
xf
ax
ax
4
82lim .3
82
3
4
2lim 5.
2
82lim .2
516
9lim 4.
1
4lim 1.
:Contoh
2
4
2222
2
2
2
2
33
2
2
x
xx
xxxxx
xx
x
x
x
x
x
xx
xx
46
1.6 Turunan 1
A. Materi Turunan
Definisi Turunan.
Aturan Pencarian Turunan.
Turunan Sinus dan Cosinus
Aturan Rantai
Cara Penulisan Leibniz
B. Definisi Turunan
Leibniz. WilhelmGottfried
oleh kan diperkenalnan untuk turu atau )(
Lambang
)()(lim menjadi , Bila
)()(limlim
)(`)`(
adalah terhadap dari pertamaTurunan
)()(limlim
dituliskan maka,0 sehinggakecil, sedemikian Apabila
)()(
Maka .sebesar berubah sehingga sebesar berubah
nilaiMisalkan . iabeldengan var fungsisuatu adalah Bila
0
00
00
dx
dy
dx
xdf
h
xfhxfhx
x
xfxxf
x
y
dx
xdf
dx
dyyxf
xy
x
xfxxf
x
y
xx
xfxxfy
yyx
xxf(x)y
h
xx
xx
47
C. Definisi Turunan (pendekatan geometri)
D. Rumus-Rumus Dasar Turunan
)(
)()(lim
)(
)()(limlimlim
:matematis simbolDengan
). (ditulis P titik pada grafik singgung garis
koefisien menjadiberubah PQ garisgradien ,0 Bila
.0 dituliskanatau 0, mendekati hingga sedemikian ,menuju dan
grafik sepanjangberjalan
yangik adalah tit dan ap, titik tetsebagai diambil titik Bila
)(
)()(
)(
)()(
dan kan menghubung
yang garis , slopeGradien / .sebesar
bertambah maka ,sebesar bertambah bila , ke Dari
y
olehdiberikan dan antaraHubungan
. pada terletak juga yanglain ik adalah tit Titik
.grafik padaik sebuah titadalah titik Bila
0
00
00
01
00
1100
0
00
0
01
01
01
00
0101
0101
11
00
xf
xfxxf
xf
xfxf
x
ymm
mf(x)
x
xxP
f(x)
),yQ(x),yP(x
xf
xfxxf
xf
xfxf
x
y
xx
yym
QP
my
yxxQP
yyyyy
xxxxxx
QP
f(x)y),yQ(x
f(x)y),yP(x
xxxPQtg
tg
xyxy
xyxy
yCy
nxyxy nn
sin`,cos .2
cos`,sin .1
riTriginomet FungsiTurunan
0`,
`, 1
xx
xx
g
aayay
eyey
yxy
xyxy
ln`,.2
`,.1
Eksponen FungsiTurunan
???`,log.2
1`,ln.1
Logaritma FungsiTurunan
48
E. Teori Turunan
F. Pembuktian
)tan(),cos(),sin(.8
)`()()()()`()()()()`()`( maka
,)()()()( Jika .7
)(
)`()()()`()`( maka 0)( ,
)(
)()( Jika .9
)`()()`( maka ,)()( Jika .8
)`()()()`()`( maka ,)()()( Jika .7
)`()`()`( maka ,)()()( Jika .6
)`()`( maka ,)()( Jika 5.
)`( maka ,)( Jika 4.
)`( maka ,)( Jika .3
1)`( maka ,)( Jika 2.
0)`( maka ,)( Jika 1.
2
1
1
1
xxx
xwxvxuxwxvxuxwxvxuxf
xwxvxuxf
xv
xvxuxvxuxfxv
xv
xuxf
xuxunxfxuxf
xvxuxvxuxfxvxuxf
xvxuxfxvxuxf
xCuxfxCuxf
CnxxfCxxf
nxxfxxf
xfxxf
xfCxf
nn
nn
nn
.2adalah dari turunan bahwaBuktikan .5
.5adalah 35 dari turunan bahwaBuktikan .4
.0adalah 5 dari turunan bahwaBuktikan .3
22lim2
lim
2lim
)()(lim)`(
2)()(
)(
.2adalah dari turunan bahwaBuktikan .2
0lim
)()(lim)`(
)(
)(
.noldengan sama konstanta fungsi turunan bahwaBuktikan .1
2
0
2
0
222
00
222
2
2
0
0
xxf(x)
xf(x)
f(x)
xxxx
xxx
x
xxxxx
x
xfxxfxf
xxxxxxxxf
xxf
xxf(x)
x
CC
x
xfxxfxf
Cxxf
Cxf
xx
xx
x
x
49
Contoh Soal
G. Turunan Fungsi Komposit
.sumbu
dengan sejajar sebut titik terdi singgung garis hingga sedemikian
201232grafik padatitik -titikkoordinat Tentukan 5.
(1,4). titik di
26grafik pada singgung garispersamaan Tentukan 4.
1.gradien memiliki
saat pada 3grafik padakoordinat itik Tentukan t .3
.3 titik pada 23 garisgradien Hitunglah .2
1111 b. 69 a.
inidibawah fungsi-fungsi dari `Hitunglah .1
23
32
2
2
32
34
x
xxxy
xxy
-xxy
x-xy
xxxf(x)xxf(x)
(x)f
)`( )`()`(.)(`)`(
:lain simboldengan ditulisatau
. maka
,)()(
)(),(
:berikut sebagai
ditentukan yangkomposit fungsiadalah F biladan ,diturunkan
dapat yang dan dari fungsiadalah masing-masing dan Bila
xfugxfxfgxF
dx
du
du
dy
dx
dy
xfgxFy
xfuugy
uxgf
50
Contoh Soal
Contoh Soal
131238
261234
12344 ,26
diperoleh ,
123 subtitusidengan Maka
.123 dari h 1.Hitungla
32
32
323
4
2
42
xxx
xxxdx
du
du
dy
dx
dy
xxudu
dyx
dx
du
uy
xxu
xxydx
dy
)43tan( dari h 4.Hitungla
0.43xuntuk )43ln( dari h 3.Hitungla
)43cos(3
)43cos(cos ,3
diperoleh ,sin
43 subtitusidengan Maka
.)43sin( dari h 2.Hitungla
xydx
dy
xydx
dy
xdx
du
du
dy
dx
dy
xudu
dy
dx
du
uy
xu
xydx
dy
1cos2)2.(1cos
2)`(1
.)1sin(
:Contoh
.`)(cos maka ,)(sin Jika
22
2
2
xxxxdx
dy
xxfxf(x)
xy
(x)fxfdx
dyxfy
51
)12cos(. .4
ln
1 3.
cos 2.
cos. 1.
:Contoh
.``
` maka Bila 4.
.̀`` maka Bila 3.
.̀`` maka Bila 2.
konstan. ,̀` maka Bila 1.
berlaku Maka . dari fungsimerupakan
,dan dari fungsiadalah dimana rumit, fungsi-fungsiUntuk
3
2
3
2
xxy
xx
xy
x
xy
xxy
v
uvvuy
v
uy
uvvuyuvy
vuyvuy
kkuykuy
x
vuy
1
1)2(12
1
11
2)`(1
.1
:Contoh
.`)(n maka ,)( Jika
2
2
121
2
12
21
22
2
2
1-nn
x
xxxxx
dx
dy
xxy
xxfxf(x)
xy
(x)fxfdx
dyxfy
12sin22).12sin(
2)`(12
.)12cos(
:Contoh
.`)(sin maka ,)(cos Jika
xxdx
dy
xfxf(x)
xy
(x)fxfdx
dyxfy
52
1.7 Turunan 2
A. Teori Turunan
B. Turunan Fungsi Implisit
2
1
1
1
)(
)`()()()`()`( maka 0)( ,
)(
)()( Jika .9
)`()()`( maka ,)()( Jika .8
)`()()()`()`( maka ,)()()( Jika .7
)`()`()`( maka ,)()()( Jika .6
)`()`( maka ,)()( Jika 5.
)`( maka ,)( Jika 4.
)`( maka ,)( Jika .3
1)`( maka ,)( Jika 2.
0)`( maka ,)( Jika 1.
xv
xvxuxvxuxfxv
xv
xuxf
xuxunxfxuxf
xvxuxvxuxfxvxuxf
xvxuxfxvxuxf
xCuxfxCuxf
CnxxfCxxf
nxxfxxf
xfxxf
xfCxf
nn
nn
nn
1`
0`1
01
0``
adalah 0 dari pertamaTurunan
0.(0)`kanan ruasTurunan
1 v`maka
1` maka
0
:Contoh suku. demisuku menurunkan
kemudian , dari fungsi sebagaisuku tiap-tiap
memandang kita maka,0,implisit
fungsi dari pertama turunan menghitungUntuk
y
y
dx
dy
vu
yx
dx
dy
dx
dy
dy
dv
dx
dvyv
dx
duuxu
yx
x
y)f(x
53
C. Contoh Turunan Fungsi Implisit
D. Penurunan Dengan Bantuan Logaritma
2
2
2
2
32
223
2
32
3
2`
2)3`(
0)3`(2
0`3`2
adalah 0 dari pertamaTurunan
0.(0)`kanan ruasTurunan
`33 maka
)```
maka :lagiIngat ( ```` maka
2` maka
.0 dariurunan Tentukan t
yx
yxy
yxyxy
yxyyx
yyxyyx
yxyx
yydx
dyy
dx
dy
dy
dw
dx
dwyw
uvvuy
uvyxyyxyyxvdx
dvxyv
xudx
duxu
yxyx
xeyyy
xyxy
xyxey
xey
xyy
y
xyxy
xxy
xy
xy
vuy
`1`y
1
)1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian
ln maka ,
. dariurunan Tentukan t 2.
22ln2ln`
2ln`y
1
)1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian
2ln)2ln(ln
2
.2 dariurunan Tentukan t 1.
:Contoh
a. turunannymencari
untuk logaritman menggunakamudah lebih ,berbentuk fungsi Pada
54
Contoh Penurunan Dengan Bantuan Logaritma
. dariturunan Tentukan 6.
. dariurunan Tentukan t 5.
sincos
22
3cos`
sincos
22
3`
sincos
22
31
cosln22ln3ln
coslnlnln)cosln(ln
logaritmabantuan Dengan
.cos dariurunan Tentukan t 4.
223
223223
223
xy
x
x
xx
x
yxdx
dy
ay
x xx
xexy
x xx
yy
x- xx
y`y
xxxy
xexxexy
xexy
55
BAB II
SIMPULAN DAN SARAN
2.1 SIMPULAN
Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep peluang di atas, beberapa hal
penting dapat kita rangkum sebagai berikut.
Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk .
Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan
desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang
dalam daur yang tetap selamanya.
2.2 SARAN
Dalam penulisan resume ini penulis menyadari bahwa masih terdapat
kekurangan dan kesalahan, baik dari segi penulisan maupun dari segi
penyusunan kalimatnya. Dari segi isi juga masih perlu ditambahkan. Oleh
karena itu, kami sangat mengharpkan kepada para pembaca resume ini agar
dapat memberikan kritikan dan masukan yang bersifat membangun.
DAFTAR PUSTAKA
http://denandika.wordpress.com/2013/03/09/materi-remidial-kalkulus-1/
http://leoriset.blogspot.com/2009/04/download-materi-kalkulus-lengkap.html
http://rumus-matematika.com/persamaan-dan-pertidaksamaan-linear/
http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear#Sistem_Persamaan_Linear_Dua_Vari
abel
http://eyig1.blogspot.com/2011/02/persamaan-linier.html
http://yos3prens.wordpress.com/2013/11/15/menyelesaikan-persamaan-linear-satu-
variabel-plsv/
top related