bilinear form
Post on 23-Jul-2015
280 Views
Preview:
TRANSCRIPT
BENTUK BENTUK BILINEAR DAN BILINEAR DAN KUADRATKUADRAT
KONGRUENSIKONGRUENSIDua matriks A dan B berordo nxn disebut kongruen jika terdapat suatu matriks non singular P sedemikian sehingga:
B = PTAPMatriks-matriks kongruen mempunyai rank sama
Bila P diekspresikan sebagai hasilkali matriks kolom elementer, maka PT adalah hasilkali matriks elementer baris yg sama dalam urutan terbalik
KONGRUENSIKONGRUENSI A dan B kongruen dengan syarat
A dapat direduksi menjadi B dengan memakai sebarisan pasangan transformasi elementer.
Tiap pasang terdiri atas suatu transformasi elementer baris yang diikuti transformasi elementer kolom yang sama
KONGRUENSIKONGRUENSI Setiap matriks simetris A dengan
rank r kongruen terhadap suatu matriks diagonal yang r elemen pertama adalah tak nol dan elemen lain nol.
Contoh: Tentukan matriks non singular P sehingga D = PTAP adalah diagonal
81082
10853
8532
2321
A
KONGRUENSIKONGRUENSI
100081082
010010853
00108532
00012321
HA
100212440
01034110
00124110
00010001
KONGRUENSIKONGRUENSI
104104000
01110000
00120010
00010001
TPD
01110000
104100400
00120010
00010001
KONGRUENSIKONGRUENSI
0100
1000
1410
11021
P
Matriks D yg berasal dari A yang direduksi tidak unik. Misalnya transformasi H3(½) dan K 3(½) akan menggantikan D dengan
0000
0100
0010
0001
D
BENTUK BILINEARBENTUK BILINEAR
Suatu ekspresi yang linear dan homogen pada setiap himpunan peubah (x1, x2, ...xn) dan (y1, y2, ...yn) disebut bentuk bilinear dari peubah-peubah ini.
Bentuk umum: f(x,y) = a11x1y1 + a12x1y2 + ... + a1nx1yn
+ a21x2y1 + a22x2y2 + ... + a2nx2yn
+ ................................................ + am1xmy1 + am2xmy2 + ... + amnxmyn
BENTUK BILINEARBENTUK BILINEAR
m
i
n
jjiij yxayxf
1 1
),(
nmnmm
n
n
m
y
y
y
aaa
aaa
aaa
xxx2
1
21
22221
11211
21
...
......................
...
...
....
AYX T
BENTUK BILINEARBENTUK BILINEAR
3
2
1
321
100
011
101
y
y
y
xxx
AYX T
Contoh: Bentuk bilinear x1y1 + x1y3 + x2y1 + x2y2 + x3y3
BENTUK KANONIKBENTUK KANONIK
Misalnya m buah x dapat digantikan oleh peubah baru u melalui transformasi linear:
dan n buah y dapat digantikan oleh peubah baru v melalui transformasi linear:
Sehingga:
BUXataumiubxn
jjiji
),...2,1(,1
CVYataunivcyn
jjiji
),...2,1(,1
VACBUCVABUAYX TTTT )()()(
BENTUK BENTUK KANONIKKANONIK
00
0rIPAQ
Dua bentuk bilinear disebut setara jika dan hanya jika terdapat transformasi linear tak singular yang membawa bentuk satu kebentuk lainnya.
1. Dua bentuk bilinear dengan matriks A dan B ordo mxn setara jika rank keduanya sama. Jika rank matriks P dan Q non singular maka
BENTUK BENTUK KANONIKKANONIK
rrrTT vuvuvuVI
UVPAQU
...
00
0)( 2211
Dengan mengambil B = PT dan C = Q, bentuk bilinear direduksi ke:
2. Sembarang bentuk bilinear dengan rank r dapat direduksi melalui transformasi linear non singular menjadi bentuk kanonik
rrvuvuvu ...2211
BENTUK BENTUK KANONIKKANONIK Contoh: tentukan bentuk kanonik dari matriks berikut
100
011
101
A
BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT Polinom homogen:
Yang koefisien-koefisien aij adalah elemen bentuk kuadrat dalam peubah-peubah x1, x2, …, xn.
n
i
n
jjiij
T yxaAXXq1 1
BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT Contoh:
q = x12 + 2x2
2 – 7x32 – 4x1x2 + 8x1x3
Matriks simetri A = [aij] disebut matriks dari bentuk kuadrat dan rank A disebut rank bentuk kuadrat. Jika rank r<n maka bentuk kuadrat singular dan jika tidak non singular
XX T
704
022
421
BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT TRANSFORMASITransformasi X = BY akan membawa bentuk kuadrat dengan matriks A ke dalam bentuk kuadrat;
Dengan matriks simetris BTABContoh: reduksi
YABBYBYABY TTT )()()(
XXq T
704
022
421
BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT REDUKSI LAGRANGE
q = x12 + 2x2
2 – 7x32 – 4x1x2 + 8x1x3
= {x12 – 4x1(x2 -2X3)}+ 2x2
2 – 7x32
……………………………………
= (x1 – 2X2 + 4X3)2 – 2(x2 – 4x3)2 + 9X32
BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT Jadi:
y1 = x1 - 2x2 + 4x3
y2 = x2 – 4x3
y3 = x3
x1 = y1 + 2y2 + 4y3
x2 = y2 + 4y3
x3 = y3
Mereduksi q menjadi y12 – 2y2
2 + 9y32
top related