kajian skema numerik tak-standar dari tipe predictor ... · 1. bagaimana mendapatkan persamaan beda...

TUGAS AKHIR

KAJIAN SKEMA BEDA HINGGA TAK-STANDAR DARI TIPE PREDICTOR-CORRECTOR UNTUK MODEL

EPIDEMIK SIR

STUDY OF A NONSTANDARD SCHEME OF PREDICTOR-CORRECTOR TYPE FOR EPIDEMIC MODELS SIR

Oleh:Anisa Febriana (1208100056)

Dosen Pembimbing:

Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

Drs. M. Setijo Winarko, M.Si

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

2012

LATAR BELAKANG

Penyelesaian diskrit yang

konsisten secara dinamik

dengan penyelesaian kontinu

dari model epidemik SIR

Stabilitas dari model epidemik

SIR hilang ketika ukuran

langkah waktu meningkat

Skema numerik yang dapat

digunakan ketika ukuran

langkah waktu meningkat

Skema Beda Hingga

Tak-Standar dari

Predictor-corrector

Memenuhi sifat stabilitas

model epidemik

1. Bagaimana mendapatkan persamaan beda hingga tak-standar dari

model epidemik SIR yang dapat memenuhi stabilitas lokal dari

model epidemik SIR.

2. Bagaimana menginterpretasikan hasil diskritisasi dari model

epidemik SIR dengan metode skema beda hingga tak-standar

menggunakan MATLAB

3. Bagaimana mengintrepetasikan perbandingan antara skema beda

hingga tak-standar dengan skema Runge-Kutta menggunakan

MATLAB.

RUMUSAN MASALAH

BATASAN MASALAH 1. Pada Tugas Akhir ini dianalisis model epidemik SIR

telah memiliki kekebalan

2. Total populasi kostan

TUJUAN 1. Mendapatkan persamaan beda hingga tak-standar dari model

epidemik SIR yang dapat memenuhi stabilitas lokal dari model

epidemik SIR.

2. Menginterpretasikan hasil diskritisasi dari model epidemik SIR

dengan metode skema beda hingga tak-standar menggunakan

MATLAB.

3. Mengintrepetasikan perbandingan antara skema beda hingga tak-

standar dengan skema Runge-Kutta menggunakan MATLAB

MANFAAT Memperkenalkan skema beda hingga tidak standar dari tipe

predictor-corrector untuk model epidemik SIR dan dapat dijadikan

referensi bagi peneliti maupun pihak yang bergerak dibidang biologi

untuk tetap memenuhi sifat stabilitas dari model epidemik SIR untuk

ukuran langkah waktu lebih besar.

TINJAUAN PUSTAKA

• Model Epidemik SIR Model epidemik klasik adalah model SIR dengan dinamika penting (kelahiran dan kematian) yang diberikan oleh [2]: dengan S,I,R adalah variable penyebaran penyakit yang masing-masing menyatakan: S: Populasi individu susceptible yaitu individu yang rentan terhadap penyakit. I :Populasi individu infected yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit R :Populasi individu recovered yaitu individu yang sembuh :Koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit : Laju kematian alami dan diasumsikan sama dengan laju kelahiran : Laju individu infected menjadi recovered. N: Total populasi

•TITIK KESETIMBANGAN Pandang persamaan diferensial Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.2) jika memenuhi dan . Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaaan (2.2) untuk semua .

TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…)

• Stabil Asimtotik Lokal Teorema Ttitik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks dengan Mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya.

TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…)

• Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan

banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu

infektif primer yang berlangsung di dalam populasi susceptible. Jika

model memiliki dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan

bebas penyakit dan titk kestetimbangan endemik, maka tidak terjadi

endemik jika dan terjadi endemik jika

TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…)

• Skema Beda Hingga Tak-Standar Metodologi SBHTS didasarkan pada dua prinsip yaitu:

TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…)

• Predictor- Corrector Integrasi numerik dengan metode predictor-corrector didasarkan pada interpolasi polynomial di titik dan dinyatakan sebagai berikut: (2.8) Dengan :variabel bebas : variabel tidak bebas Secara umum itersai akan menghasilkan persamaan berikut: (2.9)

TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…)

• Metode Runge-Kutta Metode Runge-Kutta dapat digunakan untuk menunukkan keefektifitasan dari skema beda hingga tak-standar dari tipe predictor-corrector. Integrasi numerik dengan metode Runge-Kutta dinyatakan sebagai berikut: (2.10) dengan:

TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…)

TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…)

• Sistem Dinamik Diskrit

METODE PENELITIAN

1. Studi Literatur

2. Kajian Model Epidemik SIR

3. Pembentukan Skema Beda Hingga Tak-Standar

4. Analisa dan Pembahasan

5. Kesimpulan dan saran

PEMBAHASAN

•Deskripsi Model dan Asumsi 1. Populasi Susceptible yakni, besarnya laju populasi yang rentan dipengaruhi oleh

jumlah populasi yang lahir dan akan menurun dengan adanya laju kematian alami dan populasi yang terinfeksi

(4.1) 2. Populasi Infected yakni besarnya laju populasi yang terinfeksi dipengaruhi oleh

laju populasi yang terinfeksi dan akan menurun dengan adanya populasi yang sembuh serta laju kematian alami

(4.2) 3. Populasi Recovered yakni, besarnya laju populasi yang sembuh dipengaruhi

oleh laju kesembuhan dari populasi yang terinfeksi dan akan menurun dengan adanya laju kematian alami

(4.3)

PEMBAHASAN

Untuk memudahkan persamaan (4.1)-(4.3) diatas ditulis dengan menggunakan

ukuran skala proporsi

Sehingga diperoleh

(4.4)

(4.5) (4.6)

PEMBAHASAN

• Skema Beda Hingga Tak-Standar dari model SIR

PEMBAHASAN

Lanjutan…

( (4.7)

(4.8)

(4.9)

PEMBAHASAN

• Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium) adalah suatu keadaan

dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi didapatkan pada

saat yakni suatu keadaan dimana tidak terjadi infeksi/penularan pada

populasi.

Dengan mengambil , dan pada persamaan (4.4)-(4.6) maka

diperoleh atau

Subtitusikan ke persamaan dan didapatkan

titik ini disebut titik kesetimbangan bebas penyakit.

PEMBAHASAN

Lanjutan…

Lalu untuk mendapatkan titik kesetimbangan endemik diperoleh dari dan

didapatkan kemudian subtitusikan ke

dan dipapatkan sehingga didapatkan titik kesetimbangan endemik

PEMBAHASAN

• Analisis Kestabilan Persamaan (4.7) dan (4.8) digunakan untuk menganalisa kestabilan dan dituliskan kembali menjadi (4.10) Maka matriks jacobian untuk persamaan (4.10) adalah (4.11)

PEMBAHASAN

• Lanjutan…

Sehingga didapatkan matriks untuk titik kesetimbangan yang dapat digunakan untuk menghitung pada Titik kesetimbangan disustitusikan ke persamaan (4.11) maka diperoleh matriks Jacobian: (4.12)

PEMBAHASAN

• Lanjutan…

Selanjutnya akan dilakukan pengujian stabilitas dari nilai eigen yang diperoleh di

pesamaan (4.12) yaitu

Karena persamaan (4 .10) adalah sistem dinamik diskrit maka dikatakan stabil jika

Dari kedua nilai eigen tersebut jelas bahwa , maka titik bebas

penyakit untuk

Stabil jika

PEMBAHASAN

• Lanjutan ….

Sehingga didapatkan bilangan reproduksi dasar

Dengan demikian stabil untuk

• Analisis Titik Kesetimbangan Endemik

Titik kesetimbangan endemik

Disubstitusikan ke persamaan (4.11) maka diperoleh matriks Jacobian

PEMBAHASAN

• Lanjutan… Untuk mengetahui dua nilai eigen dari maka digunakan Lemma berikut:

PEMBAHASAN

• Lanjutan… Untuk mengetahui dua nilai eigen dari maka digunakan Lemma berikut:

PEMBAHASAN

• Lanjutan…

(4.13)

PEMBAHASAN

• Lanjutan… (4.14) (4.15)

PEMBAHASAN

• Lanjutan… Dari persamaan (4.13)-(4.15) terlihat bahwa kondisi dari Lemma 4.1 trepenuhi. Maka nilai eigen dari kurang dari satu, terlepas dari ukuran h,dan skema (4.7)-(4.9) konvergen ke titik kesetimbangan endemik ketika

• Skema Beda Hingga Tak-Standar Dari Predictor- corrector (P-C) Diskritisasi model epidemik SIR yang telah didapatkan pada persamaan (4.7)-(4.9) digunakan sebagai skema predictor yaitu: (4.16)

PEMBAHASAN

• Lanjutan…

Untuk mempercepat konvergensi dari skema beda hinga tak-standar dari

predictor-corrector ditambahkan persamaan dengan . Maka

didapatkan persamaan:

Untuk I dan R didapatkan:

PEMBAHASAN

• Simulasi

• h kecil sistem stabil

• h kecil sistem stabil

PEMBAHASAN

• Lanjutan…

• h besar sistem tidak stabil •Jumlah populasi infected negatif (tidak mungkin)

• h besar sistem stabil •Jumlah populasi infected menjadi stabil menjelang bulan ke 6

KESIMPULAN

SARAN

Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai kemungkinan yang besar dan model yang dibahas hanyalah model tipe SIR saja. Selain itu juga hanya dibandingkan dengan Runge-kutta. Diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat dibandingkan dengan metode yang lain.

[1] Eka Sarrayu, A.(2010)”Penyelesaian Numerik Dan Analisis Perilaku Model Epdemik Tipe SIR Dengan Vaksinasi Untuk Penceegahan Penularan Penyakit”. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [2] Ronald E. Mickens.(2010).“A Nonstandard Numerical Scheme Of Predictor-Corrector Type For Epidemic Models”.Computer and Mathematics with Applications Vol 59. Hal 3740-3749. [3] Dobromir T. Dimitrov, Hristo V. Kojouharov.(2006).” Positive And Elementary Stable Nonstandard Numerical Methods With Applications To Predator-Prey Models”.Journal of Computational and Applied Mathematics Vol 1-2. Hal 98-108. [4] R.E. Mickens. (2007).”Numerical Integration Of Population Models Satisfying Conservation Laws: NSFDMethods”.Journal of Biological Dynamics Vol4.Hal .427-436. [5] Barbarossa Maria. (2011).” Stability of discrete dynamical systems”.

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR PUSTAKA

[6] F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer-Verlag, 2001. [7] R.E. Mickens. (2005).” Dynamic Consistency: A Fundamental Principle For Constructing Nonstandard Finite Difference Schemes For Differential Equations”.Journal of Difference Equations and Applications Vol 7.Hal.645-653. [8] R.E. Mickens.(2000).”Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes”.World Scientific.Hal 1-7 [9] W. Piyawong, E.H. Twizell, A.B. Gumel. (2003).”An Unconditionally Convergent Finite-Difference Scheme For The SIR Model. Applied Mathematics and Computation Vol 146. Hal.611-625.