standar kompetensi a. kalimat matematika, · pdf filediketahui: p tari gadis pandai ... 3....

Standar KompetensiMenggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalahyang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadratdanfungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidak samaan satu variable,logika matematika.

A. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT MAJEMUK.Kompetensi Dasar : 1.11. Menggunakan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan implika-

si dalam pemecahan masalah.

A.1. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN DAN KALIMAT TER-BUKA.

Pengalaman Belajar: 1.11.1. Mengidentifikasi kalimat yang merupakan pernyataan ataubukan pernyataan.

1.11.2. Menentukan nilai kebenaran pernyataan dengan menggali informasi berupa fakta atau melalui perhityungan matematika.

1.11.3. Membuat pernyataan yang merupakan ingkaran dari suatupernyataan.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut logika matematika diharapkan peserta didiksecara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapasumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

Pengantar materi:Dalam setiap pembicaraan, baik lisan maupun tulisan, kita sering menggunakan Kalimat.Kalimat dalam matematika dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: Kalimat MatematikaTertutup dan Kalimat Matematika Terbuka.Salah satu jenis kalimat yang penting dan banyak digunakan dalam pembicaraanmatematika adalah Kalimat deklaratif atau pernyataan atau Kalimat MatematikaTertutup.Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah (Nilai Kebenaran)Sedang kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya dikenal dengan KalimatTerbuka, yang dicirikan oleh adanya suatu variabel yang belum pasti.Contoh 1 :1. Dalam sebuah bidang, jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o.

Ini merupakan pernyataan benar, sebab teori ini sudah dikenal dalam geometriEuclides.

2. Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B.Ini bukan pernyataan akan tetapi merupakan kalimat matematika terbuka sebab nilaikebenarannya tidak dapat dipastikan.

Suatu kalimat matematika terbuka dapat berubah menjadi tertutup (pernyataan) jikavariabelnya diganti dengan suatu unsur yang disebut konstanta.Contoh 2 :Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B. Jika B diganti konstanta Megawati SP, makakalimatnya berubah menjadi pernyataan yang SALAH.Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menyelesaikan dan memahamipermasalahan berikut ini:Masalah 1:Diantara kalimat-kalimat di bawah ini, manakah yang merupakan pernyataan dan manayang bukan serta berikan alasan yang tepat. Jika pernyataan tentukan pula nilaikebenarannya !

1. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.2. Benarkah 236 habis dibagi oleh 9?3. Terdapat bilangan x sedemikian hingga x + 5 = 34. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat empat

cara.5. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya !6. Tidak ada bilangan prima yang terbesar.7. Mudah-mudahan kita sehat wal afiat.8. Dalam himpunan bilangan rasional positif ada anggota yang terkecil.

Penyelesaian:1. Merupakan pernyataan yang salah, sebab 2 bilangan genap juga prima.

2. ............................................................................................................................. ............

3. .........................................................................................................................................

4. ............................................................................................................................. ............

5. Bukan pernyataan tetapi termasuk dalam katagori kalimat perintah / suruh, sehingganilai kebenarannya kabur.

6. ............................................................................................................................. ............

7. .........................................................................................................................................

8. ............................................................................................................................. ............

Masalah 2:Dengan mengambil himpunan bilangan Asli sebagai semesta pembicaraan, tentukanhimpunan penyelesaian dari masing-masing kalimat terbuka di bawah ini:1. 2x + y = 6 5. 3x – 5 = x + 22. 2x – 3 = 3x – 1 6. x2 + y2 = 253. x2 -2x -3 = 0 7. x2 – y2 = (x + y)(x – y)4. x adalah faktor dari 6 8. xy < 10

Penyelesaian :1. Jika x dan y adalah variabel pada himpunan bilangan asli, maka HP dari 2x + y = 6

adalah : { (0, 6) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (3, 0) }2. …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….3. …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….4. Jika x B , maka HP = { 1, 2, 3, 6 } sebab bilangan tersebut merupakan factor dari

6.5. …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….6. …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….7. …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….8. …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….

Dalam pembicaraan selanjutnya suatu Pernyataan biasa diwakili oleh suatu huruf/abjadalpabhet kecil, missal:

p Surabaya kota pahlawan q Amir sekolah di SMA N 1 Gondang

A.2. Ingkaran / Negasi atau pernyataan sangkalan.Pengantar materi:Suatu pernyataan yang menyangkal atau membantah kebenaran suatu pernyataandikenal dengan Negasi/ingkaran.

Dan biasa dilambangkan dengan : ~p ataup atau

p atau p dan biasa dibaca:

bukan p atau tidak p bisa juga menggunakan kata yang mempunyai lawan katanya.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan negasi dari pernyataanberikut ini:Masalah 3:Tentukan negasi atau ingkaran dari :

a. Surabaya kota cosmopolitan.b. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat empat

cara.c. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya !d. Cuaca hari ini sangat cerah.e. 2 + 9 > 15Penyelesaian:a. Surabaya bukan kota cosmopolitanb. ............................................................................................................................. ............c. Tidak punya negasi sebab bukan pernyataan.d. ............................................................................................................................. ............e. .........................................................................................................................................

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Tentukan beberapa kalimat di bawah, termasuk kalimat tertutup atau kalimat terbuka!

a. 3 + 2 = 25 b. 2a + 16 = 20 c. Pada segitiga ABC siku-siku di A berla-ku b2 + c2 = a2

2. Negasi dari pernyataan berikut adalah :a. Pada hari Senin siswa SMA X Mojokerto mengikuti Upacara Bendera.b. Joko merupakan siswa teladan yang berasal dari Desa Kampung Cendekia.c. 2 – 4 < 6d. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki 2 faktor.

A.3. Pernyataan Majemuk.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikanbeberapa permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan majemuk diharapkanpeserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumberreferensi maupun media inetraktif.

Pengantar materi:Suatu pernyataan yang terdiri dari dua atau lebih gabungan pernyataan-pernyataan tungaldikenal dengan Pernyataan Majemuk.Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalamtentang beberapa jenis pernyataan majemuk berikut ini:

A.3.1. Konjungsi.Konjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggu-nakan kata hubung ”DAN” atau ”TETAPI” atau ”MESKIPUN” atau ”WALAUPUN”Atau yang bermakna sama, dstBiasa dilambangkan dengan tanda ” ”

Missal: p Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdasq Ani anak rajin

maka p q Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas dan rajin.

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Konjungsi sebagaimana tabel;

p Q p qB B BB S SS B ...............S S ...............

Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Konjungsi dapat terwakili olehpola arus listrik hubungan seri dari dua buah saklar, sebagai berikut:

p q

P q p q p q Jaringan Listrik ArusB B B 1 1 1 Ada

B S S ….. 0 ……. ……..S B ............... 0 ….. 0 TidakS S ............... ….. ….. …….. ……..

A.3.2. Disjungsi.Disjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggu-nakan kata hubung ”ATAU”Biasa dilambangkan dengan tanda ” V ”Missal: p Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas

q Ani anak rajinmaka p V q Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas atau rajin.

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Disjungsi bermakna pilihan bebassebagaimana tabel;

p Q p V qB B ...............B S BS B ...............S S ...............

Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Disjungsi dapat terwakili olehpola arus listrik hubungan paralel dari dua buah saklar, sebagai berikut:

p

q

P Q p v q p q Jaringan Listrik ArusB B ............... 1 1 1 AdaB S ............... ...... ...... ........... ..........S B B ...... 1 1 ...........S S ............... 0 ..... ........... Tidak

Masalah 4:Diketahui:

p Tari gadis pandaiq Tari anak orang kaya

Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini:a. p q b. p ~q c. q v p d. ~p v ~q e. q v ~p

Penyelesaian:

a. p q Tari gadis pandai dan anak orang kaya.

b. p ~q c. q v p d. ~p v ~q e. q v ~p

A.3.3. Implikasi atau Kondisional.Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggu-nakan kata hubung ” Jika ............. maka ...............”Biasa dilambangkan dengan tanda ” pq ” di mana lambang ini juga dibaca:- p hanya jika q - p syarat cukup bagi q- q jika p - q syarat perlu bagi p

Pernyataan p dikenal dengan Anteseden (Sebab) dan q dikenal dengankonsekuen (Akibat).Missal: p Ani salah satu siswa yang cerdas

q Ani anak rajinmaka p q Jika Ani salah satu siswa yang cerdas maka Ani anak rajin.

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel;

P Q p qB B ...............B S SS B ...............S S B

A.3.4. Bi-Implikasi atau Bi-Kondisional.Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggu-nakan kata hubung ” .........Jika dan hanya jika ............”Biasa dilambangkan dengan tanda ” p q ” di mana lambang ini juga dibaca:- p bila dan hanya bila q - p syarat perlu dan cukup bagi q- Jika p maka q dan jika q maka p - q syarat perlu dan cukup bagi p

Missal: p Ani salah satu siswa yang cerdasq Ani anak rajin

maka p q Jika dan hanya jika Ani salah satu siswa yang cerdasmaka Ani anak rajin.

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel;

P Q p qB B ...............B S SS B ...............S S B

Masalah 5:Diketahui:

p Tari gadis pandaiq Tari anak orang kaya

Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini:a. p q b. p ~q c. q p d. ~p ~q e. q ~p

Penyelesaian:a. p q Tari gadis pandai jika dan hanya jika Tari anak orang kaya.b. p ~q c. q p d. ~p ~ q e. q ~ p

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Jika p Aswan tidak suka menyanyi dan q Aswan suka sepak bola

Nyatakan dalam kalimat yang sesuai dari pernyataan berikut:a. p v ~q c. ~p q e. ~q ~p g. ~p qb. ~ p q d. ~q p f. q ~p h. ~p ~q

2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan:a. Kucing binatang menyusui dan gajah binatang melatab. 3 x 3 x 3 = 3 x (3 + 3) atau 23 = 8c. Jika 3 bilangan prima maka 32 = 3 + 3d. Jika 2 bilangan genap maka Jakarta ibu kota RI.e. Jika jumlah sudut suatu segitiga 180o maka 1 + 3 = 4f. 4 x 2 = 8 Solo di Pulau Bali

3. tentukan nilai x agar pernyataan berikut bernilai Benar !a. Jika 2x = 12 maka 2 bilangan ganjilb. Jika sin x = ½ , x sudut lancip maka cos 45o = ½c. x2 = 9 jika dan hanya jika 22 = 4d. Sin x = ½ jika dan hanya jika tan 45o = -1e. Cos 2x = 1 dan tan 2x = -1f. 2x – 1 < 0 atau x > 0

A.3.4. Pernyataan majemuk yang ekuivalen.

Dua atau lebih suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yangsama disebut dengan Pernyataan Majemuk ekuivalen.Missal : Jakarta ibukota RI dan 2 + 3 = 5 ekuivelen dengan

4 + 1 < 9 atau gajah berkaki 3.

A.4. Nilai kebenaran suatu pernyataan.Pengantar materi:Nilai Kebenaran suatu pernyataan majemuk dapat dibuktikan dengan menggunakankaidah tabel kebenaran masing-masing pernyataan induknya

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalamtentang aturan tabel kebenaran guna menentukan nilai kebenaran suatu pernyataanberikut ini:Masalah 6:Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan:a. ( p q ) p b. ~p ~ ( p q )Penyelesaian:

a. ( p q ) p b. ~p ~ ( p q )x y

p q p q (p q) p p Q ~p pq ~ (pq) x y

B B B ............ B B S ....... S ........

B S ...... B B S S S .......... .........

S B ...... ............ S B B ....... .......... S

S S S ............ S S B ....... .......... .........

Jika diperhatikan hasil penyelidikan terhadap dua pernyataan majemuk di atasmendapatkan nilai kebenaran sebagai berikut:

a. ( p q ) p, ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya, pernyataan ini selalu bernilai benar ( dan pernyataan seperti inidikenal dengan Tautologi)

b. ~p ~ (p q) , ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataantunggalnya, pernyataan ini selalu bernilai Salah ( dan pernyataan se-perti ini dikenal dengan kontradiksi )

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini:

a. (p q) ~ (p q) b. ~ (~p q ) p2. Selidiki apakah pernyataan majemuk ini ekuivalen:

a. q v (p r) b. (p q ) r dan r (p q) c. ~ (p q) dan p ~ q3. Buktikan bahwa Negasi dari masing-masing pernyataan majemuk berikut benar

adanya ( Dalil d’Morgan) :a. ~ (p q) ~ p v ~ q c. ~ ( p q ) (p ~ q) v (q ~ p)b. ~ (p v q) ~ p ~ q d. ~ (p q) p ~ q

A.5. Konvers, invers dan kontra posisi.Pengantar materi:Dari suatu pernyataan majemuk implikasi dapat dilakukan suatu operasi bervariasi yangmenghasilkan pernyataan baru dan biasa dikenal konvers, invers serta kontra posisi.Karakteristik masing-masing pernyataan tersebut dapat anda perhatikan dalam bahasandi bawah ini.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalamtentang konvers, invers dan kontra posisi berikut nilai kebenarannya:Masalah 7:Selidiki dan lengkapi nilai kebenaran dari beberapa pernyataan berikut ini :

p Q ~p ~q p q q p ~p ~ q ~q ~ p

Pernyataan tunggal Implikasi Konvers Invers Kontra posisi

B B S ....... ....... B ....... .......

B S ....... B ....... ....... B .......

S B ....... ....... ....... ....... ....... B

S S ....... ....... B ....... ....... .......

Nilai logisnya sama

Ini berarti ekuivalenPermasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Negasi dari pernyataan majemuk di bawah ini adalah :

a. Segitiga ABC adalah siku-siku dan sama kakib. Garis a dan b sejajar atau berpotonganc. Harga barang naik dan sulit didapatd. Jika mandor tidak datang maka kuli banyak yang pulange. Jika x bilangan real dengan x < 2 maka x2 < 4f. Jika Ac tegal lurus BD maka ABCD layang-layang

2. Tentkan konvers, invers dan kontra posisi dari pernyataan pada nomor 1 d s/d f.3. Tunjukan dengan tabel kenearan bahwa pernyataan berikut ini ekuivalen:

a. p v (p v q) p b. p q ~ p v q c. p q (p q) (q p)

A.5. Pernyataan Kuantor.

Pengalaman Belajar: 1.11.4. Mendiskusikan pengertian kuantor universal dan ekstensialbeserta ingkarannya.

1.11.5. Mempresentasikan hasil diskusi.1.11.6. Menyimpulkan hasil diskusi secara kelompok.1.11.7. Membuat pernyataan berkuantor universal dan ekstensial

beserta ingkarannya

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut pernyataan kuantor diharapkan peserta didiksecara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapasumber referensi maupun media interaktif.

Pengantar materi:Dalam bagian terdahulu telah kita pahami, bahwa kalimat matematika terbuka dapatdiubah menjadi suatu pernyataan, dengan mengganti variabel – nya dengan suatuanggota / unsur semesta pembicaraan.Masih ada suatu langkah mengubah kalimat matematika terbuka menjadi tertutup/pernyataan, yaitu dengan menggunakan kuantor, suatu ungkapan/kata yang menyatakan”nominal atau berapa banyak”.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalamtentang pernyataan kuantor , perhatikan hal-hal berikut ini:Pernyataan kuantor dibedakan menjadi dua, yaitu:

a. Kuantor Universal:Suatu kuantor yang menunjukan bahwa setiap atau semua elemen/unsur berlakupada sistem /semesta pembicaraan.Kuantor universal biasa diberi lambang: )(x dibaca: Untuk semua x, berlaku .....

Semua x, berlaku ........Setiap x, berlaku .......

b. Kuantor Ekstensial:Suatu kuantor yang menunjukan bahwa (Tidak semua) / hanya ada atau beberapaelemen/unsur yang berlaku/memenuhi sistem /semesta pembicaraan.Kuantor universal biasa diberi lambang: )(x dibaca: Tidak semua x, berlaku .....

Ada x, berlaku ........Beberapa x, berlaku .......

Catatan: Diantara ke dua jenis pernyataan kuantor tersebut keduanya memiliki sifat salinginvers / sangkal / atau ingkarannya.

Masalah 8:1. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam bentuk kalimat !

a. )(x R, x2 + 1 > 0 c. )(x B, 5x – 3 = 12b. )(x R, 2x2 – 4 < 4 d. )(x R, 2 – x2 = 4

2. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam lambang-lambang kuantor !a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap.c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x2 < 0

3. Tentukan negasi dari masing-masing pernyataan kuantor berikut !a. )(x R, x2 + 1 > 0b. )(x R, 2 – x2 = 4c. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8d. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap.e. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0f. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x3 < 0

Penyelesaian:1. a. )(x R, x2 + 1 > 0 ; Untuk semua x anggota bilangan real berlaku x2 + 1 > 0

b. )(x R, 2x2 – 4 < 4 ; Beberapa x anggota real berlaku 2x2 – 4 < 4c. )(x B, 5x – 3 = 12 ; ...............................................................................................d. )(x R, 2 – x2 = 4 ; ...............................................................................................

2. a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8)(x R, 3x – 2 = 8

b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap.....................................................

c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0....................................................

d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x3 < 0....................................................

3. a. )(x R, x2 + 1 > 0 negasinya : )(x R, x2 + 1 0b. )(x R, 2 – x2 = 4 negasinya : ......................................c. .........................................................................................................d. .........................................................................................................e. .........................................................................................................f. .........................................................................................................

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kuantor berikut ini:

a. )(x R, x2 + 2 0

b. )(x R, x = x

c. )(x R, x2 = 25 x =5

d. ( )(x R)( )(y R), x2 –y2 = (x +y)(x –y)

e. )(x R, x2 -5x + 6 = 0

f. )(x R, x + 4 > 7

g. ( )(x C )( )(y C ), x < y

h. ( )(x R )( )(x R), x + y > xy

2. Nyatakan dalam bentuk pernyataan kuantor:

a. x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real

b. Setiap bilangan bulat, genap atau ganjil

c. Terdapat bilangan real x sedemikian hingga x2 < 0

d. Setiap bilangan prima adalah ganjil.

3. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berikut dan tentukan nilai kebenarannya.a. )(x R, x3 > x

b. )(x Q, 2x2-x -1 = 0

c. ( )(x R )( )(y R ), sin ( x + y) = sin x + sin y

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat !1. Negasi dari ‚“ Pada hari minggu semua siswa tidak masuk ke sekolah,“ adalah ................

a. Pada hari minggu semua siswa ke sekolah.b. Pada hari minggu ada siswa ke sekolahc. Pada hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolahd. Pada hari yang bukan minggu semua siswa tidak ke sekolahe. Pada hari yang bukan hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah

2. Negasi dari ”Jika saya ke Jakarta, maka saya mampir ke rumah Ayu” adalah ..........a. Jika saya tidak ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah ayu.b. Jika saya tidak mampir ke rumah Ayu, maka saya tidak ke Jakartac. Jika saya ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah Ayu.d. Saya ke Jakarta dan saya tidak mampir ke rumah Ayue. Saya ke Jakarta dan saya mampir ke rumah Ayu.

3. Diketahui ” Jika jalan diperbaiki maka lalu linta lancar” Kontraposisi dari konvers pernyataandiatas adalah ......................

a. Jika jalan tidak diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancarb. Jika lalu lintas lancar, maka jalan diperbaikic. Jika lalu lintas tidak lancar, maka jalan tidak diperbaikid. Jika jalan diperbaiki maka lalu lintas lancare. Jika jalan diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar.

4. Nilai x agar implikasi ” x2 = 25 tan 45o = 3 ” bernilai benar kecuali ..........a. x = 5 b. x = -5 c. x 5 d. x -5 e. x 25

5. Jika pernyataan p dan q benar, maka pernyataan yang bernilai benar adalah .........a. p q b. p v ~q c. p q d. ~q p e. ~pq

6. ~p q mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan ........................a. p q b. q ~ p c. ~p~ q d. p q e. p v q

7. Diketahui p, q, r, dan s , Jika p q , q r, r s dan s masing-masing bernilai Benar,maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah …………………..

a. p v q b. ~p v q c. p q d. ~p~ s e. ~p ~ q

8. Negasi dari (p q) r adalah ….................a. (p v q) r b. p q ~ r c. (p q) r d. p v q v r e. p q v r

9. Perhatikan kalimat ” Jika ia berusaha, maka ia berhasil.” Kontra posisinya adalah …….a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasilb. Jika ia berhasil, maka ia berusaha.c. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha.d. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil.e. Ia tidak berusaha, tetapi ia tidak berhasil.

10. Pernyataan,” Jika Rina lulus ujian, maka Rina akan kawin,” senilai dengan .............a. Jika Rina lulus, maka Rina kawin.b. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina akan kawin.c. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina tidak kawin.d. Jika Rina kawin, maka Rina lulus ujian.e. Jika Rina tidak kawin, maka Rina tidak lulus ujian.

B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!1. Tentukan ingkaran dari pernyataan:

a. Semua peserta ujian tulis lulus. c. Ada manusia yang dapat hidup di planet Marsb. Jika x bilangan Prima, maka x bilangan Ganjil.

2. Tentukan nilai kebenaran dari:a. x2 = x + 2 3x + 1 = 7b. Sin2 x = ½ , x di kuadran dua maka tan x = 1

3. Selidiki nilai kebenaran pernyataan berikut dengan tabel kebenaran:a. ( p q ) v (~p v q ) b. [~ ( p q ) v ~p ] (~p ~ q )

B. PENARIKAN KESIMPULAN dan PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA.Kompetensi Dasar : 1.12. Menggunakan sifat dan prinsip logika untuk penarikan kesimpulan

dan membuktikan sifat/teorema matematikaB.1. PENARIKAN KESIMPULAN.

Pengalaman Belajar: 1.12.1. Mengingat kembali tabel kebenaran, operasi logika.1.12.2. Membuat argumentasi tentang kehidupan sehari-hari yang

relevan dengan logika.1.12.3. menarik kesimpulan dengan kaidah modus ponens, tollens,

dan silogisme.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut penarikan kesimpulan diharapkan pesertadidik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapasumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:Pengantar materi:Salah satu tujuan penting dari logika matematika adalah untuk memperoleh pengetahuanguna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan.Yang dimaksud dengan argumentasi dalam pembahasan ini adalah suatu penegasanbahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (premis), melalui langkah-langkahlogis, dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar ( disebut kesimpulan atau konklusi )Suatu argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu bilamana semua premisnya benar, makakonklusinya juga benar.Terdapat beberapa model penarikan kesimpulan yang mengedepankan kaidah implikasi,yaitu:b.1.1. Modus Ponens.

Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut:Premis 1 : p q : BenarPremis 2 : p : Benar

Jadi : q : Benar (Konklusi)

b.1.2. Modus Tollens.Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut:Premis 1 : p q : BenarPremis 2 : ~ q : Benar

Jadi : ~ p : Benar (Konklusi)

Guna menyelidiki berlakunya Modus Ponens dan Tollens dapat diperhatikan tabelkebenaran di bawah ini:

p q p q ~p ~qB B B S S Modus PonensB S S S B

S B B B SS S B B B Modus Tollens

b.1.3. Silogisma.Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut:

Premis 1 : p q : BenarPremis 2 : q r : Benar

Jadi : p r : Benar (Konklusi)

Berlakunya kaidah silogisma dapat diperhatikan pada tabel kebenaran berikut ini:p q r p q q r p rB B B B ................. .................B B S ................. S .................B S B ................. ................. BB S S S ................. .................S B B ................. ................. .................S B S ................. S .................S S B ................. ................. BS S S ................. ................. .................

Masalah 9:

1. Selidiki sah tidaknya penarikan kesimpulan di bawah ini dan menurut pola apaa. Jika umar seorang haji, maka ia beragama Islam.

Umar adalah seorang haji.-----------------------------------------------------------------Jadi Umar beragama Islam.

b. Jika ABCD sebuah belah ketupat, maka AC tegak lurus BDAC tidak tegak lurus BD-------------------------------------------------------------------------------Jadi ABCD bukan belah ketupat.

c. Jika Burhan begadang pada malam minggu, maka ia masuk anginJika Burhan masuk angin, hari Senin tidak masuk sekolah.----------------------------------------------------------------------------------------Jadi : Jika burhan begadang pada malam mingu, maka hari Senin ia tidak masuk

Sekolah.2. Kajilah sah tidaknya argumentasi berikut ini:

a. p q b. p v qp p----------------- ---------------Jadi: q Jadi: ~q

Penyelesaian:1. a. p q : premis 1 c. p ........ : premis 1

p : premis 2 ........ r : premis 1

Jadi: q : konklusi ........ ...... : Konklusi

Syah menurut Modus Ponens. Syah menurut ............................

b. p q : premis 1

....... : premis 2Jadi: ...... : konklusiSyah menurut Modus ................

2. a. p q b. p v qp p----------------- ---------------Jadi: q Jadi: ~q

p q p q p q ~q p v qB ........ B B ........ S ........

........ S ........ ........ S ........ B

........ B S S ........ S ........S ........ ........ ........ ........ ........ ........

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Tentukan syah tidaknya argumentai berikut ini !

a. Jika Amir rajin belajar, maka Amir naik kelas.Amir naik kelas .Jadi Amir rajin belajar

b. Jika Burhan lulus ujian, maka ia dibelikan sepeda motor.Burhan tidak dibelikan sepeda motor .Jadi Burhan tidak lulus ujian

c. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0a 0 dan b 0----------------------------------------------------Jadi ab 0

d. Setelah tamat SMA, saya bekerja atau kuliah di UNESASaya tidak kuliah di UNESA .Jadi Saya bekerja.

2. Kajilah syah tidaknya pernyataan berikut !a.1. p q 2. p q

~ r ~ q ~ q ~ r--------------------- ----------------------

Jadi: ~r ~ p Jadi: r pb. Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung

Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke LembangJadi: Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep tidak lulus ujian.

c. Jika n bilangan prima ganjil maka n > 2Jika n > 2 maka n2 > 4 .Jadi: Jika n bilangan prima ganjil, maka n2 4

B.2. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA.

Pengalaman Belajar: 1.12.4. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung dan ti-dak langsung (Menggunakan kaidah kontraposisi/kontradiksi)

1.12.5. Membuktikan sifat matematika dengan induksi matematika.1.12.6. Mengolah dan mendiskusikan informasi yang diperolehnya

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut pembuktian dalam matematika diharapkanpeserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu daribeberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:Pengantar materi:B.2.1. Bukti langsung.

Suatu model pembuktian yang menggunakan argumentai langsung dari beberapapremis yang ada.Masalah 10:Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n2 ganjil.Penyelesaian:Misalkan: p n bilangan Bulat ganjil, dan q n2 bilangan Bulat ganjil

Harus dibuktikan bahwa p q bernilai BENAR.Bukti:Oleh karena n ganjil (p), maka dapat dimisalkan : n = 2a + 1, dengan a bilanganBulat, Dengan demikian: n2 = ( 2a + 1 )2

= ........ + ........ + 1 [ Bulat ganjil (q) ]

Terbukti bahwa: p q bernilai .......................

LKS-Mat.X-59

B.2.2. Bukti tidak langsung.Metode bukti tak langsung yang sering disebut reductio ad absurdum atau buktidengan kemustahilan banyak digunakan dalam Geometri.

(i) Dengan Kontradiksi:Misal akan dibuktikan : p q bernilai BENAR.Dari yang diketahui p benar, diandaikan q salah atau ~ q benar.Dengan langkah logis diturunkan bahwa ~ p benar.Hal ini berarti terjadi kontradiksi (karena diketahui p benar), dengan demikianpengandaian bahwa q salah harus diingkar yang berarti benar.Masalah 11:Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n2 ganjil maka n ganjil.Penyelesaian:Misalkan: Diketahui n2 bilangan ganjil, akan dibuktikan n bilangan ganjilBukti:Andaikan n bukan bilangan genap, karena n bilangan genap, Dapatdimisalkan : n = 2k, dengan k bilangan Bulat,Dengan demikian: n2 = ( 2k )2

= ........ = 2 (...... )

= 2 m , dengan m = ........

Karena n2 = 2m berarti n2 bilangan genap. Hal ini bertentangan (kontradiksi)

dengan yang diketahui bahwa n2 ganjil.

Oleh karena itu pengadaian harus diingkar yaitu yang benar adalah n

bilangan ganjil. (terbukti)

(ii) Dengan KontraposisiBukti dengan kontraposisi dapat dilakukan dengan langkah logis sbb:Misalkan harus dibuktikan p q (BENAR)Kita andaikan q Salah atau ~ q Benar, dengan langkah logis diturunkan psalah atau ~ p benar, maka diperoleh : ~ q~ p (BENAR)Oleh karena : ~q ~ p p q maka Jika ~ q ~ p (BENAR),akibatnya p q juga BENAR.Masalah 12:Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n2 ganjil.Penyelesaian:Diketahui : n2 bilangan bulat ganjil. ( p )Harus dibuktikan : n bilangan bulat ganjil ( q )Andaikan : n bukan bilangan bulat ganjil (~q )Maka : n2 bukan bilangan bulat ganjil. (~p )Karena : ~q ~ p kontraposisi dari p q dan ekuivalen

Maka terbukti bahwa pernyataan benar.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Gunakan bukti langsung guna membuktikan kebenaran masing-masing pernyataan di

bawah ini!a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n2 genap.b. Setiap bilangan real x, jika x = 3 maka x2 = 9c. Terdapat bilangan real sehingga r2 > rd. Jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga ama dengan 180o

e. Untuk setiap bilangan real x, 1 + cos x 0

2. Gunakan bukti tak langsung guna membuktikan kebenaran masing-masingpernyataan di bawah ini!

a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n2 genap.b. Untuk setiap himpunan A dan B, jika A B = B maka A B

LKS-Mat.X-60

c. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika ab ganjil maka a dan b kedua-duanya ganjil.

d. Jika dua garis a dan b sejajar dipotong oleh garis ke tiga c, maka sudut-sudut dalam berseberangan sama besar.

e. Untuk setiap bilangan real x, Jika x2 > 1 maka x < -1 atau x > 1

B.2.2. Induksi matematika.Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika adalah jenis ini.Dengan prinsip sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.Apabila P(1) bernilai BENAR, dan apabila P(k) juga bernilai BENAR makaP(k +1) juga bernilai BENAR.Maka dapat dipastikan P(n) bernilai BENAR untuk semua n bilangan Asli

Masalah 13:

Buktikanlah bahwa 1 + 3 + 5 + ..... + (2n – 1) = n2 , untuk semua bilangan Asli n.Penyelesaian:Misalkan: P(n) adalah ” 1 + 3 + 5 + ..... + (2n – 1) = n2 ”

(a). Untuk n = 1 , maka P(1) bernilai Benar, Sebab 1 = ( ….. )2 = 1

(b). Andai untuk n = k sehingga P(k) bernilai Benar, yaitu apabila:

1 + 3 + 5 + ..... + (2 …. – 1) = .....2 , maka:

(c). Akan dibuktikan berlaku (Benar) untuk n = k +1

1 + 3 + 5 + ..... + (2k -1) + (2 (k+1) – 1)

= [1 + 3 + 5 + ..... + (2k -1) + [(2k + ..... – 1) ]

k2

= ...... 2 + (..... +1)

= k2 + ..... +1 = ( ..... + 1)2

Jadi untuk P(k + 1) bernilai Benar, dengan demikian P(n) Benar.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:Buktikan kebenaran dari argumentasi di bawah ini dengan Induksi Matematika !

1. Buktikan bahwa ” n3 +5n habis dibagi oleh 6”

2. Buktikan bahwa ” 1 +2 +3 +4 + ...... + n = ½ n (n +1) ”

3. Buktikan bahwa ” 1 +2 + 22 + 23 + ...... + 2n -1 = 2n -1 ”

4. Buktikan bahwa ” 33n + 22n +2 habis dibagi 5 ”

5. Buktikan bahwa ’’ 24n +3 + 33n +1 habis dibagi oleh 11 “

A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat !

1. Jika kita akan membuktikan kebenaran implikasi ” p q “, kita dapat melakukannya denganbukti tidak langsung yaitu kontraposisi, hal ini sah karena ………………

a. kedua ruas di negasi sehingga nilai kebenarannya samab. kontraposisi ekuivalen dengan implikasic. invers ekuivalen dengan implikasid. pembuktian dengan kontraposis selalu bernilai benare. kontraposisi sama dengan implikasi

LKS-Mat.X-61

02. Kesimpulan dario tiga premis:

r

rq

pvq

, adalah ...............

a. p b. p c. q d. q e. p p

03. Ditentukan premis-premis : 1. Jika Adi rajin, maka ia disayang ibu.2. Jika Adi disayang ibu, maka ia disayang bapak.3. Adi tidak disayang bapak.

Kesimpulan yang sah dari ke-tiga premis tersebut adalah ..........a. Adi rajin tapi tidak disayang ibu. d. Adi tidak rajinb. Adi rajin e. Adi disayang nenekc. Adi disayang ibu

04. Semua peserta UMPTN ingin diterima di Perguruan Tinggi Negeri.Soni tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri .Kesimpulan: ................................................................................... , Isian yang tepat adalah:a. Soni ingin diterima di perguruan tinggi negerib. Soni tidak ingin lulus UMPTNc. Soni peserta UMPTNd. Soni bukan peserta UMPTNe. Soni peserta UMPTN yang tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri.

05. Semua lelaki berrambut gondrong berjiwa seni.Ali berjiwa seniAmir berambut gondrong, Penarikan kesimpulan berikut:1. Ali berambut gondrong. 3. Ali dan Amir berambut gondrong.2. Amir berjiwa seni 4. Ali atau Amir berambut gondrong.Penarikan kesimpulan yang valid adalah ...................a. 1, 2 dan 3 b. 1 dan 3 c. 2 dan 4 d. 4 e. 1, 2, 3 dan 4

06. Pembuktian berikut termasuk bukti langsung, kecuali ........a. Modus ponens c. kontraposisi e. Silogismeb. Modus Tollens d. Induksi Matematika

07. Jika kita akan membuktikan bahwa 3 irrasional menggunakan bukti tak langsung, makalangkah yang benar adalah ..........

a. lihat 3 dalam tabel c. 3 =2

6e. dengan menggunakan kalkulator

b. lihat 3 lewat kalkulator d. 3 =b

a, a , b bulat yang tidak punya faktor persekutuan.

08. Jika kita akan membuktikan kebenaran Implikasi ” p q ” , kita dapat melakukanya denganbukti tak langsung melalui kontraposisi, hal ini syah karena ..............a. ke-dua ruas dinegasi sehingga nilai kebenarannya sama.b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasic. invers ekuivalen dengan implikasid. pembuktian dengan kontraposisi selalu bernilai benar.e. kontraposisi sama dengan implikasi.

B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1. Semua siswa kelas X memakai baju baru.Semua siswa kelas X tidak memakai dasi.Budi memakai dasi, Tentukan kesimpulan yang syah dari ke-tiga premis tersebut !

2. Buktikan bahwa ” 2 +4 +6 +8 + ........ + 2n = n (n +1)

3. Buktikan bahwa 72n +1 + 1 habis dibagi 8 untuk semua n bilangan asli !

LKS-Mat.X-62

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR

Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantarapernyataan berikut):

Menyenangkan 1 2 3 4 5 Membosankan

Bermanfaat 1 2 3 4 5 Tidak Bermanfaat

Menarik 1 2 3 4 5 Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari 1 2 3 4 5 Tidak perlu dipelajari

Menantang 1 2 3 4 5 Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi denganmasalah sehari-hari 1 2 3 4 5 Tidak Mempunyai korelasi

dengan masalah sehari-hari

Petunjuk Penilaian:

1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minatsiswa.

2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarikminat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

Standar KompetensiMemahami dan Menggunakan aturan dan sifat perbandingan, fungsi, persamaandan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

A. NILAI PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI.Kompetensi Dasar : 2.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri, rumus

Sinus, dan rumus Cosinus dalam pemecahan masalah.

A.1. UKURAN SUDUT DALAM DERAJAT DAN RADIAN.

Pengalaman Belajar: 2.1. Mendefinisikan pengertian derajat dan radian.2.1. Mengidentifikasi hubungan ukuran sudut dari derajat ke radian

dan sebaliknya.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut ukuran sudut diharapkan peserta didiksecara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapasumber referensi maupun media interaktif.


Pengantar materi:Dalam setiap pembicaraan tentang trigonometri tidak terlepas dari apa yang dinamakanukuran sudut. Pada hakekatnya ukuran sudut sering dinyatakan dalam dua hal, sebagaiberikut:A.1.1. UKURAN DERAJAT. Y

Jika Titik A bergerak mengelilingi keliling lingkaranpenuh, berarti titik A menempuh sudut 360o

AJika bergerak setengah putaran penuh, berarti XTitik A menempuh sudut ......... o

Jika bergerak seperempat putaran penuh, berartiTitik A menempuh sudut ......... o

Jika titik A menempuh sudut 30o, maka A bergerak

mengelilingi keliling lingkarano

o

360

30putaran = ...... putaran.

Sehingga dapat ditarik hubungan ukuran derajat sebagai berikut:

Besar sudut 10o = putaran Besar sudut 5o = putaran

Jadi pengertian dari: 1o =........

........ putaran penuh.

A.1.2. UKURAN RADIAN.Y Perhatikan gambar disamping:

BR Besar sudut AOB dapat dinyatakan dalam :

O A

radianjariJari

ABbusurPanjang

LKS-Mat.X-63

LKS-Mat.X-64

y Q Perhatikan gambar disamping ini:R Jika panjang busur PQ sama dengan panjang jari-jari

R Lingkaran. Maka POQ besarnya 1 radian.R P Sehingga 360o = ....?.... radian.

O x Telah diketahui bahwa 360o adalah besar sudut 1 putaran penuh. Dalam perhitungan ukuran radian, maka:

360o = radianjariJari

lingkaranKeliling

= radian

R

........

2

Jadi : 3600 = ....... radian.1800 = ....... radian.900 = ....... radian.

Jika mendekati7

22maka 1 radian = ox180

22

7= ......... o

Masalah 14:a. Nyatakan ukuran derajat berikut ke dalam ukuran radian !

i. 60o ii. 1500 iii. 3150

b. Nyatakan ukuran radian berikut ke dalam ukuran derajat !i. 3 radian ii. 2

3 radian iii. 2 radian

Penyelesaian:

9. i. 60o =360

60x 2 =

.....

1x 2 =

.....

radian

a. 1500 = ...........................................................

b. 3150 = ...........................................................

10. i. 3 radian = 3 x 180o = ........ o

ii. 23 radian = ............................................

iii. 2 radian = 2 x 57,27o = ............... o

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Ubah ukuran derajat berikut ini ke dalam ukuran radian !a. 240o b. 330o c. 310o d. 210o e. 75o f. 20o

2. Ubah ukuran radian berikut ini ke dalam ukuran derajat !

a.3

rad b.

5

3rad c.

6

7rad d. 1,2 rad e. 3,5 rad f. 0,25 rad

A.2. NILAI PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI.Pengalaman Belajar: 2.3. Mendefinisikan nilai perbandingan trigonometri dalam segitiga

siku-siku.2.4. Menghitung nilai sinus sudut siku-siku dan sudut-sudut tertentu/

atau sudut khusus.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut nilai perbandingan fungsi trigonometridiharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajarterdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.


LKS-Mat.X-65

Pengantar materi:Nilai perbandingan fungsi trigonometri pada hakekatnya dapat diturunkan dari konsepdasar tempat Kedudukan Titik pada koordinat cartesius (Ingat materi SLTP) dipadudengan teorema Phytagoras, sebagaimana dapat diperhatikan pada gambar berikut:

Untuk setiap sudut di kuadran 1 (ao lancip) dapat diturun-kan pengertian Fungsi Trigonometri, yang pada hake-

P(x, y) katnya merupakan nilai perbandingan dari 3 sisi suatu segitiga siku-siku ( perhatikan segitiga OAP ), sbb:

R y Sinus ao = Sin ao =miringsisi

tegaksisi

=OP

AP=

.......

y

ao Cosinus ao = Cos ao =miringsisi

datarsisi

=OP

OA=

.......

.......

O x A X

Tangen ao = Tan ao =datarsisi

tegaksisi

=........

AP=

.......

.......

Disamping itu terdapat pula relasi kebalikan dari fungsi trigonometri sebagai berikut:

Secans ao = Sec ao =datarsisi

miringsisi

=OA

OP=

.......

.......=

oa.cos

1

Cosecans ao = Cosec ao =tegaksisi

miringsisi

=AP

......=

.......

.......=

oa.sin

......

Cotangens ao = Cotan ao =tegaksisi

datarsisi

=.......

OA=

.......

.......=

........

1

Masalah 15: BTentukan nilai-nilai perbandingan dari 24fungsi trigonometri dari sebuah segitiga asiku-siku di bawah ini

C APenyelesaian: 25

Dari gambar didapat: a = .........252 = .............. = ....... = ........Sehingga nilai-nilai fungsi trigonometri dapat diturunkan, sebagai berikut:

Sin A =AC

BC=

25

......= ....... Sin C =

......

......=

25

.......= .......

Cos A =......

AB=

......

......= ....... Cos C =

......

BC=

......

.......= .......

Tan A =AB

......=

......

......= ....... Tan C =

......

......=

......

.......= .......

Sec A =......

......=

......

......= ....... Cosec C =

......

......=

......

.......= .......

Sekarang bagaimana kita menentukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut khususatau istimewa, dan perlu diketahui bahwa yang dimaksud sudut istimewa adalah nilai-nilaisudut pada kuadran I diantaranya 0o , 30o , 45o , 60o dan 90o

C Pada segitiga ABC siku-siku di B sama kaki dengan panjang sisisiku-sikunya p, berarti AB = BC = p

Sehingga didapat AC = 22 .....p = 2.....2 = ..... .....p dan sudut A = 45o

pA B Sehingga didapat:

Sin A = Sin 45o =AC

BC=

2p

p=

.....

1= .....

2

1

LKS-Mat.X-66

CosA = Cos 45o =......

AB=

2

.......

p=

.....

1= .....

......

......

C Tan A = Tan 45o =AB

BC=

......

......= ........

Pada segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = p, A = 60o ,D Maka C = ….. o

Dibuat ABD = 60o , maka ADB = ......o dan CBD = …..o60o

A B Karena A = 60o = ABD, maka segitiga ABD sama sisi, se-hingga AB = AD = …… = p

Karena C = CBD, maka segitiga BCD sama kaki, sehingga BD = …… = ……..

Akibatnya AC = AD + CD = …… + ….. = …… dan BC = 22 ABAC = …….

Sin A = sin 60o =AC

BC=

......

......= …… Sin C = sin 30o =

AC

......=

......

......= ……

Cos A = sin 60o =......

......=

......

......= …… Cos C = Cos ....o =

......

......=

......

......= ……

Tan A = sin ....o =......

......=

......

......= …… Tan C = Tan ....o =

......

......=

......

......= ……

Dari beberapa temuan di atas dapat dibuat tabel dan coba lengkapilah tabel berikut:

Fungsi 0o 30o 45o 60o 90o

Sin 0 ......... 22

1......... 1

Cos ......... 32

1......... ......... .........

Tan ......... ......... ......... .........

Sec ......... ......... ......... ......... .........

Cosec ......... ......... ......... ......... .........

Cotan ......... ......... ......... ......... .........

Masalah 16:Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari:

sin 30ocos 60o + cos 30o sin 60o

Penyelesaian:

sin 30ocos 60o + cos 30o sin 60o = (2

1x ..... ) + ( ...... x ...... ) = ....... + ...... = ........

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Tentukan nilai perbandingan fungsi trigonometri lengkap dari gambar di bawah ini !

C Q Ca 3

B P p 7 210 5 B

6 R A cA

2. Tentukan nilai dari :a. Tan 30o + cos 45o – sin 45o d. cos 30o cos 60o – sin 30osin 60o

b. sin 30o + cos 60o + tan 45o e. sin 60o tan 30o + tan 60ocos 30o

c. cos2 45o + 2 cos 45o –2

1f.

oo

oooo

60tan30tan

60cos45cos60sin45sin 2222

LKS-Mat.X-67

3. Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui dari segitiga ABC jika diketahuiC= 90o

dan: a. A= 15o dan a = 10 cm b. B= 70o dan c = 20 cm

4. D4cm Tentukan nilai p dari gambar disamping !

p C

30o

A 10 cm B

5. P Pada gambar disamping, jika Q = 60o dan QR = 8 cm, APQ = ASP = PRS = 90o

Tentukan panjang PQ, PR, PS dan QS !

R

A S Q

A.3. RELASI SUDUT FUNGSI TRIGONOMETRI.Pengalaman Belajar: 2.5. Menunjukan letak sudut di beberapa kuadran

2.6. Menghitung nilai sinus, cosinus, tangen dari beberapa kuadran2.7. Menghitung besarnya sudut dalam perbandingan trigonometri

jika salah satu nilai trigonometrinya diketahui.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut relasi/hubungan sudut fungsi trigonometridiharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajarterdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.


Pengantar materi:A.3.1. Tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai kuadran.

Dengan mengingat kembali definisi fungsi trigonometri dan juga memperhatikanletak kaki sudut di kuadran tertentu, terdapat perbedaan tanda positif dan negatifpada setiap unsur x dan y, sehingga memiliki pengaruh pada nilai perbandinganfungsi trigonometri, coba perhatikan gambar dan tabel dibawah ini:

yKuadran II Kuadran I

x < 0 , y … 0 x > 0 , y > 0R … 0 R > 0

x

x … 0 , y …0 x … 0 , y … 0R … 0 R ... 0

Kuadran III Kuadran IV

Nilai Perban-dingan Trigo-

nometri

KuadranI II III IV

x y x y x y x y+ + - + - - + -

Sinus + +Cosinus + -

Tangen + +

A.3.2. Relasi sudut fungsi trigonometri di berbagai kuadran.y

Perhatikan gambar di samping, nampak bahwaP’ P hasil pencerminan Titik P terhadap sumbu y, di

dapat titik P’ dan seterusnya, sehingga diturun-kan nilai sudut di berbagai kuadran yang mem-

(180 - ) x punyai korelasi satu sama yang lainnya, seba-(180 + ) (360 - ) gai berikut:

atau (- )

LKS-Mat.X-68

Kuadran II

Sin (180 - ) = Sin Cos (180 - ) = - Cos Tan (180 - ) = - Tan

Kuadran I

Sin Cos Tan

Kuadran III

Sin (180 + ) = - Sin Cos (180 + ) = - Cos Tan (180 + ) = Tan

Kuadran IV

Sin (360 - ) = - Sin Cos (360 - ) = Cos Tan (360 - ) = - Tan

A.3.3. Relasi sudut yang saling berkomplemen di berbagai kuadran.

Dengan menggunakan aturan refleksi/pencerminan terhadap garis y = x & y = -xdari suatu titik P(x, y) yang membentuk sudut , kita dapat turunkan relasi daribeberapa sudut yang saling berkomplemen, sebagai berikut:

Kuadran II

Sin (90 + ) = Cos Cos (90 + ) = - Sin Tan (90 + ) = - Cotan

Kuadran I

Sin (90 - ) = Cos Cos (90 - ) = Sin Tan (90 - ) = Cotan

Kuadran III Kuadran IV

Sin (270 - ) = - Cos Cos (270 - ) = - Sin Tan (270 - ) = Cotan

Sin (270 + ) = - Cos Cos (270 + ) = Sin Tan (270 + ) = - Cotan

Masalah 17:1. Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari:

a. sin 120o b. Cos 300o – Tan 135o c. Sec2 210o

2. Jika sin 44o = 0,695 dan cos 46o = 0,719, maka tentukan nilai dari fungsi trigono-metri berikut ini (tanpa bantuan alat hitung) !a. cos 226o b. Sin 224o – sin 316o

Penyelesaian:

1. a. Sin 120o = ( ingat 120o berada pada kuadran II sehingga Sin + )

Sin 120o = Sin ( 180 - ...... )o = Sin .....o = 32

1

b. Cos 300o – Tan 135o = Cos ( 360 - ..... ) – Tan (180 - .... ) = Cos ..... – ( -Tan .... )

= ......... - ........ = ..........

c. Sec2 210o = Sec2 ( 180 + ..... )o = ( Sec …..o )2 = ……2 = ……

2. Diketahui : sin 44o = 0,695 dan cos 46o = 0,719

Ditanya : a. cos 226o b. Sin 224o – sin 316o

Jawab :

a. cos 226o = (berada di kuadran II berkomplemen )

cos 226o = cos ( 270 - ..... )o = - sin 44o = - ……….

b. Sin 224o – sin 316o = Sin ( 270 - ..... )o - Sin (270 + ....)o = - cos ..... – cos ......

= -2 cos ....... = - ..............

LKS-Mat.X-69

A.3.4. Menentukan nilai perbandingan trigonomeri.Menentukan nilai fungsi trigonometri di berbagai kuadran jika salah satu nilaifungsinya diketahui harus memperhatikan aturan nilai fungsi yang berlaku dimasing-masing kuadran.Masalah 18:

Jika sin A =5

4dan 90o < A < 180o (kuadran II) maka Tentukan nilai dari:

a. cos A b. Tan A c. sec2 A d. 1 – cotan2APenyelesaian:

Karena A pada kuadran II, maka x < 0 dan y > 0 maka R > 0

sin A =5

4=

R

y, maka didapat y = 4 dan R = 5 sehingga x = 22 yR

maka x = 22 .......... = ...... = ....... dan didapat :

a. cos A =R

x=

......

......c. sec2 A = [ sec A ]2 = [

......

......]2 =

......

......

b. Tan A =......

......=

......

......d. 1 – cotan2A = 1 - [

......

......]2 = 1 -

......

......= ....

CATATAN: Khusus penggunaan alat bantu kalkulator untuk menentukan nilai fungsi trigonometri, diharapkan guru mendemontrasikan dan menuntun sis-wa ke arah aplikasi klakulator sebagai alat bantu hitung.


1. Tanpa alat bantu, tentukan nilai dari:a. tan 240o (sin 30o + cos 45o) c. tan 120o – cotan 30o + sec 330o

b. tan3

4( sin

3

2+ cos

6

11) d. tan

4

3- cotan

6

5+ sin

6

11+ cos

3

5

2. Jika diketahui A =3

5, maka nilai dari : sin A – cos A + tan2 A adalah ........

3. Jika diketahui cos 15o = k, maka tentukan nilai dari Sin 15o !

4. Jika sin A =7

4dan A sudut lancip maka tentukan nilai dari :

a. sin A – 2 cos A b. Cos2 A – 2 sin2 A c. cosec A – ½ cotan A

5. Jika tan B =24

7dan B sudut tumpul 9pada kuadran III) maka tentukan nilai dari:

a. cos B – sin B b. Cos2 B – 2 tan2 B c. sec B – 2 cotan B

A.4. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI.Pengalaman Belajar: 2.8. Menggambar grafik fungsi sinus, cosinus dan tangen

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut grafik fungsi trigonometri diharapkan pesertadidik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapasumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:Pengantar materi:Grafik fungsi trigonometri merupakan sketsa gambar fungsi trigonometri dalam bidangdatar yang tertuang dalam sumbu salib cartesius, dan guna mendukung hal tersebutsiswa diharapkan membuka lagi konsep periodisitas fungsi trigonomeri yang sudahdisampaikan pada jenjang SLTP.

LKS-Mat.X-70

Grafik fungsi trigonometri dasar dinyatakan dalam:f(x) = sin x , f(x) = cos x dan f(x) = tan x

Dengan bantuan nilai perbandingan fungsi trigonometri sudut-sudut istimewa dibeberapa kuadran, maka garfik fungsi trigonometri tersebut dapat kita lukis / sketsasebagaimana langkah berikut:

X 0 30 45 60 90 150 180 210 270 300 315

f(x) = sin x 0 .... ½ 2 ....... 1 ..... 0 -½ ..... -½ -½ 2

y1

½

y = sin x0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-½

-1

X 0 30 45 60 90 150 180 210 270 300 315f(x) = cos x 1 ½ 3 ..... ½ 0 ..... ...... ..... ...... ½ ......

y1

½

y = cos x0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-½

-1

X 0 30 45 60 90 120 150 210 270 300 345

Y = tan x 0 1/3 3 ..... ..... - 3 ..... ..... ..... ..... -1

y

3

1

y = cos x0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1- 3

-

LKS-Mat.X-71

Dari grafik fungsi trigonometri di atas nampak bahwa fungsi trigonometri memilikiperiode / satu putaran nilai yang berbeda, dan dapat diperhatikan sebagai berikut:Fungsi : f(x) = sin x dan f(x) = cos x terbentuk grafik utuh/penuh dalam interval :

0o x 360o , dengan demikian nilai fungsi akan berulang kembalisetelah 360o, Jadi fungsi sinus dan cosinus mempunyai periode 360o

atau biasa dinyatakan : x k. 360o , di mana k Bil. Real.f(x) = tan x terbentuk grafik utuh/penuh dalam interval : 0o x 180o ,

dengan demikian nilai fungsi akan berulang kembali setelah 180o,Jadi fungsi tangen dan cotangen mempunyai periode 180o

atau biasa dinyatakan : x k. 180o , di mana k Bil. Real.

A.5. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK (KOORDINAT KUTUB).

Tempat kedudukan titik pada hakekatnya dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri danbiasa dikenal dengan Koordinat kutub, sistem ini dapat diturunkan dari hubunganpengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri sebagaimana bagian terdahulu.Jika terdapat titik dalam koordinat Kartesius P ( x, y ) dapat diubah menjadi koordinatKutub sebagi berikut P ( R , o ) di mana R = jari-jari dan o sudut yang dibentuk Rterhadap sumbu datar.

y Perhatikan gambardi samping:

P(x, y) Telah diketahui bahwa:

Sin o =R

.....maka y = R ...........

R y R = 23 yx

o Cos o =.....

xmaka x = ..... cos o

O x X

Tan o =.....

.....maka o = anti tan

.....

.....

Masalah 19:Nyatakan ke dalam koordinat kutub A( -1 , 3 )

Penyelesaian:A( -1 , 3 ) didapat x = -1 dan y = 3 berarti o berada pada kuadran II.

Maka R = 22 ............ = ............. = ...... = .......

Dan o = anti tan.....

.....= ……o sehingga didapat P ( R, o ) P ( …. , …..o )

A.6. PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR.

Persamaan trigonometri pada hakekatnya sama saja dengan persamaan linier maupunkuadrat, di mana Himpunan penyelesaiannya merupakan nilai-nilai x yang memenuhipersamaan tersebut, bedanya dalam persamaan trigonomeri nilai pengganti x merupakansuatu sudut, beberapa bentuknya: sin x = c , cos x = c , tan x = c dst, dan c Bil. Real.Masalah 19:

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: sin x = ½ pada 0o x 360o

Penyelesaian:sin x = ½ karena sin x nilainya + maka x berada dalam kuadran I atau II, sehingga:i). sin x = sin 30o (Kuadran I) ii). sin x = sin (180 – 30)o (Kuadran II)

x = ....o k. 360o x = ....o k. 360o

untuk k = 0 x = 30o untuk k = 0 x = ....ok = 1 x = 390o (Tidak memenuhi)

Jadi: HP = { 30o , ......o }

LKS-Mat.X-72


1. Gambarlah grafik fungsi berikut ini, pada 0o x 360o :a. y = ½ cos x c. f(x) = sin 2xb. y = -2 tan x d. f(x) = -3 cos 3x

2. Nyatakan ke dalam koordinat kutub beberapa titik berikut ini:a. (2, 2 3 ) b. (-3 3 , 3) c. (-1, 3 ) d. (-3, -3)

3. Nyatakan ke dalam koordinat katesius beberapa titik berikut ini:

a. (4, 60o) b. (3, 240o) d. (5,6

7) d. (6,

3

5)

4. Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini:a. sin x = ½ 3 c. cos x = -½ 2 e. Tan x = 3

b. 2 sin x = - 2 d. cos 2x = ½ 3 f. 3 tan 3x = - 3


1. Jika tan A = 7/24 , A sudut lancip, maka nilai sin A. cos A = ……….a. 168/625 b. 131/625 c. 124/625 d. 24/175 e. 7/175

2. Koordinat cartesius titik (6, 45o) adalah ……………..a. (3 2 , 3 2 ) c. (3 3 , 3 3 ) e. (3 3 , 3 2 )b. (3, 3) d. (6, 6)

3. Koordinat kutub dari titik (9, 9 3 ) adalah …….a. (9, 30o) b. (9, 60o) c. (18, 60o) d. (18, 30o) e. (4, 30o)

4. Nilai dari cos2 (1200o) = ........a. 0 b. ¼ c. ½ d. ½ 3 e. ¾

5. Diketahui = 3,1416, maka jika 60o dinyatakan dalam radian = ........a. 2,0944 b. 1,5708 c. 1,0472 d. 0,9425 e. 0,7854

6. Hitung harga cos 75 + cos 15 = ..........(tanpa menggunakan tabel)

a.2

1√2 b.

3

1√3 c.

2

1√5 d.

2

1√6 e.

3

1√6

7. cos 105 = ....................

a.4

1√6 -

4

1√2 b.

4

1√6 +

4

1√2 c.

4

1√2 -

4

1d.

4

1√2 -

4

1√6 e.

4

1√6 -

4

1

8. jika tg =3

2( A lancip) maka sin A = ...........................

a.13

2b.

13

3c.

13

6d.

13

2e.

13

39. 9.

9. jika cos A = 0,8 maka tg A adalah ................

a.3

4b.

4

3c.

5

4d.

4

5e.

5

3

10. bila tg ½ x = t maka sin x adalah ...................................

a. 21 t

t

b. 21

2

t

t

c. 21

3

t

t

d. 21

4

t

t

e. 21

5

t

t

B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar !1. Tentukan nilai dari tg 150cos120sin135 !2. Tentukan titik p (4, 180 ) dalm koordinat kartesius !

3. Jika cosec12

13 dan lancip, tentukan sin dan ctg !

LKS-Mat.X-73

B. ALJABAR (PERHITUNGAN DASAR) FUNGSI TRIGONOMETRI.Kompetensi Dasar : 2.2. Menentukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang ber

kaitan dengan fungsi trigonometri.

B.1. IDENTITAS FUNGSI TRIGONOMETRI.

Pengalaman Belajar: 2.2.1. Membuktikan berlakunya identitas fungsi trigonometri2.2.2. Mendiskusikan pola pembuktian fungsi trigonometri2.2.3. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut identitas fungsi rigonometri diharapkanpeserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu daribeberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:Pengantar materi:

Dalam setiap pembicaraan tentang identitas fungsi trigonometri tidak terlepas dari apapengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri, dan perhatikan serta diskusikandengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini:

y Perhatikan gambardi samping:

P(x, y) Telah diketahui bahwa:

Sin o =R

.....maka y = R ...........

R y R = 23 yx

o Cos o =.....

xmaka x = ..... cos o

O x X

Tan o =.....

.....maka o = anti tan

.....

.....

a. Dari x2 + y2 = R2

(.... cos o )2 + (R ...........)2 = R2

R2 (..............)2 + ....2 sin2 o = .......

R2 ( ............ + ........... ) = R2

( ............ + ........... ) = 1

Cos2 o = 1 - .................Jadi: cos2 o + ......2 o = 1

Sin2 o = 1 - .................

b.o

o

cos

sin=

R

xR

y

o

o

cos

sin=

xx

R

..........=

.....

.....= tan o

Dengan langkah dan pola berpikir yang sama, diskusikan dan tunjukan berlakunyaidentitas berikut ini:

1. cosec A =Asin

14. cotan A =

A

A

sin

cos

2. sec A =Acos

15. tan2 A + 1 = sec2 A

3. cotan A =Atan

16. cotan2 A + 1 = cosec2 A

LKS-Mat.X-74

Masalah 20:Buktikan bahwa: sin2 A cotan2 A + cos2 A tan2 A = 1Bukti:Ambil Ruas Kiri: sin2 A cotan2 A + cos2 A tan2 A

sin2 A..........

cos2 A+ cos2 A

..........

..........

cos2 A + ……….. 1 (terbukti)

Masalah 21:Buktikan bahwa: ( cos A + sin A )2 – 2 cos A sin A = 1

Bukti:Ambil Ruas Kiri: ( cos A + sin A )2 – 2 cos A sin A

( cos2 A + 2 cos A ……… + …….2 A ) – 2 ……. …….

( cos2 A + ……….. )

1 (terbukti)

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:Buktikan identitas-identitas berikut ini:

1. (cos A + sin A)(cos A – sin A) = 1 – 2 sin2 A

2. sin4A + 2 sin2A cos2 A + cos4 A = 1

3. 5 cos 2 A – 3 = 2 – 5 sin2 A

4. tan A sin A = cos A

5. ( 1 + tan2 A) cos2 A = 1

6. ( 1 – sin2 A)(1 + tan2 A) = 1

7. sin4 A – cos4 A = 1 – 2 cos2 A

8. AAACosA

AAcossin

sin1

cossin 33

9. sin A sec A 1cos 2 Aec = 1

10. tan A sin A + cos A = sec A

B.2.1. LUAS SEGITIGA dan SEGI-n.

Pengalaman Belajar: 2.2.4. Membuktikan berlakunya rumus sinus untuk luas segitiga2.2.5. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi2.2.6. Mendiskusikan berlakunya aturan sinus dan aturan cosinus.2.2.7. Menghitung luas segi-n beraturan.

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapapermasalahan matematika yang menyangkut penerapan fungsi sinus dalam luas segitigadan segi-n diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalamanbelajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.


LUAS SEGITIGAPengantar materi:Rumus sinus untuk menentukan luas segitiga dapat diturunkan dari pengertian dasar nilaiperbandingan fungsi trigonometri jika diketahui dua sisi dan satu sudut apit segitiga,

LKS-Mat.X-75

dan perhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini:C C

b a b

t a t

Ao Ao

A D B A B D

c c

Perhatikan pada gambar (i) dan (ii) dapat ditarik hubungan sebagai berikut:

Sin Ao =.......

t

b

t t = ..... sin Ao

Luas segitiga ABC = ½ alas x tinggi (ingat saat SLTP) = ½ AB . t

= ½ (......) (...................) = ½ (.....) ( b ..........)

= ½ b c sin A.

Dengan argumentasi yang sama maka berlaku pula:

Luas segitiga ABC = ½ a c sin B = ½ a b sin C

Jika diketahui satu sisi dan dua sudut segitiganya, maka berlaku hubungan tentangluas segitiga sebagai berikut:

L =)sin(2

sinsin2

CB

CBa

=

)sin(2

sinsin2

CA

CAb

=

)sin(2

sinsin2

BA

BAc

Dengan melakukan kajian beberapa referensi study pustaka secara diskusi kelompoklakukan telaah dan pembuktian berlakunya teorema tersebut di atas !

Masalah 22:

Tentukan luas segitiga ABC jika AC = 6 cm, AB = 8 cm dan A = 45o

Penyelesaian:

CLuas ABC = ½ …… AB Sin ….. = ½ (…..)(….) Sin 45o

6 = ½ …… ……..45o = ½ ……

A B = ……… cm2

8

Masalah 23:Tentukan luas segitiga ABC jika AB = 5 cm, A = 30o dan B = 40o

Penyelesaian:

L =)sin(2

sinsin2

BA

BAc

= 2

2

...............

.......

(........)2

)(.......)5,0......(

......)sin(...........

......sin.....sin5cm

Jadi luas segitiga ABC = 4,255 cm2

LKS-Mat.X-76

LUAS SEGI-4 SEMBARANG

D C Dengan menggunakan aturan sinus dalam menentu-kan luas segitiga dan Segi empat sembarang di sam-ping terdiri dari 2 pasang segitiga kongruen, maka da

o pat diturunkan aturan luas segi empat sembarangO sebagai berikut:

A B LABCD = ½ AC. BD sin o

Coba selidiki kebenaran hal ini, melalui study pusta-ka dan diskusi kelompok !

LUAS SEGI- n BERATURAN

a. Jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya.

P Dengan mendeskripsikan bahwa segi-n beraturan terbentuk dari n segitiga sama sisi, maka luas segi n beraturandapat diturunkan dari aturan sinus luas segitiga, sbb:

U r QIngat luas segitiga = ½ dua sisi yang membentuk sudut

kali sinus sudut yang terbentukO

R Sehingga berlaku:R

T Luas segi-n beraturan = n . Luas segitiga sama sisinya

S = n . [ ½ r . (....) sin ..... ]

= n . [ ½ (.....)2 sinn

o........

b. Jika diketahui panjang sisinya.

L =]

180).2(sin[2

]2

180).2([sin. 22

n

nn

nsn

o

o

Coba selidiki kebenaran hal ini !

Masalah 24:Tentukan luas segi-6 beraturan yang jari-jari lingkaran luarnya 4 cm !Penyelesaian:

Lsegi-6 =....

6(.....)2 sin (

......

360) = ...... (.......) (........) = 48. (........) = ......... cm2

Jadi luas segi-6 beraturan = 24 3 cm2

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Hitung luas segitiga berdasar kondisi sebagai berikut:

a. F b. M100o 20 25

1530o

D E K L

c. ABC dengan AB = 6 cm, A = 30O dan B = 60O

d. ABC dengan AC = 4 cm, A = 20O dan C = 70O

LKS-Mat.X-77

2. Luas ABC adalah 20,72 cm2 , Jika AB = 6,42 cm dan AC = 8,54 cm.Tentukan besar sudut A !

3. Pada EFG, diketahui : FG = 5 cm, EFG = 40o dan EGF = 36o

Hitunglah : a. Panjang EF b. Luas segitiga

4. Pada suatu jajaran genjang, dua sisi yang berdekatan panjangnya 8 cm dan 12 cm.Jika besar sudut apitnya 60o , Tentukan luas jajaran genjang tersebut !

5. Hitung luas segi banyak beraturan yang dilukiskan dalam lingkaran berikut ini !a. Segi- 5 dalam lingkaran berjari-jari 10 cm.b. Segi- 8 dalam lingkaran berjari-jari 1 cm.c. Segi- 40 dalam lingkaran berjari-jari 5 cm.d. Segi- 70 dalam lingkaran berjari-jari 7 cm.

B.2.2. ATURAN SINUS dan COSINUS.Pada hal-hal tertentu perhitungan unsur-unsur suatu segitiga sembarang, sering kalidiminta untuk melengkapi beberapa unsur yang belum diketahui misalnya panjang sisidan atau besar salah satu sudut suatu segitiganya. Khusus perhitungan dalam sebuahsegitiga siku-siku, hal ini dapat dilakukan dengan mengaplikasikan teorme phythagorassebagaimana telah dipelajaran semenjak duduk di bangku SLTP.Bagaimana hal ini dapat dilakukan pada sebuah segitiga sembarang ?Ada beberapa konsep trigonometri yang dapat membantu anda, dan dapat dipahamisebagaimana tertuang di bawah ini.

ATURAN SINUSDiskusikan dengan kelompok belajar anda guna memahami dan mendalami beberapaaturan sinus yang berlaku di bawah ini:

y B y B

c aa c

b bA D C x C D A x

Gambar i Gambar ii

Sin A =......

......maka BD = ….. x …….. Sin C =

......

......maka BD = ….. x ……

Sehingga dapat ditarik hubungan:

BD = BD

c sin ……. = …… sin C

............

c=

Asin

.....Sehingga berlaku:

Asin

.....=

..........

.....=

.........

c

Masalah 25: CDengan aturan sinus, Tentukan panjang AC ! 9 cmPenyelesaian: 60o 45o

A B

........

AC

SinA

BC

.......

.......

.......

....... AC =

..........

........SinB= ……..

LKS-Mat.X-78

ATURAN COSINUSDiskusikan dengan kelompok belajar anda guna memahami dan mendalami beberapaaturan sinus yang berlaku di bawah ini:

B Perhatikan gambar ABC, nampak ABD siku-siku di D, sehingga berlaku:

Sin A =.......

BD BD = ...... Sin A = c Sin A

c a

Cos A =.......

AD AD = ......Cos A = c Cos A

A b D CCD = b – AD = b – (….)(……….)

Pada BCD berlaku : BC2 = BD2 + CD2 sehingga dapat ditarik hubungan sbb:

a2 = (………………)2 + ( b - …………… )2

= c2 ………. + b2 – 2bc ……… + (….)2 cos2 A

= c2 ( …….. + …….. ) + (….)2 – 2 (…)(…) cos A

= (….)2 . 1 - 2 (…)(…) cos A

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A Cos A =bc

acb

2

222

dan dengan cara serta pola pikir yang sama dapat diturunkan pula hubungan, sbb:

b2 = a2 + c2 – 2 a c cos B Cos B =.)(....)(...2

......... 222 b

c2 = a2 + b2 – 2 a b cos C Cos C =.)(....)(...2

.......... 222 b

Masalah 26:

Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 3 cm, AC = 2,2 cm dan A = 60o

Tentukan panjang sisi BC !

Penyelesaian:a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A = (2,2)2 + (….)2 – 2 (….)(….) cos ….o

= ….. + …… - …… ½

= ……. - ……. = ……..

a = ........ = …….


1. Tentukan panjang sisi x pada gambar di bawah ini !C R M

x 8 2,8 x 30o 25

A 43o 57o B 50o 61o 100o

P Q K x L2. a. Diketahui PQR dengan panjang sisi p = 15 cm, q = 9 cm dan P = 60o.

Hitunglah besar Q = .....b. Diketahui PQR dengan panjang sisi PR = 16 cm, RQ = 21cm dan Q = 30o.

Hitunglah besar P = .....

LKS-Mat.X-79

3. Diketahui ABC dengan A = 30o , C = 120o dan panjang sisi b = 10 cm.

Tentukan panjang sisi a !4. D Perhatikan gambar di samping !

28o C Tentukan keliling segi empat ABCD !70o

A 50o 10 cm35o

B5. Tentukan panjang sisi ke tiga pada setiap segitiga dengan karakteristik, sbb:

a. ABC dengan AC = 6 cm , AB = 8 cm, dan A = 45o

b. ABC dengan BC = 5 cm , AC = 8 cm, danC = 60o

c. PQR dengan QR = 7 cm , PQ = 5 cm, danQ = 30o

d. PQR dengan PQ = 9 cm , PR = 11 cm, danP = 30o

6. Tentukan salah satu cosinus sudut dari segitiga berikut !R P

M3 5 3 7

2 6

P 6 Q Q 6 R K 7 L7. Tentukanbesar sudut yang terkecil dari segitiga berikut ini !

a. ABC dengan a = 5 cm , b = 6 cm, dan c = 7 cmb. PQR dengan p = 10 cm , q = 12 cm, dan r = 15 cm

8. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 12 cm dan B = 15o

Tentukan panjang BC dengan aturan cosinus !

C. PENERAPAN / IMPLEMENTASI RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI.Kompetensi Dasar : 2.3. Merancang model matematika yang berkaitan dengan fungsi trigo-

nometri, rumus sinus, cosinus, dan menyelesaikan modelnya, danmenafsirkan hail yang diperolehnya.

Pengalaman Belajar : 2.3.1. Mendiskusikan rumusan model matematika dari masalah yangberkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus dan cosinusbersama anggota semestanya.

2.3.2. Menentukan besaran dan mengubah variabel2.3.3. Merumuskan fungsi, dan menyelesaikan persoalannya.2.3.4. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahanmatematika yang menyangkut implementasi dan atau penerapan fungsi rigonometri dalamkehidupan sehari-hari diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi danpengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.


Pengantar materi:Konsep fungsi trigonometri sering kali tanpa disadari dapat ditemukan implementasinyadalam permasalahan kehidupan sehari-hari dan terkadang untuk memecahkanpermasalahan kehidupan nyata diperlukan pendekatan Model matematika sebagai bagiandari langkah berpikir logis dan salah satunya konsep fungsi trigonometri, untuk ituperhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini:

Masalah 27:

Sebuah tangga disandarkan pada dinding setinggi 6 meter dengan posisi tegak, dengansudut elevasi 60o, Panjang tangga tersebut adalah .....

LKS-Mat.X-80

Penyelesaian:

Diketahui : Jawab: sin 60o =x

.....

6 m x ? x =o60sin

.....

= ..........60o


1. Pada saat bersamaan dua kapal meninggalkan pelabuhan. Kapal pertamaberlayar dengan arah 068o dengan kecepatan 15 km/jam. Sedang Kapal ke-duaberlayar dengan arah 162o dengan kecepatan 16 km/jam.Tentukan jarak antara ke-dua kapal setelah berlayar selama 4 jam !

2. Sebidang tanah berbentuk segitiga dimana salah satu sisi yang diapit dua sudutpanjangnya 99 m dan sudut apitnya maing-masing 45o dan 30o

Tentukan panjang sisi yang lainnya !

3. Dua buah mobil menempuh jarak 450 km. Kecepatan mobil ke-dua setiap jamnya15 km lebih dari pada kecepatan mobil pertama.waktu perjalanan mobil ke-dua 1 jam lebih pendek dari waktu perjalanan mobilpertama . Rata-rata kecepatan ke-dua mobil tersebut adalah ...........

4. Titik A terletak 2 satuan di sebelah barat titik B dan titik C terletak 2 3 satuan disebelah utara titik B. Sedangkan titik D terletak 2 satuan di sebelah barat titik Cdan 2 3 satuan sebelah utara A. Koordinat kutub titik D jika dilihat dari titik Badalah.....

5. Dua buah kapal berangkat dari tempat yang sama dan membentuk sudut 30o. Jikakapal pertama berkecepatan 15 km/jam dan kapal ke-dua berkecepatan 18km/jam, Tentukanlah jarak ke-dua kapal tersebut setelah 2 jam perjalanan !


1. Pada segitiga ABC diketahui siku-siku di A, B = 60o , panjang sisi a = 10 cm, makapanjang sisi b adalah .........a. 8 b. 6 c. 5 3 d. 5 2 e. 5

2. Identitas berikut yang benar adalah .........a. cos2 A – sin2 A = 1 c. 5 cos2 A – 3 = 2 – 5 sin2 A e. sin (270 + A) = - cos Ab. tan A sin A = cos A d. cos (90 + A) = sin A

3. Ditentukan segitiga ABC dengan besar sudut A = 45o , dan sudut C = 75o sedang sisi a = 8cm. Panjang sisi b = ...... cma. 6 3 b. 4 6 c. 3 6 d. 4 3 e. 3 3

4. Diketahui PQR , dengan p = 3 cm, P = 45o dan Q = 30o . Panjang sisi q adalah ....a. 3 2 b. 3 3 c. 3/2 2 d. 3/2 3 e. 3 6

5. Diketahui ABC dengan AB = 10 cm, BC = 9 cm, dan AC= 7 cm. Nilai cos A = .......

a. b. c. d. e.

LKS-Mat.X-81

6. Sebuah segitiga diketahui panjang sisi-sisinya 3 cm, 5 cm, dn 7 cm. Nilai sinus sudutterbesarnya adalah ...........a. ½ b. ½ 2 c. ½ 3 d. – ½ e. - ½ 3

7. Diketahui jajaran genjang dengan panjang sisi 4 cm dan 5 cm. Jika salah satu sudutnya 120o,maka diagonal panjangnya adalah ....... cm.a. 21 b. 31 c. 41 d. 51 e. 61

8. Luas ABC adalah 10 cm2 , sedangkan A = 60o dan panjang sisi b adalah 8 cm. Panjangsisi c = ....... cm.

a. 5 b. 33

5c. 3

2

5d. 4 e. 8

4

5

9. Pada PQR diketahui P = 65o dan R = 85o , sedangkan panjang QR = 4 cm dan PQ =8 cm. Luas PQR = .........cm2

a. 32 b. 24 c. 20 d. 16 e. 8

10. Diketahui segi-4 ABCD dengan A = 90o , AB = 4 cm , AD = 3 cm BC = 4 cm dan DBC =45o maka luas segi-4 ABCD itu adalah ........ cm2

a. 11 2 b. 6 +5 2 c. 12 d. 11 3 e. 5 3 +6

II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari : -2 cos (2x – 30o) = 3 untuk 0o x 360o

2. Panjang ke-dua isi yang sama dari segitiga sama kaki adalah 4,2 cm. Jika luas segitigatersebut 6 cm2< Hitunglah panjang sisi yang ke-tiga b! (ada 2 kemungkinan)

3. Jika jajaran genjang ABCD luasnya 36,77 cm2 , AB = 8 cm dan AD = 6 cm, maka tentukanbesar sudut BAD !

4. Buktikan bahwa : Cotan A sin A = cos A

5. Bus air berjalan dengan kecepatan 17 km/jam dengan jurusan tiga angka 70o. Perjalananberikutnya dengan kecepatan 8 km/jam dengan jurusan tiga angka 150o.Tentukan jarak yang telah ditempuh bus air tersebut !

Selamat mengerjakan – terima kasih

LKS-Mat.X-82











Petunjuk Penilaian:



Standar KompetensiMenggunakan sidfat dan aturan geometri dalm menentukan kedudukan titik, garisdan bidang; jarak; sudut; dan volum.

A. RUANG DIMENSI TIGA (BANGUN RUANG).Kompetensi Dasar : 3.1. Memahami komponen, menggambar, dan menghitung volume da

ri benda ruang.Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahanmatematika yang menyangkut ruang dimensi tiga (bangun ruang) diharapkan peserta didiksecara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumberreferensi maupun media interaktif.

A.1. KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG.

Pengalaman Belajar: 3.1.1. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan keduduk-an titik, garis & bidangdalam ruang menggunakan alat peraga

3.1.2. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesim-pulannya.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:Pengantar materi:Sebelum mengenal lebih jauh tentang kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruangterlebih dahulu perlu anda buka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadapbeberapa unsur ruang diantaranya titik, garis, bidang dan bangun ruang.Titik, garis, dan bidang pada hakekatnya merupakan sesuatu yang abstrak, yang hanyadapat dibayangkan keberadaannya dan guna mempermudah pemahamannya dilakukanpendekatan natural (nyata) dalam bentuk lambang / gambar dan selanjutnya ditarikpemikiran logis secara aljabar (hitungan).

C BB

A A B ARuas Garis V

Titik Garis AB Sinar BC AB Bidang V

Jadi titik, garis, dan bidang dapat ditarik pengertian sesuatu yang in-defined term,maksudnya sesuatu yang tak perlu didifinisikan tetapi kita sudah tahu maksudnya.Ada beberapa pakar berusaha menjelaskan tentang pengertian dari unusr ruang sebagaiberikut:Garis, adalah himpunan titik-titik yang mempunyai panjang tetapi tidak mempunyai luas

dan volume.Bidang, adalah himpunan titik-titik yang mempunyai panjang dan luas tetapi tidak

mempunyai volume. (Suatu hamparan datar yang luasnya tak terbatas)

A.1.1. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS.

Posisi sebuah titik terhadap garis dapat diperhatikan sebagai berikut:A

Ag g

Titik A terletak di .............. garis g. Titik A berada .............. pada garis g.

Aksioma I : Melalui dua buah titik yang tidak berhimpit dapat dibuat dengan tepatsatu garis.Melalui sebuah titik dapat dibuat n garis yang saling berpotongan.

LKS-Mat.X-83

LKS-Mat.X-84

A.1.2. KEDUDUKAN ANTARA DUA GARIS.A g

g gh h h

garis g & h saling ............ garis g & h ber...........an garis g & h ber............an( g // h ) di satu titik A

Aksioma II : Melalui dua garis yang berpotongan atau melalui dua garis yangsejajar hanya dapat dibuat dengan tepat sebuah bidang.

A.1.3. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP BIDANG.

AA

VV

Titik A terletak di .............. bidang V. Titik A berada .............. pada bidang V

Aksioma III : Jika suatu garis terletak pada bidang, maka setiap titik pada garis itujuga terletak pada bidang.

Aksioma IV : Melalui tiga buah titik yang tidak berhimpit dapat dibuat dengan tepatsebuah bidang.

Aksioma V : Melalui sebuah garis dan sebiuah titik di luar garis dapat dibuatdengan tepat satu bidang.

A.1.4. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG.

gg

V V

garis g terletak di ............bidang V garis g terletak ................ pada bidang V

g g

A.V V

garis g sejajar dengan bidang V garis g memotong/menembus bidang V

Garis tegak lurus bidang: k

a. Jika sebuah garis tegak lurus pada dua buahgaris yang saling berpotongan, maka garis htersebut tegak lurus pada bidang yg melalui g Pke-dua garis yang berpotongan tersebut. V

kb. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah f g

bidang, maka garis itu akan tegak lurus padasemua garis yang terletak pada bidang itu. V h

LKS-Mat.X-85

A.1.5. KEDUDUKAN ANTARA DUA BIDANG

VW

W V

Bidang V // bidang W Bidang V berpotongan dengan bidang W(sejajar)

A.2. KOMPONEN-KOMPONBEN BENDA RUANG.

Pengalaman Belajar: 3.1.3. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan kompo-nen-komponen benda ruang menggunakan alat peraga



Pengantar materi:Sebelum mengenal lebih jauh tentang komponen-komponen bangun ruang terlebih dahuluperlu anda buka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadap beberapa unsurruang diantaranya titik, garis, ruas garis, dan bidang serta teorema Pythagoras.Guna memberikan ilustrasi lebih baik tentang pemahaman komponen-komponenbangunruang, prhatikan gambar Kubus di bawah ini:

H GAB, CD, EF dan HG disebut dengan Rusuk Datar.AC, BD, FG dan EH disebut dengan Rusuk Frontal.

E F AE, BF, DG dan CH disebut dengan rusuk Tegak.

BG, DF, BE, AF, AH, EC, CG, HD, AD dan BCdisebut dengan ……………. sisi.

C D BH, DE, AG, dan CF disebut dengan …………... ruang.

A B

H G

E FD C

D C A B

A B

Bidang ABGH, CDEF, BCHE, ADGH,BDHF, dan ACGE disebut dengan Jaring-jaring kubus dan jika dihitung luasnyaBidang ..................ruang. Maka hal ini disebut juga Luas ................... /

Luas kulit.Masalah 28:

H G Diketahui kubus sebagaimana di samping:Tentukan :

E F a. Panjang diagonal isi AC.6

b. Panjang diagonal ruang EC.D C

3 c. Luas bidang alas ABCD.A B

5

LKS-Mat.X-86

d. Luas Permukaan Bangun Ruang ABCD.EFGH.e. Sebutkan beberapa pasang garis yang sejajar dan bebera-

pa bidang datar yang berpotongan tegak lurus.Penyelesaian:a. Perhatikan bagun datar (bidang sisi) ABCD

Berlaku: AC2 = AB2 + BC2 D C

AC = 22...... BC

= 22 .......... = ..... = ...... A B

b. Perhatikan bagun datar (bidang diagonal ruang) ACGEBerlaku: EC2 = EA2 + AC2 E G

EC = 22...... AC

= 22 .......... = ..... = ...... A C

c. Perhatikan bagun datar (bidang alas) ABCD:LABCD = AB . BC = ....... x ...... = .......... satuan persegi.

d. Luas Permukaan ABCD.EFGH ( Lp ABCD.EFGH ):Lp = 2 Luas bidang alas + 2 Luas bidang samping + 2 Luas bidang depan.

= 2 ( AB x BC + BC x CG + AB x BF )

= 2 ( p . l + l . t + p . t )

= 2 ( ..... x 3 + ..... x ..... + 5 x ..... )

= 2 ......... = ........... satuan persegi.

e. Beberapa garis yang saling sejajar adalah:

AB // DC , ..... // ...... , ..... // ..... , ..... // ..... , dst.

Beberapa bidang datar yang berpotongan tegak lurus:

ABCD dan BCGF, ............ dan ............ , ............ dan ............. , ............ dan .............

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Diketahui sebuah Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, maka tentukan:

a. Panjang diagonal sisi c. Luas bidang sisib. Panjang diagonal ruang. d. Luas permukaan kubus.

2. Sebuah balok PQRS.TUVW dengan Luas alas 10 cm2, Jika PQ = 5 cm, PT = 4 cmMaka tentukan : Panjang diagonal sisi alas dan diagonal ruang QW !

A.3. VOLUME BANGUN RUANG.Pengalaman Belajar: 3.1.5 Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan formula

Volume beberapa benda ruang.3.1.6. Mempresentasikan hasil diskusi sekaligus menarik kesim-

pulannya.3.1.7. Mendiskusikan cara menentukan perbandingan Volume dua

benda dalam satu bangun ruang.


Pengantar materi:Sebelum mengenal lebih jauh tentang volume bangun ruang terlebih dahulu perlu andabuka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadap karakteristik beberapa bangunruang diantaranya Balok, Kubus, Prisma, Limas, Kerucut, Bola, dll.Guna memberikan ilustrasi lebih baik tentang pemahaman volume bangun ruang,sebaiknya didekati dengan gambar bangun ruangnya.

LKS-Mat.X-87

A.3.1. BALOK.Merupakan suatu bangun ruang yang seringdikenal dengan sebutan Kotak.Balok memiliki panjang, lebar dan tinggi.

tVolume Balok (VBalok ) dapat ditentukan, de-ngan aturan:

lVb = luas alas x tinggi p

= ...... x ....... x t

Luas permukaan/kulit balok = 2 ( L. Bid. alas + L. Bid. depan + L. Bid. samping )= 2 ( ..... x ...... + ..... x ..... + ..... x ..... )

A.3.2. KUBUS.Merupakan suatu bangun ruang yang merupakanbangun istimewa dari Balok, dimana rusuk-rusuknya sama panjang (s).

sVolume Balok (VBalok ) dapat ditentukan, de-ngan aturan:

s sVk = luas alas x tinggi s

= ........ 3

Luas permukaan/kulit Kubus = 2 ( L. Bid. Sisi )= 6 ( ..... x ...... )

A.3.3. PRISMA.E H

Definisi: Prisma adalah suatu bangun ruangyang dibatasi oleh dua buah bidang datar yangsejajar dan oleh lebih dari dua buah bidang F Gdatar yang berpotongan menurut garis-garisyang sejajar.Prisma disebut beraturan jika memenuhi dua A Dsyarat utama, yaitu:

1. Prisma itu tegak.

2. Bidang alasnya segi-n beraturan. B CSehingga dapat disimpulkan bahwa BALOK merupakan bagian dari PRISMA TE-GAK jenis Prisma tegak segi-4 beraturan.Prisma miring adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus alas.

Volume Prisma dapat ditentukan dengan: Vpr = luas bangun alas x tinggi

Luas permukaan/kulit Prisma, perhatikan gambar di atas:

Missalkan panjang rusuk tegak adalah t, maka:Luas ABFE = AB x tLuas BCGF = ..... x tLuas CDHG = ..... x tLuas ADHE = ..... x t---------------------------------- +

Luas kulit / selubung = t x ( ..... + BC + ..... + ..... )= rusuk tegak x keliling alas

LKS-Mat.X-88

Masalah 29:Diketahui prisma tegak sg-3 ABC.DEF dengan AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cmdan rusuk Tegak AD = 10 cm.Hitung Volume Prisma tersebut ! D FPenyelesaian:Perhatikan gambar dan amti segitiga alas ABC. E

15 10A C

1513 14 A C

B 13 14Luas segitiga ABC kita hitung dengan aturan:

s = ½ ( a + b + c ) = ½ keliling segitiga B

= ½ ( .... + ..... + …. ) = 21

LABC = ))()(( csbsasa = .....).......)(..........)(...(.....21 = ...... = 84

Jadi Volume prisma = LABC x AD = …… x …… = ……. Cm3

A.3.4. TABUNG.Definisi: Tabung adalah suatu bangun ruangyang merupakan Prisma Segi-n Beraturan. tSegi-n dapat juga disebut bangun Lingkaran.

RVolume Tabung: Vt = luas alas x tinggi

= luas lingkaran x tinggi= x ....2 x.....

A.3.5. LIMAS.T

Definisi: Prisma adalah suatu bangun ruangyang dibatasi oleh sebuah bidang datar segi-ndan oleh lebih dari dua buah bidang segitigayang berpotongan /melalui sebuah titik di luarsegi-n (alas) tersebut. A DTitik itu dikenal sebagai titik puncak.

Limas diberikan nama menurut bentuk bangunalasnya (segi-n), missal alasnya segi-3 disebut B CLimas segitiga.Limas disebut beraturan jika memenuhi dua syarat utama, yaitu:

1. Proyeksi/bayangan titik puncak terhadap alas tepat berhimpit dengan pusatbidang alas.

2. Bidang alasnya segi-n beraturan.

Volume Limas dapat ditentukan dengan: Vlms = 1/3 luas segi-n alas x tinggi

Luas kulit / selubung = luas alas x jumlah luas segitiga tegak

Masalah 30: T

Diketahui limas segi empat T.ABCD beraturan denganalas berbentuk bujur sangkar, panjang sisinya 10 cm,jika rusuk tegaknya 13 cm, maka Hitunglah:a. Volume limas. b. Luas permukaan Limas

D CPenyelesaian: O E

A B

LKS-Mat.X-89

a. Perhatikan gambar, TBC sama kaki,

maka TE BC, pada TBE berlaku:

TE = 22 ............ = ....... = ........

Pada TOE , didapat: TO = 22 ............ = ....... = ........Jadi Vol. Limas T.ABCD = 1/3 Luas alas x tinggi =1/3 LABCD x TO

= ..... x …. = ..… cm3

b. Luas permukaan limas = Luas alas + 4 (luas segitiga sama kaki TBC)

= ........... + 4 . ½ . alas x tinggi

= ......... + 2 ( ....... x ....... ) = ....... + ...... = ........ cm2

A.3.5.1. LIMAS TERPANCUNG. T

Jika sebuag limas dipotong oleh sebuahbidang datar yang sejajar dengan bidangalas, maka akan terbentuk bangun ruang E Hbaru yang dikenal Limas terpancung.Sifat Limas Terpancung:a. Bidang alas dan atas sebangun & sejajar F Gb. Sudut-sudut yang seletak pada bidang A D

alas dan bidang atas sama besar.c. Rusuk-rusuk yang seletak pada bidang

alas dan bidang atas sejajar.d. Sisi tegak lemias terpancung berbentuk

Trapesium. B C

Bangun Ruang ABCD.EFGH merupakan limas terpancung.

TA.3.6. KERUCUT.

Definisi: Kerucut adalah suatu bangun ruangyang merupakan Limas Segi-n Beraturan. t

Segi-n dapat juga disebut bangun Lingkaran.

Volume Tabung: VKR = 1/3 luas alas x tinggi O r= 1/3 luas lingkaran x tinggi= 1/3 x ....2 x.....

A.3.7. BOLA.

Volume Bola = 3.3

4r

Masalah 31:Dalam sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas8 cm, dan tingginya 20 cm, jika dibuat dua buah, t2kerucut yang saling bertolak belakang menurut pun-caknya, Dengan perbandingan tinggi 2 kerucut ter- 20sebut menurut tinggi tabung 5 : 2.Hitunglah: Nilai perbandingan volume ke 2 kerucut!

t1Penyelesaian:t1 + t2 = 20 sedang t1 : t2 = 5 : 2 8

LKS-Mat.X-90

t1 =7

5x ....... dan t2 =

....

....x ........

Sehingga : Vol. Tabung 1 = 1/3 . R2 . t1 = 1/3 (.....)(....)2(.....) = ....... cm3

Vol. Tabung 2 = 1/3 . R2 . t2 = 1/3 (.....)(....)2(.....) = ....... cm3

Jadi : Vt1 : Vt2 = ...... : ...... = ....... : .......

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Balok PQRS.TUVW dengan ukuran panjang PQ = 10 cm, QR = 7 cm, dan QU = 5 cm,

Hitunglah : a. Volume Balok. c. Luas bidang-bidang diagonal.b. Luas permukaan Balok. d. Panjang diagonal ruang.

2. Prisma segi empat ABCD.EFGH alasnya bujur sangkar dengan sisi 10 cm. Rusuktegak panjangnya 12 cm dan membentuk sudut 60o dengan bidang alas, HitungVolume Prisma tersebut !

3. Limas tegak M.PQRS dengan alas berbentuk persegi panjang dengan PQ = 8 cm danQR = 6 cm, MM1 tegak lurus bidang alas, M1 pusat bidang alas dan MP = 13 cm,Hitunglah : a. Volume limas b. Luas permukaan limas.

4. Hitunglah volume tabung dan kerucut yang alasnya lingkaran dengan jari-jari 8 cmdan tingginya 12 cm !

5. Sebuah tabung dengan volume 124 cm3 memiliki tinggi 4 cm, maka nilai yang tepatuntuk jari-jari lingkaran alas adalah ..............

6. Dalam sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, Tentukan perbandingan LuasKubus dengan luas limas T.ABCD yang terbentuk, dimana titik T merupakanperpotongan diagonal ruang !

7. Tinggi ruangan berbentuk kotak adalah 2 m kurangnya dari lebarnya dan 4 mkurangnya dari panjangnya. Jumlah luas langit-langit, dinding dan lantai adalah 856m2 . Tentukan ukuran ruangan tersebut !

A.4. MENGGAMBAR BANGUN RUANG.Pengalaman Belajar: 3.1.8 Menggambar bangun ruang yang ditentukan bidang frontal, su

dut surut dan perbandingan proyeksinya.Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

Pengantar materi:Sebelum kita melangkah guna memahami aturan main menggambar bangun ruangterlebih dahulu perlu anda buka referensi yang sesuai tentang pemahaman terhadapbeberapa bangun ruang serta siapkan dan atau pahami berbagai alat bantu lukis yangdapat digunakan sebagai media menggambar bangun ruang.

Guna menggambar bangun ruang, sebaiknya perhatikan beberapa hal sebagai berikut:a. Bidang frontal yaitu suatu bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi (bidang

gambar), dimana ukuran bangun sesuai aslinya.

b. Bidang orthogonal yaitu bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal.

c. Sudut surut, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis orthogonal dengan garis horizontal.

d. Perbandingan Proyeksi, yaitu perbandingan antara panjang garis orthogonal hasilproyeksi dengan panjang garis orthogonal sebenarnya.

Masalah 32:Gambarlah sebuah kubus dengan syarat ABFE frontal, sudut surut 30o , perbandinganproyeksi 2 : 3 dan panjang sisi 6 cm.

LKS-Mat.X-91

Penyelesaian:H G

E F

D C

A 30o B

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Gambarlah sebuah kubus dengan syarat ABFE frontal, sudut surut 30o ,

perbandingan proyeksi 1 : 3 dan panjang sisi 8 cm.2. Gambarlah sebuah Balok dengan syarat ABFE frontal, sudut surut 35o , perbandingan

proyeksi 1 : 2 dan panjang 8 cm, lebar 4 cm serta tinggi 5.3. Gambarlah sebuah Limas Segi empat ABCD dengan syarat sudut surut 30o ,

perbandingan proyeksi 2 : 3 dan bangun alas memiliki panjang 8 cm , lebar 4 cmserta tinggi limas 6 cm.

4. Gambar prisma segi-6 beraturan ABCDEF.PQRSTU yang rusuknya 2,5 cm, rusuktegaknya 5 cm, jika ADSP horizontal dengan AD frontal, sudut surut 45o sertaperbandingan proyeksi 0,4 !

B. RUANG DIMENSI TIGA (LANJUTAN).Kompetensi Dasar : 3.2. Menggunakan abstraksi ruang untuk menggambardan menghitung

Jarak dan sudut antara unusr-unsur benda ruang.Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahanmatematika yang menyangkut ruang dimensi tiga (bangun ruang) diharapkan peserta didiksecara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumberreferensi maupun media interaktif.

B.1. PROYEKSI UNSUR-UNSUR RUANG DALAM BANGUN RUANG.

Pengalaman Belajar: 3.2.1. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan proyeksititik ke garis, titik ke bidang dan garis ke bidang.


Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:Pengantar materi:Sebelum mengenal lebih jauh tentang proyeksi titik ke garis, titik ke bidang dan garis kebidang dalam ruang terlebih dahulu perlu anda buka referensi yang sesuai tentangpemahaman terhadap beberapa konsep proyeksi atau cara menentukan bayangan.

B.1.1. PROYEKSI TITIK KE GARIS.. A

Titik A di luar garis g, Jika dari A dibuatgaris tegak lurus g dan didapat titik A’, maka titik A’ disebut dengan Proyeksi gA ke garis g. A’

LKS-Mat.X-92

B.1.2. PROYEKSI TITIK KE BIDANG.. A

Titik A di luar bidang V, Jika dari A dibuatgaris tegak lurus V dan didapat titik A’, maka titik A’ disebut dengan ProyeksiA ke bidang V. A’

B.1.3. PROYEKSI GARIS KE BIDANG.

Sebuah garis g di luar bidang V, Jika daridua buah titik A dan B pada garis g dibu- A Bat garis tegak lurus bidang V dan didapattitik A’ dan B’, maka garis yang melaluiA’B’ disebut dengan Proyeksi garis g kebdang V. A’ B’

B.2. JARAK.

Pengalaman Belajar: 3.2.3. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan jarak antara titik ke garis, titik ke bidang, dua garis bersilangan, garissejajar bidang dan dua bidang sejajar.

3.2.4. Menggambar dan menghitung jarak antara titik ke garis, titikke bidang, dua garis bersilangan, garis sejajar bidang dandua bidang sejajar



Pengantar materi:Jarak : garis hubung terpendek antara dua buah benda.

B.2.1. JARAK ANTARA DUA TITIK.

Jarak antara dua titik A dan B adalah panjang ruas garis AB yang ditarik dari titik Adan B.

B.2.2. JARAK ANTARA TITIK DAN GARIS.. A

Jarak antara titik A dan garis g merupakan panjangruas garis yang ditarik dari titik A tersebut sertategak lurus garis g. (AA’) g

A’

B.2.3. JARAK ANTARA DUA GARIS SEJAJAR.

Jarak antara sebuah titik pada garis yang satu, ke kgaris lainnya yang dihubungkan sebuah garis yangtegak lurus ke-dua garis yang sejajar tersebut.

g

B.2.4. JARAK ANTARA TITIK DAN BIDANG.. A

Jarak Titik A di luar bidang V, adalahPanjang ruas garis AA’ yang ditarik

dari A tegak lurus bidang V. A’

LKS-Mat.X-93

B.2.5. JARAK ANTARA GARIS DAN BIDANG. A

Jarak antara garis g di luar bidang V, adalah gPanjang ruas garis AA’ yang ditarik dari se A’buah titik A pada garis g dan tegak lurus Vbidang V. h

g // h dan AA’ bidang V

B.2.6. JARAK ANTARA DUA BIDANG SEJAJAR.A

Jarak antara dua bidang sejajar adalah pan- Vjang ruas garis AA’ yang ditarik dari sebuahtitik A pada bidang yang satu dan tegak lu-rus bidang yang lain. A’

W

B.2.7. JARAK ANTARA DUA GARIS BERSILANGAN.

Jarak antara dua garis yang bersilangan adalah A gadalah jarak antara garis yang satu dengan bi –dang V yang melalui garis yang lain dan sejajar hdengan garis terdahulu.

g bersilangan dengan h A’g // k , h dan k terletak pada V V kAA’ VAA’ merupakan jarak g dan h.

Masalah 33:Jika rusuk-rusuk sebuah kubus ABCD.EFGH adalah a cm, maka tentukan:a. Panjang diagonal sisi AC. c. Jarak titik E ke garis BG.b. Panjang diagonal ruang EC.

Penyelesaian: H G

a. Perhatikan ABC siku-siku di B maka: E F

AC = 22 BCAB = ............................. 22

b. Perhatikan EAC siku-siku di A maka: D C

EC = 22 ACEA = ............................. 22 A B

c. Perhatikan BEG sama sisi: E

EB = BG = EG = AC = ...... ........

EOG siku-siku di O maka:

EO = 22 ACEA = ................. 22 = ....... B O G

Masalah 34:Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang semua rusuknya a cm.Hitng tingi bidang empat tersebut ! A

Penyelesaian:

Dalam ABE berlaku : D

AE = 22 BEAE = ................. 22 = ...... ..... BEA’ = 1/3 ED= 1/3 AE = ....... ..... E

Jadi AA’ = 22 'EAAE = ................. 22 C

LKS-Mat.X-94


1. Diketahui lima segi empat T.BCD dengan alas ABCD persegi panjang, Tentukan :a. Proykesi puncak T pada bidang alas.b. Proyeksi AT pada bidang alas.c. Proyeksi garis tinggi pada bidang TBC.

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik pusat P pada bidang ABCD.a. Lukis jarak P ke garis CE.b. Hitung jarak P ke CE.

3. Diketahui limas segi tiga D.ABC dengan rusuk-rusuk yang berpotongan di A salingtegak lurus dan sama panjang, yaitu 4 cm.

a. Lukiskan jarak titik A ke bidang BCDb. Hitung jarak A ke bidang BCD.

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.a. Tentukan jarak titik B ke garis CF.b. Tentukan jarak titik E ke bidang AHF.

5. Pada bidang empat D.ABC diketahui segitiga ABCsiku-siku di A, AB = 6 cm, dan AC =8 cm. Bidang DBC tegak lurus bidang bidang Abc. Hitung panjang BD, CD, dan AD.

B.3. SUDUT DALAM RUANG.

Pengalaman Belajar: 3.2.6. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan sudut dalam ruang, yaitu sudut antara garis dan bidang , sudut antaradua bidang.



Pengantar materi:

B.3.1. SUDUT ANTARA DUA GARIS BERSILANGAN.

Sudut antara dua garis bersilangan a dan b asama dengan besar sudut antara garis a’dan b yang berpotongan dengan ketentuan b’a’ // a. atau a’Sudut antara dua garis bersilangan a dan bsama dengan besar sudut antara garis a’ bdan b’ yang berpotongan dengan ketentuana’ // a dan b’ // b.

B.3.2. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG. A

Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang kadalah besar sudut yang dibentuk oleh garisitu dengan proyeksi garis tersebut terhadapbidang yang diminta. B = B’ k’

A’k’ proyeksi garis k pada bidang.

Sudut antara k dan bidang = sudut antara k dan k’.

LKS-Mat.X-95

B.3.3. SUDUT ANTARA DUA BIDANG. bW

Sudut antara dua bidang V dan W,merupakan sudut yang dibentukoleh dua garis a dan b, di manaa pada V serta b pada W dan ma-sing-masing tegak lurus garis po-tong bidang ke-duanya tepat di satu a titik.

V

Masalah 35:Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk 4 cm dan tingginya 6 cm.a. Tentukan sudut antara bidang TAD dan ABCD.b. Berapa sinus sudut antara bidang TAD dan ABCD.

Penyelesaian: T

a. Dibuat bidang tumpuan melalui titik T, yaitu TPE.

Sudut tumpuan bidang TAD dan ABCD adalahsudut TPE.

b. Perhatikan segi tiga TPE siku-siku di E.PE = ½ AB = …….

TE = 6 cm TP2 = PE2 + TE2 = ….. + ..... = ..... D CTP = ..... ....... E P

Sin TPE = ..................

......

......

TEA B


1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Tentukan dan hitung sudut antara:a. Bidang ADHE dan bidang ABCD. c. Bidang BDG dan bidang ABCDb. Bidang ABGH dan bidang ABCD.

2. Diketahuii limas segitiga D.AB. Rusuk-rusuk yang bertemu di titik A saling tegak lurus,Jika AB = 2 2 cm dan AD = 2 3 , Tentukan besar dari:a. Sudut antara bidang DBC dan bidang ABD.b. Tangens sudut bidang ACD dan bidang ABD.

3. Diketahui bidang empat beraturan D.ABC dengan rusuk 6 cm, Tentukan dan hitung:a. sudut antara rusuk dan bidang sisi alas.b. sudut antara dua bidang sisi yang berdampingan.

4. Limas persegi panjang T.ABCD dengan AB = 6 cm, BC = 8 cm dan TA = TB = TC = TD= 13 cm. Tentukan Sudut antara bidang TAD dan TBC dan nilai Tan-nya berapa !

B.4. IRISAN.

Pengalaman Belajar: 3.2.8. Mendiskusikan secara kelompok guna menentukan irisanAntara bidang dan benda ruang.



LKS-Mat.X-96

Pengantar materi:Yang dimaksud dengan irisan antara sebuah bidang datar V dengan sebuah bangunruang adalah bangun datar yang semua sisinya adalah ruas garis bersekutuan antarabidang V dan bidang sisi bangun ruang tersebut.Jika bangun ruangnya segi banyak maka irisanya juga merupakan segi banyak.

Ada tiga aturan guna menentukan dan melukis irisan bidang, yaitu dengan menggunakanbantuan:

B.4.1. SUMBU AFINITAS.

Sumbu afinitas : garis potong (persekutuan) antara bidang pengiris denganbidang pemuat alas ( bidang alas dan perluasannya) T

Masalah 36:

Diketahui limas T.ABCDE, Titik P, Q, & R P.berturut-turut pada TA, TB, dan TC.Gambarlah irisan bidang V yang melalui E D . RTitik P, Q, dan R terhadap limas T.ABCDE.

A Q. C

Penyelesaian:

T T B

P. P.

E D . R E D . R

A C A CQ Af

B K1 BK2

Dengan cara yang sama, lanjutkan sampai mendapatkan penampang irisan yangbenar, serta diskusikan secara kelompok.

B.4.2. PERPOTONGAN BIDANG DIAGONAL.T T

P. P .K . R . R

E D E DA Q F B A Q B

C CDengan cara yang sama, lanjutkan sampai mendapatkan penampang irisan yangbenar, serta diskusikan secara kelompok.

LKS-Mat.X-97

B.4.3. PERLUASAN BIDANG SISI TEGAK.

T

P ..R

E DA Q. C

B

Dengan cara yang sama, lanjutkan sampai mendapatkan penampang irisan yangbenar, serta diskusikan secara kelompok.


Lukis bidang irisan yang melalui titik P, Q dan Ryang diberikan sesuai bangun ruang dibawah ini !

P.R .

R.

Q . p .

.Q

P PR R

QQ

P R

.Q

LKS-Mat.X-98

A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !

01. Rusuk TA pada bidang empat T. ABC tegak lurus pada alas dengan TA dan BC masing –masing 8 cm dan 6cm. Jika T titik tengah TB, Q titik tengah TC dan S titik AB dan bidang yangmelalui P, Q dan S memotong AC di R, maka luas PQRS adalah ..................a. 24 cm2 b. 20 cm2 c. 18 cm2 d.16 cm2 e. 12 cm2

02. Limas beraturan T. ABCD dengan AT = 3a 2 , AB = 3a . bidang datar melalui A dan tegaklurus TC. Luas irisan bidang dengan limas adalah ………………a. a 2 2 b.3a 2 2 c. 3a 2 3 d. 6a 2 6 e. 9a 2 6

03. Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 2cm. Titik P terletak pada perpanjanganBC sehingga BP = 2CB . luas irisan bidangn melalui P, G, dan H adalh .................

a. 4 10 cm2 b.3

410 cm2 c.

9

1010 cm2 d.

9

10cm2 e.

9

40cm2

04. Diketahui ABCD EFGH titik P, Q, R berturut – turut terletak pada AE , BF, dan CG sehingga AP= 1cm, BQ = 3cm dan CR = 5 cm.jika panjang rusuk kubus 6cm, maka luas bidang irirsan yangmelalui P,Q,R, adalah.................a. 36 cm2 b. 24 cm2 c. 16 cm2 d. 12 22 cm2 e. 11 12 cm2

05. Garis G bidang V. Bidang W membentuk sudut lancip dengan bidang V. jika W memotong Vmenurut garis a, maka proyeksi g pada bidang W adalah……….a. tegak lurus V b. tegak lurus a c. bersilang tegaklurus dengan g d. sejajar V e. sejajar a

06. Alas nidang empat D. ABCberupa segitiga siku – siku sama kaki, sudut BAC = 90 E adalahproyeksi D pada ABC tepatb jatuh di tengah – tengah BC. Jika AB = AC= 4 , DE= 8 maka AD ..a. 6 b. 6 2 c. 6 3 d. 6 6 e. 6 11

07. Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4 cm,. Titik P ditengah – tengah AB dan Qdi tengah – tengah EH. Panjang proyeksi PQ pada bidang BDHF adalh ..............................a. 2 7 b. 2 6 c. 3 2 d. 14 e. 2 3

08. Panjang rusuk kubus ABCD EFGH adalh 2cm, jarak B ke AG adalah .....................

a. 63

2cm b. 2

3

2cm c. 3

2

1cm d 2

4

1cm. e. 2

6

1cm

09. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan TA = 4 2 dan BC = 4 jarakBke TD adalah ..........a. 4 6 cm b. 3 6 cm c. 2 6 cm d. cm 6 e. 2

1 6 cm

10. Jarak titik E ke bidang AFH pada kubus ABCD EFGH dengan rusuk 6 cm adalh .......a. 6 3 cm b.6 2 cm c.4 2 cm d.2 3 cm e.2 6 cm

11. Pada kubus ABCD EFGH dengan rusuk 4 cm K adalah titik potong kedua diagonal sisi alas ,titik M terletak pada pertengahan BF , maka jarak titik M ke garis KH adalah..............

a. 3 3 b.2 6 c.2 3 d.3

46 e.

3

26

12. Diketahui limas tegak T> ABCD , ABCD perdsehi panjang dengan AB = 6 cm BC = 8 cm. JikaTC= 12 cm m, maka nilai tg sudut antara bidang TAD dan TBC adalah.......................

a. 1 b.3

2c.

4

3d.

15

8e.

17

8

LKS-Mat.X-99

13. Jika adalah sudut antara bidang BDE dan bidang BDG pada kubus ABCD EFGH maka nilaisin = .................

a. 3 b.2

13 c.

3

1d. 2

3

2e. 2

4

1

B. Jawablah dengan langkah yang tepat !

14. Diketahui kubus ABCD EFGH dengan rusuk 9 cm , titik P dan Q adalah titik tengah FG dan GH.a. lukis iriisan bidang APQ dengan kubus !b. hitung luas daerah penampangnya !

15. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 6 cm dan tinggi limas 10 cm. Titik P pada TBsehingga TP : PB = 2 : 3. tentukan panjang proyeksi PA pada TAC!

16. Pada kubus ABCD EFGH yang pnjang rusuknya 8 cm hitunglah jarak di titik B ke DF !

17. Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 10 cm. Melalui diagonal AC dibuat dua bidangmasing – masing membentuk sudut 45 dan 60 dengan alas ABCD dan berturut – turutmemotong rusuk DH di titik Pdan Q. Tentukan perbandingan luas ACP dan luas ACQ !

LKS-Mat.X-100











Petunjuk Penilaian:



LKS-Mat.X-101

I. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat !

11. Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan q bernilai benar, maka pernyataan berikutyang bernilai salah adalah ...............................

a. p v q b. p ==> q c. p q d. p v q e. p v q

12. Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar:p q , q r dan r s

dan s pernyataan yang salah, maka diantara pernyataan berikut yang salah adalah .......a. p b. r c. q d. p r e. p v r

13. Pernyataan (p v q) (p v q) equivalen dengan pernyataan:a. p q b. p q c. p q d. p q e. p q

14. Kalimat ingkaran dari” Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan,” adalah:a. Semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan.

b. Tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan.

c. Ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan.

d. Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan.

e. Tidak ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan.

15. Perhatikan kalimat, ”Jika ia berusaha, maka ia berhasil.” Kontraposisinya adalah ............a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasil.

b. Jika ia berhasil maka ia berusaha

c. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha.

d. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil

e. Ia tidak berusaha, tetapi ia tidak berhail.

16. Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm, AC = 4 cm dan sin A = ½.Nilai cos B = ...........

a. 55

2b. 5

3

1c. 3

2

1d.

3

2e.

2

1

17. Diketahui segitiga ABC dengan AB = 6 cm, Besar sudut A = 30o dan sudut C = 120o .Luas segitiga ABC adalah ........

a. 18 cm2 b. 9 cm2 c. 6 3 cm2 d. 3 3 cm2 e. 2 3 cm2

18. Dari segitiga PQR, ditentukan panjang PQ= 7 cm, PR = 4 cm dan QR = 5 cm.Nilai Tan PRQ adalah .........

a. 26 b. 24 c. 19 d. 24 e. 26

19. Nilai dari cos 75o + cos 15o adalah .........

a. 0 b. 24

1c. 6

4

1d. 2

2

1e. 6

2

1

20. Diketahui segitiga ABC dengan a = 7 cm, b = 5 cm dan c = 3 cm. Nilai Sin A = ........

a. - ½ b. ½ c. 33

1d. 3

2

1e. 3

3

2

21. Limas T.ABC merupakan limas segitiga beraturan TA = TB = TC = 13 cm dan AB = BC = AC= 12 cm. Jarak titik ke AD adalah .....................

a. 34 b. 36 c. 11 d. 133 e. 12

22. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik C ke bidang AFH = ......a. 22 b. 32 c. 24 d. 34 e. 25

LKS-Mat.X-102

23. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi AH ke bidang BDHF = ......a. 38 b. 28 c. 64 d. 34 e. 24

24. Bidang empat ABCD, AD tegak lurus alas.Sudut antara bidang BCD dan BCA adalah Nilai Tan = .......a. ¼ 2 c. 2 e. 2 2

b. ½ 2 d. 2

25. Limas tegak T.ABCD dengan alas persegi panjang Ab = 6 cm , BC = 8 cm dan rusuk tegak13 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah v maka Tan v = ...........

a.17

15b.

4

3c.

3

2d.

15

8e.

17

8

II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!1. Tentukan ingkaran dari pernyataan:

a. Jika saya rajin belajar maka saya tidak lulus ujian.b. Semua pemain basket berbadan tinggi.c. Semua peserta ujian ingin masuk perguruan tinggi.

2. Selidiki kebenaran dari: [ (p v r) (p v q) ] [ ( p r) v p ]

3. Tentukan nilai dari :oo

oooo

60tan.30tan

60cos45cos60sin45sin 2222

4. Jika nilai cos B = - ½ 3 dan sudut B pada kuadran II, maka Tentukan nilai dari Tan B !

5. Hitung luas permukaan prisma segi enam beraturan, jika panjang rusuk alas dan tingginyamasing-masing adalah a cm!

standar kompetensi a. kalimat matematika, · pdf filediketahui: p tari gadis pandai ... 3....

Documents