harapan matematika dan variansi (ssts 2305 / 3 sks )

1

HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSI

(SSTS 2305 / 3 sks)

Dra. Noeryanti, M.Si

Pengantar:

Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau

karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu

distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata

hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (atau nilai harapan)

dan variansi. Harapan matetatis ini menentukan tendensi sentral dari

distribusi probabilitas.

Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat

perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka

nilai harapan dinyatakan , Variansi dari X da

Y dinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y

dinyatakan .

2

E(X), E(Y), dan E(X,Y)2 2X Y,

XY

Kompetensi:

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa

diharapkan:

1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar nilai harapan

matematis, variansi dan Kovariansi secara benar.

2. Mampu dan terampil dalam melakukan operasi hitungan-

hitungan yang berkaitan dengan rata-rata perubah acak,

variansi, kovariansi dan teorema Chebyshev .

3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.

3

4

Daftar Isi Materi:

• Rata-rata Perubah Acak

• Variansi dan Kovariansi

• Rata-rata dan Variansi dari

Kombinasi linier

• Teorema Chebyshev

4.1. Rata-rata Perubah Acak

5

x

E(X)

Contoh (4.1):

Suatu percobaan dua uang logam yang dilantunkan 16 kali.

Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul per lantunan, maka

X dapat berharga 0, 1, dan 2

Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7,

dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi muka per lantunan [=nilai

harapan matematik] adalah 0 4 1 7 2 51 06

16

( )( ) ( )( ) ( )( )E(X) .

Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X

ditulis atau . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik

atau nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai .Rata-

rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak

pusat distribusi probabilitas.

6

Definisi (4.1):

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka

nilai harapan (atau rata-rata) perubah acak X adalah

x

x f(x) ; jika Xdiskret

E(X)x f(x)dx ; jika X kontinu

E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil

yang muncul dalam percobaannya. Rata-rata ini yang disebut rata-rata

perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak

yang menyebutnya harapan matematik atau nilai harapan dari perubah

acak X.

7

Contoh (4.2):

Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam

panitia adalah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan

dan 3 ahli biologi.

Jawab:

Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia.

X = {0, 1, 2, 3} Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai

Dari perhitungan diperoleh:

4 33

0 1 2 373

x xf(x) ;x , , ,

181 12 435 35 35 35

0 1 2 3f( ) ; f( ) ; f( ) ; f( )

8

Dibuat tabel distribusi probabilitas X

Tabel 4.1. Distribusi Probabilitas X

Jadi nilai harapan (rata-rata) banyaknya statistikawan yang

duduk dalam panitia adalah:

x 0 1 2 3

f(x) 135

1235

1835

435

181 12 435 35 35 35

127

0 1 2 3

1 7

x

E(X) x f(x)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

,

9

Contoh(4.3)

Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X

perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu,

yang dinyatakan dalam bentuk berikut:

Jawab:

menurut definisi

Jadi bolam lampu tersebut dapat diharapan (rata-ratanya))

berumur 200 jam

20 0003

100

0

.

x; x

f(x); untuk x yang lainya

3 2100 100

100

20 000 20 000

20 000200

. .E(X) x dx dx

x x

.x

10

Teorema (4.1): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x),

maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah

Contoh (4.4):

Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci

mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi

probabilitas seperti pada tabel di bawah ini:

Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X

x

g(X)

g(x) f(x) ; jika Xdiskret

E[g(X)]g(x) f(x) ; jika Xkontinu

x 4 5 6 7 8 9

P(X=x) 14

112

112

14

16

16

11

Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para

karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan

rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan

perusahaan tersebut.

Jawab:

Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67

9

4

2 1 2 1g(x)x

E[g(X)] E( X ) ( x ) f(x)

1 1 1 1 1 1

12 12 4 4 6 6(7)( ) (9)( ) (11)( ) (13)( ) (15)( ) (17)( )

12,67

12

Contoh(4.5)

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi padat pobabilitas:

Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3

Jawab:

Nilai harapan g(x) = 4X+3 adalah

2

31 2

0

x ; xf(x); untuk x yanglainya

2 2

4 3

12

3 213

1

4 3 4 33

4 3 8

( x )x

E( X ) ( x ) dx

( x x )dx

13

Definisi (4.2):

Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan

f(x,y), maka nilai harapan perubah acak g(X,Y) adalah

1. Untuk X dan Y diskret

2. Untuk X dan Y kontinu

g(X,Y)x y

E[g(X,Y)] g(x,y) f(x,y)

g(X,Y)E[g(X,Y)] g(x,y) f(x,y)dxdy

14

Contoh (4.6):

Jika X dan Y suatu perubah acak dengan distribusi peluang

gabungan seperti tabel berikut:

Tabel. 4.3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y

Hitung nilai harapan g(X,Y) = XY

f(x,y)X Jumlah baris

0 1 2

Y

0

1

2

Jumlah kolom 1

3283

14

128

328

9283

14

328

128

614

1528

1528

1028

15

2 2

0 0

[g(x,y)]

x y

E[g(X,Y)]

E(XY)

(xy) f(x,y)

Jawab:

314

(0)(0)f (0,0) (0)(1)f (0,1) (0)(2)f (0,2) (1)(0)f (1,0)

(1)(1)f (1,1) (2)(0)f (2,0)

f (1,1)

16

Contoh(4.7):

Hitung nilai harapan untuk fungsi padat peluang

Jawab:

YX

E

21 34

0 2 0 1

0

x( y ) ; x ; yf(x,y); untuk x yanglainya

2

2

2

1 21 3

40 0

1 21 3

40 0

13 52 8

0

y x( y )YX x

y x

y( y )

y x

y y )

y

E ( )[ ]dxdy

dxdy

dy

17

Catatan: Jika dalam definisi (4.2) g(X,Y) = X, maka

dan

dimana: g(x) distribusi marginal X dan h(y) distribusi marginal Y

x y x

(x) f(x,y) (x)g(x); jika Xdiskret

E(X)(x)f(x,y)dxdy (x)g(x)dx; jika Xkontinu

x y x

(y) f(x,y) (y)h(y); jika Xdiskret

E(Y)(y)f(x,y)dxdy (y)h(y)dy; jika Xkontinu

18

Variansi perubah acak X yang akan dibahas disini sangat

berguna dalam memberikan gambaran mengenai keragaman

pengamatan di sekitar nilai rata-rata . Variansi dari perubah acak

X diberi notasi Var(X) atau akar positip dari variansi, disebut

simpangan baku X.

Definisi (4.3): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x)

dengan rata-rata , , maka variansi X adalah

2

2 2

2

x

(x ) f(x) ; jika Xdiskret

E[(X ) ]

(x ) f(x)dx ; jika X kontinu

2

4.2. Variansi dan Covariansi

19

Teorema (4.2):

Variansi perubah acak X adalah

Bukti: (kasus diskret)

karena dan

Maka diperoleh

x

x f(x) ( ) 1

x

f x

2 2 2E(X )

2 2 2 2

2 2

2

2

x x

x x x

(x ) f(x) (x x ) f(x)

x f(x) x f(x) f(x)

2 2 2 2 2 22

x

x f(x) E(X )

20

Teorema (4.3):

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka

variansi perubah acak g(X) adalah

a. untuk kasus diskret

b. untuk kasus kontinu

Bukti:

Langsung menggunakan teorema (4.1) dan definisi (4.3)

2 2 2g(X) g(X)g(X)

x

E{[g(X) ] } [g(X) ] f(x)

2 2 2g(X) g(X) g(X)E{[g(X) ] } [g(X) ] f(x)dx

21

Definisi (4.4):

Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas

gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah

a. untuk kasus X dan Y diskret

b. untuk kasus X dan Y kontinu

X YXY

X Yx y

E [(X )(Y )]

(x )(y ) f(x,y)

X YXY

X Y

E [(X )(Y )]

(x )(y )f(x,y)dxdy

22

Teorema (4.4):

Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata

dan

diberikan oleh rumus:

Bukti:

a. untuk kasus X dan Y diskrit

xy x yXY

E(XY)

x yXYx y

x yX Yx y

(x )(y ) f(x,y)

(xy y x ) f(x,y)

X Yx y x y x y

x yx y

xyf(x,y) yf(x,y) xf(x,y)

f(x,y)

23

Karena

Maka diperoleh:

1x yx y x y x y

xf(x,y); y f(x,y); dan f(x,y)

x y x y x y x yXYE(XY) E(XY)

b. Untuk kasus X dan Y kontinu

(seperti a) dg mengganti tanda jumlahan dengan integral)

x yXY

x yX Y

(x )(y )f(x,y)dxdy

(xy y x )f(x,y)dxdy

24

XXY

x yY

xyf(x,y)dxdy y f(x,y)dxdy

xf(x,y)dxdy f(x,y)dxdy

1

x ykarena : xf(x,y)dxdy; yf(x,y)dxdy;

dan f(x,y)dxdy

x y x y x yXY

x y

Maka diperoleh E(XY)

E(XY)

25

Contoh (4.8):

Berikut ini perubah acak X menyatakan banyaknya bagian yang cacat

dari suatu mesin jika 3 suku cadang disampling dari rantai produksi dan

diuji. Kemudian hitung variansinya pada tabel di bawah ini

  Tabel 4.4. Distribusi Probabilitas X

Jawab:

Jadi banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin mempunyai variansi

sebesar 0,4979

x 0 1 2 3

f(x) 0,51 0,38 0,10 0,01

0 0 51 1 0 38 2 0 10 3 0 01 0 61E(X) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ,

2 2 2 2 20 0 51 1 0 38 2 0 10 3 0 01 0 87E(X ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ,

22 20 87 0 61 0 4979Var(X) E(X ) E(X) , ( , ) ,

26

Contoh(4.9)

Permintaan mingguan Coca Cola (dalam liter), pada jaringan

pemasaran daerah merupakan perubah acak yang dapat dinyatakan

dalam bentuk berikut:

Carilah rata-rata dan variansinya

Jawab:

Jadi rata-ratanya, dan variansinya,

2 1 1 2

0

(x ) ; xf(x)

;x yanglainya

2 2 22 3 2 51 13 2 31

1 1

2 1 2 2E(X) (x) (x )dx (x x)dx ( x x ) 2 2 22 2 3 2 4 3 171 1

4 3 611 1

2 1 2 2E(X ) (x ) (x )dx (x x )dx ( x x )

2 217 5 16 3 18

( )

2 118

53

27

Contoh(4.10):

Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi

probabilitas:

Tabel 4.5. Distribusi Probabilitas X

Jawab:

Pertama-tama hitung rata-rata perubah acak 2X+3

  Menggunakan teorema (4.3) pada kasus ini diperoleh

y 0 1 2 3

f(y)12

14

18

3

2 30

1 1 1 14 8 2 8

2 3 2 3

3 5 7 9 6

Xx

E( X ) ( x )f(x)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

18

28

2 2 22 32 3

32 2

0

2 3 2 3 6

4 12 9 4 12 9

9 0 1 1 1 2 9 3

4

XX

x

E{[( X ) ] } E{[ X ] }

E[ X X ] ( x x )f(x)

( )f( ) ( )f( ) ( )f( ) ( )f( )

Contoh (4.11):

Jika X perubah acak dengan fungsi probabilitas seperti contoh

(4.5), maka cari variansi perubah acak g(X) = 4X + 3

Jawab:

Dari contoh (4.5) diperoleh;

Menggunakan teorema (4.3) pada kasus ini diperoleh:

(4 3) 8E X

29

2 2 24 34 3

2 22 23

12

4 3 213

125 4 316 40 251

3 5 4 3 1515

4 3 4 3 8

4 5 4 5

16 40 25

XX

x

E{[( X ) ] } E{[ X ] }

E[( X ) ] ( x ) ( )dx

( x x x )dx

( x x x )

Jadi variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 adalah:2 51

54 3X

30

Contoh (4.12):

Jika perubah acak X dan Y diberikan seperti pada contoh

(4.6) dengan distribusi probabilitas gabungan pada tabel (4.1) maka

carilah kovariansi dari X dan Y

Jawab:

Dari contoh (4.6) diperoleh

Sekarang pada kasus ini diperoleh:

314

( )E XY

2 2 2

0 0 0

5 15 314 28 28

34

0 1 2

xx y x

E(X) x f(x,y) x g(x)

( )( ) ( )( ) ( )( )

31

Sehingga diperoleh kovariansi dari X dan Y adalah:

3 3 114 4 2

956

x yXYE(XY)

( )( )

2 2 2

0 0 0

15 3 128 7 28

12

0 1 2

yx y y

E(Y) y f(x,y) yh(y)

( )( ) ( )( ) ( )( )

dan

32

Contoh (4.13):

Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan

diberikan sbb:

maka carilah kovariansi dari X dan Y

Jawab:

Dari contoh (3.10) diperoleh: dan

Dan dapat dinyatakan sebagai:

dan

34 0 1g(x) x ; x

24 1 0 1h(y) y( y ) ; y

34 0 1

0

x ; xg(x);x yanglain

24 1 0 1

0

y( y ) ; yh(y);x yanglain

8 0 1 0

0

xy; x , y xf(x,y)

; untuk x,y yanglainya

33

Fingsi padat gabungan diatas, diperoleh:

Dan

Jadi kovariansi dari X dan Y

14 4

50

4x E(X) x dx 1

2 2 815

0

4 1y E(Y) y ( y )dy

1 12 2 4

90

8

y

E(XY) x y dxdy

84 49 5 15

4225

x yXYE(XY) ( )( )

34

4.3. Rata-rata dan Variansi dari Konbinasi Linier

Dibawa ini diberikan beberapa sifat yang berguna untuk

menyederhanakan perhitungan rata-rata dan variansi

Teorema (4.5): Jika a dan b konstanta sembarang, maka

Bukti:

Menurut definisi nilai harapan (kasus kontinnyu)

Karena: dan

E(aX b) aE(X) b

E(aX b) (ax b)f(x)dx a x f(x)dx b f(x)dx

aE(X) b

1f(x)dx

E(X) x f(x)dx

35

E(b) b Akibatnya: 1. Jika diambil a=0, maka

2. Jika diambil b=0, maka E(aX) aE(X)

Contoh (4.14):

Kembali ke contoh (4.4) menggunakan diatas tentukan perubah

acak

Jawab:

Menurut teorema diatas dapat dinyatakan

Dari contoh (4.4) diperoleh

Jadi

2 1g(X) X

2 1 2 1E( X ) E(X)

9

41 1 1 1 1 1

12 12 4 4 6 6416

4 5 6 7 8 9

x

E(X) x f(x)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

416

2 1 2 1 2 1 12 67E( X ) E(X) .

36

Contoh (4.15):

Kembali ke contoh (4.5) menggunakan diatas tentukan perubah

acak

Jawab:

Menurut teorema diatas dapat dinyatakan sebagai:

Dari contoh (4.5) diperoleh

Jadi

Hasilnya sama seperti pada contoh (4.5)

4 3g(X) X

4 3 4 3E( X ) E(X)

2 32 2

53 3 4

1 1

x xE(X) x( )dx ( )dx

54

4 3 4 3 4 3 8E( X ) E(X) ( )

37

Teorema (4.5):

Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X

sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi

tersebut, yaitu

Bukti:

Menurut definisi (kasus kontinnyu)

Analog untuk kasus diskrit

E[g(X) h(X)] E[g(X)] E[h(X)]

2

12 2

1 1

E[g(X) h(X)] [g(x) h(x)]dx

[g(x)f(x)]dx [h(x)f(x)]dx

E[g(X)] E[h(X)]

38

Contoh (4.16):

Diketahui X perubah acak dengan distribusi probabilitas sbb:

Tabel 4.6. Distribusi Probabilitas X

Carilah nilai harapan

Jawab:

Menurut teorema diatas pada fungsi diperoleh

Dengan

Jadi

x 0 1 2 3

f(x) 013

12

16

21Y (X )

21Y (X )

2 2 21 2 1 2 1E[(X ) ] E(X X ) E(X ) E(X)

21 2 2 1 1 1E[(X ) ] ( )( )

1 1 13 2 6

0 1 2 0 3 1E(X) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 21 1 13 2 6

0 1 2 0 3 2E(X ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

39

Contoh (4.17):

Jika diketahui X perubah acak dengan fungsi padat sbb:

Carilah nilai harapan

Jawab:

Menurut teorema diatas:

Akibatnya:

Jadi

2 1 1 2

0

(x ); xf(x)

; untuk x lainya

2 2g(X) X X

2 22 2E(X X ) E(X ) E(X) E( ) 2 2

2 53

1 1

2 1 2E(X) x(x )dx (x x)dx 2 2

2 2 3 2 176

1 1

2 1 2E(X ) x (x )dx (x x )dx 2 17 5 5

6 3 22 2E(X X )

40

Teorema (4.7):

Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X dan

Y sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi

tersebut, yaitu

Bukti:

Menurut definisi (kasus kontinnyu)

Analog untuk kasus diskrit

E[g(X,Y) h(X,Y)] E[g(X,Y)] E[h(X,Y)]

E[g(X,Y) h(X,Y)] [g(x,y) h(x,y)]dx dy

[g(x,y)f(x,y)]dxdy [h(x,y)f(x,y)]dxdy

E[g(X,Y)] E[h(X,Y)]

41

Akibatnya:

1. Jika maka diperoleh:

2. Jika maka diperoleh

E[g(X) h(Y)] E[g(X)] E[h(Y)]

E(X Y)] E(X) E(Y)

g(X,Y) g(X) dan h(X,Y) h(Y)

g(X,Y) X dan h(X,Y) Y

Teorema (4.8):

Jika X dan Y merupakan dua perubah acak bebas, maka

Bukti:

Menurut definisi diatas (kasus kontinnyu)

E(XY)] E(X)E(Y)

E(X,Y) x,y f(x,y)]dx dy

42

Karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis

Dimana g(x) dan h(x) merupakan distribusi pias, sehingga

f(x,y) g(x)h(y)

E(XY) xy g(x)h(y)dx dy

xg(x)dx yh(y)dy E(X)E(Y)

Contoh (4.17):

Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan distribusi

probabilitas gabungan:

Periksa apakah dipenuhi?

21 34

0 2 0 1

0

x( y ) ; x , yf(x,y)

; untuk x lainya

E(XY) E(X)E(Y)

43

Jawab

2 2 2

2

1 2 1 21 3 1 3

4 40 0 0 0

21 12 1 3

300 0

56

3 21 312

x( y ) x y( y )

xy( y )

x

E(XY) xy dx dy dx dy

x y( y )dy dy

2 2 2

2

1 2 1 21 3 1 3

4 40 0 0 0

21 12 1 3

300 0

43

3 21 312

x( y ) x ( y )

x( y )

x

E(X) x dx dy dx dy

x ( y )dy dy

44

2 2

2

1 2 1 21 3 1 3

4 40 0 0 0

21 11 3

200 0

58

2 21 38

x( y ) xy( y )

xy( y )

x

E(Y) y dx dy dx dy

x y( y )dy dy

543 8

E(X)E(Y) ( )( ) E(XY) Jadi

Teorema (4.9):

Jika a dan b konstanta sembarang, maka

Bukti:

Menurut definisi,

dan

2 2 2 2 2xaX b a a

2 2aX baX b E{[(aX b) ] }

aX b E(aX b) aE(X) E(b) a b

45

Sehingga:

Akibatnya: 1. Jika a=1, maka

2. Jika b=0, maka2 2 2 2 2

xaX a a

2 2 2xX b

2 2

2

2 2

2 2

aX b E{[aX b a b] }

E{[aX a ] }

a E(X )

a

Teorema (4.10):

Jika X dan Y perubah acak dengan distibusi probabilitas f(x,y)

maka

Bukti:

Menurut definisi,

2 2 2 2 2 2x y xyaX bY a b ab

2 2aX bYaX bY E[(aX bY) ]

46

aX bY X YE(aX bY) aE(X) bE(Y) a b dan

Maka

Akibatnya:

1. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka

2. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka

3. Jika perubah acak bebas, maka berlaku

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

X YaX bY

X Y

X Y X Y

XYX Y

E[(aX bY) (a b )]

E[(aX a ) (bY b )]

a E(X ) b E(Y ) abE(X )E(Y )

a b ab

2 2 2 2 2x yaX bY a b

2 2 2 2 2x yaX bY a b

1 2 nX ,X ,...,X

2 2 2 2 2 2 21 21 1 2 2 1 2 na X a X .... a X x x xn n n

a a ..... a

47

Contoh (4.18):

Jika X dan Y perubah acak dengan variansi ;

dan kovariansi . Carilah variansi perubah acak :

Jawab:

2 2x 2 4Y

2XY

3 4 8Z X Y

2 2 2 23 4 8 9 16 24

9 2 16 4 24 2 130

Z X Y X Y XYVar(Z)

( )( ) ( )( ) ( )( )

Contoh (4.19):

Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan variansi ;

.. Carilah variansi perubah acak

Jawab:

2 1x 2 2Y 3 2 5Z X Y

2 2 2 2 23 2 5 3 2 9 4

9 1 4 2 17

Z X Y X Y X YVar(Z)

( )( ) ( )( )

48

4.4. Teorema Chebyshev

Telah dikemukakan diatas bahwa variansi perubah acak akan

memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar

rata-rata. Bila variansi dan simpangan baku dari perubah acak kecil

maka dapat diharapkan bahwa pengamatan akan mengelompok di

sekitar nilai rata-rata. Sehingga probabilitas perubah acak dalam selang

tertentu di sekitar rata-rata akan lebih besar dari perubah acak serupa,

yang lebih besar simpangan bakunya.

Tetapi jika nilai besar menyatakan keragaman yang lebih

besar, sehingga dapat diharapkan pengamatan akan lebih menyebar.

Perhatikan gambar 4.1dibawah ini.

49

-4 -2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

x

dn

orm

(x, 0

, 0.2

5)

Gambar 4.1. Keragaman pengamatan di sekitar rata-rata

Distribusi Kontinyu

20 0 25; .

20 1;

50

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

00

.25

x

dn

orm

(x, -

1, 1

.5)

21 1 5; .

22 1 5; .

Gambar 4.2. Keragaman pengamatan dengan 2 2

1 2 1 2;

51

Teorema 4.11 (teorema Chebyshev)

12

1k

Probabilitas setiap perubah acak X mendapat nilai dalam k-

simpangan baku dari nilai rata-rata adalah sekurang-kurangnya

yaitu 12

1k

P[ k X k ]

Contoh (4.20):

suatu perubah acak X mempunyai rata-rata dan

sedangkan distribusi probabilitasnya tidak diketahui. Hitunglah

a. P(-4 < X < 20)

b.

Jawab:

a.

b.

8 2 9

8 6P( X )

1516

4 20 8 4 3 8 4 3P[ X ) P( ( )( ) X ( )( )]

14

8 6 1 8 6 1 6 8 6

1 8 2 3 8 2 3

P( X ) P( X ) P( X )

P[ ( )( ) X ( )( )]