ftsi.files.wordpress.com · web viewsebagai contoh: selanjutnya, fungsi f dengan rumus: disebut...
Post on 07-Mar-2019
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
y = sin1 x = arcsin x x = sin y y [/2, /2]
Demikian pula untuk invers fungsi trigonometri yang lain.
y = cos1x = arccos x x = cos y y [0, ]
y = tan –1x = arctan x x = tan y y (/2, /2)
y = cot 1x = arccot x x = cot y y (0, )
y = sec 1x = arcsec x x = sec y y (/2, /2)
y = csc1 x = arccsc x x = csc y y (0, )
Selanjutnya, grafik fungsi siklometri dapat dilihat pada Gambar 2.2.12 di bawah ini.
43
Gambar 2.2.12 (a) Gambar 2.2.12 (b)
Gambar 2.2.12 (a)
(c) Fungsi Eksponensial
Untuk , fungsi f dengan rumus:
f(x) = ax
disebut fungsi eksponensial. Grafik fungsi eksponensial diperlihatkan pada gambar berikut:
(d). Fungsi Logaritma
Untuk , . Sebagai contoh:
Selanjutnya, fungsi f dengan rumus:
disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini . Grafik fungsi logaritma diperlihatkan pada
gambar dibawah.
44
1, aay x
10, aay x
1
Gambar 2.2.13
2.2.2 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kutub
Seperti telah diterangkan di muka, dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik dapat
diekspresikan dengan tak hingga banyak cara. Oleh karena itu, untuk menggambarkan grafik fungsi dalam
sistem koordinat kutub, diperlukan kehati-hatian yang lebih dibanding ketika menggambar dalam sistem
koordinat Kartesius.
Contoh 2.2.1 Gambarlah grafik r = 2.
Penyelesaian: Titik-titik yang memenuhi persamaan r=2 adalah titik-titik yang berjarak 2 satuan
dari kutub (O). Jadi, kumpulan titik-titik ini akan membentuk lingkaran berjari-jari 2. Dengan cara lain,
karena maka . Grafik diberikan pada Gambar 2.2.15.
45
1,log axy a
10,log axy a
1
Gambar 2.2.14
Grafik fungsi yang disajikan dalam sistem koordinat kutub adalah himpunan semua titik P sehingga
paling sedikit satu representasi titik P, yaitu , memenuhi persamaan tersebut.
(2, /2)
Contoh 2.2.2 Gambarl grafik r = 2 sin dan r = 2 + 2 sin .
Penyelesaian: Tabel di bawah memberikan beberapa titik yang memenuhi kedua persamaan fungsi di atas
untuk Tabel 2.2.1
r = 2 sin r = 2 + 2 sin 0 0 2
1 32 + 2 +
2 42 + 2 +
1 30 21 1 2 2 2 0
2 2
Berdasarkan hasil pada Tabel 2.2.1, grafik dapat dilihat pada Gambar 2.2.16.
46
(2, /4)
(2, 0)(2, ) (2, 2)
Gambar 2.2.15
Contoh 2.2.3 Gambarlkan daerah yang berada di dalam kurva r = tetapi di luar lingkaran r
= .
Penyelesaian: Untuk beberapa nilai , maka titik-titik yang dilalui oleh kurva di atas dapat dilihat pada
tabel berikut:Tabel 2.2.2
r = r = 0 4 0
2+2 12+
32 20 02 2
2 4 0
Selanjutnya, gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut:
47
Gambar 2.2.16 (a) Gambar 2.2.16 (a)
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 12, diberikan persamaan dalam x dan y. Tentukan persamaan yang mana y merupakan
fungsi x.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
Untuk soal 13 – 21, tentukan domain dan range fungsi f.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
48
Gambar 2.2.17
22. Tentukan jika .
23. Tentukan jika
24. Diberikan . Jika , tunjukkan:
25. Untuk sebarang bilangan real , tentukan jika .
Untuk soal 26 – 31, diberikan fungsi f dan g. Tentukan dan beserta dengan masing-
masing domainnya.
26. 27.
28. 29.
30. 31.
Untuk soal 32 – 41, tentukan dan serta masing-masing domainnya.
32. 33.
34. 35.
36. 37.
38. 39.
40.
41.
49
Untuk 42 – 46, tentukan inversnya beserta domainnya.
42. 43. 44.
45. 46.
2.3 Barisan dan Deret
Perhatikan himpunan tak hingga berikut ini.
Apabila fungsi f didefinisikan sebagai:
maka himpunan A dapat pula dinyatakan sebagai:
Dalam hal ini, fungsi f disebut barisan. Secara umum, dapat didefinisikan pengertian barisan sebagai
berikut.
Pada bagian ini akan dibicarakan fungsi dengan domain sistem bilangan asli. yang
Jadi, barisan bilangan real adalah fungsi . Untuk seterusnya, barisan bilangan real cukup disebut
sebagai barisan. Suku ke-n suatu barisan, yaitu , biasa dinyatakan dengan an, n N. Selanjutnya,
barisan dengan suku-suku an, n N, ditulis dengan notasi .
Contoh 2.3.2 Berikut adalah contoh-contoh barisan:
50
Definisi 2.3.1 Barisan bilangan real adalah fungsi bernilai real dengan domain sistem
bilangan asli. Nilai fungsi di n disebut suku ke-n.
a. b. c.
d. e. f.
Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan:
S1 = a1 S2 = a1 + a2 … Sn = a1 + a2 + … + an
Sn, nN, disebut jumlahan parsial.
Contoh 2.3.4 Bilangan dapat ditulis sebagai:
Ruas terakhir pada persamaan di atas adalah suatu deret.
2.4 Irisan Kerucut
Diketahui luasan berbentuk kerucut tegak dengan setengah sudut puncak dan titik puncak P.
Apabila kerucut tersebut diiris dengan bidang W tidak melalui P dan membentuk sudut terhadap sumbu
kerucut maka irisannya akan berbentuk suatu kurva, yang selanjutnya disebut irisan kerucut. Bentuk irisan
kerucut ini tergantung pada besar sudut . Apabila:
(a). maka irisan kerucut berupa eilips. Perhatikan gambar di bawah.
51
WP
Definisi 2.3.3 Diberikan barisan . Jumlahan tak hingga:
disebut deret tak hingga atau deret untuk singkatnya.
(b.). maka irisan kerucut yang terjadi berbentuk parabola (lihat Gambar 2.4.2).
(c.). maka terjadi kelas hiperbola
Irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbandingan jaraknya
ke suatu titik tertentu dan kesuatu garis tertentu tetap. Selanjutnya, titik tertentu tersebut dinamakan titik
52
WP
WP
Gambar 2.4.1
Gambar 2.4.2
Gambar 2.4.3
fokus yang dinyatakan dengan F, garis tertentu tersebut dinamakan garis arah yang dinyatakan dengan d,
dan perbandingan yang tetap tersebut dinamakan eksentrisitas yang ditulis . Berdasarkan eksentrisitasnya
irisan kerucut dapat dibedakan menjadi:
a. Kelas ellips jika
b. Kelas parabola jika
c. Kelas hiperbola jika
Diambil fokus F berimpit dengan titik asal O dan garis arah d mempunyai persamaan x + p = 0
dengan p > 0.
Jika P(x,y) sebarang titik pada irisan kerucut maka perbandingan jarak P ke F dan P ke d sama
dengan , yaitu:
atau
(i). Untuk diperoleh parabola dengan persamaan:
53
O F
x+ p=0
Gambar 2.4.4
y2 = 2px + p2 = 2p (x +
Jika diambil substitusi maka persamaan parabola menjadi y2 = 2px*. Selanjutnya, y2 = 2px
merupakan persamaan parabola dengan fokus F( , garis arah d: x + , titik puncak O (0,0), dan
sumbu simetris garis y = 0 atau sumbu X.
(ii).Untuk diperoleh elips atau hiperbola dengan persamaan:
=
Selanjutnya, dengan menggambil x** = x diperoleh:
54
O F
x+ p=0
Gambar 2.4.5
P(x,y)●
(x**)2 +
(a). Untuk diambil: dan , maka diperoleh:
Karena , dan , maka: b2 + c2 = a2 . Secara umum, persamaan ellips
dengan pusat O(0,0), sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, fokus F( , dan garis arah d dengan
persamaan x = diberikan oleh:
Jika a = b maka ellips mempunyai persamaan:
x2 + y2 = a2
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari a. Jadi, lingkaran adalah ellips
dengan titik fokus dan titik pusat O.
55
(b). Untuk , diambil dan = b2 maka diperoleh c2 = a2 + b2 dan
dan:
Jadi, persamaan hyperbola dengan pusat O(0,0) , sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, titik fokus
F( , dan garis arah d : x = diberikan oleh:
56
aa
b
b
● ●
●P(x,y)
Gambar 2.4.6
57
●(0,b)
●(0,b)
● (a,0)
●(c,0)
●(a,0)
● (c,0)
xaby x
aby
Gambar 2.4.7
top related