distribusi-multinomial
Post on 09-Dec-2014
107 Views
Preview:
TRANSCRIPT
DISTRIBUSI MULTINOMIALPercobaan multinomial terjadi bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang
mungkin.Jadi pembagian hasil pabrik jadi ringan, berat/masih dapat diterima, demikaian juga
percobaan kecelakaan disuatu simpang jalan menurut hari dalam seminggu merupakan percobaan
multinomial. Penarikan suatu kartu dari sekotak kartu brige dengan pengambilan juga merupakan
percobaan multinomial bila yang menjadi perhatian keempat warna kartu.
Umumnya, bila suatu usaha dapat menghasilkan “k” hasil mungkin E1, E2, E3,....EK dengan
peluang p1, p2,…, pk maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa E1, terjadi
sebanyak x1 kali, E2 x2 kali,...,Ek xk kali dalam n usaha bebas dengan :
x1 + x2 +.... + xk = n.
Distribusi peluang gabungan seperti ini akan dinyatakan dengan f(x1, x2,..., xk; p1, p2,
p3,...pk, n). Jelas bahwa p1, p2,...+ pk = 1, karena hasil tiap usaha haeuslah salah dari k hasil yang
mungkin.
Untuk menurunkan rumus umum, cara pada khasus binomial akan ditempuh. Karena tiap
usaha saling bebas, maka tiap urutan tertentu menghasilkan x1 hasil untuk E1, x2 untuk E2,...,xk
untuk Ek akan terjadi dengan peluang . Jumlah urutan yang memberikan hasil sama
untuk n usaha sama dengan banyaknya cara memisahkan n benda menjadi k kelompok dengan
sebanyak x1 pada kelompok pertama, x2 pada kelompok kedua,..., xk pada kelompok ke-k, ini dapat
dikerjakan dalam
Karena tiap bagian saling terpisah dan terjadi dengan peluang yang sama, maka distribusi
multinomial dapat diperoleh dengan mengalikan peluang untuk taip urutan tertentu dengan
banyaknya cara mengelompokkan n benda dalam k kelompok.
- 1 -
Distribusi multinomial Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1,
E2,..., Ek dengan peluang p1, p2,..., pk, maka distribusi peluang peubah acak x1, x2,..., xk yang
menyatakan banyak terjadinya E1,E2,..., Ek dalam n usaha bebas ialah :
f (x1, x2,…,xk; p1, p2,…,pk, n )=
dengan
dan sedang 0 < <1
= 0,1,2,3,.....
distribusi ini diberi nama distribusi multinomial karena suku dalam penguraian multinomial
n berpadanan sama dengan kemungkinan nilai f(x1,x2...,xk; p1,p2,...pk , n)
contoh soal:
1. Bila dua dadu dilantunkan 6 kali, berapakah peluang mendapatkan jumlah 7 atau
11 muncul duaan kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3
kali?
Jawab:
Misalkan kejadian berikut menyatakan
E1 : jumlah 7 atau 11 muncul;
{(3,4),(4,3),(5,2),(2,5),(6,1),(1,6),(6,5)(5,6)}
E2 : pasangan bilangan yang sama mncul;
{(1,1),(1,2),(3,3),(4,4,),(5,5),(6,6)}
E3 : baik pasangan yang sama maupun jumlah 7 atau 11 tidak muncul.
Sehingga peluang masing – masing kejadian diatas adalah
. Nilai ini tidak berubah selama ke-6 usaha dilakukan. Dengan
menggunakan distribusi multinomial dengan, = 2, = 1, = 3, maka diperoleh peluang
yang dinyatakan:
- 2 -
= 0,1127
2. Proses pembuatan pensil dalam sebuah pabrik melibatkan banyak buruh dan proses
tersebut terjadi berulang-ulang. Pada suatu pemeriksaan terakhir yang dilakukan telah
memperlihatkan bahwa 85% adalah “baik”, 10% ternyata “tidak baik tetapi masih bisa
diperbaiki” dan 5% produksinya “rusak dan harus dibuang”. jika sebuah sample acak
dengan 20 unit dipilih, berapa peluang jumlah unit “baik” sebanyak 18 unit, “tidak baik
tetapi bisa diperbaiki” sebanyak 2 dan unit “rusak” tidak ada?
Jawab:
Kita misalkan,
E1 : banyak unit “baik”
E2 : banyak unit “tidak baik bisa diperbaiki”
E3 : banyak unit “rusak dan harus dibuang”
= 0,85 ; = 0,1; = 0,05
x1 =18; x2 = 2; x3 = 0 ( syarat x1+x2+x3 = n = 20 )
Maka;
= 190(0,85)18(0,01)
= 0,102
3. Sebuah kartu diambil dari sekotak kartu bridge berisi 52 yang dikocok. Hasilnya dicatat
dikembalikan. Bila percobaan diulang 3 kali. Berapa peluang terambil 1 As, 1 Queen, 1 King?
Jawab :
=
,n = 3
- 3 -
= = = 0,00273
Latihan Soal :
1. Dalam sebuah organisasi sedang melakukan kegiatan bukti social mengunjungi daerah –
daerah yang terkena banjir, dalam kunjungannya 6,7 % belum mendapatkan bantuan. Jika
daerah yang dikunjungi adalah 15 daerah, berapa peluang daerah baik sebanyak 11, daerah
masih tersendat sebanyak 3 dan 1 belum mendapatkan bantuan?
2. Jika sebuah sekotak kartu bridge dikocok acak, berapa peluang mendapat kartu As 2 kali,
kartu merah 2 kali dan Quen 1 kali?
3. Bila sebuah dadu dilempar 6 kali, berapa peluang mendapatkan mata dadu bilangan genap
muncul 1 kali, mata dadu bilangan lebih dari dua muncul 3 kali dan mata dadu bilangan
ganjil muncul 2 kali?
4. Bila dua dadu dilempar 8 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah 4 atau 12 muncul 3
kali, berjumlah bilangan prima muncul 2 kali, dan bilangan berjumlah kurang dari 8
muncul 3 kali?
5. Dalam sebuah kelas mendapat 80% siswa masuk sekolah, 15% siswa sakit dan 5% siswa
izin tidak masuk sekolah.Jika sample dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa, berapa
peluang siswa masuk sebanyak 20, sakit sebanyak 8 dan tidak masuk sebanyak 2?
Jawaban :
1. Diketahui ;
= 0,733 ; = 0,2 ; = 0,067
x1 = 11 ; x2 = 3 ; x3 = 1, n = 15
= 455 ( 0,733)11( 0,008 ) (0,067)
= 0,24388(0,733)11
- 4 -
= 0,008004236
2. Diketahui ;
=
x1 = 2, x2 = 2, x3 = 1, n = 5
= 30
= = 0,0034
3. Diketahui ;
= 2 = ; ganjil =
x1 = 1 ; x2 = 3 ; x3 = 2, n = 6
= 60
= 2,22
4. Diketahui ;
- 5 -
= berjumlah 4 atau 12 = , (1,3), (3,1), (6,
= berjumlah bilangan prima =
,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,6),(6,1),(6,
= berjumlah bilangan kurang dari 8 =
1,1),(1,2,),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(2,4),(4,1), (5,1),(4,2),
(3,4),(4,3),(2,5),(5,2),(6,1
, n = 8
=
= 560
= 0,02306014
5. Diketahui;
, n = 30
= 0,000016813894
Tambahan Contoh Soal –Soal
- 6 -
4. Sebuah kotak berisi 12 bola, diantaranya 5 bola berwarna merah, 4 bola berwarna putih,
dan 3 bola warna biru. Sebuah bola diambil secara acak dari dalam kotak, lainnya dicatat
dan kemudian bola yang terambil ini dikembalikan lagi kedalam kotak. Carilah
probabilitas bahwa dari 6 bola yang diambil dengan acak seperti ini, 3 diantarannya adalah
bola berwarna merah, 2 warna putih, dan 1 warna biru ?
Jawab:
Misalkan: E1 = bola merah pada setiap kali pengambilan
E2 = bola putih pada setiap kali pengambilan
E3 = bola biru pada setiap kali pengambilan
Dimana x1= 3, x2= 2, x3= 1 n = 6 ( syarat : x1 + x2 + x3 = n = 6 )
=
= 0,120563271
5. Probabilitas siswa untuk memperoleh nilai C adalah 0,5, nilai B adalah 0,25 dan nilai A
adalah 0,25. Dari 8 siswa, Hitunglah probabilitas untuk 5 siswa ini memperoleh nilai C, 2
siswa nilai B, dan 1 siswa nilai A?
Jawab:
Misalkan; E1 = memperoleh nilai C
E2 = memperoleh nilai B
E3 = memperoleh nilai A
Dimana; x1= 5, x2= 2, x3= 1
- 7 -
= = 0,8203125
6. Pada suatu ujian. Nilai ujian siswa yang mendapatkan nilai 4 ada 6%, yang mendapatkan
nilai 5 ada 10%, yang mendapatkan nilai 6 ada 20 %, yang mendapatkan nilai 7 ada 30%,
yang mendapatkan nilai 8 ada 22%, dan mendapatkan nilai 9 ada 12%. Dari 30 siswa
berapakah probabilitas untuk 2 siswa mendapatkan nilai 4, 2 siswa nilai 5, 6 siswa nilai 6,
10 siswa nilai 7, 5 siswa nilai 8 dan 5 siswa nilai 9?
Jawab:
Misalkan: E1 = Siswa mendapatkan nilai 4
E2 = Siswa mendapatkan nilai 5
E3 = Siswa mendapatkan nilai 6
E4 = Siswa mendapatkan nilai 7
E5 = Siswa mendapatkan nilai 8
E6 = Siswa mendapatkan nilai 9
Dimana:
Jadi:
= 0,001537293 0,00154
Pertanyaan Dan Jawaban Dari Tiap – Tiap Kelompok
1 Nama: Gunawan
- 8 -
Kelompok: 7
Menurut criteria tertentu, misalkan dimasyarakat terdapat 30% keluarga golongan rendah, 50% golongan menengah , 20% golongan tinggi. Sebuah sampel acak terdiri dari 20 keluarga telah diambil. Hitunglah probabilitas untuk 6 golongan rendah, 10 golongan menengah dan 4 golongan tinggi?
Jawab:
Misalkan: E1 = keluarga gol. rendah
E2 = keluarga gol. menengah
E3 = keluarga gol. tinggi
Dimana : x1= 6, x2= 10, x3= 4
Jadi
=
= 38798760 ( 0,000000001 )
= 0,03879876 0,04
2.) Nama: Rini Apriyanti – Nur’aini
Kelompok:
Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka berapa peluang didapat mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5, mata 6 tepat 2 kali adalah?
Jawab:
Misalkan: E1 = muncul mata 1
E2 = muncul mata 2
E3 = muncul mata 3
- 9 -
E4 = muncul mata 4
E5 = muncul mata 5
E6 = muncul mata 6
Dimana:
=
= 831600 = 0,000382031
3. Nama: Ririn dan Yunita
Kelompok: 13
Sebuah kotak, berisi 5 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 7 oleh mesin B, 4mesin C dan3 oleh mesin D. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai ba -Rang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnyadilihat, lalu disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang diantara 9 barang yg dia-mbil dgn jln demikian didpt 3 dari mesin A, 1 dari mesin B, 2 dari mesin C, dan 3 dari me-sin D?Jawab:
Misalkan: E1 = barang yang dihasilkan oleh mesin A
E2 = barang yang dihasilkan oleh mesin B
E3 = barang yang dihasilkan oleh mesin C
E barang yang dihasilkan oleh mesin D
- 10 -
Dimana:
Jadi,
=
= 5040
= 0,005973327
4. Nama: Ade Irma Oktavia
Kelompok: 6
Pada suatu ujian CPNS. Nilai ujian CPNS yang mendapatkan nilai 5 ada 7%, yang mendapat nilai 6 ada 20%, nilai 7 ada 33%, nilai 8 ada 22%, dan nilai 9 ada 18%. Dari 25 CPNS yang lulus seleksi, carilah probabilitas untuk 1 CPNS yg mendpt nilia 5, 2 CPNS yg mendpt nilai 6, 4 CPNS yg mendpt nilai 7, 8 CPNS yg mendpt nilai 8, dan 10 CPNS yg mendpt nilai 9?
Jawab:
Misalkan: E1= mendapatkan nilai 5
E2= mendapatkan nilai 6
E3= mendapatkan nilai 7
E4= mendapatkan nilai 8
E5= mendapatkan nilai 9
Dimana:
Jadi,
=
= 0,000014285
- 11 -
5. Nama: Wahyuni Soleha
Kelompok: 14
Delegasi suatu konferensi akan tiba dgn pesawat terbang, bus, mobil sendiri, atau KA, masing – masing dgn peluang 0,1, 0,4, 0,2, 0,3. Berapakah peluangnya bahwa diantara 8 delegasi yg dipilih secara acak, 2 diantarannya dgn pesawat terbang, 3 tiba dgn bus, 2 tiba dgn mobil sendiri, dan 1 tiba dgn KA?
Jawab:
Misalkan: E1= Tiba dgn pesawat terbang
E2= Tiba dgn bus
E Tiba dgn mobil sendiri
E4= Tiba dgn KA
Dimana:
Jadi,
=
= 1680 ( 0,00000768 )
= 0,0129024
6. Nama: Yenti Febrianti
Kelompok: 10
Dua buah mata uang dilempar 6kali, berapa peluang munculnya dua muka angka sebanyak 4 kali, satu muka angka dan satu muka gambar sebanyak 1 kali dan muncul dua muka gambar sebanyak 1 kali?
Jawab:
Misalkan: E1= muncul dua muka angka
E2= muncul satu muka angka dan satu mula gambar
- 12 -
E3= muncul dua muka gambar
Dimana:
Jadi,
=
= 30
= 0,014648437
7. Nama: Sulistiani dan Sherly Oktarina
Kelompok: 8
Delegasi suatu konfersi akan tiba dgn pesawat terbang, bus, mobil pribadi, atau Kereta api. Masing- masing dgn peluang 0,4; 0,2; 0,3; 0,1. Berapakah peluangnya bahwa diantara 9 delegasi yg dipilih secara acak, 3 tiba dgn pesawat terbang, 3 tiba dgn bus, 1 tiba dgn mobil pribadi, dan 2 tiba dgn kereta api?( ada didiktat hal: 77)
Jawab:
Misalkan: E1= Konferensi dgn pesawat terbang
E2= Konferensi dgn bus
E3= Konferensi dgn mobil pribadi
E4= Konferensi dgn kereta api
Dimana:
Jadi,
=
- 13 -
= 5040 ( 0,000001536 )
= 0,00774144
8. Nama: Leni Yuspiana
Kelompok: 7
Didalam sebuah mobil pick up terdapat 40 helm berwarna. 30 helm berwarna hitam dan sisanya silver. Jika dari mobil tsb diambil sekaligus15 helm. Tentukan probabilitas yang terambil tsb adalah 10 helm warna silver?
Jawab:
Misalkan: E1= helm berwarna hitam
E2= helm berwarna silver
Dimana: x1?, x2= 10 n = 15
+ = 15+ 10 = 15
= 5
Jadi,
=
= 3003
= 0,000679613
9. Nama: Tia Utari
Kelompok: 5
Didalam sebuah lemari es terdapat 5 es krim rasa vanilla, 4 es krim rasa cokelat, dan 6 es krim rasa strawberry. Lalu diambil 5 es krim secara random. Carilah probabilitas bahwa yang terambil adalah 2es krim rasa vanilla, 1 rasa cokelat, dan 2 rasa strawberry?
- 14 -
Jawab:
Misalkan: E1= Es krim rasa vanilla
E2= Es krim rasa cokelat
E3= Es krim rasa stawberry
Dimana:
Jadi,
=
= 30
= 0,142
10. Nama: Else Qur’niati
Kelompok: 3
Menurut suatu teori genetika, persilangan marmut tertentu. Akan menghasilkan keturunan merah, hitam, putih dengan rasio 8; 4; 4, carilah probabilitas bahwa diantara 8 keturunan, 5 adalah merah, 2 hitam, dan 1 putih?
Jawab: Misalkan: E1: Marmut warna merah
E2: Marmut warna hitam
E3: Marmut warna putih
Dimana,
Jadi,
- 15 -
=
=
=
=
11. Nama: Carolin
Kelompok: 9
Suatu mesin las berjenis A, B, dan C sedang dicobakan sebanyak 100% untuk diproduksi. Mesin A dianggap baik dan berhasil dijual sebanyak 65%. Mesin B dianggap baik namun tidak berhasil dijual sebanyak 15%. Sedangkan mesin C dianggap gagal. Dari ketiga mesin tersebut 5 diantaranya baik dan berhasil dijual, 3 diantaranya gagal dan 2 diantaranya baik namun tidak berhasil dijual. a. Berapakah peluang mesin yang gagal ( mesin C )?b. Hitunglah probabilitas dari ketiga mesin tersebut?
Jawab: Misalkan: E1= mesin( A ) yang baik dan berhasil dijual
E2= mesin (B) yang baik namun tidak berhasil dijual
E3=mesin ( C ) yang gagal ?
Dimana,
a).
Jadi, mesin yang gagal ( C ) ada sebanyak 20% = 0,2
b).
- 16 -
=
= 28 (0,00001392 )
= 0,00038976
- 17 -
top related