KALKULUS 1

DOSEN PEMBIMBING

HETTY ROHAYANI,Ah,St,M.Kom

Disusun oleh:

Taufik Hidayah

Nim:8020140186

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

SEKOLAH TINGGI ILMU KOMPUTER DINAMIKA

BANGSA JAMBI

2014/2015

ii

KATA PENGANTAR

Pertama-tama penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT

dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyusun Resume Ini.

Shalawat beserta salam tidak lupa penulis ucapkan kepada nabi besar Muhammad

SAW yang telah membawa kita semua umatnya dari alam kegelapan menuju alam

yang terang-menerang, dari alam kebodohan menuju alam yang penuh ilmu

pengetahuan.

Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan resume ini masih banyak terdapat

kekurangan dan kesalahan, oleh sebab itu Penulis mohon maaf dan menerima

kritik dan saran yang membangun/membaca.

Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat menjadi motipasi

Dan pembelajaran bagi kita semua. Amin ya robbal ‘alamin

iii

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ....................................................................... ii

DAFTAR ISI ..................................................................................... iii

BAB I PEMBAHASAN

1.1 Bilangan Riil ....................................................................... 1

1.2 Persamaan Linier .............................................................. 14

1.3 Nilai Mutlak...................................................................... 33

1.4 Fungsi ............................................................................... 35

1.5 Limit ................................................................................. 42

1.6 Turunan1 ........................................................................... 46

1.7 Turunan 2 .......................................................................... 52

BAB II

2.1 Simpulan .......................................................................... 55

2.2 Saran ................................................................................. 55

Daftar Pustaka

1

BAB I

1.1 Bilangan Riil

A. Himpunan Bilangan Riil

Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk .

Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan

desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang

dalam daur yang tetap selamanya. Misalnya

=1,18181818

Bilangan yang tak bisa dinyatakan dalam bentuk

dengan m.n bilangan

bulat dan disebut bilangan tak rasional. Sebarang bilangan takrasional juga

dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan

takrasional tidak berulang menurut suatu daur. Misalnya,0 n ≠ 0

√2=1,41421356223 π3,1415926335

Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan tak

rasional disebut himpunan bilangan riil ( biasa dilambangkan ). Anggota

himpunan tersebut dinamakan bilangan riil. R

B. Sistem Bilangan Riil

Sistem bilangan riil dibentuk dari himpunan bilangan riil dan operasi

yang didefinisikan pada himpunan tersebut. R yang dilengkapi dengan operasi

penjumlahan dan perkalian membentuk sistem aljabar lapangan, yakni berlaku:

1. x + y + y + x untuk sebarang x, y di R

2. (x + y) + z + x + (y + z) untuk sebarang x, y, z di R

3. Terdapat 0 di R demikian sehingga 0 + x + x + 0 + x untuk sebarang x di R

4. Untuk sebarang x di R terdapat - x di R demikian sehingga x + (+x) + (+x) + x

+ 0

5. xy + yx untuk sebarang x, y di R

6. (xy)z + x(yz) untuk sebarang x, y, z di R

7. Terdapat 1 di R demikian sehingga 1.x + x.1+ x untuk sebarang x di R

2

8. Untuk sebarang x di R dengan x 0 terdapat

demikian sehingga

Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan dan ) (y-x=x+(-y dan

C. Urutan pada Himpunan Bilangan Riil

Terdapat himpunan bagian dari R yang unsurnya dinamakan himpunan

bilangan positif, yang memenuhi aksioma :

jika a € R maka a= 0, atau a positif, atau –a

jumlah dan hasil dua kali bilangan positif adalah suatu bilngan fositif

ini memungkinkan kita mendfinisikan relasi urutan pada bilangan

riil Dinefenisikan relasi urutan < (dibaca “kurang dari”) sebagai x<y

– y-x positif selanjutnya relasi urutan<(Dibaca (“lebih

dari”)didefinisikan sebagai x>yy<x

urutan tersebut memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka satu diantara yang

berikut berlaku x<y atau x=y atau x>y

Ketransitifan, x<y dan y<zx<z untuk sebarang x,y,z di R

x<yx+z untuk sebarang x,y,z di R

jika z positif, berlaku x< y xz<yz untuk sebarang x,y di R dan

jika z negatif berlaku x < y xz > yz untuk sebarang x,y di R,

relasi≤ (dibaca” kurang dari atau sama dengan”), didefinisikan

sebagai x ≤ y y ≤ x sifat sifat urutan 2,3 dan 4 berlaku dengan

lambang < dan> diganti dengan lambang ≤ atau ≥.

D. Kerapatan pada Himpunan Bilangan Riil

Diantara dua bilangan riil sebarang yang berlainan x dan y terdapat suatu

bilangan riil lainnya, khususnya z=

dan karenanya terdapat juga bilangan

riil diantara x dan z dan diantara z dan y. Argumentasi ini dapat diulang

sampai tak hingga, sehingga kita dapat mengambil kesimpulan diantara dua

3

bilangan riil sebarang ( tak peduli betapun dekatnya ) terdapat takterhingga

banyaknya bilangan riil lain.

E. Garis riil

Bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis

mendatar. Pada garis tersebut bilangan riil mengukur jarak berarah ke kanan

atau ke kiri dari suatu titik tetap yang diberi label . 0

c

0

Garis tersebut dinamakan garis riil

Catatan:

Mengatakan x<y bearti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis riil.

x y

Pada garis riil, bilangan riil positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan

riil negatif terletak di sebelah kiri 0 .

F. Selang

Himpunan bagian tertentu dari himpunan bilangan riil yang disebut

selang sering muncul dalam Kalkulus. Secara geometris ini berkaitan dengan

ruas garis pada garis riil. Jika a b, interval buka dari a ke b terdiri dari

semua bilangan diantara a dan b dan menggunakan simbol (a,b) . Dalam

notasi pembentuk himpunan ditulis x a x b. Perlu dicatat bahwa titik a

4

dan b tidak termasuk dalam selang tersebut. Selang tertutup dari a ke b adalah

himpunan a,bx a x b, dalam hal ini a dan b termasuk dalam selang

tersebut. Lebih lanjut perhatikan tabel berikut

Simbol pada notasi di atas bukan mewakili sebuah bilangan. (a,)

berartihimpunan semua bilangan yang lebih dari a . Secara geometris selang

ini membentang mulai dari titik a tak berhingga jauhnya ke kanan dalam arah

positif. Analog untuk [a,) , (,b) , (,b] dan (,) .

G. Macam-macam bilangan riil

1. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk

memebilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...

A = {1,2,3,4,...}

2. Bilangan Genap (G)

Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA

G = {2,4,6,8,...}

5

3. Bilangan Ganjil (Gj)

Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA

Gj = {1,3,5,7,...}

4. Bilangan Prima (P)

Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat

dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1

P = {2,3,5,7,...}

5. Bilangan Komposit (Km)

Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan

yang lain

Km = {4,6,8,9,...}

6. Bilangan Cacah (C)

Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol

C = {0,1,2,3,4,...}

7. Bilangan Bulat (B)

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan

bilangnan bulat positif.

B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

8. Bilangan Pecahan (Pc)

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam

bentuk

, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,

dengan a dan b ÎB serta b ≠0

9. Bilangan Rasional (Q)

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam

bentuk

, a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan

bilangan pecahan)

6

10. Bilangan Irasional (I)

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan

dalam bentuk

, a dan b €B serta b ≠0.

Contoh: 2, 3,p = 3,14159..., e = 2,71828...

11. Bilangan Real (R)

Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan

bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis

bilangan.

Contoh:

12. Bilangan Khayal (Kh)

Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam

pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.

Contoh: 1, 2, 3

13. Bilangan Kompleks (K)

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan

khayal.

Contoh: 2 + -1,5 - - 2

H. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional

Bilangan Rasional:

1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa

2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas.

7

Bilangan Irasional:

1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa

2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas.

Contoh:

3= 1,7320...

2= 1,4142...

3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar.

Contoh: 2, 3, 7

I. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

1. Sifat Komutatif:

a + b = b + a

a.b = b.a

Contoh:

1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11

2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27

2. Sifat Assosiatif:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

Contoh:

1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10

2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30

3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

a x (b + c) = ab + ac

Contoh:

5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6

= 15 + 30

= 45

4. Terdapat Dua Elemen Identitas

8

Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga

memenuhi:

a + 0 = a

a . 1 = a

5. Terdapat Elemen Invers

Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu a

yang memenuhi:

a + (-a) = 0

Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu

, yang memenuhi:

a.

=1

J. Operasi Pada Bilangan Bulat:

1. Operasi Penjumlahan

a + b = c a, b dan c bilangan bulat

Contoh: 14 + 10 = 24

2. Operasi Pengurangan

A – b = c Ûa + (-b) = c a, b dan c bilangan bulat

Contoh: 10 – (-2) = 10 + 2 = 12

3. Operasi Perkalian

a . b = c a, b dan c bilangan bulat

Contoh: 5 . 4 = 20

(-9) . (-4) = 36

4. Operasi Pembagian

a . b = c a, b dan c bilangan bulat

Contoh: 5 . 4 = 20

(-9) . (-4) = 36.

5. Operasi Pembagian

. a,

b bilangan bulat dan b ≠ 0, c bilangan real

9

K. Operasi Pada Bilangan Pecahan

1. Operasi Penjumlahan

2. Operasi Pengurangan

Contoh:

Tentukan hasil perkalian berikut!

3. Operasi Perkalian

Contoh:

Tentukan hasil perkalian berikut:

4. Operasi Pembagian

Contoh:

Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini!

L. Konversi Pecahan

1. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal

10

Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya.

Dengan pembagian berulang

Contoh:

Ubahlah

ke dalam pecahan desimal!

= 0,33333... = 0,33

2. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen.

Mengubah penyebutnya menjadi 100

3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan!

4. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal

Contoh:

Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal!

M. Perbandingan, Skala, Dan Persen

1) Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan

a. Perbandingan senilai Bentuk Umum:

=

atau a1 : b1 = a 2 : b 2

b. Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:

11

atau a1 : b 2 = a 2 : b1

Contoh:

1. Seorang ibu menghabiskan ½ liter minyak tanah untukmerebus air

sebanyak 15 liter air. Jika dia akan merebus airsebanyak 100 liter, berapa

liter minyak tanah yangdiperlukan?

2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukangdalam 20 hari.

Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari,maka berapa orang tukang

yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?

Jawab:

1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A)

adalah M : A, maka:

2. Jika 4 orang tukang (T1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H1 ),maka untuk

selesai selama 2 hari (H2 ) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang.

2) Skala

Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau

perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya

(kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan

dari ukuran sesungguhnya.

Skala pembesaran

Contoh:

Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak

sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B?

Jawab:

Misal jarak pada peta = x

12

Misal jarak sesungguhnya = y

X : y = 10 cm : 100 km

= 10 cm : 10.000.000 cm

= 1 : 1.000.000

Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000

Skala Pengecilan

Contoh:

Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut

pada layar TV jika skalanya 1 : 100?

Jawab:

Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm

Tinggi pada TV = B

=

Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm

3. Persen

Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari

perbandingan

yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100.

Contoh:

Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan

30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam

perunggu itu?

Jawab:

Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg

13

N. Penerapan Pada Bidang Keahlian

1) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat

penjualan yang dilakukan.

2) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada

pembeli

3) Laba dan Rugi

Laba = Penjualan – Pembelian

Rugi = Pembelian – Penjualan

Contoh soal:

Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang

senilai Rp2.000.000,00. Tentukan komisi yang diterima!

Jawab:

Komisi = 20% x Rp2000.000,00

=Rp.2000.000.00

Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang

tersebut dijual dengan harga Rp750.000,00. Hitunglah persentase

keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba = Rp750.000,00 – Rp500.000,00 = Rp250.000,00

Persentase laba dari harga beli

:

Persentase laba dari harga jual:

14

1.2 Persamaan Linier

A. Persamaan Linear

Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap

sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama

dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear

karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus.

Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena

dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk

persamaan linear satu variabel yaitu y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m

menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis

dengan sumbu-y.

Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem

persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai

bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk

standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.

Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut

:

Titik potong dengan sumbu x maka

15

Titik potong dengan sumbu y maka

Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk

umum :

dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk

yang lainnya sampai variabel ke-n.

Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :

A.. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah

termasuk persamaan linear atau bukan.

a. x + y = 5 (persamaan linear dua variabel)

b. x2

+ 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)

c. p2

+ q2

= 13 (persamaan kuadrat dua variabel)

d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)

B. Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6

Jawab ;

x + 2y = 8

2x – y = 6

(i) mengeliminasi variable x

x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16

2x – y = 6 | x 1 | –> 2x – y = 6 – ………*

5y = 10

16

y = 2

masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan

x + 2 y = 8

x + 2. 2 = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

HP = {4, 2}

(ii) mengeliminasi variable y

x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8

2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*

5x = 20

x = 4

masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan

x + 2 y = 8

4 + 2y = 8

2y = 8 – 4

2y = 4

y = 2

4 = 2

HP = {4, 2}

C. Selesaikan soal no 2 menggunakan cara substitusi

Jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8

Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,

Persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan

2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua

menjadi x = 8 – 2y)

16 – 4y – y = 6

16 – 5y = 6

-5y = 6 – 16

17

-5y = -10

5y = 10

y = 2

masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :

x + 2y = 8

x + 2. 2. = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.

Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

D. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila

membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-

Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah

mangga dan 5 . buah jeruk ?

Jawab :

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan

penggunaan model matematika.

Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya 4 x + 5 y = ?

Kita eliminasi variable x :

2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 – ( karena x persamaan

1 dan 2 +)

7y = 7000

y = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan :

2x + 3 y = 6000

18

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x = 6000 – 3000

2x = 3000

x = 1500

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah

jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5

buah jeruk

adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000

= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

B. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika

yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda

pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax+by>c

ax+by<c

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c

anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan

grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan

linear yaitu sebagai berikut :

1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan

19

2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.

3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.

4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh

berikut :

contoh 1.

20

Contoh 2.

21

Contoh 3.

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut

untuk x, y anggota bilangan real.

–x + 8y ≤ 80

2x – 4y ≤ 5

2x + y ≥ 12

2x – y ≥ 4

x ≥ 0, y ≥ 0

22

Penyelesaian :

Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang

koordinat.

23

Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat

dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini

menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)

Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah,

sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang

mengandung titik (0,12).

24

Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh

grafik sebagai berikut.

Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang

terkena seluruh arsiran, yaitu :

25

C. Persamaan linier satu variable

Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang

menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Dari bentuk-bentuk 3(x – 1) + x

dan –x + 7, kita dapat membentuk persamaan

yang merupakan suatu persamaan linear satu variabel (PLSV). Untuk

menyelesaikan suatu persamaan, kita harus menentukan nilai dari x sedemikian

sehingga persamaan tersebut menjadi benar, yang berarti, nilai dari ruas kiri

sama dengan ruas kanan. Perhatikan tabel berikut.

Berdasarkan tabel di atas, kita dapat menemukan bahwa persamaan 3(x –

1) + x = –x + 7 akan bernilai benar ketika kita mengganti x dengan bilangan 2,

dan akan salah jika kita mengganti x dengan bilangan selain 2. Bilangan

pengganti yang dapat menyebabkan suatu persamaan bernilai benar disebut

selesaian atau akar.

Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan tabel akan memakan

waktu yang cukup lama. Untuk itu, kita dapat menuliskan suatu persamaan

yang diberikan ke dalam persamaan ekuivalen yang lebih sederhana, sampai

kita mendapatkan solusi yang diminta. Persamaan-persamaan yang ekuivalen

26

adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan selesaian sama, dan

diperoleh dari penyederhanaan kedua ruas persamaan dengan menggunakan

sifat-sifat penjumlahan, perkalian, dan distributif dari suatu persamaan, sampai

diperoleh suatu persamaan dalam bentuk x = konstanta.

Sifat Penjumlahan dan Perkalian Suatu Persamaan Jika A, B, dan C

merupakan bentuk-bentuk aljabar dan A = B, maka A + C = B + C, AC = BC,

dan A/C = B/C (C ≠ 0).

Dengan kata lain, berdasarkan sifat penjumlahan suatu persamaan, kita

dapat menambahkan suatu bilangan atau bentuk aljabar lain ke dalam ruas

kanan dan kiri persamaan tersebut. Pernyataan yang serupa dapat dibuat untuk

menyatakan sifat perkalian suatu persamaan. Sifat-sifat dari persamaan ini

dapat dikombinasikan untuk dijadikan panduan dalam menyelesaikan suatu

persamaan linear. Sebagai catatan, tidak semua langkah dalam panduan ini

diperlukan dalam menyelesaikan setiap persamaan.

Berikut ini merupakan panduan/langkah-langkah dalam menyelesaikan

persamaan linear satu variabel.

1. Hilangkan tanda kurung dengan menggunakan sifat distributif,

kemudian operasikan suku-suku yang serupa.

2. Gunakan sifat penjumlahan suatu persamaan untuk menulis

persamaan tersebut sehingga semua variabel berada di satu ruas,

sedangkan semua konstanta berada di ruas lainnya. Sederhanakan

masing-masing ruas.

3. Gunakan sifat perkalian suatu persamaan untuk menghasilkan

persamaan yang berbentuk x = konstanta.

4. Untuk soal penerapan, jawablah ke dalam kalimat sempurna dan

gunakan satuan yang sesuai dengan perintah.

Sebagai contoh pertama, kita akan mencoba menyelesaikan persamaan 3(x – 1)

+ x = –x + 7 yang merupakan masalah di awal pembahasan ini.

27

Contoh 1: Menyelesaikan PLSV dengan Menggunakan Sifat-sifat Persamaan

Selesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7.

Pembahasan

Seperti selesaian dengan menggunakan tabel, kita juga memperoleh bahwa

selesaian dari persamaan tersebut adalah x = 2.

Untuk menguji selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikan

selesaian ini ke dalam persamaan semula (proses ini sering disebut substitusi-

balik), dan pastikan bahwa nilai pada ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari

contoh 1 kita mendapatkan:

Jika ada koefisien-koefisien dalam suatu persamaan berbentuk pecahan,

kalikan kedua ruas dengan Berikut ini merupakan panduan/langkah-langkah

dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel.

28

1. Hilangkan tanda kurung dengan menggunakan sifat distributif, kemudian

operasikan suku-suku yang serupa.

2. Gunakan sifat penjumlahan suatu persamaan untuk menulis persamaan

tersebut sehingga semua variabel berada di satu ruas, sedangkan semua

konstanta berada di ruas lainnya. Sederhanakan masing-masing ruas.

3. Gunakan sifat perkalian suatu persamaan untuk menghasilkan persamaan

yang berbentuk x = konstanta.

4. Untuk soal penerapan, jawablah ke dalam kalimat sempurna dan gunakan

satuan yang sesuai dengan perintah.

Sebagai contoh pertama, kita akan mencoba menyelesaikan persamaan 3(x –

1) + x = –x + 7 yang merupakan masalah di awal pembahasan ini.

Contoh 1: Menyelesaikan PLSV dengan Menggunakan Sifat-sifat Persamaan

Selesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7.

Pembahasan

Seperti selesaian dengan menggunakan tabel, kita juga memperoleh bahwa

selesaian dari persamaan tersebut adalah x = 2.

Untuk menguji selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikan

selesaian ini ke dalam persamaan semula (proses ini sering disebut substitusi-

balik), dan pastikan bahwa nilai pada ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari

contoh 1 kita mendapatkan:

Jika ada koefisien-koefisien dalam suatu persamaan berbentuk pecahan,

kalikan kedua ruas dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari

penyebut-penyebutnya, untuk menghilangkan pecahan tersebut. Karena setiap

bilangan desimal dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan, maka dalam

29

menyelesaikan persamaan yang memuat koefisien desimal, kita dapat

mengubah bentuk desimal tersebut ke dalam bentuk pecahan terlebih dahulu.uk

menghilangkan pecahan tersebut. Karena setiap bilangan desimal dapat ditulis

ke dalam bentuk pecahan, maka dalam menyelesaikan persamaan yang memuat

koefisien desimal, kita dapat mengubah bentuk desimal tersebut ke dalam

bentuk pecahan terlebih dahulu.

D. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Pengertian persamaan linear dua variabel (PLDV) Persamaan linear dua

variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana

pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk Umum

PLDV : ax + by = c x dan y disebut variabel

2. Sistem persamaan linear dua variable (SPLDV) Sistem persamaan linear

dua variable adalah dua persamaan linear dua variable

yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu

penyelesaian. Bentuk umum SPLDV : ax + by = c px + qy =

r dengan x , y disebut variabel a, b, p, q disebut

keifisien c , r disebut konstanta C.

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)

Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :

1. Metode Substitusi

Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain

contoh : Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y =

6

jawab : Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x

+ 2y = 8

Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,

Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan

2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua

menjadi x = 8 – 2y)

30

16 – 4y – y = 6

16 – 5y = 6

-5y = 6 – 16

-5y = -10

5y = 10

y = 2

masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :

x + 2y = 8

x + 2. 2. = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.

Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

2. Metode Eliminasi

Dengan cara menghilangkan salaj satu variable x atau y.

contoh :

Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:

Jawab ;

x + 2y = 8

2x – y = 6

(i) mengeliminasi variable x

x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16

2x – y = 6 | x 1 | –> 2x - y = 6 - ………*

5y = 10

y = 2

masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan

x + 2 y = 8

x + 2. 2 = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

31

x = 4

HP = {4, 2}

(ii) mengeliminasi variable y

x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8

2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*

5x = 20

x = 4

masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan

x + 2 y = 8

4 + 2y = 8

2y = 8 – 4

2y = 4

y = 2

4 = 2

HP = {4, 2}

* catatan nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah

satu variable agar menjadi 0

Contoh (i) yang dieliminasi adalah x :

x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + digunakan tanda -

(ii) yang dieliminasi adalah y :

y dalam persamaan satu +, persamaan dua - atau sebaliknya digunakan

tanda +

3. Penggunaan sistem persamaan linear dua variable

Contoh: Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000,

kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah

Rp11.500,-

Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4

buah mangga dan 5 . buah jeruk ?

Jawab :

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan

penggunaan model matematika.

32

Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya 4 x + 5 y = ?

Kita eliminasi variable x :

2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x

persamaan 1 dan 2 +)

7y = 7000

y = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan :

2x + 3 y = 6000

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x = 6000 – 3000

2x = 3000

x = 1500

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah

jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5

buah jeruk

adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000

= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

33

1.3 Nilai Mutlak

A. Memahami dan menemukan konsep Nilai Mutlak

Kegiatan pramuka adalah salah satu kegiatan

ekstrakurikuler yang diadakan di sebuah sekolah.

Sebuah grup pramuka sedang belajar baris berbaris

di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah

dari pimpinan pasukan: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal

ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah

ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur

3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan

bergerak melawan arah sejauh 3 langkah. Demikian

seterusnya.

Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan

nilai mutlak, tidak ditentukan arah. “Maju 4 langkah”,

berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur

3 langkah, berarti mutlak 3 langkah dari posisi

diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya,

bukan arahnya. Lebih jelasnya, mari bersama-sama mempelajari kasus-kasus di

bawah ini.

B. Alternatif Penyelesaian

Kita definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif,

dengan

demikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.

Perhatikan sketsa berikut:

34

Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak.

Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan, langkah

pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif),

anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke

sumbu x negatif) dari posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya

sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah ke 5.

Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1

langkah saja ke belakang (x = –1). Banyak langkah yang dijalani si anak

merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak

langkah, bukan arahnya. Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan

bulat positif walaupun arahnya ke arah sumbu x negatif. Banyak langkah dapat

dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur 3

langkah dinyatakan dengan harga mutlak negatif 3 (|-3|). Sehingga banyak

langkah anak tersebut adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9 (9 langkah).

Perhatikan Tabel 2.1 berikut.

Dari ilustrasi dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik sebuah kesimpulan

tentang pengertian nilai mutlak tersebut? Jika x adalah variabel pengganti

semua

bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak x tersebut?

Perhatikan bahwa x elemen himpunan bilangan real, kita tuliskan dengan x

∈ R.

Dari contoh pada tabel tersebut, kita melihat bahwa nilai mutlak akan bernilai

positif atau nol. Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada

garis bilangan real. Perhatikan garis bilangan berikut. Kita lakukan beberapa

percobaan perpindahan posisi sebagai berikut.

35

1.4 Fungsi

A. Fungsi

Fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Misal

terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi merupakan

daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan fog

(baca f circle g) dan didefinisikan sebagai :

Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g

maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan

didefinisikan sebagai:

Misal A dan B adalah suatu himpunan.

Suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat

satu anggota B disebut fungsi atau pemetaan dari A ke B, yang dinotasikan

dengan f:A->B.

A disebut daerah asal / domain.

B disebut daerah kawan / kodomain.

Himpunan dari B yang merupakan peta dari A disebut daerah hasil atau

range.

B. Jenis jenis fungsi

36

C. Fungsi komposisi

Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan

sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan

hasilnya disebut fungsi komposisi.

37

Misal:

Fungsi f:R->R, fungsi g:R->R dengan f(x)=x2+1 dan g(x)=x+1. Tentukan

D. Fungsitrigonometrik

Fungsitrigonometrik: fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan

bilangangonometrik. (sinus, cosinus, tangent, cotangent, secantdan cosecant).

persamaantrigonometriky = sin x

persamaanhiperboliky = arc cosx

))(())(()(

))(()(

)(:

))(()(:

)(:

xfgxfgxh

atauxfgxhJadi

xhzdenganCAhFungsi

xfgygzdenganCBgFungsi

xfydenganBAfFungsi

))0((. ))0((.

))((. ))((.

)1)((. )1)((.

))((. ))((.

fghgfg

xfgfxgfe

gfdfgc

xgfbxfga

38

39

E. Rumus trigonometri

F. Grafik Fungsi sinus

40

G. Grafik Fungsi cosinus

H. Grafik fungsi Tangen

I. Grafik Fungsi Contangen

J. Grafik Fungsi Secant

41

K. Grafik Fungsi Cosecant

Latihan

Jika fog(x) = -2x+3 dan f(x) = 2x + 1 tentukan fungsi g(x).

Jawaban :

f(g(x)) = fog(x)2(g(x)) + 1 = -2x+32(

g(x)) = -2x+3 -12(

g(x)) = -2x+2

g(x)= -2x+2/2 = -x + 1

42

Diketahui :

f(x) = x2-2x dan g(x) = x-1

tentukan gof dan fog kemudian gambar grafiknya masing-masing.

Diketahui f(x) = x +5,g(x) = 2x +3 dan h(x) = 3x -1Tentukan :

a. (fog)oh (x)

b. fo(goh) (x)

c. (hog)of (x)

d. ho(gof) (x)

1.5 Limit

Pengertian Limit dan sifat-sifatnya.

Teorema Limit.

Kontinuitas Fungsi

A. Definisi Limit Fungsi

Lxf

xxxfxx

xxx

xxx

hLxf

xxx

h

xxLf(x)

xx

)(lim

dengan dituliskan

untuk Llimit mempunyai )( ,Untuk

,

memenuhi yang semuauntuk berarti ,0 Pernyataan

.)(berlaku

0 memenuhi yang harga semuauntuk hingga sedemikian

,0bilangan ditunjuk dapat kecilnya),pun (bagaimana 0bilangan

setiapuntuk bila ,untuk limitmempunyaidikatakan

0

00

00

0

0

0

43

Limit Kiri

Limit Kanan

Kontinuitas Fungsi:

axfaxf

a

xxxx

x

)(atau )(lim

:berikut sebagai

dituliskan maka ,misalnya fungsilimit harga biladan kiri,limit makan

-dinalimit maka, ditulisatau kiri dari didekati Apabila

0x

00

0

axfaxf

a

xxxx

x

)(atau )(lim

:berikut sebagai

dituliskan maka ,misalnya fungsilimit harga biladan kanan,limit makan

-dinalimit maka, ditulisatau kanan dari didekati Apabila

0x

00

0

axfaxfxf

axf

xxaxf

)(lim )(lim)(lim

lain katadengan Atau .dengan samayaitu sama,adalah )( dari kiri

limitdan kanan limit bila,untuk limit mempunyaidikatakan )(

000 xxxxxx

0

).(lim 3.

ada. lim 2.

si. terdefini)( 1.

bila pada dikatakan fungsiSebuah

aff(x)

f(x)

af

axkontinuf(x)y

ax

ax

axfaxfxf

axf

xxaxf

imitDefinisi L

)(lim )(lim)(lim

lain katadengan Atau .dengan samayaitu sama,adalah )( dari kiri

limitdan kanan limit bila,untuk limit mempunyaidikatakan )(

000 xxxxxx

0

?0 padakontinu apakah dan ),(limTentukan

0 bila ,0

0 bila ,1)( Misal,

0

xf(x)xf

x

xxf

x

44

Contoh:

Limit Fungsi Istimewa:

? titik semua padakontinu Apakah .2

4)( .2

?0 padakontinu apakah selidiki sama, yang caraDengan c.

lim

?0 padakontinu apakah Selidiki b.

?0 padakontinu apakah Selidiki a.

domain / definisiDaerah

titik.semua padakontinu bahwaBuktikan .)( Bila 1.

2

f(x)x

xxf

bf(x)

|a|f(x)

|a|f(a)

af(x)

xf(x)

}x{x|-D

f(x)xxf

ax

25

)5sin()104(lim 3.

2cos1

tanlim 2.

3sin

5sinlim 1.

:

1tan

limtan

lim 2.

1sin

limsin

lim 1.

25

0

0

00

00

x

xx

x

xx

x

x

Contoh

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xxx

xx

xx

xxx

xx

x

22

2

2

22

0

sincos2cos.6

1cos22cos.5

sin212cos.4

cossin22sin.3

1sincos.2

)(90sin x cos 1.

:riTrigonomet Rumus

45

akar. asirasionalisatau n pemfaktora caradengan

dilakukan limit n perhitunga maka ,0

0

)(

)(

)(

)(limatau

0

0 tentu bentuk takan menghasilk langsung subtitusi Jika 2.

.)(

)( langsung subtitusi 1.

cara 3dengan dilakukan dapat ,)(

)(lim menentukanUntuk

ag

af

xg

xf

ag

af

xg

xf

ax

ax

4

82lim .3

82

3

4

2lim 5.

2

82lim .2

516

9lim 4.

1

4lim 1.

:Contoh

2

4

2222

2

2

2

2

33

2

2

x

xx

xxxxx

xx

x

x

x

x

x

xx

xx

46

1.6 Turunan 1

A. Materi Turunan

Definisi Turunan.

Aturan Pencarian Turunan.

Turunan Sinus dan Cosinus

Aturan Rantai

Cara Penulisan Leibniz

B. Definisi Turunan

Leibniz. WilhelmGottfried

oleh kan diperkenalnan untuk turu atau )(

Lambang

)()(lim menjadi , Bila

)()(limlim

)(`)`(

adalah terhadap dari pertamaTurunan

)()(limlim

dituliskan maka,0 sehinggakecil, sedemikian Apabila

)()(

Maka .sebesar berubah sehingga sebesar berubah

nilaiMisalkan . iabeldengan var fungsisuatu adalah Bila

0

00

00

dx

dy

dx

xdf

h

xfhxfhx

x

xfxxf

x

y

dx

xdf

dx

dyyxf

xy

x

xfxxf

x

y

xx

xfxxfy

yyx

xxf(x)y

h

xx

xx

47

C. Definisi Turunan (pendekatan geometri)

D. Rumus-Rumus Dasar Turunan

)(

)()(lim

)(

)()(limlimlim

:matematis simbolDengan

). (ditulis P titik pada grafik singgung garis

koefisien menjadiberubah PQ garisgradien ,0 Bila

.0 dituliskanatau 0, mendekati hingga sedemikian ,menuju dan

grafik sepanjangberjalan

yangik adalah tit dan ap, titik tetsebagai diambil titik Bila

)(

)()(

)(

)()(

dan kan menghubung

yang garis , slopeGradien / .sebesar

bertambah maka ,sebesar bertambah bila , ke Dari

y

olehdiberikan dan antaraHubungan

. pada terletak juga yanglain ik adalah tit Titik

.grafik padaik sebuah titadalah titik Bila

0

00

00

01

00

1100

0

00

0

01

01

01

00

0101

0101

11

00

xf

xfxxf

xf

xfxf

x

ymm

mf(x)

x

xxP

f(x)

),yQ(x),yP(x

xf

xfxxf

xf

xfxf

x

y

xx

yym

QP

my

yxxQP

yyyyy

xxxxxx

QP

f(x)y),yQ(x

f(x)y),yP(x

xxxPQtg

tg

xyxy

xyxy

yCy

nxyxy nn

sin`,cos .2

cos`,sin .1

riTriginomet FungsiTurunan

0`,

`, 1

xx

xx

g

aayay

eyey

yxy

xyxy

ln`,.2

`,.1

Eksponen FungsiTurunan

???`,log.2

1`,ln.1

Logaritma FungsiTurunan

48

E. Teori Turunan

F. Pembuktian

)tan(),cos(),sin(.8

)`()()()()`()()()()`()`( maka

,)()()()( Jika .7

)(

)`()()()`()`( maka 0)( ,

)(

)()( Jika .9

)`()()`( maka ,)()( Jika .8

)`()()()`()`( maka ,)()()( Jika .7

)`()`()`( maka ,)()()( Jika .6

)`()`( maka ,)()( Jika 5.

)`( maka ,)( Jika 4.

)`( maka ,)( Jika .3

1)`( maka ,)( Jika 2.

0)`( maka ,)( Jika 1.

2

1

1

1

xxx

xwxvxuxwxvxuxwxvxuxf

xwxvxuxf

xv

xvxuxvxuxfxv

xv

xuxf

xuxunxfxuxf

xvxuxvxuxfxvxuxf

xvxuxfxvxuxf

xCuxfxCuxf

CnxxfCxxf

nxxfxxf

xfxxf

xfCxf

nn

nn

nn

.2adalah dari turunan bahwaBuktikan .5

.5adalah 35 dari turunan bahwaBuktikan .4

.0adalah 5 dari turunan bahwaBuktikan .3

22lim2

lim

2lim

)()(lim)`(

2)()(

)(

.2adalah dari turunan bahwaBuktikan .2

0lim

)()(lim)`(

)(

)(

.noldengan sama konstanta fungsi turunan bahwaBuktikan .1

2

0

2

0

222

00

222

2

2

0

0

xxf(x)

xf(x)

f(x)

xxxx

xxx

x

xxxxx

x

xfxxfxf

xxxxxxxxf

xxf

xxf(x)

x

CC

x

xfxxfxf

Cxxf

Cxf

xx

xx

x

x

49

Contoh Soal

G. Turunan Fungsi Komposit

.sumbu

dengan sejajar sebut titik terdi singgung garis hingga sedemikian

201232grafik padatitik -titikkoordinat Tentukan 5.

(1,4). titik di

26grafik pada singgung garispersamaan Tentukan 4.

1.gradien memiliki

saat pada 3grafik padakoordinat itik Tentukan t .3

.3 titik pada 23 garisgradien Hitunglah .2

1111 b. 69 a.

inidibawah fungsi-fungsi dari `Hitunglah .1

23

32

2

2

32

34

x

xxxy

xxy

-xxy

x-xy

xxxf(x)xxf(x)

(x)f

)`( )`()`(.)(`)`(

:lain simboldengan ditulisatau

. maka

,)()(

)(),(

:berikut sebagai

ditentukan yangkomposit fungsiadalah F biladan ,diturunkan

dapat yang dan dari fungsiadalah masing-masing dan Bila

xfugxfxfgxF

dx

du

du

dy

dx

dy

xfgxFy

xfuugy

uxgf

50

Contoh Soal

Contoh Soal

131238

261234

12344 ,26

diperoleh ,

123 subtitusidengan Maka

.123 dari h 1.Hitungla

32

32

323

4

2

42

xxx

xxxdx

du

du

dy

dx

dy

xxudu

dyx

dx

du

uy

xxu

xxydx

dy

)43tan( dari h 4.Hitungla

0.43xuntuk )43ln( dari h 3.Hitungla

)43cos(3

)43cos(cos ,3

diperoleh ,sin

43 subtitusidengan Maka

.)43sin( dari h 2.Hitungla

xydx

dy

xydx

dy

xdx

du

du

dy

dx

dy

xudu

dy

dx

du

uy

xu

xydx

dy

1cos2)2.(1cos

2)`(1

.)1sin(

:Contoh

.`)(cos maka ,)(sin Jika

22

2

2

xxxxdx

dy

xxfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

51

)12cos(. .4

ln

1 3.

cos 2.

cos. 1.

:Contoh

.``

` maka Bila 4.

.̀`` maka Bila 3.

.̀`` maka Bila 2.

konstan. ,̀` maka Bila 1.

berlaku Maka . dari fungsimerupakan

,dan dari fungsiadalah dimana rumit, fungsi-fungsiUntuk

3

2

3

2

xxy

xx

xy

x

xy

xxy

v

uvvuy

v

uy

uvvuyuvy

vuyvuy

kkuykuy

x

vuy

1

1)2(12

1

11

2)`(1

.1

:Contoh

.`)(n maka ,)( Jika

2

2

121

2

12

21

22

2

2

1-nn

x

xxxxx

dx

dy

xxy

xxfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

12sin22).12sin(

2)`(12

.)12cos(

:Contoh

.`)(sin maka ,)(cos Jika

xxdx

dy

xfxf(x)

xy

(x)fxfdx

dyxfy

52

1.7 Turunan 2

A. Teori Turunan

B. Turunan Fungsi Implisit

2

1

1

1

)(

)`()()()`()`( maka 0)( ,

)(

)()( Jika .9

)`()()`( maka ,)()( Jika .8

)`()()()`()`( maka ,)()()( Jika .7

)`()`()`( maka ,)()()( Jika .6

)`()`( maka ,)()( Jika 5.

)`( maka ,)( Jika 4.

)`( maka ,)( Jika .3

1)`( maka ,)( Jika 2.

0)`( maka ,)( Jika 1.

xv

xvxuxvxuxfxv

xv

xuxf

xuxunxfxuxf

xvxuxvxuxfxvxuxf

xvxuxfxvxuxf

xCuxfxCuxf

CnxxfCxxf

nxxfxxf

xfxxf

xfCxf

nn

nn

nn

1`

0`1

01

0``

adalah 0 dari pertamaTurunan

0.(0)`kanan ruasTurunan

1 v`maka

1` maka

0

:Contoh suku. demisuku menurunkan

kemudian , dari fungsi sebagaisuku tiap-tiap

memandang kita maka,0,implisit

fungsi dari pertama turunan menghitungUntuk

y

y

dx

dy

vu

yx

dx

dy

dx

dy

dy

dv

dx

dvyv

dx

duuxu

yx

x

y)f(x

53

C. Contoh Turunan Fungsi Implisit

D. Penurunan Dengan Bantuan Logaritma

2

2

2

2

32

223

2

32

3

2`

2)3`(

0)3`(2

0`3`2

adalah 0 dari pertamaTurunan

0.(0)`kanan ruasTurunan

`33 maka

)```

maka :lagiIngat ( ```` maka

2` maka

.0 dariurunan Tentukan t

yx

yxy

yxyxy

yxyyx

yyxyyx

yxyx

yydx

dyy

dx

dy

dy

dw

dx

dwyw

uvvuy

uvyxyyxyyxvdx

dvxyv

xudx

duxu

yxyx

xeyyy

xyxy

xyxey

xey

xyy

y

xyxy

xxy

xy

xy

vuy

`1`y

1

)1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian

ln maka ,

. dariurunan Tentukan t 2.

22ln2ln`

2ln`y

1

)1` maka ln :(Ingat turunkan kitaKemudian

2ln)2ln(ln

2

.2 dariurunan Tentukan t 1.

:Contoh

a. turunannymencari

untuk logaritman menggunakamudah lebih ,berbentuk fungsi Pada

54

Contoh Penurunan Dengan Bantuan Logaritma

. dariturunan Tentukan 6.

. dariurunan Tentukan t 5.

sincos

22

3cos`

sincos

22

3`

sincos

22

31

cosln22ln3ln

coslnlnln)cosln(ln

logaritmabantuan Dengan

.cos dariurunan Tentukan t 4.

223

223223

223

xy

x

x

xx

x

yxdx

dy

ay

x xx

xexy

x xx

yy

x- xx

y`y

xxxy

xexxexy

xexy

55

BAB II

SIMPULAN DAN SARAN

2.1 SIMPULAN

Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep peluang di atas, beberapa hal

penting dapat kita rangkum sebagai berikut.

Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk .

Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan

desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang

dalam daur yang tetap selamanya.

2.2 SARAN

Dalam penulisan resume ini penulis menyadari bahwa masih terdapat

kekurangan dan kesalahan, baik dari segi penulisan maupun dari segi

penyusunan kalimatnya. Dari segi isi juga masih perlu ditambahkan. Oleh

karena itu, kami sangat mengharpkan kepada para pembaca resume ini agar

dapat memberikan kritikan dan masukan yang bersifat membangun.

DAFTAR PUSTAKA

http://denandika.wordpress.com/2013/03/09/materi-remidial-kalkulus-1/

http://leoriset.blogspot.com/2009/04/download-materi-kalkulus-lengkap.html

http://rumus-matematika.com/persamaan-dan-pertidaksamaan-linear/

http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear#Sistem_Persamaan_Linear_Dua_Vari

abel

http://eyig1.blogspot.com/2011/02/persamaan-linier.html

http://yos3prens.wordpress.com/2013/11/15/menyelesaikan-persamaan-linear-satu-

variabel-plsv/