integral

INTEGRALINTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL TERTENTU

INTEGRAL TAK TENTU

1. ∫ k dx = kx + cCONTOH :

1.∫ 3 dx = 3x + c2.∫ 5 dt = 5t + c

3.∫ 8 dQ = 8Q + c4.∫ 56 du = 56 u + c

2. ∫ ax b dx = a x b+1 + c b+1

CONTOH :1.∫ 4X3 dx = 4 x 4 + c = x4 + c 4

2. ∫ 3x8 dx = 3 x 9 + c =1/3X9 + C 9

3. ∫ aUb dU = a U b+1 + c b+1 U=f(x)

CONTOH :1. ∫ (2X+ 1)dx = … 2. ∫ (4X + 4) dX = … X2 + X (4X2+8X+6)3

Jawab : jawab :

Misal : U = X2 + X Misal : U =4X2+8X+6 dU =( 2X + 1)dX dU =(8X+8)dX ∫ (2X + 1)dx = ∫ dU dU =2(4X+4)dX X2 + X U dU =(4X+4)dX = Ln U + C 2

= Ln ( X2 + X ) + C ∫ dU = ∫ ½ U -3 dU

2U3

= ½.1/-2 .U-2 + C

= - ¼(4X2+8X+6) -2 + C

-14 (4x2+8x+6)2

CONTOH :

∫X.eX dx = ….

Misal : U = X

du = dx

dv = eX dx

V=∫eX dX = eX + C

∫X.eX dx = U.V - ∫V dU

= X.eX - ∫ eX dx

= X.eX - eX + C

4.∫UdV = U.V - ∫VdU

RUMUS DI ATAS ADALAH RUMUS INTEGRAL PARSIAL

5.∫ ex dx = ex + c

6.∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x)dx+∫g(x)dx

7.∫n.f(x)dx = n∫f(x)dx

SOAL

SELESAIKANLAH !

1. ∫ X3 dX = … 6. ∫ √ 2 + 5X dX = …2. ∫X -4 dX = … 7.∫ (X2 + 3X + 4)3(2X + 3)dx =…

3. ∫9X2 dX = … 8. ∫ X2 + 3X – 2 dX = …

4. ∫5/X dX = … X

5. ∫(X2 -√X + 4) dX = … 9. ∫X.ex² dX = …

INTEGRAL TERTENTU

UNTUK a < c < b,berlaku b b b b1.∫ f(x) dx = [F(X)] = F(b)- F(a) 4. ∫ k f(x) dx =k ∫ f(x) dx a a a a a b b b 2.∫ f(x) dx = 0 5. ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx a a a a b a c b b3.∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx 6. ∫f(x)dx + ∫f(x)dx = ∫ f(x)dx a b a c a

SOAL 6 0

1.∫ X dX = …. 5. ∫ (X2 – 2X + 3) dX = …

4 3 3 3

2. ∫ (X2 – 2X + 3 ) dX = … 6. ∫ (2X + 1)(3 – X) dX = …

0 1 1 4

3. ∫ (2X + 5) dX = … 7. ∫ ( √ X – X )2 dX = …

-1 1 -4 8

4. ∫ (3X2 + 2X) dX = … 8. ∫ (X1/3 – X-1/3) dX = …..

-6 1 2 2a

9. ∫ (X + 9X3) dX = … 10. ∫ (a + X ) dX = …

1 a

BY

AMIRULSYAH,MSi

SURPLUS KONSUMEN

SK

Q

P

O

P

QO

SK

Q1

P1

Fungsi demand Fungsi demand

SK

SURPLUS PRODUSEN

OQ

P

P1

SP

Fungsi supply

O

P

Q

SP

Q1 Q1

P1 Fungsi supply

SURPLUS KONSUMEN DAN SURPLUS PRODUSEN

SK

SP

Fungsi supply

Fungsi demand

OQ

P

Q1

P1

O

Q

P

0

P1

Q1

SK

SP

PENGETAHUAN DASAR

LUAS DAERAH

4

2

O

5

LUAS = …?

CARA I : L= axt 2 L= 4x3 2 L= 6 satuan luas

CARA II : Integral 4

L= ∫(5-3/4x)dx – 2x4 0 4

= (5X – ¾.1/2X ²)] - 8 0= (5.4 – 3/8.16) – (5.0-1/4.0) – 8= (20 – 6) – 0 – 8= 14 - 8= 6 satuan luas

CARA III: INTEGRAL 5L = ∫ ( ) dy 2Y= 5-3/4xX= 20/3 – 4y 5L = ∫ (20/3 – 4/3Y)dy 2L= 6 satuan luas

X

Y

LUAS DAERAH

3

6

50

P= 6 – 3/25 Q²

P

Q

LUAS

CARA I: INTEGRAL 5

L = ∫ ( 6 – 3/25Q²)dQ – 3x5 0 5

L = (6Q – 3/25.1/3Q³)] – 15 0L = 10 satuan luas

CARA II: INTEGRAL 6

L = ∫ (50 – 25/3P)1/2 dP 3 6

L = { 2/3(50 – 25/3P)3/2.(-3/25)} ] 3L = { - 2/5 (50 – 25/3P)3/2

L = 10 satuan luas

LUAS= …?

0

2

6

CARA I : RUMUSL = axt 2L = 4 x 6 2L = 12 satuan luas

6

CARA II : INTEGRAL 6

L = 6X6 - ∫(2 + 2/3Q)dQ 0 6

L = 36 – {2Q + 2/3.1/2Q² } ] 0L = 36 – 24 = 12 satuan luas

CARA III : integral 6

L = ∫( 3/2 P – 3 ) dP 2 6

L = ( 3/4P – 3P ) ] = 9 + 3 = 12 satuan luas 2

Q

P

QP3

22

LUAS

2

7

50

P = 2 + 1/5Q²

Q

P

CARA I : INTEGRAL 5

L = 7x5 - ∫( 2 + 1/5Q²)dQ 0 5

L = 35 - (2Q + 1/5.1/3Q³)] 0L = 35 - 10 - 8 1/3

L = 16 ⅔ satuan luas

CARA II : INTEGRAL 7

L = ∫ (5P - 10)1/2 dP 2 7

L = { 2/3(5P - 10)3/2. ⅕ }] 2

L = 2/15.{ 25 } 3/2

L = 16 ⅔ satuan luas

LUAS DAERAH

1.Fungsi pendapatan 1.Fungsi pendapatan dari suatu pabrik dari suatu pabrik diberikan sebagai diberikan sebagai berikut :berikut :

R = 6 + 350Q – 2QR = 6 + 350Q – 2Q22

Fungsi produksinya : Fungsi produksinya : Q = 3LQ = 3L

Jika jumlah tenaga Jika jumlah tenaga kerja yang ada 25 kerja yang ada 25 orang,berapakah orang,berapakah MPRL dan jelaskan MPRL dan jelaskan artinya .artinya .

2.

5

0

P

Q

12

8

6

LUAS I

LUAS II

P = 5 + 1/12Q2

P = 12 - 1/9Q2

Luas I = ∫(12 - 1/9QLuas I = ∫(12 - 1/9Q22)dQ - 8X6)dQ - 8X6

= ( 12Q + 1/9.1/3Q= ( 12Q + 1/9.1/3Q33) ] - 48) ] - 48

= (12.6 + 1/27.6= (12.6 + 1/27.633 – (12.0 + – (12.0 + 1/27.01/27.033) - 48) - 48

= (72 + 1/27.216 – 0) - 48= (72 + 1/27.216 – 0) - 48

= (72 + 8 – 0) - 48= (72 + 8 – 0) - 48

= 80 – 48= 80 – 48= 32= 32

2.

5

0

P

Q

12

8

6

LUAS I

LUAS II

P = 5 + 1/12Q2

P = 12 - 1/9Q2

0

6

6

0

Luas II = 6X8 - ∫(5 + 1/12QLuas II = 6X8 - ∫(5 + 1/12Q22)dQ )dQ

= 48 – ( 5Q + 1/12.1/3Q= 48 – ( 5Q + 1/12.1/3Q33) ] ) ]

= 48 – (5.6 + 1/36.6= 48 – (5.6 + 1/36.633 – (5.0 + – (5.0 + 1/36.01/36.033) )

= 48 – (30 + 1/36.216 – 0)= 48 – (30 + 1/36.216 – 0)

= 48 - (30 + 6 - 0)= 48 - (30 + 6 - 0)

= 48 – 36= 48 – 36= 12= 12

2.

5

0

P

Q

12

8

6

LUAS I

LUAS IIP = 5 + 1/12Q2

P = 12 - 1/9Q2

0

6

6

0

1.Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan sebagai berikut :1.Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan sebagai berikut :

R = 6 + 350Q – 2QR = 6 + 350Q – 2Q22

Fungsi produksinya : Q = 3LFungsi produksinya : Q = 3L

Jika jumlah tenaga kerja yang ada 25 orang,berapakah MPRL dan Jika jumlah tenaga kerja yang ada 25 orang,berapakah MPRL dan jelaskan artinya .jelaskan artinya .

Jawab : Jawab :

R = 6 + 350Q - 2Q² Q = 3L R = 6 + 350Q - 2Q² Q = 3L

dR dR = 350 – 4Q = 350 – 4Q dQ dQ = 3 = 3

dQ dLdQ dL

MPRL = MPRL = dRdR = = dRdR . . dQdQ

dL dQ dLdL dQ dL

= (250 – 4Q).3= (250 – 4Q).3

L = 25 Q =3L = 75L = 25 Q =3L = 75

dR dR = (350 – 300).4 = 200 = (350 – 300).4 = 200

dLdL

Artinya: Untuk setiap penambahan Tenaga Kerja sebanyak 25 orang akan Artinya: Untuk setiap penambahan Tenaga Kerja sebanyak 25 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 200 ,dan sebaliknyamenyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 200 ,dan sebaliknya

SOAL1.Seorang anak mempunyai uang Rp 1000.Ia akan

membeli permen susu (Y) dan permen coklat (X).Harga permen susu Rp100 dan permen coklat

Rp 100.

Fungsi nilai guna adalah U=XY.Berapa jumlah permen susu dan coklat yang dikomsumsi anak tersebut ?

2.Jika harga permen coklat meningkat menjadi Rp 200 .berapa jumlah permen coklat dan permen susu yang dikonsumsi anak tersebut ?

3.Jika preferensi untuk coklat meningkat menjadi U = X2Y, berapa konsumsi permen coklat dan permen susu ?