diferensial fungsi majemuknuryanto.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/55322/di...contoh tentukan...

DIFERENSIAL FUNGSI

MAJEMUK

Nuryanto,ST.,MT

DIFERENSIASI PARSIAL

dzqydx

pydx

oydy

qpofy

dzzydx

xydy

zxfy

,,

,

Nuryanto,ST.,MT

Contohy = 4x2 - 6x3z + 3xz2 + 3z2 + 5Diferensial parsial

Diferensial total

zxzxzy

zzxxxy

666

3188

3

22

dzzxzxdxzzxxdy 6663188 322

Nuryanto,ST.,MT

Soal

Tentukan diferensial partial dari fungsi berikut:1. Y = -100 + 80A – 0,1A2 + 100B - 0,2B2

2. Y = 50 – 3X1 + 6X12 – 5X2 – 10 X2

2 - 3x1x2

3. Y = – 2X2Y + 4Y3X-3X2 +Y2

4. Z = exy + 3XY2 – 6Y2 + 4X3Y5. Z = 3X2Y2 + 12Y4X -6X + 8Y3

Nuryanto,ST.,MT

NILAI EKSTRIM

y = f(x,z) mencapai titik ekstrim jika

Jenis titik ekstrim:Maksimum bila

Minimum bila

0dan 0

zy

xy

0&0

0&0

2

2

2

2

2

2

2

2

zy

xy

zy

xy

Nuryanto,ST.,MT

ContohHitung nilai ekstrim y = 2x2 - 20x + z2 – 8z + 78 dan jenisnya!

Y = 12

50204

0

204

xxxy

xxy

4082

0

82

zzzy

zzy

minimum02

04

2

2

2

2

zy

xy

Nuryanto,ST.,MT

SoalTentukan nilai ekstrim dan jenisnya1. Z = 10 – 5x + 3x2 – 8y + 2y2 – xy2. Z = 50 + 50x - 5x2 + 30y - 3y2 – 5xy3. Z = -3x2 +2y2 + 1004. Z = 10 + 10x - x2 + 6y – 3/5 y2 – xy5. Z = -6x2 +4y2 + 200

Nuryanto,ST.,MT

PENGGANDA LAGRANGE

Mengoptimumkan fungsi terhadap kendalayang berbentuk persamaan. Caranya denganmembentuk fungsi baru yaitu penjumlahanfungsi asli ditambah hasil kali penggandaLagrange dengan fungsi kendala.

Nuryanto,ST.,MT

Fungsi z = f(x, y) dengan syarat u = g(x,y)maka fungsi Lagrange:

F (x, y, ) = f(x, y) + g(x, y)Nilai ekstrim :F’x (x, y, ) = fx + gx = 0F’y (x, y, ) = fy + gy = 0Jenis :Maksimum F”x < 0 dan F”y < 0Minimum F”x > 0 dan F”y > 0

Nuryanto,ST.,MT

ContohTentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan

syarat x2 + y2 = 8.F = 2x + 2y + (x2 + y2 - 8) = 2x + 2y + x2 + y2 - 8 Fx = 2 + 2 xFy = 2 + 2 y

x2 + y2 = 8. z = 2x + 2y2y2 = 8 z = 8y = 2x = 2

yxyx

y

x

11

1

1

Nuryanto,ST.,MT

Fxx = 2Fyy = 2

Untuk x = 2 dan y = 2; =-½Fxx = -1 < 0Fyy = -1 < 0

Untuk x = -2 dan y = -2; =½Fxx = 1 > 0Fyy = 1 > 0

maksimum

minimum

Nuryanto,ST.,MT

KUHN TUCKER

Mengoptimumkan fungsi terhadapkendala yang berbentukpertidaksamaan. Penyelesaianmenggunakan Lagrange yangdimodifikasi atau langsung dengan caraKuhn Tucker.

Nuryanto,ST.,MT

Modifikasi Lagrange1. Anggap kendala dalam bentuk

persamaan. Kemudian selesaikandengan Lagrange Biasa. F(x, y, ) = f(x,y) - g(x, y)

2. Lakukan uji terhadap nilai . Jika > 0berarti optimum tercapai. Jika 0berarti fungsi dengan sendirinyamemenuhi kendala.

Nuryanto,ST.,MT

Metode Kuhn Tucker1. Rumuskan masalah2. Tetapkan kondisi Kuhn Tucker

3. Uji 2c masing-masing untuk = 0 dan g(x, y) =0 untuk menentukan mana yang memenuhipersamaan 2a dan 2b serta pertidaksamaankendala g(x,y).

0),(/0),(0),()

0),(),()

0),(),()

yxgyxgyxgcy

yxgy

yxfb

xyxg

xyxfa

Nuryanto,ST.,MT

ContohMaksimumkan fungsi f(x,y) = 10xy - 2,5x2 - y2 terhadapkendala x + y 9!LagrangeF(x,y,) = 10xy - 2,5x2 - y2 - (x + y – 9)Fx = 10y - 5x - = 10y - 5xFy = 10x -2y - = 10x - 2y

x + y = 9 F(x,y) maks = 1350,8 y + y = 9 = 30y = 5x = 4

x = 0,8 y

Nuryanto,ST.,MT

Kuhn Tucker

x + y – 9 = 0 maka x = 9 – ya) 10y – 5x - = 0 10y – 45 + 5y - = 0b) 10x – 2y - = 0 90 – 10y - 2y - = 0x = 4F(x,y) = 135

09g dimana 0)9(0)

02100)

05100)

yxyxgc

yxyg

yfb

xyxg

xfa

y = 5; = 30

Nuryanto,ST.,MT

HOMOGENITAS FUNGSI

Suatu fungsi dikatakanhomogen jika

nz = f ( x, y)

Nuryanto,ST.,MT

PERMINTAAN MARGINAL & ELASTISITAS PERMINTAAN MARGINAL

Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb)Permintaan marginal A sehubungan Pa =

Permintaan marginal A sehubungan Pb =

Permintaan marginal B sehubungan Pa =

Permintaan marginal B sehubungan Pb =b

db

a

db

b

da

a

da

PQP

QP

QP

Q

Nuryanto,ST.,MT

Elastisitas harga permintaan

Elastisitas silang permintaan

db

b

b

db

b

dbdb

da

a

a

da

a

dada

QP

PQ

PQ

QP

PQ

PQ

.%

%

.%

%

db

a

a

db

a

dbba

da

b

b

da

b

daab

QP

PQ

PQ

QP

PQ

PQ

.%

%

.%%

Nuryanto,ST.,MT

Fungsi permintaan barang A adalah Qda.Pa2.Pb3 – 1 = 0dan permintaan barang B adalah Qdb.Pa3.Pb – 1 = 0.Berapa elastisitas permintaan masing-masing barangdan hubungan antara kedua barang tersebut?

42

33

32

32

32

3.

.2

.

.1

01..

bab

da

baa

da

bada

bada

bada

PPP

Q

PPP

QPPQ

PPQ

PPQ

14

23

13

3

3

.3

.

.

.1

01..

baa

db

bab

db

badb

badb

badb

PPP

Q

PPP

QPPQ

PPQ

PPQ

Nuryanto,ST.,MT

3.

3.

1.

2.

db

a

a

dbba

da

b

b

daab

db

a

b

dbdb

da

a

a

dada

QP

PQ

QP

PQ

QP

PQ

QP

PQ

Nuryanto,ST.,MT

2 PRODUK & BIAYA PRODUKSI GABUNGAN

Permintaan barang Qa dan Qb, biayaproduksi TC = f (Qa, Qb) maka

TRa = Qa.Pa = f(Qa)TRb = Qb. Pb = f(Qb)TR = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb) = TR – TC = f(Qa) + f(Qb) – f(Qa, Qb)

Nuryanto,ST.,MT

SoalSuatu perusahaan meproduksi 2 macam barang yang

fungsi permintaannya adalah sbb :P1 = 100 – 2Q1 + Q2P2 = 75 + 2Q1 – Q2Sedangkan fungsi biaya mengikuti fungsi TC = 1000 + 20

Q1 + 10Q2 +2Q1Q2Perusahaan menginginkan laba maksimum tercapai.

Tentukan tingkat produksi yang memaksimalkan labadari 2 barang yang diproduksi jika kombinasimaksimum faktor produksi adalah 50.

Nuryanto,ST.,MT

maksimum jika ` = 0

0)2

0)1

Qb

Qa

Qb

Qa

Nuryanto,ST.,MT

UTILITAS MARGINAL PARSIAL & KESEIMBANGAN

KONSUMSI

U = f(x,y)Utilitas marginal =

U = f(x,y) dimaksimumkan dengan fungsianggaran M = x.Px + y.Py

F(x,y) = f(x,y) + (x.Px + y.Py - M)Fx (x,y) = 0 fx(x,y) + Px = 0Fy (x,y) = 0 fy(x,y) + Py = 0

yyU

xxU

Nuryanto,ST.,MT

Kepuasan maksimum dari konsumsi terjadi bila:

yx

y

y

x

x

PMUy

PMUx

Pyxf

Pyxf

),(),(

Nuryanto,ST.,MT

Contoh

Kepuasan konsumen menkonsumsi X dan Yadalah U = x2y3. Jumlah pendapatankonsumen 1000 dan harga x 25 harga y 50.tentukan utilitas saat 14 x dan 13 y!

MUx = 2xy3

MUy=3x2y2

x = 14; y = 13 MUx = 61.516MUy = 99.372

MUx/Px = 2460,64MUy/Py = 1987,44

Nuryanto,ST.,MT

Tentukan kombinasi maksimum x dan y!U = x2y3 25x + 50y – 1000 = 0F(x,y)= x2y3 + (25x + 50y – 1000)

= x2y3 + 25 x + 50 y – 1000 Fx = 2xy3 + 25 = 0 - = 2xy3/25Fy = 3x2y2 + 50 = 0 - = 3x2y2/50

x = 16 , y = 12U = 442.368

xy

yxxy

yxxy

43

3450

325

2

223

223

Nuryanto,ST.,MT

PRODUK MARGINAL PARSIAL & KESEIMBANGAN PRODUKSI

P = f(k,l)Produk marginal =

P = f(k,l) dimaksimumkan dengan fungsianggaran M = K.Pk + L.Pl

F(k,l) = f(k,l) + (k.Pk + l.Pl - M)Fk (k,l) = 0 fk(k,l) + Pk = 0Fl (k,l) = 0 fl(k,l) + Pl = 0

LlP

KkP

Nuryanto,ST.,MT

Keseimbangan produksi terjadi bila:

l

l

k

k

l

l

k

k

PMP

PMP

Plkf

Plkf

),(),(

Nuryanto,ST.,MT

LATIHAN DIFERENSIAL PARSIAL

1. Tentukan diferensial parsial dan diferensialtotalnya untuk fungsi

a. y = 4x2-6x2z+3xz2+3z2+5b. y = 3x2 – 5z2 + 2x2z – 4xz2 – 9zc. y = 6x2 + 4 x2/z – 3z + 25

2. Hitunglah y ekstrim dari fungsi y = 2x2 – 20x +z2 – 8z + 78 dan selidiki apakah nilai y ekstrimtersebut merupakan nilai maksimum atauminimum

Nuryanto,ST.,MT

3. Hitunglah p ekstrim dari fungsi p = -q2 – 3r2 + 6q + 24r - 56 dan selidiki apakah nilai p ekstrim tersebut merupakan nilai maksimum ataukah nilai minimum4. Optimimkan z = 4x – 2y dengan syarat/kendala x2

– y2 = 20. Jelaskan apakah z optimumnya merupakan z maksimum ataukah minimum5. Fungsi permintaan dua macam barang yang berkaitan masing – masing di tunjukkan dengan persamaan x = aeq-p dan y = bep-q . Berapa elatisitas permintaan masing – masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut

Nuryanto,ST.,MT