diferensial fungsi majemuknuryanto.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/55322/di...contoh tentukan...

32
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Nuryanto,ST.,MT

Upload: duonghuong

Post on 19-Mar-2019

1.652 views

Category:

Documents


38 download

TRANSCRIPT

Page 1: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

DIFERENSIAL FUNGSI

MAJEMUK

Nuryanto,ST.,MT

ADIGUNA
Completed
Page 2: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

DIFERENSIASI PARSIAL

dzqydx

pydx

oydy

qpofy

dzzydx

xydy

zxfy

,,

,

Nuryanto,ST.,MT

Page 3: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Contohy = 4x2 - 6x3z + 3xz2 + 3z2 + 5Diferensial parsial

Diferensial total

zxzxzy

zzxxxy

666

3188

3

22

dzzxzxdxzzxxdy 6663188 322

Nuryanto,ST.,MT

Page 4: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Soal

Tentukan diferensial partial dari fungsi berikut:1. Y = -100 + 80A – 0,1A2 + 100B - 0,2B2

2. Y = 50 – 3X1 + 6X12 – 5X2 – 10 X2

2 - 3x1x2

3. Y = – 2X2Y + 4Y3X-3X2 +Y2

4. Z = exy + 3XY2 – 6Y2 + 4X3Y5. Z = 3X2Y2 + 12Y4X -6X + 8Y3

Nuryanto,ST.,MT

Page 5: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

NILAI EKSTRIM

y = f(x,z) mencapai titik ekstrim jika

Jenis titik ekstrim:Maksimum bila

Minimum bila

0dan 0

zy

xy

0&0

0&0

2

2

2

2

2

2

2

2

zy

xy

zy

xy

Nuryanto,ST.,MT

Page 6: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

ContohHitung nilai ekstrim y = 2x2 - 20x + z2 – 8z + 78 dan jenisnya!

Y = 12

50204

0

204

xxxy

xxy

4082

0

82

zzzy

zzy

minimum02

04

2

2

2

2

zy

xy

Nuryanto,ST.,MT

Page 7: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

SoalTentukan nilai ekstrim dan jenisnya1. Z = 10 – 5x + 3x2 – 8y + 2y2 – xy2. Z = 50 + 50x - 5x2 + 30y - 3y2 – 5xy3. Z = -3x2 +2y2 + 1004. Z = 10 + 10x - x2 + 6y – 3/5 y2 – xy5. Z = -6x2 +4y2 + 200

Nuryanto,ST.,MT

Page 8: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

PENGGANDA LAGRANGE

Mengoptimumkan fungsi terhadap kendalayang berbentuk persamaan. Caranya denganmembentuk fungsi baru yaitu penjumlahanfungsi asli ditambah hasil kali penggandaLagrange dengan fungsi kendala.

Nuryanto,ST.,MT

Page 9: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Fungsi z = f(x, y) dengan syarat u = g(x,y)maka fungsi Lagrange:

F (x, y, ) = f(x, y) + g(x, y)Nilai ekstrim :F’x (x, y, ) = fx + gx = 0F’y (x, y, ) = fy + gy = 0Jenis :Maksimum F”x < 0 dan F”y < 0Minimum F”x > 0 dan F”y > 0

Nuryanto,ST.,MT

Page 10: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

ContohTentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan

syarat x2 + y2 = 8.F = 2x + 2y + (x2 + y2 - 8) = 2x + 2y + x2 + y2 - 8 Fx = 2 + 2 xFy = 2 + 2 y

x2 + y2 = 8. z = 2x + 2y2y2 = 8 z = 8y = 2x = 2

yxyx

y

x

11

1

1

Nuryanto,ST.,MT

Page 11: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Fxx = 2Fyy = 2

Untuk x = 2 dan y = 2; =-½Fxx = -1 < 0Fyy = -1 < 0

Untuk x = -2 dan y = -2; =½Fxx = 1 > 0Fyy = 1 > 0

maksimum

minimum

Nuryanto,ST.,MT

Page 12: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

KUHN TUCKER

Mengoptimumkan fungsi terhadapkendala yang berbentukpertidaksamaan. Penyelesaianmenggunakan Lagrange yangdimodifikasi atau langsung dengan caraKuhn Tucker.

Nuryanto,ST.,MT

Page 13: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Modifikasi Lagrange1. Anggap kendala dalam bentuk

persamaan. Kemudian selesaikandengan Lagrange Biasa. F(x, y, ) = f(x,y) - g(x, y)

2. Lakukan uji terhadap nilai . Jika > 0berarti optimum tercapai. Jika 0berarti fungsi dengan sendirinyamemenuhi kendala.

Nuryanto,ST.,MT

Page 14: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Metode Kuhn Tucker1. Rumuskan masalah2. Tetapkan kondisi Kuhn Tucker

3. Uji 2c masing-masing untuk = 0 dan g(x, y) =0 untuk menentukan mana yang memenuhipersamaan 2a dan 2b serta pertidaksamaankendala g(x,y).

0),(/0),(0),()

0),(),()

0),(),()

yxgyxgyxgcy

yxgy

yxfb

xyxg

xyxfa

Nuryanto,ST.,MT

Page 15: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

ContohMaksimumkan fungsi f(x,y) = 10xy - 2,5x2 - y2 terhadapkendala x + y 9!LagrangeF(x,y,) = 10xy - 2,5x2 - y2 - (x + y – 9)Fx = 10y - 5x - = 10y - 5xFy = 10x -2y - = 10x - 2y

x + y = 9 F(x,y) maks = 1350,8 y + y = 9 = 30y = 5x = 4

x = 0,8 y

Nuryanto,ST.,MT

Page 16: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Kuhn Tucker

x + y – 9 = 0 maka x = 9 – ya) 10y – 5x - = 0 10y – 45 + 5y - = 0b) 10x – 2y - = 0 90 – 10y - 2y - = 0x = 4F(x,y) = 135

09g dimana 0)9(0)

02100)

05100)

yxyxgc

yxyg

yfb

xyxg

xfa

y = 5; = 30

Nuryanto,ST.,MT

Page 17: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

HOMOGENITAS FUNGSI

Suatu fungsi dikatakanhomogen jika

nz = f ( x, y)

Nuryanto,ST.,MT

Page 18: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

PERMINTAAN MARGINAL & ELASTISITAS PERMINTAAN MARGINAL

Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb)Permintaan marginal A sehubungan Pa =

Permintaan marginal A sehubungan Pb =

Permintaan marginal B sehubungan Pa =

Permintaan marginal B sehubungan Pb =b

db

a

db

b

da

a

da

PQP

QP

QP

Q

Nuryanto,ST.,MT

Page 19: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Elastisitas harga permintaan

Elastisitas silang permintaan

db

b

b

db

b

dbdb

da

a

a

da

a

dada

QP

PQ

PQ

QP

PQ

PQ

.%

%

.%

%

db

a

a

db

a

dbba

da

b

b

da

b

daab

QP

PQ

PQ

QP

PQ

PQ

.%

%

.%%

Nuryanto,ST.,MT

Page 20: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Fungsi permintaan barang A adalah Qda.Pa2.Pb3 – 1 = 0dan permintaan barang B adalah Qdb.Pa3.Pb – 1 = 0.Berapa elastisitas permintaan masing-masing barangdan hubungan antara kedua barang tersebut?

42

33

32

32

32

3.

.2

.

.1

01..

bab

da

baa

da

bada

bada

bada

PPP

Q

PPP

QPPQ

PPQ

PPQ

14

23

13

3

3

.3

.

.

.1

01..

baa

db

bab

db

badb

badb

badb

PPP

Q

PPP

QPPQ

PPQ

PPQ

Nuryanto,ST.,MT

Page 21: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

3.

3.

1.

2.

db

a

a

dbba

da

b

b

daab

db

a

b

dbdb

da

a

a

dada

QP

PQ

QP

PQ

QP

PQ

QP

PQ

Nuryanto,ST.,MT

Page 22: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

2 PRODUK & BIAYA PRODUKSI GABUNGAN

Permintaan barang Qa dan Qb, biayaproduksi TC = f (Qa, Qb) maka

TRa = Qa.Pa = f(Qa)TRb = Qb. Pb = f(Qb)TR = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb) = TR – TC = f(Qa) + f(Qb) – f(Qa, Qb)

Nuryanto,ST.,MT

Page 23: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

SoalSuatu perusahaan meproduksi 2 macam barang yang

fungsi permintaannya adalah sbb :P1 = 100 – 2Q1 + Q2P2 = 75 + 2Q1 – Q2Sedangkan fungsi biaya mengikuti fungsi TC = 1000 + 20

Q1 + 10Q2 +2Q1Q2Perusahaan menginginkan laba maksimum tercapai.

Tentukan tingkat produksi yang memaksimalkan labadari 2 barang yang diproduksi jika kombinasimaksimum faktor produksi adalah 50.

Nuryanto,ST.,MT

Page 24: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

maksimum jika ` = 0

0)2

0)1

Qb

Qa

Qb

Qa

Nuryanto,ST.,MT

Page 25: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

UTILITAS MARGINAL PARSIAL & KESEIMBANGAN

KONSUMSI

U = f(x,y)Utilitas marginal =

U = f(x,y) dimaksimumkan dengan fungsianggaran M = x.Px + y.Py

F(x,y) = f(x,y) + (x.Px + y.Py - M)Fx (x,y) = 0 fx(x,y) + Px = 0Fy (x,y) = 0 fy(x,y) + Py = 0

yyU

xxU

Nuryanto,ST.,MT

Page 26: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Kepuasan maksimum dari konsumsi terjadi bila:

yx

y

y

x

x

PMUy

PMUx

Pyxf

Pyxf

),(),(

Nuryanto,ST.,MT

Page 27: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Contoh

Kepuasan konsumen menkonsumsi X dan Yadalah U = x2y3. Jumlah pendapatankonsumen 1000 dan harga x 25 harga y 50.tentukan utilitas saat 14 x dan 13 y!

MUx = 2xy3

MUy=3x2y2

x = 14; y = 13 MUx = 61.516MUy = 99.372

MUx/Px = 2460,64MUy/Py = 1987,44

Nuryanto,ST.,MT

Page 28: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Tentukan kombinasi maksimum x dan y!U = x2y3 25x + 50y – 1000 = 0F(x,y)= x2y3 + (25x + 50y – 1000)

= x2y3 + 25 x + 50 y – 1000 Fx = 2xy3 + 25 = 0 - = 2xy3/25Fy = 3x2y2 + 50 = 0 - = 3x2y2/50

x = 16 , y = 12U = 442.368

xy

yxxy

yxxy

43

3450

325

2

223

223

Nuryanto,ST.,MT

Page 29: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

PRODUK MARGINAL PARSIAL & KESEIMBANGAN PRODUKSI

P = f(k,l)Produk marginal =

P = f(k,l) dimaksimumkan dengan fungsianggaran M = K.Pk + L.Pl

F(k,l) = f(k,l) + (k.Pk + l.Pl - M)Fk (k,l) = 0 fk(k,l) + Pk = 0Fl (k,l) = 0 fl(k,l) + Pl = 0

LlP

KkP

Nuryanto,ST.,MT

Page 30: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

Keseimbangan produksi terjadi bila:

l

l

k

k

l

l

k

k

PMP

PMP

Plkf

Plkf

),(),(

Nuryanto,ST.,MT

Page 31: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

LATIHAN DIFERENSIAL PARSIAL

1. Tentukan diferensial parsial dan diferensialtotalnya untuk fungsi

a. y = 4x2-6x2z+3xz2+3z2+5b. y = 3x2 – 5z2 + 2x2z – 4xz2 – 9zc. y = 6x2 + 4 x2/z – 3z + 25

2. Hitunglah y ekstrim dari fungsi y = 2x2 – 20x +z2 – 8z + 78 dan selidiki apakah nilai y ekstrimtersebut merupakan nilai maksimum atauminimum

Nuryanto,ST.,MT

Page 32: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55322/DI...Contoh Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. F = 2x + 2y

3. Hitunglah p ekstrim dari fungsi p = -q2 – 3r2 + 6q + 24r - 56 dan selidiki apakah nilai p ekstrim tersebut merupakan nilai maksimum ataukah nilai minimum4. Optimimkan z = 4x – 2y dengan syarat/kendala x2

– y2 = 20. Jelaskan apakah z optimumnya merupakan z maksimum ataukah minimum5. Fungsi permintaan dua macam barang yang berkaitan masing – masing di tunjukkan dengan persamaan x = aeq-p dan y = bep-q . Berapa elatisitas permintaan masing – masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut

Nuryanto,ST.,MT