derivative - arumprimandari.files.wordpress.com · fungsi linier (garis), antara satu titik dan...
Post on 24-Feb-2020
18 Views
Preview:
TRANSCRIPT
INTRODUCTION
Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan)
Calculus dikembangkan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz, dan ilmuwan lainnya; yang pada mulanya berusaha untuk menyelesaikan masalah:
1. Garis singgung (tangent line): mencari garis singgung di titik tertentu pada suatu kurva
2. Luas area: menentukan luas area di bawah suatu kurva
TINGKAT PERUBAHAN (CHANGE OF RATE)
Fungsi linier (garis), antara satu titik dantitik yang lain memiliki tingkat perubahan
yang sama, yaitu sebesar m
Kurva, antara satu titik dan titik yang lain memiliki tingkat perubahan yang
berbeda, yaitu diberikan oleh kemiringandari garis singgung pada P(c,f(c))
BERAPAKAH BESAR TINGKAT PERUBAHAN?
Berapakah besar tingkat perubahan di titik𝑃(𝑐, 𝑓 𝑐 )?
Misalkan diketahui titik:
𝑄(𝑐 + ℎ, 𝑓 𝑐 + ℎ )
Ruas garis PQ disebut garis potong (secant line)
Perhatikan: seiring ℎ mendekati 0, garispotong PQ semakin mendakati garissinggung di titik P
Sehingga besar tingkat perubahan:
limℎ→0
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑦
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑥= lim
ℎ→0
𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐)
ℎ
DERIVATIVE
Fungsi derivative:
Fungsi derivative 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi 𝑓′(𝑥) yang dirumuskan:
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Proses dari perhitungannya disebut diferensial (turunan). Dikatakan bahwa 𝑓(𝑥) terdiferensial di 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓′(𝑥) ada, yaitu jika limit yang mendefinisikan 𝑓′(𝑥) ada di titik 𝑥 = 𝑐
CONTOH 1:
Tentukan diferensial dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Jawab:
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥
ℎ
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑥+ℎ 2−𝑥2
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)−𝑥2
ℎ= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ+ℎ2
ℎ= lim
ℎ→02𝑥 + ℎ = 2𝑥
NOTASI LEIBNIZ
Misalkan notasi turunan:
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
Δ𝑦
Δ𝑥= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
dituliskan𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ= 𝑓′(𝑥)
Order yang lebih tinggi:
2
2
4(4)
4
''d y
f xdx
d yf x
dx
TEKNIK DIFERENSIAL
Diferensial dari suatu konstanta𝑑
𝑑𝑥𝑐 = 0
Jika 𝑛 bilangan riil, maka berlaku𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
Jika 𝑐 adalah konstan dan 𝑓(𝑥) fungsi terdiferensial, maka: 𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥)
LATIHAN 1
Tentukan diferensial dari fungsi berikut:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥9 − 5𝑥8 + 𝑥 + 12
2. 𝑓 𝑥 =1
4𝑥8 −
1
2𝑥6 − 𝑥 + 2
3. 𝑓 𝑥 = −0.02𝑥3 + 0.3𝑥
4. 𝑓 𝑢 = 0.07𝑢4 − 1.21𝑢3 − 5.2
5. 𝑦 =1
𝑡+
1
𝑡2−
1
𝑡
6. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 +1
𝑥3
7. 𝑓 𝑡 = 2 𝑡3 +4
𝑡− 2
8. 𝑦 = −𝑥2
16+
2
𝑥− 𝑥
3
2 +1
3𝑥2
9. 𝑦 =7
𝑥1.2+
5
𝑥−2.1
KEGUNAAN DIFERENSIAL
1. Kemiringan Kurva
Kemiringan suatu kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑐 adalah 𝑚 = 𝑓′(𝑐)
2. Tingkat perubahan
Tingkat perubahan dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥, ketika 𝑥 = 𝑐 adalah 𝑓′(𝑐)
MENENTUKAN TINGKAT (RATE) PERUBAHAN
Kegunaan fungsi derivative, salah satunya, adalah menentukan tingkat (rate) perubahan, contohnyapada gerak linier.
Jika posisi obyek yang bergerak pada lintasan linier pada waktu 𝑡diberikan oleh fungsi 𝑠(𝑡), maka obyek memiliki:
1) Kecepatan 𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 =𝑑𝑠
𝑑𝑡
2) Percepatan 𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 =𝑑𝑣
𝑑𝑡
Obyek bergerak maju ketika 𝑣 𝑡 > 0, bergerak mundur ketika 𝑣 𝑡 < 0, dan berhenti (stasioner) ketika 𝑣 𝑡 = 0
RELATIFITAS DAN PERSENTASE PERUBAHAN
Tingkat perubahan dari kuantitas 𝑄(𝑥) pada saat 𝑥 diberikan oleh rasio:
Persentase perubahan dari 𝑄(𝑥) pada waktu 𝑥 adalah:
Δ =𝑄′ 𝑥
𝑄 𝑥
% Δ =𝑄′ 𝑥
𝑄 𝑥∗ 100%
TANDA SIGNIFIKAN PADA DERIVATIVE
Jika fungsi 𝑓 terdiferensial pada 𝑥 = 𝑐, maka:
1. 𝑓 naik di 𝑥 = 𝑐, jika 𝑓′ 𝑐 > 0
2. 𝑓 turun di 𝑥 = 𝑐, jika 𝑓′ 𝑐 < 0
Penggunaan aturan ini adalah ketika menentukan titik stasioner dan sketsa kurva.
Titik-titik stasioner 𝑥, yaitu memenuhi 𝑓′ 𝑥 = 0
CONTOH
Posisi suatu benda bergerak linier diberikan oleh fungsi 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 + 5
a) Tentukan kecepatan obyek tersebut saat 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4
b) Tentukan total jarak yang ditempuh oleh obyek tersebut antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4
c) Tentukan percepatan obyek antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4
LATIHAN 2
1.
2.
Pertumbuhan Populasi Diperkirakan bahwa x bulan darisekarang, populasi dari kota tertentu akan menjadi
𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 4𝑥3
2 + 5,000.a) Sembilan bulan dari sekarang, berapakah kecepatan
pertumbuhan populasi tersebut?b) Berapakah persentase kecepatan pertumbuhan
populasi saat 9 bulan dari sekarang?
Polusi udara Studi lingkungan dari suatu daerahmengemukakan bahwa 𝑡 tahun dari sekarang, rata-rata tingkat karbon monoksida di udara akan menjadi𝑄 𝑡 = 0.05𝑡2 + 0.1𝑡 + 3.4 ppm.a) Pada 1 tahun mendatang, berapakah kecepatan
perubahan tingkat karbon monoksida di udara?b) Berapakah kecepatan perubahan tingkat karbon
monoksida tahun ini?
3.
4. Efisiensi Pekerja Studi efisiensi dari shift pagi pada suatuperusahaan mengindikasikan bahwa rata-rata pekerjayang datang pukul 08:00, akan mengumpulkansebanyak 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥 unit pekerjaan, 𝑥jam kemudian. a) Tentukan fungsi kecepatan pekerja dalam
mengumpulkan pekerjaan setelah 𝑥 jam.b) Pada pukul 09:00, berapakah kecepatan pekerja
mengumpulkan pekerjaannya?c) Sketsakan grafik keefektifan pekerja tersebut.
Kimia Fisika Berdasarkan pada formula Deybe dalamkimia fisis, polarisasi 𝑃 dari suatu gas memenuhi:
𝑃 =4
3𝜋𝑁
𝜇2
3𝑘𝑇
Dimana 𝜇, 𝑘, dan 𝑁 adalah konstanta positif, dan 𝑇adalah temperature gas. Tentukan tingkat perubahan 𝑃terhadap 𝑇.
ATURAN PENJUMLAHAN
The sum rule:𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
Then, the difference of derivative: 𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
ATURAN PERKALIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi yang terdiferensial pada 𝑥, maka perkalian kedua fungsi tersebutdidefinisikan:
𝑓 ∙ 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)
ATURAN PEMBAGIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi yang terdiferensial pada 𝑥 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka pembagian keduafungsi tersebut didefinisikan:
𝑓
𝑔
′𝑥 =
𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥 2
LATIHAN 3
1) 𝐹 𝑥 =𝑥2−1
2𝑥+3
2) 𝐺 𝑥 = (𝑥3 − 2𝑥)(2𝑥 + 5)
3) Diketahui fungsi 𝐺 𝑥 = (9𝑥8 − 8𝑥9) 𝑥 +1
𝑥:
a) Tentukan 𝐺′(𝑥)
b) Tentukan 𝐺′(−1)
4) 𝐹 𝑥 =1
𝑥5−2𝑥+1 2
5) Tentukan nilai 𝐺′(2) dari 𝐺 𝑠 =3
5𝑠2+2
LATIHAN 4
1. 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥𝑦
2. 5𝑥 − 𝑥2𝑦3 = 2y
3. 𝑦2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑥2 = 9
4. 𝑥 + 𝑦 = 1
Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang sudah diberikan:
5. 𝑥2 = 𝑦3 di (8, 4)
6. 𝑥2 − 𝑦3 = 2𝑥 di (1, −1)
7. Pertumbuhan tumor suatu tumor dimodelkan, secarakasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius tumor saat ini 𝑅 = 0.54 cm dan mempunyaikecepatan tumbuh 0.13 cm per bulan. Berapakankecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui:
𝑉 =4
3𝜋𝑅3
LATIHAN
Tentukan interval naik dan turun dari kurva berikut
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5
2. 𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡2 + 1
3. 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥3
THE MEAN-VALUE THEORM
Jika 𝑓 adalah fungsi terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏) dan kontinu di selangtertutup [𝑎, 𝑏], maka terdapat paling tidak satu bilangan 𝑐 di (𝑎, 𝑏) sedemikiansehingga:
𝑓′ 𝑐 =𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
KETERANGAN
Perhatikan gambar:Nilai dari
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎adalah kemiringan dari suatu garis, ℓ,
yang melalui titik (𝑎, 𝑓 𝑎 ) dan (𝑏, 𝑓 𝑏 ).
Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwagrafik 𝑓 mempunyai paling tidak satu titik (𝑐, 𝑓 𝑐 )dimana garis singgungnya sejajar dengan garis ℓ.
ROLLE THEORM
Andaikan bahwa 𝑓 adalah fungsi yang terdiferensial pada selang terbuka (𝑎, 𝑏) dankontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 . Jika 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏) keduanya bernilai 0, makaterdapat paling tidak satu bilangan 𝑐 sedemikian hingga:
𝑓′ 𝑐 = 0
LATIHAN
Tunjukkan bahwa 𝑓 memenuhi kondisi dari teorema Rolle di interval yang diberikan. Tentukan bilangan 𝑐 di dalam interval sedemikian sehingga 𝑓′ 𝑐 = 0
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥; [0,1]
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2 − 8; [−2,2]
Tunjukkan bahwa 𝑓 memenuhi kondisi teorema mean-value pada interval yang diberikan. Tentukan nilai 𝑐 yang memenuhi konklusi dari teorema.
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥2; [1,2]
4. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 4𝑥; [1,4]
top related