integrasi numerik - universitas brawijaya
Post on 12-Nov-2021
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
INTEGRASI NUMERIK
0Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)
0Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
INTEGRASI NUMERIK
0 Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
0 Fungsi yang rumit misal :
Cxxxdxx
Cxdxx
Cbaa
dxbax
Cbaa
dxbax
Ca
edxe
Cn
axdxax
axax
nn
||ln||ln
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
dxex
x x5.0
2
0
23
sin5.01
)1cos(2
INTEGRASI NUMERIK
0Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.
0digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
0Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar
Dasar Pengintegralan Numerik
Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
i
i
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
x0 x1 xn xn-1 x
f(x)
0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
Dasar Pengintegralan Numerik 0 Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti
saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
0 Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dxxfdxxfIb
an
b
a )()(
Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
n
n
1n
1n10n xaxaxaaxf
)(
Dasar Pengintegralan Numerik
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau
polinomial yang lebih tinggi
Polinomial dapat didasarkan pada data
INTEGRASI NUMERIK
0Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :
0L =
b
a
dxxf
Metode Integral Reimann
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
Metode Integral Reimann
0 Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
0 Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]
0 Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi).
ix
Metode Integral Reimann
0Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
0Dimana
0Didapat
i
n
ii
n
n
xxf
xxfxxfxxfxxf
LLLLL
0
3221100
210
...
..
n
ii
b
a
xfhdxxf0
hxxxx n ...210
Contoh
0Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
1
0
2dxxL =
Contoh
0 Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
0 Secara kalkulus :
0 Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 0 = 0,052
385,085,31.0
00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0
)(.10
0
i
ixfhL
.....3333,0|3
1 10
31
0
2 xdxxL
Algoritma Metode Integral Reimann:
0 Definisikan fungsi f(x)
0 Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi
0 Tentukan jumlah pembagi area N
0 Hitung h=(b-a)/N
0 Hitung
N
iixfhL
0
)(.
Metode Integrasi Trapezoida 0 Aproksimasi garis lurus (linier)
)()(
)()()()(
10
1100i
1
0i
i
b
a
xfxf2
h
xfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
L(x)
Aturan Komposisi Trapesium
)()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
n1ni10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
xfxf2x2fxf2xf2
h
xfxf2
hxfxf
2
hxfxf
2
h
dxxfdxxfdxxfdxxfn
1n
2
1
1
0
x0 x1 x
f(x)
x2 h h x3 h h x4
n
abh
Metode Integrasi Trapezoida
n
n
ii fff
hL
1
10 2
2
iiii
iiii
xffL
atau
xxfxfL
.2
1
.2
1
1
1
1
0
iiLL
nn
n
iii fffff
hffhL
1210
1
01 2...22
22
1
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida
0 Definisikan y=f(x)
0 Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
0 Tentukan jumlah pembagi n
0 Hitung h=(b-a)/n
0 Hitung
n
n
ii fff
hL
1
10 2
2
Aturan Simpson 1/3
0 Aproksimasi dengan fungsi parabola
)()()(
)()()()()(
210
221100i
2
0i
i
b
a
xfxf4xf3
h
xfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
1 xx
0 xx
1 xx
h
dxd
h
xx
2
abh
2
ba x bx ax let
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxx xf
xxxx
xxxxxL
2
1
0
1
120
2
1202
10
1
2101
200
2010
21
,,
,,
)())((
))((
)())((
))(()(
))((
))(()(
Aturan Simpson 1/3
)()(
)()()()(
)( 21
2
0 xf2
1xf1xf
2
1L
1
1
23
2
1
1
3
1
1
1
23
0
1
12
1
0
2
1
1
10
1
1
)23
(2
)(
)3
()()23
(2
)(
)1(2
)()1)(
)1(2
)()()(
ξξhxf
ξξhxf
ξξhxf
dξξξh
xfdξξ(hxf
dξξξh
xfdξLhdxxfb
a
)()()()( 210
b
axfxf4xf
3
hdxxf
Aturan Simpson 1/3
Aturan Komposisi Simpson
x0 x2 x
f(x)
x4 h h xn-2 h xn
n
abh
…...
h x3 x1 xn-1
Metode Integrasi Simpson
0Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
0 atau dapat dituliskan dengan:
nnnn ffh
ffh
ffh
ffh
ffh
ffh
L 11243322110 23
23
...23
23
23
23
n
genapii
ganjilii ffff
hL
0 24
3
N = 0 – n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
0Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb
0
2
2000
2
2002!2
)()(
!2
)()()( f
h
hxxf
h
xfxf
h
hxxxf
h
xxfxp
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
0 Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
0
2
00
0
2
00
0
22
2
3
0
2
0
2
00
2
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
200
2
0
2
2
0
322
3
422
4
4
6
8
2
42
|462
!2
)(
)(
fh
fhxhfL
fhh
fhxhfL
fh
h
h
hf
h
hxhfL
fh
x
h
xf
h
xxfL
dxfh
hxxf
h
xfL
xdxpdxxfL
hx
x
h
hh
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
0 Mengingat
0 Maka selanjutnya
010 fff
)4(3
33
4
3
33
2
3222
)2(3
)(22
210
210
012010
012010
fffh
L
fh
fh
fh
L
fh
fh
fh
hfhfxhfL
fffh
ffhxhfL
0120112010
2 2)()( ffffffffff
Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik
)()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0i
i
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
xfcxfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
x3 h
)())()((
))()(()(
))()((
))()((
)())()((
))()(()(
))()((
))()(()(
3
231303
2102
321202
310
1
312101
3200
302010
321
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxx
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxxxL
)()()()( 3210
b
a
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
3
abh ;L(x)dxf(x)dx
Error Pemenggalan
3
abh ;f
6480
abfh
80
3E 4
545
t
)(
)()( )()(
Aturan Simpson 3/8
Metode Integrasi Gauss
0 Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :
0 H sama
0 Luas dihitung dari a sampai b
0 Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Metode Integrasi Gauss
0 Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
0 Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
0 Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida
0 Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min
2
)1()1()1()1(2
)(
1
1
h
ffffh
dxxfI
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
Metode Integrasi Gauss
0 Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
0 f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
0
32
0
21
1
1
33
22
3
11
1
1
22
22
2
11
1
1
2211
1
1
21
dxxxcxc
dxxxcxc
dxxxcxc
dxcc
Didapat
3
1
3
1
1
21
21
xx
cc
Metode Integrasi Gauss
0 Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik
)3
1()
3
1()(
1
1
ffdxxf
Transformasi
0 Range [a,b] [-1,1]
0 X u f(x) g(u) dx du
b
a
i dxxfL )(
1
1
)( duugLi
Transformasi
duab
dx
uabbax
aububax
aabux
abuax
u
ab
ax
2
2
)()(
2
2))(1(2
))(1(22
2
1
a b x
-1 1 u
Transformasi
duuabba
fabduug
1
1
1
12
)()()(
2
1)(
)()()(2
1)(
21
21 abuabfabug
1
1
)( duugLi
Analisa
0 Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
0 Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
0 Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi
1
1
)( duug
Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik
0 Definisikan fungsi f(x) 0 Tentukan batas bawah (a) dan batas atas
integrasi (b) 0 Hitung nilai konversi variabel :
0 Tentukan fungsi g(u) dengan:
0 Hitung
)(2
1
2
1abuabx
)()()(2
1)(
21
21 abuabfabug
3
1
3
1ggL
Contoh Soal
Metode Gauss Legendre 3 Titik
0 Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :
0 Dengan cara yang sama didapat
)()()()( 332211
1
1
xfcxfcxfcdxxfI
543
2
)(;)(;)(
)(;)(;1)(
xxfxxfxxf
xxfxxfxf
53;0;53
9
5;
9
8;
9
5
321
321
xxx
ccc
Metode Gauss Legendre 3 Titik
5
3
9
50
9
8
5
3
9
5)(
1
1
gggduug
Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
Metode Gauss n-Titik
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik
0 Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
0 Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
0 Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.
0 Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 10 5
6
3
15
9
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
0Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:
0 Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
0 Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
0 Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5.7322
15
1160
iiyyy
hL
5.7316
0
i
iyhL
74243
160
genapi
i
ganjili
i yyyyh
L
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
0 Luas benda putar:
0 Volume benda putar: b
a
p dxxfL )(2
b
a
p dxxfV2
)(
Contoh :
0 Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian 0 bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, 0 bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
0 Bagian I:
0 Bagian II:
4 cm
6
cm
7 cm
12 cm
7 cm
5 cm
I II III IV
satuan dalam cm
56)7)(4(2 IL
196)7)(4( 2 IV
288)12(122 IIL
3456121222IIV
Contoh :
0 Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
0 Pada bagian II dan IV: dan
0 Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
10822
2)(4
150
iiIVII yyy
hLL
5.118722
4
1
225
20
iiIVII yyy
hVV
IVII LL IVII VV
Contoh :
0 Luas permukaan dari botol adalah:
0 Luas = 1758.4 cm2
0 Volume botol adalah:
0 Volume = 18924.78 cm3
4.1758
560
10828810856
IVIIIIII LLLLL
6024
5.118734565.1187196
IVIIIIII VVVVV
top related