institut teknologi bandung fakultas matematika...

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452

Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id

Quiz 1 FI- 3101 Gelombang Waktu : 10.00-11.00 (60 menit)

Petunjuk: 1. Quiz ini tutup buku. Boleh memakai calculator. 2. Tuliskan jawaban Anda di lembar jawab yang disediakan. Hati-hati dengan satuan.

1. Manakah yang merupakan fungsi gelombang berjalan? Jika ya, tentukan besar cepat rambat dan arah

rambatnya. Variabel x dalam meter dan t dalam detik. (bobot: 24)

a. A sin (x2-2xt+t2) b. A *(x-t) c. A *(x-2t)2 d. A exp (-(x-2t)2) e. A sin (x2-4t) f. A sin2(x-2t) g. A sin 2x cos 3t h. A exp i(2x+3t)

Jawab: a. 𝐴 sin(𝑥2 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2) = 𝐴 sin(𝑥 − 𝑡)2, gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=1m/s b. gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=1m/s c. gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=2m/s d. gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=2m/s e. bukan. f. gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=2m/s g. bukan. h. gelombang berjalan ke kiri (X-) dengan cepat rambat v=3/2m/s

2. Sebuah gelombang di tali diberikan oleh:

𝜓(𝑥, 𝑡) = 1(𝑐𝑚) cos( 𝜋[100𝑡 + 𝑥]) dengan x dalam meter dan t dalam detik.

Hitunglah a. panjang gelombang, frekuensi sudut dan laju propagasi. (bobot: 6) b. besar kecepatan getaran maximum dan besar percepatan getaran maximum. (bobot: 6) c. Jika rapat massa tali 10 gr /m berapakah tegangan tali? (bobot: 7) d. rata-rata arus energinya? (bobot: 7)

Jawab:

a. 𝜔 = 100𝜋𝑟𝑎𝑑

𝑠 𝑘 = 𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑚→ 𝜆 =

2𝜋

𝑘= 2 𝑚, 𝑣 =

𝜔

𝑘= 100 𝑚/𝑠

b. kecepatan getar

𝑢 =𝜕𝜓(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡= −0,01 (100)𝜋 sin( 𝜋[100𝑡 + 𝑥]) = −𝜋 sin( 𝜋[100𝑡 + 𝑥])

maka besar kecepatan getar maksimum = 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝜋 𝑚/𝑠 percepatan getar :

𝑎 =𝜕2𝜓(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2= −𝜋2 (100) cos ( 𝜋[100𝑡 + 𝑥])

SOLUSI

sehingga besar percepatan maksimumnya 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 100𝜋2 𝑚/𝑠2

c. rapat massa 𝜌 = 10𝑔𝑟

𝑚= 0.01 𝑘𝑔/𝑚 maka tegangannya 𝑇 = 𝜌𝑣2 = 0,01 ∗ 1002 = 100 𝑁

d. Rata-rata arus energinya

< 𝑃 > = < 𝜖 > 𝑣 dengan < 𝜖 > rapat energi persatuan panjang,

< 𝜖 > = (1

2𝜌 𝑢𝑚𝑎𝑥

2 ) = (1

2∗ 0,01 ∗ 𝜋2) = 0.005𝜋2𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒/𝑚

dan < 𝑃 > = 0.005𝜋2 ∗ 100 = 0,5𝜋2watt

3. Sepasang pendulum identik tergantung oleh tali sepanjang L = 0,5m, dan kedua pendulum terhubung oleh pegas ideal dengan konstanta k= 10 N/m. Massa pendulum masing-masing m=0,2 kg. Percepatan gravitasi g=10 m/s2. Dengan mempergunakan nilai-nilai parameter tsb jawablah pertanyaan berikut: a. Jika simpangan masing-masing pendulum dari keadaan setimbang adalah 𝑥1 dan 𝑥2, tuliskanlah persamaan differensial tergandeng bagi 𝑥1 dan 𝑥2 tsb. (bobot: 10) Jawab: a. persamaan geraknya :

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑇0 sin 𝜃

dengan 𝑇0: tegangan tali pendulum. Tapi kesetimbangan vertikal meminta 𝑇0 cos 𝜃 = 𝑚𝑔, sehingga:

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑚𝑔 tan 𝜃

untuk sudut kecil sin 𝜃 ≈ tan 𝜃 =𝑥1

𝐿 sehingga :

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) −

𝑚𝑔

𝐿𝑥1

dengan cara analog:

𝑚𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥2 − 𝑥1) −

𝑚𝑔

𝐿𝑥2

atau dalam kasus ini dapat dituliskan sebagai: 𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2 = −50(𝑥1 − 𝑥2) − 20𝑥1 = −70 𝑥1 + 50𝑥2 (1)

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2 = −50(𝑥2 − 𝑥1) − 20𝑥2 = −70 𝑥2 + 50𝑥1 (2)

Alternative

definisikan 𝜔02 =

𝑔

𝐿 sehingga:

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚(𝑥1 − 𝑥2) − 𝜔0

2𝑥1

dan: 𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚(𝑥2 − 𝑥1) − 𝜔0

2𝑥2

JIKA TIDAK memasukkan nilai k/m dan 𝜔0 maka nilainya 90% dari skor maximum. b. Persamaan tsb akan diselesaikan dengan mendefinisikan variabel baru : 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 dan 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2. Pakailah variabel baru ini tunjukkan dalam variabel baru, persamaan differensial saling bebas (de-coupled). (bobot: 10) Jawab: Dari hasil (a), lakukan penjumlahan (1)+(2)

𝑑2

𝑑𝑡2 (𝑥1 + 𝑥2) = −20 (𝑥1 + 𝑥2)

Dengan substitusi: 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 maka menjadi : 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑦1 = −20 𝑦1 (3)

Dari hasil (a), lakukan pengurangan (1)-(2)

𝑑2

𝑑𝑡2(𝑥1 − 𝑥2) = −120 (𝑥1 − 𝑥2)

Dengan substitusi: 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2 maka menjadi : 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑦2 = −120 𝑦2 (4)

Di pers (3) dan (4) antara variabel 𝑦1𝑑𝑎𝑛 𝑦2terpisah (de coupled). Alternative: 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑦1 = −2𝜔02 𝑦1 (3)

𝑑2

𝑑𝑡2 𝑦1 = − (2𝑘

𝑚+ 𝜔0

2) 𝑦1 (4)

JIKA TIDAK memasukkan nilai k/m dan 𝜔0 maka nilainya 90% dari skor maximum. c. Pakailah fungsi 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 untuk menyatakan solusi umum bagi persamaan tsb (b), yaitu 𝑦1(𝑡) dan 𝑦2(𝑡). (bobot: 10) Jawab: Solusi dari pers (3) dan (4) berbentuk 𝑦 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜃0).

Untuk (3) 𝜔12 = 20 → 𝜔1 = √20 rad/s sehingga :

𝑦1(𝑡) = 𝐴1 cos(√20𝑡 + 𝜃01)

dan untuk (4) 𝜔2 = √120 rad/s. Sehingga:

𝑦2(𝑡) = 𝐴2 cos(√120𝑡 + 𝜃02)

d. Saat t=0s, masing-masing pendulum berada di 𝑥1 = 0.1 𝑚 dan 𝑥2 = −0.2 𝑚 dilepaskan dari keadaan diam. Nyatakanlah syarat awal ini dalam variabel 𝑦1 dan 𝑦2, selanjutnya pergunakanlah untuk mendapatkan solusi 𝑦1(𝑡) dan 𝑦2(𝑡). (bobot: 10) Jawab: Penerapan syarat awal t=0s: (i) 𝑥1 = 0.1 m dan 𝑥2 = −0.2 dalam variabel y : 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 = −0.1 dan 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2 = 0.3 −0.1 = 𝐴1 cos(𝜃01) (5a) dan 0.3 = 𝐴2 cos(𝜃02) (5b)

kecepatan awal v=0 (diam), 𝑑𝑥1(0)

𝑑𝑡= 0 𝑑𝑎𝑛

𝑑𝑥2(0)

𝑑𝑡= 0

atau berarti 𝑑𝑦1(0)

𝑑𝑡= 0 𝑑𝑎𝑛

𝑑𝑦2(0)

𝑑𝑡= 0 juga.

𝑑𝑦1(0)

𝑑𝑡= −2𝐴1 sin(𝜃01) = 0 , berarti 𝜃01 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋, tetapi krn 𝐴1 > 0, maka menurut (5a) yang dipakai

adalah 𝜃01 = 𝜋 agar 𝐴1 > 0. Dengan cara analog: 𝑑𝑦2(0)

𝑑𝑡= −√120𝐴2 sin(𝜃02) = 0 , berarti 𝜃02 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋, tetapi krn 𝐴2 > 0, maka menurut (5b) yang

dipakai adalah 𝜃02 = 0 agar 𝐴2 > 0. Sehingga solusi khusus dengan syarat awal ini adalah:

𝑦1(𝑡) = 𝐴1 cos(√20𝑡 + 𝜋) dan 𝑦2(𝑡) = 𝐴2 cos(√120𝑡), amplitudo didapatkan dengan menerapkan syarat

simpangan saat t=0s: −0.1 = 𝐴1 cos 𝜋 → 𝐴1 = 0.1 dan 0.3 = 𝐴2 cos 0 → 𝐴2 = 0.3 Jadi

𝑦1(𝑡) = 0.1 cos(√20𝑡 + 𝜋) dan 𝑦2(𝑡) = 0.3 cos(√120𝑡)

e. Akhirnya dapatkan solusi simpangan masing-masing pendulum tsb, yaitu 𝑥1(𝑡) dan 𝑥2(𝑡). (bobot: 10)

Jawab:

Dalam variabel aslinya

𝑥1 =1

2(𝑦1 + 𝑦2) 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 =

1

2(𝑦1 − 𝑦2)

Berarti

𝑥1(𝑡) =1

2(0.1 cos(√20𝑡 + 𝜋 ) + 0.3 cos(√120𝑡) )

𝑥2(𝑡) =1

2(0.1 cos(√20𝑡 + 𝜋 ) − 0.3 cos(√120𝑡) )

&&&&&&&OKT2018&&&&&&&&&