diktat mata kuliah kalkulus ii · materi kalkulus ii: 1) bilangan kompleks 2) integral tak wajar 3)...

1

DIKTAT MATA KULIAH

KALKULUS II

Disusun oleh:

Ayu Wulandari, M.Pd

STKIP KUSUMANEGARA

JAKARTA

2017

2

SILABUS MATA KULIAH KALKULUS II

PROGRAM PERKULIAHAN KARYAWAN (P2K)

INSTITUT TEKNOLOGI BUDI UTOMO (ITBU)

Dosen: Ayu Wulandari, M.Pd

Materi Kalkulus II:

1) Bilangan Kompleks

2) Integral Tak Wajar

3) Barisan dan Deret Tak Hingga

4) Pengantar Diferensial Parsial

5) Persamaan Diferensial Dasar

6) Pengantar Integral Lipat

Literatur:

Stewart, James. 2003. Kalkulus Jilid 1. Ed. Ke-4. Jakarta: Penerbit

Erlangga.

Stewart, James. 2003. Kalkulus Jilid 2. Ed. Ke-4. Jakarta: Penerbit

Erlangga.

Purcell, E. J. dan D. Verberg. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitik

Jilid I. Ed. ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan

Rawuh. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Purcell, E. J. dan D. Verberg. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitik

Jilid 2. Ed. ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan

Rawuh. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Buku Lain yang relevan dengan Mata Kuliah Kalkulus II.

Penilaian:

UTS : 30%

UAS : 40%

TUGAS : 20%

ABSENSI : 10%

Catatan:

Nilai keaktifan di kelas akan ditambahkan ke nilai UTS dan UAS.

Tugas individu dikumpul sebanyak dua kali, paling lambat saat UTS dan

UAS dalam kertas polio bergaris.

Apabila terbukti tugas individu dikerjakan oleh orang lain, maka tugas

mendapat nilai 0.

3

Jika nilai UTS < 50, maka mahasiswa harus mengikuti remedial yang akan

diatur oleh dosen.

Untuk mahasiswa yang tidak dapat mengikuti UTS maupun UAS,

secepatnya menghubungi Ketua Jurusan/Program Studi untuk mengikuti

ujian susulan.

4

BAB 1

BILANGAN KOMPLEKS

A. Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk:

z a bi

Keterangan:

a : bagian real

b : bagian imajiner

1i

2 1i

2 22 2a bi a bi a bi a a bi bi

2 2

2 2

2

2

a abi b

a b abi

22a bi a bi a bi

2 2a b

B. Operasi pada Bilangan Kompleks

a bi c di a c b d i

a bi c di a c b d i

a bi c di a c di bi c di

2ac adi bci bdi

ac adi bci bd

ac bd ad bc i

a bi a bi c di

c di c di c di

(kompleks sekawannya)

2 2 2

2

2 2

a c di bi c di

c d i

ac adi bci bdi

c d

2 2

ac adi bci bd

c d

2 2

ac bd bc ad i

c d

5

2 2 2 2

ac bd bc adi

c d c d

Sifat sekawan:

nn

z w z w

zw z w

z z

Modulus/Nilai Mutlak dari Bilangan Kompleks z a bi :

2 2z a b

C. Bentuk Polar

Bilangan kompleks z a bi dapat dinyatakan sebagai koordinat polar

,r dengan 0r , yaitu:

cos sinz a bi r r i

cos sinr i

Keterangan:

2 2r z a b

tanb

a , dengan disebut argumen dari z.

Review:

1) Trigonometri

Aturan yang digunakan:

siny

z

cosx

z

sin

tancos

y

x

x

z y

6

1

cottan

x

y

1

seccos

z

x

1

cscsin

z

y

2) Jenis Kwadran

Keterangan:

A = all (semua jenis trigonometri bernilai positif)

S = sinus (termasuk cosecan) yang bernilai positif

T = tangen (termasuk cotangen) yang bernilai positif

C = cosinus (termasuk secan) yang bernilai positif

Kw = kwadran

Konversi Sudut Tiap Kwadran:

Kwadran 1

Kwadran 2 0180

Kwadran 3 0180

Kwadran 4 0360

Catatan:

sin sin4

cos coskwadran

00

/ 3600

900

1800

2700

A

(x+,y

+)

Kw-1

S

(x-,y

+)

T

(x-,y

-)

C

(x+,y

-)

Kw-2

Kw-3 Kw-4

7

3) Sudut Istimewa untuk 0 00 90

0sin 0 0

0 1sin 30

2

0 1sin 45 2

2

0 1sin 60 3

2

0sin90 1

0cos0 1

0 1cos30 3

2

0 1cos 45 2

2

0 1cos60

2

0cos90 0

0tan 0 0

0 1tan 30 3

3

0tan 45 1

0tan 60 3

0tan90

D. Rumus-rumus Penting dalam Bentuk Polar

1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r i

1 11 2 1 2 2 2

2 2

cos sin , 0, 0z r

i z rz r

1 1

cos sin , 0, 0i z rz r

8

Contoh:

1) Diketahui:

1

2

4 3

2 6

z i

z i

Ditanyakan:

a) 1 2z z

b) 1 2z z

c) 1 2z z

d) 1

2

z

z

2) Diketahui:

1

2

3 3

2 5

z i

z i

Ubahlah ke bentuk polar dengan 0 2 untuk:

a) 1z

b) 2z

c) 1 2z z

d) 1

2

z

z

e) 1

1

z

9

TUGAS TERSTRUKTUR 1

Petunjuk:

Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.

Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.

Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

1) Diketahui:

1

2

2 1

1

z a b i

z c a i

Ditanyakan:

a) 1 2z z

b) 1 2z z

c) 1

2

z

z

2) Diketahui:

1

2

3 1

3

z a b c i

z b i a c

Ubahlah ke bentuk polar dengan 0 2 untuk:

a) 1z

b) 2z

c) 1 2z z

d) 1

2

z

z

SELAMAT MENGERJAKAN

10

BAB 2

INTEGRAL TAK WAJAR

A. Integral Tak Wajar Jenis I (Selang Tak Terhingga)

1) Jika t

a

f x dx ada untuk setiap bilangan t a , maka:

lim

t

ta a

f x dx f x dx

asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).

2) Jika b

t

f x dx ada untuk setiap bilangan t b , maka:

lim

b b

tt

f x dx f x dx

asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).

3) Jika kedua integral a

f x dx

dan a

f x dx

konvergen, maka

kita definisikan:

a

a

f x dx f x dx f x dx

dengan a adalah bilangan real sembarang.

Catatan:

Integral tak wajar a

f x dx

dan b

f x dx

dikatakan konvergen jika

limit terkait ada dan divergen jika limit tersebut tidak ada.

Contoh:

1) Tentukan apakah integral 1

1dx

x

konvergen atau divergen?

2) Hitunglah 0

xxe dx

3) Hitunglah 2

1

1dx

x

11

B. Integral Tak Wajar Jenis 2 (Integran Tak Kontinu)

1) Jika f kontinu pada ,a b dan tak kontinu di b, maka:

lim

b t

t ba a

f x dx f x dx

asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).

2) Jika f kontinu pada ,a b dan tak kontinu di a, maka:

lim

b b

t aa t

f x dx f x dx

asalkan limit ini ada (sebagai suatu bilangan terhingga).

3) Jika f mempunyai ketakkontinuan di c, dengan a c b , dan baik

c

a

f x dx maupun b

c

f x dx konvergen, maka kita definisikan:

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Contoh:

1) Hitunglah

5

2

1

2dx

x

2) Tentukan apakah / 2

0

sec x dx

konvergen atau divergen?

3) Hitunglah

3

0

1

1dx

x

bila mungkin.

12

TUGAS TERSTRUKTUR 2

Petunjuk:

Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.

Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.

Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

Tentukanlah apakah integral di bawah ini konvergen atau divergen. Jika

konvergen, hitunglah integral tersebut.

1)

2

1

3 2a

a cdx

a x b

2)

2

5

2

a c xdx

a b c b x

3)

1

2

1

10

2

a c

a b

a

cdx

b x

4) 2

2 1

0

ba x c

xe dx

SELAMAT MENGERJAKAN

13

BAB 3

BARISAN DAN DERET TAK HINGGA

A. Notasi Sigma

Definisi:

Jika 1, ,...,m m na a a adalah bilangan real dan m dan n adalah bilangan bulat

sedemikian sehingga m n , maka:

1 1...n

i m m n n

i m

a a a a a

Teorema 1:

Jika c adalah sebarang konstanta (yakni, konstanta tersebut tidak tergantung

pada i), maka:

n n

i i

i m i m

ca c a

n n n

i i i i

i m i m i m

a b a b

n n n

i i i i

i m i m i m

a b a b

Teorema 2:

Jika c adalah konstanta dan n adalah bilangan bulat positif, maka:

1

1n

i

n

1

n

i

c nc

1

1

2

n

i

n ni

2

1

1 2 1

6

n

i

n n ni

2

3

1

1

2

n

i

n ni

Catatan:

2 2 22a b a ab b

2 2 22a b a ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

14

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

Contoh:

Hitunglah nilai dari jumlah di bawah ini.

1) 25

2

1

52i

ii

2) 80

1

4 2 2i

i i i

3) 10

4

3 2i

i

4) 50

2

3

2 5i

i

B. Barisan dan Deret

1) Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika:

Contoh: 1, 4, 7, 10, …

Deret Aritmatika:

Contoh: 1 + 4 + 7 + 10 + …

Rumus suku ke-n:

1nU a n b

Keterangan:

1 suku pertamaa U

beda/selisihb

Rumus jumlah suku ke-n:

2

n n

nS a U

Keterangan:

1 suku pertama

suku ke-n

a U

U n

(divergen)nn S

2) Barisan dan Deret Geometrik

Barisan Geometrik:

Contoh: 1, 3, 9, 27, …

15

Deret Aritmatika:

Contoh: 1 + 3 + 9 + 27 + …

Rumus suku ke-n: 1n

nU ar

Keterangan:

1 suku pertamaa U

rasio/perbandinganr

Rumus jumlah suku ke-n:

1; 1 1

1

1; 1 atau 1

1

n

n n

a rr

rS

a rr r

r

Keterangan:

1 suku pertama

rasio/perbandingan

a U

r

1

1

, 1 1 (konvergen)1

n

n

n

an S ar r

r

Contoh:

1) Diketahui: 3, 13, 23, …

Tentukanlah:

a) 10U

b) 10S

c) S

2) Diketahui: 5, 1, 15

, …

Tentukanlah:

a) 12U

b) 12S

c) S

3) Hitunglah 5

11

3

4

n

nn

.

16

C. Test Konvergensi

1) Uji Divergensi

Jika lim 0nn

a

atau lim nn

a

, maka 1

n

n

a

divergen.

Catatan:

Jika lim 0nn

a

, maka tidak dapat disimpulkan apa-apa dan harus

menggunakan uji lain.

Contoh:

2

21 5 4n

n

n

Akan diuji menggunakan uji divergensi, yaitu:

2

2

2

1 1 1lim lim 0

45 4 5 0 55

n n

n

n

n

sehingga deret tersebut divergen.

2) Uji r

Bentuk Umum:

1

1

, 1 11

n

n

aar r

r

Jika 1 1r , maka deret tersebut konvergen.

Jika 1 atau 1r r , maka deret tersebut divergen.

Contoh:

1

1

5

n

n

Akan diuji menggunakan uji r, yaitu:

1

1 1

1 1 1

5 5 5

n n

n n

a r

karena 1

15

r , maka deret tersebut konvergen.

17

3) Uji Deret p

1

1p

n n

konvergen jika 1p .

1

1p

n n

divergen jika 1p .

Contoh:

1

1

n n

Akan diuji menggunakan uji deret p, yaitu:

1/ 21 1

1 1

n n nn

11

2p sehingga deret tersebut divergen.

4) Uji Integral

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu, positif, dan turun pada 1,

serta na f n , maka:

1

f x dx

konvergen 1

n

n

a

konvergen.

1

f x dx

divergen 1

n

n

a

divergen.

Catatan:

Untuk uji integral, n tidak harus dimulai dari 1.

Contoh:

21

2

1n

n

n

Akan diuji menggunakan uji integral, yaitu: 2

1

2

1

xdx

x

.

Sebelumnya akan diubah terlebih dahulu menjadi integral tak tentu

untuk mempermudah pengerjaan, yaitu: 2

2

1

xdx

x

18

Dengan menggunakan integral substitusi, maka

2 1

2

u x

du xdx

sehingga

2

2

2 1ln ln 1

1

x dudx du u c x c

x u u

.

Dengan mengembalikan ke bentuk semula (integral tentu), maka

diperoleh:

2

1

2

1

xdx

x

2

1ln 1x

sehingga deret tersebut divergen.

5) Uji Perbandingan

Misalkan 1

n

n

a

dan 1

n

n

b

adalah deret dengan suku positif, sehingga

berlaku:

Jika 1

n

n

b

konvergen dan n na b , maka 1

n

n

a

konvergen.

Jika 1

n

n

b

divergen dan n na b , maka 1

n

n

a

divergen.

Contoh:

21

5

2 4 3n n n

Akan diuji menggunakan uji perbandingan, yaitu:

2 2

5 5

2 4 3 2nn

ba

n n n

Kita tahu bahwa 2

1

5

2n n

konvergen sesuai dengan uji deret p, yaitu

2 21 1

5 5 1

2 2n nn n

dengan 2 1p sehingga deret tersebut juga

konvergen.

19

6) Uji Rasio

1lim 1n

nn

aL

a

1

n

n

a

konvergen.

1lim 1n

nn

aL

a

atau 1lim n

nn

a

a

1

n

n

a

divergen.

Catatan:

Jika 1lim 1n

nn

a

a

, maka tidak dapat disimpulkan apa-apa dan harus

menggunakan uji lain.

Contoh: 3

1 3nn

n

Akan diuji menggunakan uji rasio, yaitu:

3

3n n

na dan

3

1 1

1

3n n

na

, maka:

3

11

3

1

3lim lim

3

nn

n nn

n

n

a

na

3

3 1

1 3lim

3

n

nn

n

n

3

3

1 3lim

3 3

n

nn

n

n

31 1

lim3n

n

n

31 1

lim 13n n

31 1 1

1 0 1 13 3 3

sehingga deret tersebut konvergen.

7) Uji Akar

lim 1nn

na L

1

n

n

a

konvergen.

lim 1nn

na L

atau lim n

nn

a

1

n

n

a

divergen.

20

Catatan:

Jika lim 1nn

na

, maka tidak dapat disimpulkan apa-apa dan

harus menggunakan uji lain.

1

lim 1 2,7...

n

ne

n

Contoh:

1

2 3

3 2

n

n

n

n

Akan diuji menggunakan uji akar, yaitu:

2 3

3 2

n

n

na

n

, maka:

2 3lim lim

3 2

n

n nn

n n

na

n

2 3lim

3 2n

n

n

32

lim2

3n

n

n

2 0 2

13 0 3

sehingga deret tersebut konvergen.

Contoh Lain:

Ujilah deret-deret berikut ini.

1) 2

1

1

1i n

2) 5

1n

n

3) 3

21 3n

n

n

4) 2

1

1

3 8n n n

21

5) 2

21

1

2 1

n

n

n

n

6) 1 3

1 3

n

nn

n

7)

7

1

1

8

n

n

8) 2

1 2nn

n

D. Deret Berganti Tanda

Contoh:

1

1

11 1 1 11 ...

2 3 4 5

n

n n

Uji Deret Berganti Tanda

Jika deret berganti tanda 1

1 2 3

1

1 ...n

n

n

b b b b

dengan 0nb

memenuhi:

lim 0nn

b

1n nb b untuk semua n

maka deret tersebut konvergen.

Catatan:

Jika salah satu syarat di atas tidak terpenuhi, maka deret tersebut divergen.

Contoh:

1)

1

1

1n

n n

Misalkan 1

nbn

dan 1

1

1nb

n

, maka:

1

lim lim 0nn n

bn

(memenuhi)

1

1 1

1n nb b

n n

. Hal ini dapat dicek dengan cara:

1 1 11 1

2 1 2n (memenuhi)

22

sehingga deret tersebut konvergen.

2) 1

31

4 1

n

n

n

n

Misalkan 3

4 1n

nb

n

dan

1

3 1 3 3 3 3

4 1 1 4 4 1 4 3n

n n nb

n n n

,

maka:

3 3 3 3

lim lim lim 014 1 4 0 4

4n

n n n

nb

n

n

(tidak memenuhi)

Karena ada 1 syarat yang tidak terpenuhi, maka deret tersebut divergen.

Contoh Lain:

Ujilah deret-deret berganti tanda berikut ini.

1) 1

1

11

n

n n

2) 1

5 81

7 20

n

n

n

n

3) 1

21

21

4 5

n

n n

4) 3

1

21

3 11

9 5

n

n

n

n

5) 1

1

5 71

n

n

n

n n

23

TUGAS TERSTRUKTUR 3

Petunjuk:

Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.

Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.

Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

1) Hitunglah

103 2

1

2 2 3a b c

i a

a b i b i c i a c

2) Ujilah deret-deret berikut ini.

a) 4

1

5

3 10a bn

a c

n c n b

b)

1

1

3

3

n n

a bn

a c x

n a

c)

31

11

3 31

2 3

an

b cn

a n a b

b n a c

SELAMAT MENGERJAKAN

24

BAB 4

PENGANTAR DIFERENSIAL PARSIAL

A. Fungsi n Variabel

Suatu fungsi f dari n variabel adalah suatu aturan yang memberikan

kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real rangkap n di dalam

daerah asal nD R sebuah bilangan real tunggal yag dinyatakan oleh:

1 2, ,..., nf x x x

Contoh:

1) 2 2, 9f x y x y

2) 2 2 2, ,f x y z x y z

B. Diferensial Parsial dan Diferensial Total

Jika f adalah fungsi 2 variabel, dinotasikan ,f x y , maka

diferensial parsialnya adalah

0

0

, ,, lim

, ,, lim

x x xh

y y yh

f x h y f x yff x y f D f

x h

f x y h f x yff x y f D f

y h

Aturan untuk pencarian diferensial parsial dari ,z f x y :

1) Untuk mencari xf , anggap y sebagai konstanta dan diferensialkan

,f x y terhadap x.

2) Untuk mencari yf , anggap x sebagai kostanta dan diferensialkan

,f x y terhadap y.

Pendiferensialan beserta aturannya ini berlaku juga untuk fungsi 3 variabel

atau lebih.

Untuk fungsi 2 variabel ,z f x y , maka diferensial total dz

didefinisikan oleh:

, ,x y

z zdz f x y dx f x y dy dx dy

x y

25

Untuk fungsi 3 variabel atau lebih, berlaku hampir sama dengan

fungsi 2 variabel. Sebagai contoh untuk fungsi 3 variabel , ,w f x y z ,

maka diferensial total dw didefinisikan oleh:

, , , , , ,x y z

w w wdw f x y z dx f x y z dy f x y z dz dx dy dz

x y z

Contoh:

1) Carilah diferensial parsial pertama beserta diferensial totalnya dari

fungsi berikut.

a) 5 3 2 4, 3 3f x y x x y xy

b) , sin cosf x y x y

c) 2

2 2,

xyf x y

x y

d) 2 3, , 3f x y z xy z yz

e) 2 2 2, ,f x y z x y z

f) , , ,x y

f x y z tz t

2) Carilah diferensial parsial yang ditunjuk berikut ini.

a) xyzf dari 5 4 4 3 2, ,f x y z x x y z yz

b) xyyf dari , sinf x y x y

C. Bidang Singgung

Andaikan f mempunyai diferensial parsial kontinu. Satu persamaan

bidang singgung terhadap permukaan ,z f x y di titik 0 0 0, ,P x y z

adalah

0 0 0 0 0 0 0, ,x yz z f x y x x f x y y y

Contoh:

Carilah persamaan bidang singgung terhadap kurva yang diberikan pada

titik berikut ini!

a) 2 22 , 1,1,3z x y

b) 2 29 6 3 5, 1,2,18z x y x y

c) ln , 3,1,0xz e y

d) ln 2 , 1,3,0z x y

26

TUGAS TERSTRUKTUR 4

Petunjuk:

Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.

Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.

Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

1) Carilah diferensial parsial pertama beserta diferensial totalnya dari:

1 2 3 2 4 3 6 3, , a b c a b a a c a b a a cf x y z x y z x y z x y y z .

2) Carilah diferensial parsial dari xxyzf untuk:

6 1 1 2 3 4, , a a b c a c b c a cf x y z x x y z y z

3) Carilah persamaan bidang singgung terhadap kurva yang diberikan pada titik

5 1 13 3 3 , , 5, 5a b c a b az a x b y a x y a b c a b c

SELAMAT MENGERJAKAN

27

BAB 5

PERSAMAAN DIFERENSIAL DASAR

A. Definisi Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial (PD) merupakan persamaan yang mengandung

suatu fungsi yang tidak diketahui dan beberapa turunannya.

Orde merupakan turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan

diferensial.

Contoh:

Model pertumbuhan populasi : dP

kPdt

(orde 1)

Model gerakan pegas : 2

2

d x kx

dt m

(orde 2)

B. Persamaan Diferensial Orde 1

1) PD Variabel terpisah

Bentuk Umum:

dy

g x f ydx

Contoh:

26 2 cos 0x dx y y dy

Persamaan

Diferensial

Solusi/Penyelesaian

Solusi

Khusus

Solusi

Umum

Memerlukan syarat awal

(initial condition)

28

a) Tentukan solusi umumnya!

b) Tentukan solusinya yang memenuhi syarat awal 1f .

Penyelesaian:

a) Solusi umumnya:

2

2

2

2 3

6 2 cos 0

2 cos 6

2 cos 6

sin 2

x dx y y dy

y y dy x dx

y y dy x dx

y y x c

b) 1f 1,x y

2 3

32

2

2

sin 2

sin 2 1

0 2

2

y y x c

c

c

c

sehingga solusinya: 2 3 2sin 2 2y y x .

2) PD Eksak

Bentuk Umum:

Persamaan diferensial , , 0M x y dx N x y dy disebut PD

Eksak jika memenuhi:

M N

y x

Penyelesaian PD Eksak:

Anggap ,F x y c sebagai solusi (c konstanta), maka diferensial

totalnya:

, ,

, ,0

M x y N x y

F x y F x ydx dy

x y

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

a) Carilah M

y

dan

N

x

. Selanjutnya, cek apakah

M N

y x

.

b) Jika M N

y x

, tentukan: ,

x

F M x y dx g y .

29

c) Tentukan F

y

dan gunakan kesamaan ,

FN x y

y

sehingga

diperoleh g y .

d) Tuliskan solusinya: ,F x y c .

Contoh:

Buktikan PD 22 1 0xydx x dy adalah eksak dan tentukan

solusinya!

Penyelesaian:

2

,,

2 1 0

M x yN x y

xy dx x dy

Langkah-langkah:

a)

2

2

Mx

M Ny

y xNx

x

sehingga merupakan PD Eksak

b) ,

x

F M x y dx g y

2

2

x

xy dx g y

x y g y

c) 2 'F

x g yy

Dengan menggunakan kesamaan ,F

N x yy

, maka:

2 2

,

' 1

' 1

1

FN x y

y

x g y x

g y

g y dy y

30

d) Solusi:

2

2

,F x y c

x y g y c

x y y c

3) PD Linear

Bentuk Umum:

dy

P x y Q xdx

Contoh:

1' 2 ' 2

Q x

P x

xy y x y yx

(merupakan PD Linear)

Catatan:

' ' 'uv u v uv

Faktor pengintegral : P x dx

I x e

Langkah-langkah menentukan solusi PD Linear secara umum:

Carilah P x dx

I x e (faktor pengintegral)!

Kalikan kedua ruas dengan faktor pengintegral!

Integralkan kedua ruas!

Contoh:

Tentukan solusi dari 2 2' 3 6y x y x .

Penyelesaian:

2 2' 3 6P x Q x

y x y x

Faktor pengintegral: 2

33P x dx x dx xI x e e e

sehingga:

31

3

3 3 3

3 3

3 3

3 3

3

2 2

2 2

2

2

3 6

3 6

6

6

2

2

x

x x x

x x

x x

x x

x

dye x y x

dx

dye x e y x e

dx

de y x e

dx

de y x e dx

dx

e y e c

y ce

Catatan: 326 xx e dx

3

2 233

u x

dudu x dx x dx

maka:

3

3

26 63

2 2

2

x u

u u

x

due x dx e

e du e c

e c

Contoh lain:

1) Tentukan solusi dari PD variabel terpisah berikut!

a) 2' 0y x y

b) 2' 0, 1 3y y f

c) 3 24 ' 0, 2 1xy y e f

d) 1

'x

yxy

e) ' yy xe

f) 2 cos 4

'2

x xy

y

2) Buktikan bahwa PD berikut adalah eksak dan tentukan solusinya!

a) sin cos 2 0x y dx x y y dy

b) 2 3 3 4 0x y dx x y dy

32

c) 2 0x y dx xdy

d) cos sin 0x y x dx xdy

e) 2 3 4 3 4 5 0x y dx x y dy

f) 2 2 2 0x y dx xydy

3) Tentukan solusi dari PD linear berikut!

a) 2 ' 1, 1 2x y xy f

b) ' 2 2 , 0 2xy y e f

c) ' 5 , 0 5y x y f

d) 2

' 2 xy xy xe

e) ' 2 2y yx x

f) ' , 0 0xy y x e f

33

TUGAS TERSTRUKTUR 5

Petunjuk:

Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.

Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.

Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

1) Tentukan solusi dari PD variabel terpisah berikut!

a)

2 1

2'

3

a x a b c

b c

e x xy

y a c

b)

2

5

2

sin 4 1'

6

b x

c

a c

e a x by

aa b y

y

c)

2

5

2 5'

2

x

b c

c

a cy

ay y

y

2) Buktikan bahwa PD berikut adalah eksak dan tentukan solusinya!

5

2 24 12 cos 3 0

xy ye e dx xe y dy

y

3) Tentukan solusi dari PD linear berikut!

3

2 3

23 5 5

' 3x

x x xy x y

e

SELAMAT MENGERJAKAN

34

BAB 6

PENGANTAR INTEGRAL LIPAT

INTEGRAL LIPAT DUA

A. Sifat

1) , , , ,R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA

2) , , , konstantaR R

cf x y dA c f x y dA c

3) , , , jika , ,R R

f x y dA g x y dA f x y g x y

B. Integral Berulang

Secara umum:

1) , ,

b d b d

a c a c

f x y dydx f x y dy dx

2) , ,

d b d b

c a c a

f x y dxdy f x y dx dy

Teorema Fubini:

Jika f kontinu pada segi empat , , R x y a x b c y d , maka:

, , ,

b d d b

R a c c a

f x y dA f x y dydx f x y dxdy

Catatan:

, , ,

d b b d

R c a a c

f x y dA f x g y dxdy f x dx g y dy R a b c d

Contoh:

1) Hitunglah integral berulang berikut ini.

a) / 2 / 2

0 1

sin cosx y dydx

b) 1 1

20 0

2

4

xydydx

x

35

2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini.

a) 2 3 46 5R

x y y dA dengan , 0 3,0 1R x y x y .

b) sinR

y xy dA dengan , 1 2,0R x y x y .

3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh:

a) Paraboloid eliptik 2 22 16x y z dan di atas bujur sangkar

0,2 0,2R .

b) Paraboloid eliptik 2 2

14 9

x yz dan di atas bujur sangkar

1,1 2,2R .

C. Integral pada Daerah Umum

1) Jika f kontinu pada daerah D jenis I sehingga

1 2, ,D x y a x b g x y g x

maka:

2

1

, ,

g xb

D a g x

f x y dA f x y dydx

2) Jika f kontinu pada daerah D jenis II sehingga

1 2, ,D x y c y d h y x h y

maka:

2

1

, ,

h yd

D c h y

f x y dA f x y dxdy

Contoh:

1) 1 2

2

0

x

x

x y dydx

2) Hitunglah 2D

x y dA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh

parabola 22y x dan 21y x .

36

D. Integral Berulang pada Koordinat Polar

1) Jika f kontinu pada segi empat polar R yang diberikan oleh

0 a r b , , dengan 0 2 , maka:

, cos , sin

b

R a

f x y dA f r r rdrd

2) Jika f kontinu pada daerah polar berbentuk:

1 2, ,D r h r h

maka:

2

1

, cos , sin

h

D h

f x y dA f r r rdrd

Catatan:

2 2 2x y r

cosx r

siny r

tany

x

0

2 , jika fungsi genap

a a

a

f x dx f x dx f

0, jika fungsi ganjil

a

a

f x dx f

2 1sin 1 cos 2

2x x

2 1cos 1 cos 2

2x x

Contoh:

1) 2 21 D

x y dA dengan , 0 2 ,0 1D r r .

2) Hitunglah 23 4R

x y dA dengan R adalah daerah di setengah bidang

atas yang dibatasi oleh lingkaran 2 2 1x y dan 2 2 4x y .

37

INTEGRAL LIPAT TIGA

A. Teori Fubini untuk Integral Lipat Tiga

Jika f kontinu pada kotak , , ,B a b c d r s , maka:

, , , ,

s d b

B r c a

f x y z dV f x y z dxdydz

B. Integral Lipat Tiga pada Daerah Umum

Jika f kontinu pada daerah E jenis I sehingga

1 2, , , , , ,E x y z x y D u x y z u x y

maka:

2

1

,

,

, , , ,

u x y

E D u x y

f x y z dV f x y z dz dA

Untuk:

1 2 1 2, , , , , ,E x y z a x b g x y g x u x y z u x y

maka:

2 2

1 1

,

,

, , , ,

g x u x yb

E a g x u x y

f x y z dV f x y z dzdydx

Untuk:

1 2 1 2, , , , , ,E x y z c y d h y x h y u x y z u x y

maka:

2 2

1 1

,

,

, , , ,

h y u x yd

E c h y u x y

f x y z dV f x y z dzdxdy

Jika f kontinu pada daerah E jenis II sehingga

1 2, , , , , ,E x y z y z D u y z x u y z

maka:

2

1

,

,

, , , ,

u y z

E D u y z

f x y z dV f x y z dx dA

38

Jika f kontinu pada daerah E jenis III sehingga

1 2, , , , , ,E x y z x z D u x z y u x z

maka:

2

1

,

,

, , , ,

u x z

E D u x z

f x y z dV f x y z dy dA

Contoh:

1) 2

E

x yz dV dengan , , 0 2, 3 0, 1 1E x y z x y z

2) 1

0 0 0

6

z x z

xz dydxdz

3) 12

3 2

1 0 0

yx

x y z dzdydx

C. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola

Koordinat Silinder

2 2

1 1

cos , sin

cos , sin

, ,

cos , sin ,

E

h u r r

h u r r

f x y z dV

f r r z rdzdrd

Catatan:

1 2, ,r h r h

cosx r

siny r

2 2 2x y r

Koordinat Bola

2

, ,

sin cos , sin sin , cos sin

E

d b

c a

f x y z dV

f d d d

39

Catatan:

, , , ,E a b c d

sin cosx

sin siny

cosz

2 2 2 2x y z

2 sindV d d d

Contoh:

1) 2 2 2

2

0 0

r

r rdzdrd

2) 22 2 4

0 0 0

1

r

rdzdrd

3) /2 /2 1

2

0 0 0

1 sin d d d

4) cos2 /4

2

0 0 0

1 sin d d d

40

TUGAS TERSTRUKTUR 6

Petunjuk:

Gantilah huruf ”a” dengan angka 3.

Gantilah huruf ”b” dan ”c” dengan 2 digit terakhir NPM Anda.

Contoh: 2971015089 (b = 8 dan c = 9)

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti.

1) Hitunglah

3 3

5 8

0 1

5 8

a b c

b c a b c

a c x

b c y c x dydx

.

2) Hitunglah integral lipat 3 dari:

a) 2 6

5 3

a b c

a a c

E

x ydV

z x

dengan:

, , 0 2,1 3,1 4E x y z x a y b z c .

b) 3 1

0 0 1

a b z a x z

a b c

xz dydxdz

.

c) /4 /2 4

5 2

0 0 1

cos sin

a b c

a b c

a b

d d d

.

SELAMAT MENGERJAKAN