determinan matriks -...
Post on 07-Mar-2019
288 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Determinan MatriksKuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas InformatikaTelkom University
FIF Tel-U
September 2015
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 1 / 58
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukanuntuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Andamemiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirimemail ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 2 / 58
Bahasan
1 Determinan: Pendahuluan
2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
4 Menghitung Determinan dengan OBE
5 Sifat-sifat Determinan
6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)
7 Latihan Determinan
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 3 / 58
Determinan: Pendahuluan
Bahasan
1 Determinan: Pendahuluan
2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
4 Menghitung Determinan dengan OBE
5 Sifat-sifat Determinan
6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)
7 Latihan Determinan
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 4 / 58
Determinan: Pendahuluan
Determinan: Pendahuluan
Dari pengetahuan matematika yang kita dapatkan di sekolah menengah danpembahasan tentang invers matriks, suatu matriks 2× 2,
A =
[a bc d
]memiliki invers jika dan hanya jika
ad− bc 6= 0. Nilai ini selanjutnya kita namakansebagai determinan dari A dan dinotasikan dengan det (A)atau |A|.
Nilai Determinan suatu MatriksDiberikan suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan real. Determinandari A, yaitu det (A) atau |A| pada dasarnya merupakan suatu bilangan real.Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan matriks persegi.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 5 / 58
Determinan: Pendahuluan
Determinan: Pendahuluan
Dari pengetahuan matematika yang kita dapatkan di sekolah menengah danpembahasan tentang invers matriks, suatu matriks 2× 2,
A =
[a bc d
]memiliki invers jika dan hanya jika ad− bc 6= 0.
Nilai ini selanjutnya kita namakansebagai determinan dari A dan dinotasikan dengan det (A)atau |A|.
Nilai Determinan suatu MatriksDiberikan suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan real. Determinandari A, yaitu det (A) atau |A| pada dasarnya merupakan suatu bilangan real.Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan matriks persegi.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 5 / 58
Determinan: Pendahuluan
Determinan: Pendahuluan
Dari pengetahuan matematika yang kita dapatkan di sekolah menengah danpembahasan tentang invers matriks, suatu matriks 2× 2,
A =
[a bc d
]memiliki invers jika dan hanya jika ad− bc 6= 0. Nilai ini selanjutnya kita namakansebagai determinan dari A dan dinotasikan dengan det (A)atau |A|.
Nilai Determinan suatu Matriks
Diberikan suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan real. Determinandari A, yaitu det (A) atau |A| pada dasarnya merupakan suatu bilangan real.Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan matriks persegi.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 5 / 58
Determinan: Pendahuluan
Determinan: Pendahuluan
Dari pengetahuan matematika yang kita dapatkan di sekolah menengah danpembahasan tentang invers matriks, suatu matriks 2× 2,
A =
[a bc d
]memiliki invers jika dan hanya jika ad− bc 6= 0. Nilai ini selanjutnya kita namakansebagai determinan dari A dan dinotasikan dengan det (A)atau |A|.
Nilai Determinan suatu MatriksDiberikan suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan real.
Determinandari A, yaitu det (A) atau |A| pada dasarnya merupakan suatu bilangan real.Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan matriks persegi.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 5 / 58
Determinan: Pendahuluan
Determinan: Pendahuluan
Dari pengetahuan matematika yang kita dapatkan di sekolah menengah danpembahasan tentang invers matriks, suatu matriks 2× 2,
A =
[a bc d
]memiliki invers jika dan hanya jika ad− bc 6= 0. Nilai ini selanjutnya kita namakansebagai determinan dari A dan dinotasikan dengan det (A)atau |A|.
Nilai Determinan suatu MatriksDiberikan suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan real. Determinandari A, yaitu det (A) atau |A| pada dasarnya merupakan suatu bilangan real.Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan matriks persegi.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 5 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Bahasan
1 Determinan: Pendahuluan
2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
4 Menghitung Determinan dengan OBE
5 Sifat-sifat Determinan
6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)
7 Latihan Determinan
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 6 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Determinan Matriks Berorde 1
Karena determinan harus terdefinisi untuk setiap matriks persegi, maka kita jugaperlu mendefinisikan determinan untuk matriks berukuran 1× 1.
DefinisiMisalkan A = [a] adalah matriks 1× 1, maka det (A) = a.
Perhatikan bahwa jika det (A) = a 6= 0, maka
1
aada dan kita memiliki
A−1 =
[1
a
]yang memenuhi sifat
A ·A−1 =
[a · 1a
]= I dan
A−1·A =
[1
a· a]= I.
ContohDiberikan matriks A = [2] dan B = [3], maka |A| = 2 dan |B| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 7 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Determinan Matriks Berorde 1
Karena determinan harus terdefinisi untuk setiap matriks persegi, maka kita jugaperlu mendefinisikan determinan untuk matriks berukuran 1× 1.
DefinisiMisalkan A = [a] adalah matriks 1× 1, maka det (A) = a.
Perhatikan bahwa jika det (A) = a 6= 0, maka 1aada dan kita memiliki
A−1 =
[1
a
]yang memenuhi sifat
A ·A−1 =
[a · 1a
]= I dan
A−1·A =
[1
a· a]= I.
ContohDiberikan matriks A = [2] dan B = [3], maka |A| = 2 dan |B| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 7 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Determinan Matriks Berorde 1
Karena determinan harus terdefinisi untuk setiap matriks persegi, maka kita jugaperlu mendefinisikan determinan untuk matriks berukuran 1× 1.
DefinisiMisalkan A = [a] adalah matriks 1× 1, maka det (A) = a.
Perhatikan bahwa jika det (A) = a 6= 0, maka 1aada dan kita memiliki
A−1 =
[1
a
]yang memenuhi sifat
A ·A−1 =
[a · 1a
]= I dan
A−1·A =
[1
a· a]= I.
ContohDiberikan matriks A = [2] dan B = [3], maka |A| = 2 dan |B| = 3.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 7 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Determinan Matriks Berorde 2
Kalkulasi determinan matriks 2× 2 dijelaskan sebagai berikut.
Determinan Matriks Orde 2
Misalkan A =
[a bc d
], maka det (A) =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad− bc. Perhatikan bahwadeterminan adalah hasil pengurangan dari hasil kali entri-entri diagonal utamadengan entri-entri lainnya.
|A| =∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad− bc.Contoh
Diberikan matriks A =
[1 23 4
], B =
[3 41 2
], dan C =
[2 43 4
], maka
|A| = −2, |B| = 2, C = −4.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 8 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Determinan Matriks Berorde 2
Kalkulasi determinan matriks 2× 2 dijelaskan sebagai berikut.
Determinan Matriks Orde 2
Misalkan A =
[a bc d
], maka det (A) =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad− bc. Perhatikan bahwadeterminan adalah hasil pengurangan dari hasil kali entri-entri diagonal utamadengan entri-entri lainnya.
|A| =∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad− bc.Contoh
Diberikan matriks A =
[1 23 4
], B =
[3 41 2
], dan C =
[2 43 4
], maka
|A| = −2, |B| = 2, C = −4.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 8 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Determinan Matriks Berorde 3
Kalkulasi determinan matriks 3× 3 dapat dilakukan dengan aturan Sarrus (ataucara Sarrus) yang dijelaskan sebagai berikut.
Determinan Matriks Orde 3
Misalkan A =
a b cd e fg h i
, maka det (A) = |A| dapat dihitung sebagaiberikut:
|A| =
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣a bd eg h
= aei+bfg+cdg−(ceg + afh+ bdi)
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 9 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Latihan 0: Determinan Matriks Orde 3
LatihanTentukan determinan matriks-matriks berikut
A =
1 2 −10 1 20 0 −1
, B = −1 0 0
2 1 0−1 2 1
, C = 1 0 00 1 20 3 4
,D =
0 1 21 0 00 3 4
Solusi:
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1
∣∣∣∣∣∣1 20 10 0
= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
|B| =
∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1
∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2
= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 10 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Latihan 0: Determinan Matriks Orde 3
LatihanTentukan determinan matriks-matriks berikut
A =
1 2 −10 1 20 0 −1
, B = −1 0 0
2 1 0−1 2 1
, C = 1 0 00 1 20 3 4
,D =
0 1 21 0 00 3 4
Solusi:
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1
∣∣∣∣∣∣1 20 10 0
=
(−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
|B| =
∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1
∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2
= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 10 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Latihan 0: Determinan Matriks Orde 3
LatihanTentukan determinan matriks-matriks berikut
A =
1 2 −10 1 20 0 −1
, B = −1 0 0
2 1 0−1 2 1
, C = 1 0 00 1 20 3 4
,D =
0 1 21 0 00 3 4
Solusi:
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1
∣∣∣∣∣∣1 20 10 0
= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
|B| =
∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1
∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2
= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 10 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Latihan 0: Determinan Matriks Orde 3
LatihanTentukan determinan matriks-matriks berikut
A =
1 2 −10 1 20 0 −1
, B = −1 0 0
2 1 0−1 2 1
, C = 1 0 00 1 20 3 4
,D =
0 1 21 0 00 3 4
Solusi:
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1
∣∣∣∣∣∣1 20 10 0
= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
|B| =
∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1
∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2
=
(−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 10 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
Latihan 0: Determinan Matriks Orde 3
LatihanTentukan determinan matriks-matriks berikut
A =
1 2 −10 1 20 0 −1
, B = −1 0 0
2 1 0−1 2 1
, C = 1 0 00 1 20 3 4
,D =
0 1 21 0 00 3 4
Solusi:
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1
∣∣∣∣∣∣1 20 10 0
= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
|B| =
∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1
∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2
= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 10 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
|C| =
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4
∣∣∣∣∣∣1 00 10 3
= (4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2
|D| =
∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4
∣∣∣∣∣∣0 11 00 3
= (0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 11 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
|C| =
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4
∣∣∣∣∣∣1 00 10 3
=
(4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2
|D| =
∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4
∣∣∣∣∣∣0 11 00 3
= (0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 11 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
|C| =
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4
∣∣∣∣∣∣1 00 10 3
= (4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2
|D| =
∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4
∣∣∣∣∣∣0 11 00 3
= (0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 11 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
|C| =
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4
∣∣∣∣∣∣1 00 10 3
= (4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2
|D| =
∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4
∣∣∣∣∣∣0 11 00 3
=
(0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 11 / 58
Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
|C| =
∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4
∣∣∣∣∣∣1 00 10 3
= (4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2
|D| =
∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4
∣∣∣∣∣∣0 11 00 3
= (0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 11 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Bahasan
1 Determinan: Pendahuluan
2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
4 Menghitung Determinan dengan OBE
5 Sifat-sifat Determinan
6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)
7 Latihan Determinan
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 12 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n,
kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1).
Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung,
kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A.
Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran
(n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif
Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:
Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.
2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.
3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 13 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Minor
Definisi (Minor matriks persegi)Misalkan A adalah suatu matriks persegi yang ordenya lebih dari 1, minor darientri aij , ditulis dengan Mij , adalah determinan dari submatriks yang diperolehdengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut.
Jadi Mij adalah bilangan real. Cara memperoleh Mij
Mij = det
a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...
.... . .
.... . .
...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...
.... . .
.... . .
...an1 an2 · · · anj · · · ann
(hilangkan entri yang warnanya berbeda).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 14 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Minor
Definisi (Minor matriks persegi)Misalkan A adalah suatu matriks persegi yang ordenya lebih dari 1, minor darientri aij , ditulis dengan Mij , adalah determinan dari submatriks yang diperolehdengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut.
Jadi Mij adalah bilangan real. Cara memperoleh Mij
Mij = det
a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...
.... . .
.... . .
...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...
.... . .
.... . .
...an1 an2 · · · anj · · · ann
(hilangkan entri yang warnanya berbeda).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 14 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Minor
Definisi (Minor matriks persegi)Misalkan A adalah suatu matriks persegi yang ordenya lebih dari 1, minor darientri aij , ditulis dengan Mij , adalah determinan dari submatriks yang diperolehdengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut.
Jadi Mij adalah bilangan real. Cara memperoleh Mij
Mij = det
a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...
.... . .
.... . .
...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...
.... . .
.... . .
...an1 an2 · · · anj · · · ann
(hilangkan entri yang warnanya berbeda).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 14 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Kofaktor
Definisi (Kofaktor matriks persegi)Misalkan A adalah suatu matriks persegi yang ordenya lebih dari 1, kofaktor darientri aij , ditulis dengan Cij , didefinisikan sebagai Cij = (−1)i+jMij .
Jadi Cij adalah bilangan real yang memenuhi sifat
Cij =
{Mij , jika i+ j genap−Mij , jika i+ j ganjil.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 15 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Matriks Papan Catur + dan -
Perhatikan bahwa nilai dari kofaktor dan minor dapat sama atau hanya berbedatanda saja. Untuk mengingat kita dapat memakai matriks “papan catur + dan−”sebagai berikut:
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...
......
. . .
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 16 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh Menghitung Kofaktor
Misalkan A =
3 1 −42 5 61 4 8
, makaM11 =
det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[5 64 8
]= 40− 24 = 16.
C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.
M32 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[3 −42 6
]= 18 + 8 = 26.
C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 17 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh Menghitung Kofaktor
Misalkan A =
3 1 −42 5 61 4 8
, makaM11 = det
3 1 −42 5 61 4 8
=
det
[5 64 8
]= 40− 24 = 16.
C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.
M32 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[3 −42 6
]= 18 + 8 = 26.
C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 17 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh Menghitung Kofaktor
Misalkan A =
3 1 −42 5 61 4 8
, makaM11 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[5 64 8
]= 40− 24 = 16.
C11 =
(−1)1+1M11 =M11 = 16.
M32 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[3 −42 6
]= 18 + 8 = 26.
C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 17 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh Menghitung Kofaktor
Misalkan A =
3 1 −42 5 61 4 8
, makaM11 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[5 64 8
]= 40− 24 = 16.
C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.
M32 =
det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[3 −42 6
]= 18 + 8 = 26.
C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 17 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh Menghitung Kofaktor
Misalkan A =
3 1 −42 5 61 4 8
, makaM11 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[5 64 8
]= 40− 24 = 16.
C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.
M32 = det
3 1 −42 5 61 4 8
=
det
[3 −42 6
]= 18 + 8 = 26.
C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 17 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh Menghitung Kofaktor
Misalkan A =
3 1 −42 5 61 4 8
, makaM11 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[5 64 8
]= 40− 24 = 16.
C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.
M32 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[3 −42 6
]= 18 + 8 = 26.
C32 =
(−1)3+2M32 = −M32 = −26.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 17 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh Menghitung Kofaktor
Misalkan A =
3 1 −42 5 61 4 8
, makaM11 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[5 64 8
]= 40− 24 = 16.
C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.
M32 = det
3 1 −42 5 61 4 8
= det
[3 −42 6
]= 18 + 8 = 26.
C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 17 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 =
−∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 =
∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 =
−∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 =
∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 =
−∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 =
−∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 =
∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 1 : Menghitung Kofaktor
Latihan
Tentukan semua kofaktor matriks A =
3 0 01 2 04 4 5
.Solusi:
C11 =
∣∣∣∣ 2 04 5
∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣ = −4C21 = −
∣∣∣∣ 0 04 5
∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5
∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣ = −12C31 =
∣∣∣∣ 0 02 0
∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0
∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 18 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Kalkulasi Determinan via Kofaktor
Determinan via Kofaktor (Laplace, 1789-1827)Jika A adalah suatu matriks persegi berukuran n× n, maka kita dapatmenghitung determinan via ekspansi kofaktor pada baris ke-i
det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin,
atau ekspansi kofaktor pada kolom ke-j
det (A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj ,
dengan 1 ≤ i, j ≤ n.
Sifat PentingPemilihan baris maupun kolom dalam perhitungan determinan via ekspansikofaktor untuk suatu matriks tidak berpengaruh pada nilai determinan yang akandiperoleh (selama kalkulasi yang dilakukan benar).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 19 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Kalkulasi Determinan via Kofaktor
Determinan via Kofaktor (Laplace, 1789-1827)Jika A adalah suatu matriks persegi berukuran n× n, maka kita dapatmenghitung determinan via ekspansi kofaktor pada baris ke-i
det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin,
atau ekspansi kofaktor pada kolom ke-j
det (A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj ,
dengan 1 ≤ i, j ≤ n.
Sifat PentingPemilihan baris maupun kolom dalam perhitungan determinan via ekspansikofaktor untuk suatu matriks tidak berpengaruh pada nilai determinan yang akandiperoleh (selama kalkulasi yang dilakukan benar).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 19 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Kalkulasi Determinan via Kofaktor
Determinan via Kofaktor (Laplace, 1789-1827)Jika A adalah suatu matriks persegi berukuran n× n, maka kita dapatmenghitung determinan via ekspansi kofaktor pada baris ke-i
det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin,
atau ekspansi kofaktor pada kolom ke-j
det (A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj ,
dengan 1 ≤ i, j ≤ n.
Sifat PentingPemilihan baris maupun kolom dalam perhitungan determinan via ekspansikofaktor untuk suatu matriks tidak berpengaruh pada nilai determinan yang akandiperoleh (selama kalkulasi yang dilakukan benar).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 19 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.
Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| =
3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+
1 · (−1) ·∣∣∣∣ −2 3
5 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+
0 · (1) ·∣∣∣∣ −2 −4
5 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣=
3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| =
3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+
(−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+
5 · (1) ·∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣=
3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Contoh pada Matriks Orde 3
Kita akan menghitung determinan dari A =
3 1 0−2 −4 35 4 −2
.Dengan ekspansi baris pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2
∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4
∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.
Dengan ekspansi kolom pertama:
|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3
4 −2
∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2
∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3
∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 20 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Latihan 2: Determinan
LatihanTentukan determinan dari matriks-matriks berikut:
A =
3 0 01 2 04 4 5
, B =0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
, C =1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1
,
D =
a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
, E =a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 21 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Solusi Latihan 2
Determinan dari A =
3 0 01 2 04 4 5
dapat dihitung dengan ekspansi kolom ke-3:
|A| =
∣∣∣∣∣∣3 0 01 2 04 4 5
∣∣∣∣∣∣ =
0 · (−1)1+3 ·∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+3 · ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣+ 5 · (−1)3+3 · ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣= 5
∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 5 · 3 · 2 = 30.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 22 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Solusi Latihan 2
Determinan dari A =
3 0 01 2 04 4 5
dapat dihitung dengan ekspansi kolom ke-3:
|A| =
∣∣∣∣∣∣3 0 01 2 04 4 5
∣∣∣∣∣∣ =0 · (−1)1+3 ·
∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+3 · ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣+ 5 · (−1)3+3 · ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣=
5
∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 5 · 3 · 2 = 30.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 22 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Solusi Latihan 2
Determinan dari A =
3 0 01 2 04 4 5
dapat dihitung dengan ekspansi kolom ke-3:
|A| =
∣∣∣∣∣∣3 0 01 2 04 4 5
∣∣∣∣∣∣ =0 · (−1)1+3 ·
∣∣∣∣ 1 24 4
∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+3 · ∣∣∣∣ 3 04 4
∣∣∣∣+ 5 · (−1)3+3 · ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣= 5
∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = 5 · 3 · 2 = 30.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 22 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
5 · (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣∣2 0 00 0 10 7 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi baris ke-1)= 5 · 2 · (−1)1+1 ·
∣∣∣∣ 0 17 0
∣∣∣∣ (ekspansi baris baris ke-1)= 5 · 2 · (−7) = −70.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 23 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣∣2 0 00 0 10 7 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi baris ke-1)=
5 · 2 · (−1)1+1 ·∣∣∣∣ 0 17 0
∣∣∣∣ (ekspansi baris baris ke-1)= 5 · 2 · (−7) = −70.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 23 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣∣2 0 00 0 10 7 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi baris ke-1)= 5 · 2 · (−1)1+1 ·
∣∣∣∣ 0 17 0
∣∣∣∣ (ekspansi baris baris ke-1)=
5 · 2 · (−7) = −70.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 23 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣∣2 0 00 0 10 7 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi baris ke-1)= 5 · 2 · (−1)1+1 ·
∣∣∣∣ 0 17 0
∣∣∣∣ (ekspansi baris baris ke-1)= 5 · 2 · (−7) = −70.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 23 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|C| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1 ·
∣∣∣∣∣∣1 0 −11 −2 12 0 1
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)
= (−2) ·∣∣∣∣ 1 −12 1
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)
= (−2) (1 + 2) = −6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 24 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|C| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣∣∣1 0 −11 −2 12 0 1
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)
=
(−2) ·∣∣∣∣ 1 −12 1
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)
= (−2) (1 + 2) = −6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 24 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|C| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣∣∣1 0 −11 −2 12 0 1
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)
= (−2) ·∣∣∣∣ 1 −12 1
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)
=
(−2) (1 + 2) = −6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 24 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|C| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣∣∣1 0 −11 −2 12 0 1
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)
= (−2) ·∣∣∣∣ 1 −12 1
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)
= (−2) (1 + 2) = −6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 24 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
a44 ·
∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-4)
= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-3)
= a44 · a33 · a22 · a11.
Dengan cara serupa, |E| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44
∣∣∣∣∣∣= a11a22
∣∣∣∣ a33 a340 a44
∣∣∣∣ = a11a22a33a44.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 25 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-4)
=
a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-3)
= a44 · a33 · a22 · a11.
Dengan cara serupa, |E| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44
∣∣∣∣∣∣= a11a22
∣∣∣∣ a33 a340 a44
∣∣∣∣ = a11a22a33a44.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 25 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-4)
= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-3)
=
a44 · a33 · a22 · a11.
Dengan cara serupa, |E| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44
∣∣∣∣∣∣= a11a22
∣∣∣∣ a33 a340 a44
∣∣∣∣ = a11a22a33a44.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 25 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-4)
= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-3)
= a44 · a33 · a22 · a11.
Dengan cara serupa, |E| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
a11
∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44
∣∣∣∣∣∣= a11a22
∣∣∣∣ a33 a340 a44
∣∣∣∣ = a11a22a33a44.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 25 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-4)
= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-3)
= a44 · a33 · a22 · a11.
Dengan cara serupa, |E| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44
∣∣∣∣∣∣=
a11a22
∣∣∣∣ a33 a340 a44
∣∣∣∣ = a11a22a33a44.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 25 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-4)
= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-3)
= a44 · a33 · a22 · a11.
Dengan cara serupa, |E| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44
∣∣∣∣∣∣= a11a22
∣∣∣∣ a33 a340 a44
∣∣∣∣ =
a11a22a33a44.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 25 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-4)
= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-3)
= a44 · a33 · a22 · a11.
Dengan cara serupa, |E| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44
∣∣∣∣∣∣= a11a22
∣∣∣∣ a33 a340 a44
∣∣∣∣ = a11a22a33a44.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 25 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
“Ajaran Sesat”
Berikut adalah salah satu kesalahan fatal yang pernah dilakukan oleh beberapaorang dalam mengitung determinan.
Diberikan A =
0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
, det (A) dihitung dengan cara berikut
∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 0 0 0 52 0 0 0 2 0 00 0 0 1 0 0 00 7 0 0 0 7 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)
)−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)
)= 0.
Padahal A invertibel dan A−1 =
0 1
2 0 00 0 0 1
715 0 0 00 0 1 0
.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 26 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
“Ajaran Sesat”
Berikut adalah salah satu kesalahan fatal yang pernah dilakukan oleh beberapaorang dalam mengitung determinan.
Diberikan A =
0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
, det (A) dihitung dengan cara berikut∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 0 0 0 52 0 0 0 2 0 00 0 0 1 0 0 00 7 0 0 0 7 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)
)−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)
)= 0.
Padahal A invertibel dan A−1 =
0 1
2 0 00 0 0 1
715 0 0 00 0 1 0
.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 26 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
“Ajaran Sesat”
Berikut adalah salah satu kesalahan fatal yang pernah dilakukan oleh beberapaorang dalam mengitung determinan.
Diberikan A =
0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
, det (A) dihitung dengan cara berikut∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 0 0 0 52 0 0 0 2 0 00 0 0 1 0 0 00 7 0 0 0 7 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)
)
−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)
)= 0.
Padahal A invertibel dan A−1 =
0 1
2 0 00 0 0 1
715 0 0 00 0 1 0
.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 26 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
“Ajaran Sesat”
Berikut adalah salah satu kesalahan fatal yang pernah dilakukan oleh beberapaorang dalam mengitung determinan.
Diberikan A =
0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
, det (A) dihitung dengan cara berikut∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 0 0 0 52 0 0 0 2 0 00 0 0 1 0 0 00 7 0 0 0 7 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)
)−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)
)=
0.
Padahal A invertibel dan A−1 =
0 1
2 0 00 0 0 1
715 0 0 00 0 1 0
.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 26 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
“Ajaran Sesat”
Berikut adalah salah satu kesalahan fatal yang pernah dilakukan oleh beberapaorang dalam mengitung determinan.
Diberikan A =
0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0
, det (A) dihitung dengan cara berikut∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 0 0 0 52 0 0 0 2 0 00 0 0 1 0 0 00 7 0 0 0 7 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)
)−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)
)= 0.
Padahal A invertibel dan A−1 =
0 1
2 0 00 0 0 1
715 0 0 00 0 1 0
.MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 26 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Determinan Matriks Setigiga
TeoremaMisalkan A = [aij ] adalah suatu matriks segitiga (atas atau bawah) berorde n,maka
det (A) = a11a22 · · · ann
Teorema di atas mengatakan bahwa determinan dari matriks segitiga adalah hasilkali entri-entri diagonal utamanya.
LatihanTentukan determinan dari matriks-matriks berikut
A =
1 −1 10 2 −20 0 1
, B = 1 0 0
3 2 014 134 −2
, C =1 0 1 30 2 2 40 0 −1 00 0 0 3
Solusi:
|A| = (1) (2) (1) = 2, |B| = (1) (2) (−2) = −4, |C| = (1) (2) (−1) (3) = −6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 27 / 58
Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
Determinan Matriks Setigiga
TeoremaMisalkan A = [aij ] adalah suatu matriks segitiga (atas atau bawah) berorde n,maka
det (A) = a11a22 · · · ann
Teorema di atas mengatakan bahwa determinan dari matriks segitiga adalah hasilkali entri-entri diagonal utamanya.
LatihanTentukan determinan dari matriks-matriks berikut
A =
1 −1 10 2 −20 0 1
, B = 1 0 0
3 2 014 134 −2
, C =1 0 1 30 2 2 40 0 −1 00 0 0 3
Solusi:|A| = (1) (2) (1) = 2, |B| = (1) (2) (−2) = −4, |C| = (1) (2) (−1) (3) = −6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 27 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Bahasan
1 Determinan: Pendahuluan
2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
4 Menghitung Determinan dengan OBE
5 Sifat-sifat Determinan
6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)
7 Latihan Determinan
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 28 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Motivasi
Dari bahasan sebelumnya kita telah melihat bahwa beberapa matriks memilikideterminan yang mudah dihitung. Matriks yang determinannya mudah dihitungdiantaranya adalah:
1 matriks yang memiliki “cukup banyak”entri 0,2 matriks segitiga.
Kita juga memiliki teorema berikut.
TeoremaJika A adalah suatu matriks yang memiliki baris atau kolom nol, makadet (A) = 0.
Tentunya menghitung determinan via kofaktor saja akan memerlukan banyakkalkulasi bila kita menghitung determinan matriks berikut
1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 29 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Motivasi
Dari bahasan sebelumnya kita telah melihat bahwa beberapa matriks memilikideterminan yang mudah dihitung. Matriks yang determinannya mudah dihitungdiantaranya adalah:
1 matriks yang memiliki “cukup banyak”entri 0,
2 matriks segitiga.
Kita juga memiliki teorema berikut.
TeoremaJika A adalah suatu matriks yang memiliki baris atau kolom nol, makadet (A) = 0.
Tentunya menghitung determinan via kofaktor saja akan memerlukan banyakkalkulasi bila kita menghitung determinan matriks berikut
1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 29 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Motivasi
Dari bahasan sebelumnya kita telah melihat bahwa beberapa matriks memilikideterminan yang mudah dihitung. Matriks yang determinannya mudah dihitungdiantaranya adalah:
1 matriks yang memiliki “cukup banyak”entri 0,2 matriks segitiga.
Kita juga memiliki teorema berikut.
TeoremaJika A adalah suatu matriks yang memiliki baris atau kolom nol, makadet (A) = 0.
Tentunya menghitung determinan via kofaktor saja akan memerlukan banyakkalkulasi bila kita menghitung determinan matriks berikut
1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 29 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Motivasi
Dari bahasan sebelumnya kita telah melihat bahwa beberapa matriks memilikideterminan yang mudah dihitung. Matriks yang determinannya mudah dihitungdiantaranya adalah:
1 matriks yang memiliki “cukup banyak”entri 0,2 matriks segitiga.
Kita juga memiliki teorema berikut.
TeoremaJika A adalah suatu matriks yang memiliki baris atau kolom nol, makadet (A) = 0.
Tentunya menghitung determinan via kofaktor saja akan memerlukan banyakkalkulasi bila kita menghitung determinan matriks berikut
1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 29 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dari Transpos Matriks
Satu sifat penting yang dimiliki oleh determinan dijelaskan dalam teorema berikut.
TeoremaJika A matriks persegi, maka det (A) = det
(AT).
BuktiPerhatikan bahwa setiap baris pada A memiliki kolom-kolom yang bersesuaianpada AT .
Akibatnya, melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-i pada A samaefeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di kolom ke-i pada AT . Hal yanganalog juga berlaku untuk ekspansi kolom, melakukan ekspansi kofaktor di kolomke-j pada A sama efeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-j padaAT . �
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 30 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dari Transpos Matriks
Satu sifat penting yang dimiliki oleh determinan dijelaskan dalam teorema berikut.
TeoremaJika A matriks persegi, maka det (A) = det
(AT).
BuktiPerhatikan bahwa setiap baris pada A memiliki kolom-kolom yang bersesuaianpada AT . Akibatnya, melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-i pada A samaefeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di kolom ke-i pada AT .
Hal yanganalog juga berlaku untuk ekspansi kolom, melakukan ekspansi kofaktor di kolomke-j pada A sama efeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-j padaAT . �
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 30 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dari Transpos Matriks
Satu sifat penting yang dimiliki oleh determinan dijelaskan dalam teorema berikut.
TeoremaJika A matriks persegi, maka det (A) = det
(AT).
BuktiPerhatikan bahwa setiap baris pada A memiliki kolom-kolom yang bersesuaianpada AT . Akibatnya, melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-i pada A samaefeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di kolom ke-i pada AT . Hal yanganalog juga berlaku untuk ekspansi kolom, melakukan ekspansi kofaktor di kolomke-j pada A sama efeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-j padaAT . �
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 30 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 1
Kita akan meninjau keterkaitan antara determinan suatu matriks dengan matrikslain yang diperoleh melalui OBE dari matriks tersebut. Karena bukti untukmatriks berukuran n× n secara umum terlalu panjang untuk dibahas di sini, kitahanya akan melihat ilustrasinya pada matriks berukuran 2× 2.
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[ka kbc d
](R1 ← kR1). Jadi A =
[ka kbc d
].
Kita memiliki det(A)= kad− kbc = k (ad− bc) = k det (A).
Determinan dan OBE 1
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan mengalikantepat satu baris pada A dengan suatu bilangan real k, maka
det(A)= k det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 31 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 1
Kita akan meninjau keterkaitan antara determinan suatu matriks dengan matrikslain yang diperoleh melalui OBE dari matriks tersebut. Karena bukti untukmatriks berukuran n× n secara umum terlalu panjang untuk dibahas di sini, kitahanya akan melihat ilustrasinya pada matriks berukuran 2× 2.
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[ka kbc d
](R1 ← kR1). Jadi A =
[ka kbc d
].
Kita memiliki det(A)= kad− kbc = k (ad− bc) = k det (A).
Determinan dan OBE 1
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan mengalikantepat satu baris pada A dengan suatu bilangan real k, maka
det(A)= k det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 31 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 1
Kita akan meninjau keterkaitan antara determinan suatu matriks dengan matrikslain yang diperoleh melalui OBE dari matriks tersebut. Karena bukti untukmatriks berukuran n× n secara umum terlalu panjang untuk dibahas di sini, kitahanya akan melihat ilustrasinya pada matriks berukuran 2× 2.
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[ka kbc d
](R1 ← kR1). Jadi A =
[ka kbc d
].
Kita memiliki det(A)=
kad− kbc = k (ad− bc) = k det (A).
Determinan dan OBE 1
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan mengalikantepat satu baris pada A dengan suatu bilangan real k, maka
det(A)= k det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 31 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 1
Kita akan meninjau keterkaitan antara determinan suatu matriks dengan matrikslain yang diperoleh melalui OBE dari matriks tersebut. Karena bukti untukmatriks berukuran n× n secara umum terlalu panjang untuk dibahas di sini, kitahanya akan melihat ilustrasinya pada matriks berukuran 2× 2.
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[ka kbc d
](R1 ← kR1). Jadi A =
[ka kbc d
].
Kita memiliki det(A)= kad− kbc =
k (ad− bc) = k det (A).
Determinan dan OBE 1
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan mengalikantepat satu baris pada A dengan suatu bilangan real k, maka
det(A)= k det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 31 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 1
Kita akan meninjau keterkaitan antara determinan suatu matriks dengan matrikslain yang diperoleh melalui OBE dari matriks tersebut. Karena bukti untukmatriks berukuran n× n secara umum terlalu panjang untuk dibahas di sini, kitahanya akan melihat ilustrasinya pada matriks berukuran 2× 2.
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[ka kbc d
](R1 ← kR1). Jadi A =
[ka kbc d
].
Kita memiliki det(A)= kad− kbc = k (ad− bc) =
k det (A).
Determinan dan OBE 1
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan mengalikantepat satu baris pada A dengan suatu bilangan real k, maka
det(A)= k det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 31 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 1
Kita akan meninjau keterkaitan antara determinan suatu matriks dengan matrikslain yang diperoleh melalui OBE dari matriks tersebut. Karena bukti untukmatriks berukuran n× n secara umum terlalu panjang untuk dibahas di sini, kitahanya akan melihat ilustrasinya pada matriks berukuran 2× 2.
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[ka kbc d
](R1 ← kR1). Jadi A =
[ka kbc d
].
Kita memiliki det(A)= kad− kbc = k (ad− bc) = k det (A).
Determinan dan OBE 1
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan mengalikantepat satu baris pada A dengan suatu bilangan real k, maka
det(A)= k det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 31 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 2
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[c da b
](R1 ↔ R2). Jadi A =
[c da b
].
Kita memiliki det(A)= bc− ad = − (ad− bc) = − det (A).
Determinan dan OBE 2
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menukar tepatdua baris pada A, maka det
(A)= −det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 32 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 2
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[c da b
](R1 ↔ R2). Jadi A =
[c da b
].
Kita memiliki det(A)=
bc− ad = − (ad− bc) = − det (A).
Determinan dan OBE 2
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menukar tepatdua baris pada A, maka det
(A)= −det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 32 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 2
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[c da b
](R1 ↔ R2). Jadi A =
[c da b
].
Kita memiliki det(A)= bc− ad =
− (ad− bc) = − det (A).
Determinan dan OBE 2
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menukar tepatdua baris pada A, maka det
(A)= −det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 32 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 2
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[c da b
](R1 ↔ R2). Jadi A =
[c da b
].
Kita memiliki det(A)= bc− ad = − (ad− bc) =
− det (A).
Determinan dan OBE 2
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menukar tepatdua baris pada A, maka det
(A)= −det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 32 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 2
Misalkan A =
[a bc d
]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut[a bc d
]⇒OBE
[c da b
](R1 ↔ R2). Jadi A =
[c da b
].
Kita memiliki det(A)= bc− ad = − (ad− bc) = − det (A).
Determinan dan OBE 2
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menukar tepatdua baris pada A, maka det
(A)= −det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 32 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 3
Misalkan A =
(a bc d
)dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut(a bc d
)⇒OBE
(a b
ka+ c kb+ d
)(R2 ← R2 + kR1).
Jadi A =
[a b
ka+ c kb+ d
].
Kita memiliki
det(A)
= a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .
Determinan dan OBE 3
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menambahkan
satu baris dengan kelipatan skalar baris yang lain, maka det(A)= det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 33 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 3
Misalkan A =
(a bc d
)dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut(a bc d
)⇒OBE
(a b
ka+ c kb+ d
)(R2 ← R2 + kR1).
Jadi A =
[a b
ka+ c kb+ d
].
Kita memiliki
det(A)
= a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .
Determinan dan OBE 3
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menambahkan
satu baris dengan kelipatan skalar baris yang lain, maka det(A)= det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 33 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 3
Misalkan A =
(a bc d
)dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut(a bc d
)⇒OBE
(a b
ka+ c kb+ d
)(R2 ← R2 + kR1).
Jadi A =
[a b
ka+ c kb+ d
].
Kita memiliki
det(A)
=
a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .
Determinan dan OBE 3
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menambahkan
satu baris dengan kelipatan skalar baris yang lain, maka det(A)= det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 33 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 3
Misalkan A =
(a bc d
)dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut(a bc d
)⇒OBE
(a b
ka+ c kb+ d
)(R2 ← R2 + kR1).
Jadi A =
[a b
ka+ c kb+ d
].
Kita memiliki
det(A)
= a (kb+ d)− b (ka+ c)=
akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .
Determinan dan OBE 3
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menambahkan
satu baris dengan kelipatan skalar baris yang lain, maka det(A)= det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 33 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 3
Misalkan A =
(a bc d
)dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut(a bc d
)⇒OBE
(a b
ka+ c kb+ d
)(R2 ← R2 + kR1).
Jadi A =
[a b
ka+ c kb+ d
].
Kita memiliki
det(A)
= a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc=
det (A) .
Determinan dan OBE 3
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menambahkan
satu baris dengan kelipatan skalar baris yang lain, maka det(A)= det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 33 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Determinan dan OBE 3
Misalkan A =
(a bc d
)dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE
berikut(a bc d
)⇒OBE
(a b
ka+ c kb+ d
)(R2 ← R2 + kR1).
Jadi A =
[a b
ka+ c kb+ d
].
Kita memiliki
det(A)
= a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .
Determinan dan OBE 3
Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menambahkan
satu baris dengan kelipatan skalar baris yang lain, maka det(A)= det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 33 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Teorema: Determinan dan OBE (1)
TeoremaMisalkan A adalah suatu matriks persegi berorde n
1 jika A diperoleh dengan mengalikan tepat satu baris pada A dengan k ∈ R,maka det
(A)= k det (A);
2 jika A diperoleh dengan menukar tepat dua baris pada A, makadet(A)= −det (A);
3 jika A diperoleh dengan menjumlahkan suatu baris pada A dengan kelipatan
skalar baris lain, maka det(A)= det (A).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 34 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Dari teorema sebelumnya, kita dapat memperoleh teorema berikut.
TeoremaJika A adalah matriks persegi dengan dua baris (atau dua kolom) yang sama,maka det (A) = 0.
TeoremaJika A adalah matriks persegi yang bentuk EB atau bentuk EBT-nya memuatbaris nol, maka det (A) = 0.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 35 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (1)
Kita akan menentukan determinan dari A =
2 1 01 2 10 1 2
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣2 1 01 2 10 1 2
∣∣∣∣∣∣ =
−
∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 00 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
= −
∣∣∣∣∣∣1 2 10 −3 −20 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 −3 −2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ↔ R3)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 0 4
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 + 3R2)
= (1) · (1) · (4) = 4.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 36 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (1)
Kita akan menentukan determinan dari A =
2 1 01 2 10 1 2
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣2 1 01 2 10 1 2
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 00 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
=
−
∣∣∣∣∣∣1 2 10 −3 −20 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 −3 −2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ↔ R3)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 0 4
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 + 3R2)
= (1) · (1) · (4) = 4.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 36 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (1)
Kita akan menentukan determinan dari A =
2 1 01 2 10 1 2
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣2 1 01 2 10 1 2
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 00 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
= −
∣∣∣∣∣∣1 2 10 −3 −20 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 −3 −2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ↔ R3)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 0 4
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 + 3R2)
= (1) · (1) · (4) = 4.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 36 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (1)
Kita akan menentukan determinan dari A =
2 1 01 2 10 1 2
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣2 1 01 2 10 1 2
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 00 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
= −
∣∣∣∣∣∣1 2 10 −3 −20 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 −3 −2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ↔ R3)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 0 4
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 + 3R2)
= (1) · (1) · (4) = 4.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 36 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (1)
Kita akan menentukan determinan dari A =
2 1 01 2 10 1 2
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣2 1 01 2 10 1 2
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 00 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
= −
∣∣∣∣∣∣1 2 10 −3 −20 1 2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 −3 −2
∣∣∣∣∣∣ (R2 ↔ R3)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 0 4
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 + 3R2)
= (1) · (1) · (4) = 4.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 36 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (2)
Kita akan menentukan determinan dari B =
0 1 53 −6 92 6 1
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1
∣∣∣∣∣∣ =
−
∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 3 dari R1)= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)
= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)
= (−3) · (−55) = 165
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 37 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (2)
Kita akan menentukan determinan dari B =
0 1 53 −6 92 6 1
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
=
− 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 3 dari R1)= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)
= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)
= (−3) · (−55) = 165
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 37 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (2)
Kita akan menentukan determinan dari B =
0 1 53 −6 92 6 1
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 3 dari R1)=
− 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)
= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)
= (−3) · (−55) = 165
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 37 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (2)
Kita akan menentukan determinan dari B =
0 1 53 −6 92 6 1
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 3 dari R1)= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)
=
− 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)
= (−3) · (−55) = 165
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 37 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (2)
Kita akan menentukan determinan dari B =
0 1 53 −6 92 6 1
melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)
= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 3 dari R1)= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)
= − 3 ·
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)
= (−3) · (−55) = 165
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 37 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Latihan 3: Menentukan Determinan dengan OBE
LatihanTentukan determinan dari setiap matriks berikut
A =
1 2 34 5 67 8 9
, B =1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
, C =1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5
,
D =
3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 38 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Solusi Latihan 3
A =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12
∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1
)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)
= 0 (ekspansi baris ke-3)
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
= 0 (ekspansi kolom ke-2).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 39 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Solusi Latihan 3
A =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12
∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1
)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)
= 0 (ekspansi baris ke-3)
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
= 0 (ekspansi kolom ke-2).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 39 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Solusi Latihan 3
A =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12
∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1
)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)
=
0 (ekspansi baris ke-3)
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
= 0 (ekspansi kolom ke-2).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 39 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Solusi Latihan 3
A =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12
∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1
)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)
= 0 (ekspansi baris ke-3)
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
= 0 (ekspansi kolom ke-2).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 39 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Solusi Latihan 3
A =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12
∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1
)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)
= 0 (ekspansi baris ke-3)
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
=
0 (ekspansi kolom ke-2).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 39 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Solusi Latihan 3
A =
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12
∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1
)
=
∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)
= 0 (ekspansi baris ke-3)
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)
= 0 (ekspansi kolom ke-2).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 39 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|C| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 13 6 0 5
∣∣∣∣∣∣∣∣(karena |C| =
∣∣CT ∣∣)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 10 0 0 −16
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R4 ← R4 − 3R1)
= (1) (7) (3) (−16) = −336.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 40 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|C| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 13 6 0 5
∣∣∣∣∣∣∣∣(karena |C| =
∣∣CT ∣∣)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 10 0 0 −16
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R4 ← R4 − 3R1)
= (1) (7) (3) (−16) = −336.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 40 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|C| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 13 6 0 5
∣∣∣∣∣∣∣∣(karena |C| =
∣∣CT ∣∣)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 10 0 0 −16
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R4 ← R4 − 3R1)
=
(1) (7) (3) (−16) = −336.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 40 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|C| =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 13 6 0 5
∣∣∣∣∣∣∣∣(karena |C| =
∣∣CT ∣∣)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 10 0 0 −16
∣∣∣∣∣∣∣∣ (R4 ← R4 − 3R1)
= (1) (7) (3) (−16) = −336.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 40 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)
=
∣∣∣∣ 3 39 3
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= 9− 27 = −18.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 41 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2
=
−
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)
=
∣∣∣∣ 3 39 3
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= 9− 27 = −18.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 41 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
=
−
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)
=
∣∣∣∣ 3 39 3
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= 9− 27 = −18.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 41 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)
=
∣∣∣∣ 3 39 3
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= 9− 27 = −18.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 41 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)
=
∣∣∣∣ 3 39 3
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
=
9− 27 = −18.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 41 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
|D| =
∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0
∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= −
∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)
=
∣∣∣∣ 3 39 3
∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-1)
= 9− 27 = −18.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 41 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Latihan 4: Menentukan Determinan dengan OBE
Latihan
Jika diketahui
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ = −6, tentukan∣∣∣∣∣∣−a −b −c2d 2e 2f5g 5h 5i
∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i
∣∣∣∣∣∣, dan∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c
∣∣∣∣∣∣.Solusi:
∣∣∣∣∣∣−a −b −c2d 2e 2f5g 5h 5i
∣∣∣∣∣∣= (−1) · (2) · (5) ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ faktorkan−1 dari R1,2 dari R2, 5 dari R3
= (−1) (2) (5) (−6) = 60.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 42 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
Latihan 4: Menentukan Determinan dengan OBE
Latihan
Jika diketahui
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ = −6, tentukan∣∣∣∣∣∣−a −b −c2d 2e 2f5g 5h 5i
∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i
∣∣∣∣∣∣, dan∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c
∣∣∣∣∣∣.Solusi:
∣∣∣∣∣∣−a −b −c2d 2e 2f5g 5h 5i
∣∣∣∣∣∣= (−1) · (2) · (5) ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ faktorkan−1 dari R1,2 dari R2, 5 dari R3
= (−1) (2) (5) (−6) = 60.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 42 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i
∣∣∣∣∣∣ =
(−1) ·
∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ fd e fg h i
∣∣∣∣∣∣(faktorkan−1 dari R2
)
= −
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ (R1 ← R1 −R2)
= − (−6) = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 43 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i
∣∣∣∣∣∣ = (−1) ·
∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ fd e fg h i
∣∣∣∣∣∣(faktorkan−1 dari R2
)
=
−
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ (R1 ← R1 −R2)
= − (−6) = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 43 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i
∣∣∣∣∣∣ = (−1) ·
∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ fd e fg h i
∣∣∣∣∣∣(faktorkan−1 dari R2
)
= −
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ (R1 ← R1 −R2)
= − (−6) = 6.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 43 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣a b c2d 2e 2f
g + 3a h+ 3b i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ (sifat transpos)= (2) ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e f
g + 3a h+ 3b i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 2 dari R2)= 2 ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 3R1)
= 2 (6) = 12.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 44 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣
a b c2d 2e 2f
g + 3a h+ 3b i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ (sifat transpos)=
(2) ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e f
g + 3a h+ 3b i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 2 dari R2)= 2 ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 3R1)
= 2 (6) = 12.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 44 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣
a b c2d 2e 2f
g + 3a h+ 3b i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ (sifat transpos)= (2) ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e f
g + 3a h+ 3b i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 2 dari R2)=
2 ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 3R1)
= 2 (6) = 12.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 44 / 58
Menghitung Determinan dengan OBE
∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣
a b c2d 2e 2f
g + 3a h+ 3b i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ (sifat transpos)= (2) ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e f
g + 3a h+ 3b i+ 3c
∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 2 dari R2)= 2 ·
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 3R1)
= 2 (6) = 12.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 44 / 58
Sifat-sifat Determinan
Bahasan
1 Determinan: Pendahuluan
2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
4 Menghitung Determinan dengan OBE
5 Sifat-sifat Determinan
6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)
7 Latihan Determinan
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 45 / 58
Sifat-sifat Determinan
Determinan Hasil Kali Skalar Matriks
Misalkan k ∈ R serta A dan B adalah dua matriks persegi berukuran n. Kitaakan meninjau sifat-sifat yang mungkin dimiliki oleh det (A), det (B), dan
det (kA)det (A+B)det (AB).
TeoremaJika A adalah matriks persegi berorde n dan k ∈ R, maka det (kA) = kn det (A).
BuktiJika k = 0, maka kA = 0A = 0.
Karena kA = 0, maka kA memiliki baris nol.Akibatnya
det (kA) = det (0A) = det (0) = 0
= 0n det (A) = kn det (A) .
Jika k 6= 0, maka setiap baris kA dikalikan dengan k. Karena kA memuat nbaris, maka det (kA) = kn det (A). �
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 46 / 58
Sifat-sifat Determinan
Determinan Hasil Kali Skalar Matriks
Misalkan k ∈ R serta A dan B adalah dua matriks persegi berukuran n. Kitaakan meninjau sifat-sifat yang mungkin dimiliki oleh det (A), det (B), dan
det (kA)det (A+B)det (AB).
TeoremaJika A adalah matriks persegi berorde n dan k ∈ R, maka det (kA) = kn det (A).
BuktiJika k = 0, maka kA = 0A = 0. Karena kA = 0, maka kA memiliki baris nol.
Akibatnya
det (kA) = det (0A) = det (0) = 0
= 0n det (A) = kn det (A) .
Jika k 6= 0, maka setiap baris kA dikalikan dengan k. Karena kA memuat nbaris, maka det (kA) = kn det (A). �
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 46 / 58
Sifat-sifat Determinan
Determinan Hasil Kali Skalar Matriks
Misalkan k ∈ R serta A dan B adalah dua matriks persegi berukuran n. Kitaakan meninjau sifat-sifat yang mungkin dimiliki oleh det (A), det (B), dan
det (kA)det (A+B)det (AB).
TeoremaJika A adalah matriks persegi berorde n dan k ∈ R, maka det (kA) = kn det (A).
BuktiJika k = 0, maka kA = 0A = 0. Karena kA = 0, maka kA memiliki baris nol.Akibatnya
det (kA) = det (0A) = det (0) = 0
= 0n det (A) = kn det (A) .
Jika k 6= 0,
maka setiap baris kA dikalikan dengan k. Karena kA memuat nbaris, maka det (kA) = kn det (A). �
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 46 / 58
Sifat-sifat Determinan
Determinan Hasil Kali Skalar Matriks
Misalkan k ∈ R serta A dan B adalah dua matriks persegi berukuran n. Kitaakan meninjau sifat-sifat yang mungkin dimiliki oleh det (A), det (B), dan
det (kA)det (A+B)det (AB).
TeoremaJika A adalah matriks persegi berorde n dan k ∈ R, maka det (kA) = kn det (A).
BuktiJika k = 0, maka kA = 0A = 0. Karena kA = 0, maka kA memiliki baris nol.Akibatnya
det (kA) = det (0A) = det (0) = 0
= 0n det (A) = kn det (A) .
Jika k 6= 0, maka setiap baris kA dikalikan dengan k.
Karena kA memuat nbaris, maka det (kA) = kn det (A). �
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 46 / 58
Sifat-sifat Determinan
Determinan Hasil Kali Skalar Matriks
Misalkan k ∈ R serta A dan B adalah dua matriks persegi berukuran n. Kitaakan meninjau sifat-sifat yang mungkin dimiliki oleh det (A), det (B), dan
det (kA)det (A+B)det (AB).
TeoremaJika A adalah matriks persegi berorde n dan k ∈ R, maka det (kA) = kn det (A).
BuktiJika k = 0, maka kA = 0A = 0. Karena kA = 0, maka kA memiliki baris nol.Akibatnya
det (kA) = det (0A) = det (0) = 0
= 0n det (A) = kn det (A) .
Jika k 6= 0, maka setiap baris kA dikalikan dengan k. Karena kA memuat nbaris, maka det (kA) = kn det (A). �
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 46 / 58
Sifat-sifat Determinan
Jumlah Determinan dan Determinan Jumlah Matriks
Determinan Hasil Jumlah MatriksJika A dan B adalah matriks n× n, apakah det (A+B) = det (A) + det (B)selalu berlaku?
Tidak, pilih A =
[1 11 2
]dan B =
[1 11 −2
]. Kita memiliki |A| = 2− 1 = 1
dan |B| = −2− 1 = −3. Akibatnya |A|+ |B| = −2. Perhatikan bahwa
A+B =
[2 22 0
]. Jadi det (A+B) = −4 6= −2 = det (A) + det (B).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 47 / 58
Sifat-sifat Determinan
Jumlah Determinan dan Determinan Jumlah Matriks
Determinan Hasil Jumlah MatriksJika A dan B adalah matriks n× n, apakah det (A+B) = det (A) + det (B)selalu berlaku?
Tidak, pilih A =
[1 11 2
]dan B =
[1 11 −2
].
Kita memiliki |A| = 2− 1 = 1
dan |B| = −2− 1 = −3. Akibatnya |A|+ |B| = −2. Perhatikan bahwa
A+B =
[2 22 0
]. Jadi det (A+B) = −4 6= −2 = det (A) + det (B).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 47 / 58
Sifat-sifat Determinan
Jumlah Determinan dan Determinan Jumlah Matriks
Determinan Hasil Jumlah MatriksJika A dan B adalah matriks n× n, apakah det (A+B) = det (A) + det (B)selalu berlaku?
Tidak, pilih A =
[1 11 2
]dan B =
[1 11 −2
]. Kita memiliki |A| = 2− 1 = 1
dan |B| = −2− 1 = −3.
Akibatnya |A|+ |B| = −2. Perhatikan bahwa
A+B =
[2 22 0
]. Jadi det (A+B) = −4 6= −2 = det (A) + det (B).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 47 / 58
Sifat-sifat Determinan
Jumlah Determinan dan Determinan Jumlah Matriks
Determinan Hasil Jumlah MatriksJika A dan B adalah matriks n× n, apakah det (A+B) = det (A) + det (B)selalu berlaku?
Tidak, pilih A =
[1 11 2
]dan B =
[1 11 −2
]. Kita memiliki |A| = 2− 1 = 1
dan |B| = −2− 1 = −3. Akibatnya |A|+ |B| = −2. Perhatikan bahwa
A+B =
[2 22 0
].
Jadi det (A+B) = −4 6= −2 = det (A) + det (B).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 47 / 58
Sifat-sifat Determinan
Jumlah Determinan dan Determinan Jumlah Matriks
Determinan Hasil Jumlah MatriksJika A dan B adalah matriks n× n, apakah det (A+B) = det (A) + det (B)selalu berlaku?
Tidak, pilih A =
[1 11 2
]dan B =
[1 11 −2
]. Kita memiliki |A| = 2− 1 = 1
dan |B| = −2− 1 = −3. Akibatnya |A|+ |B| = −2. Perhatikan bahwa
A+B =
[2 22 0
]. Jadi det (A+B) = −4 6= −2 = det (A) + det (B).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 47 / 58
Sifat-sifat Determinan
Teorema Penting Terkait Determinan
Berikut teorema-teorema penting terkait determinan yang buktinya dapat dilihatdi buku teks.
TeoremaMatriks persegi A invertibel jika dan hanya jika det (A) 6= 0.
TeoremaJika A dan B matriks persegi yang berukuran sama, makadet (AB) = det (A) det (B).
TeoremaJika A invertibel, maka det
(A−1
)= 1
det(A) .
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 48 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Bahasan
1 Determinan: Pendahuluan
2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
4 Menghitung Determinan dengan OBE
5 Sifat-sifat Determinan
6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)
7 Latihan Determinan
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 49 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Matriks Kofaktor dan Adjoin
DefinisiUntuk setiap matriks persegi A berorde n, matriks kofaktor dari A adalah matriksyang entri pada baris ke-i dan kolom ke-j-nya adalah Cij ,
C11 C12 · · · C1nC21 C22 · · · C2n...
.... . .
...Cn1 Cn2 · · · Cnn
.Selanjutnya matriks adjoin (atau adjugate) dari A, dinotasikan dengan adj (A),didefinisikan sebagai transpos dari matriks kofaktor, yaitu
adj (A) =
C11 C21 · · · Cn1C12 C22 · · · Cn2...
.... . .
...C1n C2n · · · Cnn
.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 50 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Matriks Kofaktor dan Adjoin
DefinisiUntuk setiap matriks persegi A berorde n, matriks kofaktor dari A adalah matriksyang entri pada baris ke-i dan kolom ke-j-nya adalah Cij ,
C11 C12 · · · C1nC21 C22 · · · C2n...
.... . .
...Cn1 Cn2 · · · Cnn
.Selanjutnya matriks adjoin (atau adjugate) dari A, dinotasikan dengan adj (A),didefinisikan sebagai transpos dari matriks kofaktor, yaitu
adj (A) =
C11 C21 · · · Cn1C12 C22 · · · Cn2...
.... . .
...C1n C2n · · · Cnn
.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 50 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 =
d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 = d, C12 =
− c, C21 = − b, dan C22 = a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 = d, C12 = − c, C21 =
− b, dan C22 = a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 =
a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =
[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2
Jika A =
[a bc d
], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.
Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22
]=
[d −b−c a
]. Dari
pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
].
Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a
]= adj (A), kita memiliki hubungan
A−1 =1
det (A)adj (A) . (1)
Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 51 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Teorema Invers via Adjoin
TeoremaJika A matriks n× n yang invertibel, maka A adj (A) = det (A) I.
TeoremaJika A invertibel, maka
A−1 =1
det (A)adj (A) .
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 52 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 =
−∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 =
∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 =
−∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 =
∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 =
−∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 =
−∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 =
∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin
Latihan
Diberikan matriks A =
1 0 11 −1 00 2 1
, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1
Solusi: Kita memiliki
C11 =
∣∣∣∣ −1 02 1
∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2
∣∣∣∣ = 2C21 = −
∣∣∣∣ 0 12 1
∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2
∣∣∣∣ = −2C31 =
∣∣∣∣ 0 1−1 0
∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0
∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1
∣∣∣∣ = −1MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
1 Akibatnya adj (A) =
C11 C12 C21C21 C22 C23C31 C32 C33
T =
−1 −2 1−1 1 12 −2 −1
.2 Dengan ekspansi baris ke-1, kita memilikidet (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (1) (−1) + (0) (−1) + (1) (2) = 1,sehingga
A−1 =1
det (A)adj (A)
=
−1 −2 1−1 1 12 −2 −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 54 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
1 Akibatnya adj (A) =
C11 C12 C21C21 C22 C23C31 C32 C33
T = −1 −2 1−1 1 12 −2 −1
.2 Dengan ekspansi baris ke-1, kita memilikidet (A) =
a11C11 + a12C12 + a13C13 = (1) (−1) + (0) (−1) + (1) (2) = 1,sehingga
A−1 =1
det (A)adj (A)
=
−1 −2 1−1 1 12 −2 −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 54 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
1 Akibatnya adj (A) =
C11 C12 C21C21 C22 C23C31 C32 C33
T = −1 −2 1−1 1 12 −2 −1
.2 Dengan ekspansi baris ke-1, kita memilikidet (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (1) (−1) + (0) (−1) + (1) (2) = 1,sehingga
A−1 =
1
det (A)adj (A)
=
−1 −2 1−1 1 12 −2 −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 54 / 58
Invers dengan Adjoin (Adjugate)
1 Akibatnya adj (A) =
C11 C12 C21C21 C22 C23C31 C32 C33
T = −1 −2 1−1 1 12 −2 −1
.2 Dengan ekspansi baris ke-1, kita memilikidet (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (1) (−1) + (0) (−1) + (1) (2) = 1,sehingga
A−1 =1
det (A)adj (A)
=
−1 −2 1−1 1 12 −2 −1
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 54 / 58
Latihan Determinan
Bahasan
1 Determinan: Pendahuluan
2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3
3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor
4 Menghitung Determinan dengan OBE
5 Sifat-sifat Determinan
6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)
7 Latihan Determinan
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 55 / 58
Latihan Determinan
Latihan Determinan
Latihan
1 Diberikan P =
2 1 11 2 11 1 2
dan Q =
3 −2 00 1 0−4 4 1
, tentukan det (P)dan det (Q).
2 Diberikan A =
2 1 03 4 00 0 2
dan B = 1 −1 37 1 25 0 1
, tentukan det (A),det (B), dan det (AB).
3 Misalkan A =
1 5 a−1 0 13 a 4
. Tentukan nilai a jika diketahui det (A) = 29.4 Diberikan matriks A =
1 0 02 1 03 4 5
. Jika B = A−1, tentukan nilai daridet(2A2)−det(5B)
det(ATB).
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 56 / 58
Latihan Determinan
Solusi Latihan Determinan
1 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan dengan OBE dan ekspansikofaktor det (P) = 4 dan det (Q) = 3.
2 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan OBE dan ekspansi kofaktordet (A) = 10 dan det (B) = −17,
akibatnyadet (AB) = det (A) det (B) = −170.
3 Dengan ekspansi kofaktor pada baris ke-2, kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4
∣∣∣∣∣∣ =(−1) (−1)2+1
∣∣∣∣ 5 aa 4
∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4
∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a
∣∣∣∣= 20− a2 − (a− 15) = −a2 − a+ 35.Karena |A| = 29, maka
−a2 − a+ 35 = 29
a2 + a− 6 = 0
(a+ 3) (a− 2) = 0,
jadi a = −3 atau a = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 57 / 58
Latihan Determinan
Solusi Latihan Determinan
1 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan dengan OBE dan ekspansikofaktor det (P) = 4 dan det (Q) = 3.
2 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan OBE dan ekspansi kofaktordet (A) = 10 dan det (B) = −17, akibatnyadet (AB) = det (A) det (B) = −170.
3 Dengan ekspansi kofaktor pada baris ke-2, kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4
∣∣∣∣∣∣ =
(−1) (−1)2+1∣∣∣∣ 5 aa 4
∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4
∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a
∣∣∣∣= 20− a2 − (a− 15) = −a2 − a+ 35.Karena |A| = 29, maka
−a2 − a+ 35 = 29
a2 + a− 6 = 0
(a+ 3) (a− 2) = 0,
jadi a = −3 atau a = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 57 / 58
Latihan Determinan
Solusi Latihan Determinan
1 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan dengan OBE dan ekspansikofaktor det (P) = 4 dan det (Q) = 3.
2 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan OBE dan ekspansi kofaktordet (A) = 10 dan det (B) = −17, akibatnyadet (AB) = det (A) det (B) = −170.
3 Dengan ekspansi kofaktor pada baris ke-2, kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4
∣∣∣∣∣∣ =(−1) (−1)2+1
∣∣∣∣ 5 aa 4
∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4
∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a
∣∣∣∣=
20− a2 − (a− 15) = −a2 − a+ 35.Karena |A| = 29, maka
−a2 − a+ 35 = 29
a2 + a− 6 = 0
(a+ 3) (a− 2) = 0,
jadi a = −3 atau a = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 57 / 58
Latihan Determinan
Solusi Latihan Determinan
1 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan dengan OBE dan ekspansikofaktor det (P) = 4 dan det (Q) = 3.
2 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan OBE dan ekspansi kofaktordet (A) = 10 dan det (B) = −17, akibatnyadet (AB) = det (A) det (B) = −170.
3 Dengan ekspansi kofaktor pada baris ke-2, kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4
∣∣∣∣∣∣ =(−1) (−1)2+1
∣∣∣∣ 5 aa 4
∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4
∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a
∣∣∣∣= 20− a2 − (a− 15) = −a2 − a+ 35.Karena |A| = 29, maka
−a2 − a+ 35 = 29
a2 + a− 6 = 0
(a+ 3) (a− 2) = 0,
jadi a = −3 atau a = 2.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 57 / 58
Latihan Determinan
Solusi Latihan Determinan
1 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan dengan OBE dan ekspansikofaktor det (P) = 4 dan det (Q) = 3.
2 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan OBE dan ekspansi kofaktordet (A) = 10 dan det (B) = −17, akibatnyadet (AB) = det (A) det (B) = −170.
3 Dengan ekspansi kofaktor pada baris ke-2, kita memiliki
|A| =
∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4
∣∣∣∣∣∣ =(−1) (−1)2+1
∣∣∣∣ 5 aa 4
∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4
∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a
∣∣∣∣= 20− a2 − (a− 15) = −a2 − a+ 35.Karena |A| = 29, maka
−a2 − a+ 35 = 29
a2 + a− 6 = 0
(a+ 3) (a− 2) = 0,
jadi a = −3 atau a = 2.MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 57 / 58
Latihan Determinan
4 Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = 5.
Kemudian karena
B = A−1, maka |B| =∣∣A−1∣∣ = 1
|A| =15 . Kemudian karena A dan B
adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ = 23
∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,
|5B| = 53 |B| = 53(1
5
)= 52 = 25
Kemudian kita juga memiliki∣∣AT
∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT
∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|
)= 1. Oleh karena itu
det(2A2
)− det (5B)
det (ATB)=
∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|
=200− 25
1= 175.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 58 / 58
Latihan Determinan
4 Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = 5. Kemudian karenaB = A−1, maka |B| =
∣∣A−1∣∣ = 1|A| =
15 . Kemudian karena A dan B
adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ = 23
∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,
|5B| = 53 |B| = 53(1
5
)= 52 = 25
Kemudian kita juga memiliki∣∣AT
∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT
∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|
)= 1. Oleh karena itu
det(2A2
)− det (5B)
det (ATB)=
∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|
=200− 25
1= 175.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 58 / 58
Latihan Determinan
4 Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = 5. Kemudian karenaB = A−1, maka |B| =
∣∣A−1∣∣ = 1|A| =
15 . Kemudian karena A dan B
adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ =
23∣∣A2
∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,|5B| = 53 |B| = 53
(1
5
)= 52 = 25
Kemudian kita juga memiliki∣∣AT
∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT
∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|
)= 1. Oleh karena itu
det(2A2
)− det (5B)
det (ATB)=
∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|
=200− 25
1= 175.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 58 / 58
Latihan Determinan
4 Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = 5. Kemudian karenaB = A−1, maka |B| =
∣∣A−1∣∣ = 1|A| =
15 . Kemudian karena A dan B
adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ = 23
∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,
|5B| =
53 |B| = 53(1
5
)= 52 = 25
Kemudian kita juga memiliki∣∣AT
∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT
∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|
)= 1. Oleh karena itu
det(2A2
)− det (5B)
det (ATB)=
∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|
=200− 25
1= 175.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 58 / 58
Latihan Determinan
4 Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = 5. Kemudian karenaB = A−1, maka |B| =
∣∣A−1∣∣ = 1|A| =
15 . Kemudian karena A dan B
adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ = 23
∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,
|5B| = 53 |B| = 53(1
5
)= 52 = 25
Kemudian kita juga memiliki∣∣AT
∣∣ =
|A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT
∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|
)= 1. Oleh karena itu
det(2A2
)− det (5B)
det (ATB)=
∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|
=200− 25
1= 175.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 58 / 58
Latihan Determinan
4 Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = 5. Kemudian karenaB = A−1, maka |B| =
∣∣A−1∣∣ = 1|A| =
15 . Kemudian karena A dan B
adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ = 23
∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,
|5B| = 53 |B| = 53(1
5
)= 52 = 25
Kemudian kita juga memiliki∣∣AT
∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ =
∣∣AT∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1
|A|
)= 1. Oleh karena itu
det(2A2
)− det (5B)
det (ATB)=
∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|
=200− 25
1= 175.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 58 / 58
Latihan Determinan
4 Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = 5. Kemudian karenaB = A−1, maka |B| =
∣∣A−1∣∣ = 1|A| =
15 . Kemudian karena A dan B
adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ = 23
∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,
|5B| = 53 |B| = 53(1
5
)= 52 = 25
Kemudian kita juga memiliki∣∣AT
∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT
∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|
)= 1. Oleh karena itu
det(2A2
)− det (5B)
det (ATB)=
∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|
=200− 25
1= 175.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 58 / 58
Latihan Determinan
4 Kita memiliki |A| =
∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5
∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5
∣∣∣∣ = 5. Kemudian karenaB = A−1, maka |B| =
∣∣A−1∣∣ = 1|A| =
15 . Kemudian karena A dan B
adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ = 23
∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,
|5B| = 53 |B| = 53(1
5
)= 52 = 25
Kemudian kita juga memiliki∣∣AT
∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT
∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|
)= 1. Oleh karena itu
det(2A2
)− det (5B)
det (ATB)=
∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|
=200− 25
1= 175.
MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 58 / 58
top related