bab ii teori probabilitas kombinasi dan permutasi
Post on 04-Jul-2015
1.065 Views
Preview:
TRANSCRIPT
TEORI PROBABILITASTEORI PROBABILITAS
TEORI PROBABILITASTEORI PROBABILITAS
Untuk menggambarkan konsep dasar teori probabilitas kita akan menggunakan beberapa ide dari teori himpunan yang didefinisikan sebagai gabungan atau kumpulan objek.
ISTILAH YG DIGUNAKAN DLM TEORI ISTILAH YG DIGUNAKAN DLM TEORI PROBABILITASPROBABILITAS
EKSPERIMEN : adalah suatu aktivitas atau proses yang menghasilkan keluaran yang dapat diamati
SAMPEL SPACE (SEMESTA) : adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistik dan dinyatakan dengan lambang S
SAMPEL POINT (TITIK SAMPEL) : adalah elemen atau anggota sampel space
Untuk mendapatkan list / daftar elemen dari semesta secara bersistem dapat dibantu melalui diagram pohon (tree diagram)
ContohContoh
1. Suatu eksperimen melempar dadu, jika sebagai keluaran eksperimen adalah cacah titik pada sisi dadu yang menghadap ke atas, maka :S ={1,2,3,4,5,6}
2. Suatu eksperimen dilakukan sebagai berikut; yaitu melemparkan sebuah mata-uang, keluarannya adalah gambar (G) dan angka (A). Bila keluarannya adalah G maka pelemparan matauang diulangi lagi; tetapi bila keluarannya A maka sebuah dadu dilemparkan dengan keluarannya cacah titik pada sisi dadu yang menghadap ke atas, tentukan semesta dari eksperimen tersebut !
Ruang Sampel & KejadianRuang Sampel & Kejadian
Himpunan (set) adalah kumpulan objek. Himpunan semua outcome yang mungkin muncul
dalam suatu percobaan/pengamatan disebut dengan himpunan semesta sampel (sample space)
Masing-masing outcome disebut dengan elemen atau titik sampel
Fakta bahwa a anggota (elemen) himpunan (semesta) A dapat dituliskan dalam simbol a € A
Jika tiap anggota himpunan A1 juga merupakan anggota dari himpunan A2, maka himpunan A1 disebut dengan himpunan bagian dari himpunan A2 atau dapat dituliskan dalam bentuk simbol A1 A2
Jika himpunan A tidak memiliki anggota maka A disebut dengan himpunan kosong dan dituliskan sebagai A = ∅.
Ruang Sampel & KejadianRuang Sampel & Kejadian
Himpunan dari semua elemen yang setidaknya menjadi anggota salah satu dari himpunan A1 dan himpunan A2 disebut union dari A1 dan A2. Union ini disimbolkan dengan A1 A2
Himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam himpunan A1 dan juga dalam himpunan A2 disebut dengan interseksi dari A1 dan A2. Interseksi A1 dan A2 disimbolkan dengan A1 ∩ A2.
Ruang Sampel & KejadianRuang Sampel & Kejadian
Himpunan yang terdiri atas elemen yang bukan elemen A disebut dengan komplemen A (mengacu pada A) dan disimbolkan dengan A*.
Dua buah himpunan dikatakan saling bebas (mutually exclusive) atau disjoint, jika interseksi keduanya adalah himpunan kosong. Himpunan A dikatakan mutually exclusive terhadap himpunan B jika A ∩ B = ∅
Ruang Sampel & KejadianRuang Sampel & Kejadian
Ruang sample atau set kejadian adalah set dari semua hasil yang mungkin ada dari sebuah percobaancontoh: pelemparan dadu S = (1,2,3,4,5,6)
Kejadian adalah kumpulan dari hasil dengan karakteristik yang sama (himpunan bagian dari ruang sampel)Contoh: muncul sisi genap A = (2,4,6)
Kejadian A terjadi jika sebuah hasil dalam set A terjadi
Probabilitas sebuah kejadian Jumlah probabilitas dari setiap hasil yang muncul
P(A) = P(2) + P(4) + P(6)
KejadianKejadian
Hukum Probabilitas dlm Teori Hukum Probabilitas dlm Teori HimpunanHimpunan
Identity laws (A∩S=A, A∩∅=∅), Complement law (A A’=S, A∩A’=∅) Commutative law (A B=B A, A∩B=B∩A) Associative law A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ; A (B C)=(A B) C Distributive law A∩(B C)= (A∩B) (A∩C)
Konsep Kombinatorial (1)Konsep Kombinatorial (1)
Percobaan sebuah dadu 6 sisi, ada 6 hasil yang mungkin dari pelemparan pertama, yaitu (1,2,3,4,5,6) dan 6 hasil yang mungkin dari pelemparan kedua (1,2,3,4,5,6). Secara bersama-sama ada 6*6=36 hasil yang mungkin dari dua kali pelemparan.
Umumnya, jika ada n kejadian dan kejadian i dapat terjadi dalam Ni cara yang mungkin, maka jumlah caradimana urutan dari n kejadian akan muncul adalah N1N2...Nn.
Ambil 5 kartu dari tumpukan lengkap – dengan pengembalian 52*52*52*52*52=525 …… 380,204,032 hasil yang mungkin
Ambil 5 kartu dari tumpukan lengkap – tanpa pengembalian 52*51*50*49*48 =311,875,200 hasil yang mungkin
Konsep Kombinatorial (2) Konsep Kombinatorial (2) Diagram Pohon (Tree Diagram)Diagram Pohon (Tree Diagram)
MENGHITUNG SAMPEL POINTMENGHITUNG SAMPEL POINT
ATURAN PERKALIAN : jika suatu operasi dapat ditangani dua tahap; tahap ke-1 ditangani dengan n1 cara dan tahap ke-2 dengan n2 cara, maka operasi tersebut dapat ditangani dengan n1 x n2 cara
CONTOH : Berapa banyaknya titik sampel bila dua buah mata uang dilempar
serentak dan peristiwa yang mungkin Jawab: - ruang sampel : (A,G), (A,A), (G,A), (G,G) - Titik sampel : G (gambar), A (angka) - peristiwa : A dg A, A dg G, dan G dg G
Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan.Jika terdapat 7 orang calon yaitu A,B,C,D,E,F,G. Perusahaan akan memutuskan untuk menerima dari salah satu dari 7 calon tersebut, tentukan :
probabilitas B diterima jadi karyawanProbabilitas C atau D diterima jadi karyawan
Jawab:P(B) = 1/7 = 0,143P(C atau D) = 1/7 + 1/7 = 0,286
PERMUTASIPERMUTASI
SUATU SUSUNAN YANG DAPAT DIBENTUK DARI SATU KUMPULAN OBYEK YANG DIAMBIL SEBAGIAN ATAU SELURUHNYA
PERMUTASI DARI n OBYEK YANG BERBEDA DIAMBIL SELURUHNYA SEKALIGUS DIHITUNG DENGAN :
n x .... x 3 x 2 x 1 faktorialn n!
obyek banyaknya
permutasi
:keterangan
!nPnn
n
P
PERMUTASI KE-1- BANYAKNYA PERMUTASI DARI n OBYEK YANG BERBEDA
ADALAH :n! = (n . (n-1). (n-2). …. .1)
- PERMUTASI KE-2 SEDANGKAN PERMUTASI DARI N OBYEK YANG DIAMBIL R OBYEK SETIAP
KALI TANPA DIULANGI DIHITUNG DENGAN :
npengambila kali setiap banyaknya r
obyek banyaknya
permutasi
:keterangan
r)! -(n
!nPn
r
n
P
TEOREMA PERMUTASITEOREMA PERMUTASI
PERMUTASI KE-3/PERMUTASI MELINGKAR : Banyaknya permutasi n oyek yg disusun melingkar : (n -1 )!
PERMUTASI KE-4 : Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1
diantaranya berjenis ke-1, n2 berjenis ke-2,…, nk berjenis ke-k, dihitung dengan :
k-keobyek banyaknya nk
2-keobyek banyaknya n2
1-keobyek banyaknya n1
permutasi P
:keterangann2!...nk!n1!
!nP
TEOREMA PERMUTASITEOREMA PERMUTASI
KOMBINASIKOMBINASI
BANYAKNYA KOMBINASI DARI n OBYEK YANG BERLAINAN BILA DIAMBIL SEBANYAK r SEKALIGUS, DIHITUNG DENGAN :
npengambila kali setiap banyaknya r
obyek banyaknya
kombinasi
:keterangan
r)! -(n r!
!n
nr
nr
n
C
r
nC
Contoh :Contoh :
Panitia karya wisata mahasiswa terdiri dari 4 orang mahasiswa angkatan 2000 dan 3 orang mahasiswa angkatan 2001. carilah banyaknya panitia 3 orang mahasiswa yang dapat disusun yang beranggotakan 2 orang mhs angkt 2000 dan 1 orang mhs angkt 2001?
Banyaknya cara memilih 2 orang mhs angk 2000 :
Banyaknya cara memilih 1 orang mhs angk 2001 :
Sehingga : n1.n2 = 6 x 3 = 18
62)! - (42!
!4
2
442
C
31)! - (31!
!3
1
331
C
PROBABILITASPROBABILITAS
Sebuah ukuran ketidak-pastian.
Sebuah ukuran tingkat keyakinan terjadinya sebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event).
Sebuah ukuran tingkat peluang (likelihood of occurrence) dari sebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event).
Diukur dengan nilai antara 0 sampai 1 (atau antara 0% sampai 100%).
PELUANG SUATU KEJADIAN A, adalah jumlah bobot peluang semua elemen dalam A → P(A)
Probabilitas suatu kejadian dapat dibatasi sebagai perbandingan frekuensi kejadian itu dengan kejadian seluruhnya.
SIFAT-SIFAT PROBABILITAS :1. 0 P(A) 12. P(Ø) = 03. P(S) =1
PROBABILITASPROBABILITAS
Jika, dalam N percobaan, ada x sukses, maka akan ada (N – x) kegagalan, sehingga :
1)()(
)A( ditulis sehingga (A)komplemen merupakan A)(bukan
1 A)(bukan P (A) P
A)(bukan )()()(,
1
)(
APAP
PgagalPN
xNdanAPsuksesP
N
xtetapi
N
xN
N
x
NxNx
PROBABILITASPROBABILITAS
Pokok utama :Pokok utama :
Probabiltas empiris dari munculnya suatu kejadian A adalah banyaknya, x, sukses yang dialami dalam N percobaan sebelumnya dibagi dengan N, yaitu P(A)=x / N
Banyaknya sukses E yang diharapkan dalam suatu sampel dari m percobaan adalah E = m x P(A) yaitu Harapan = (banyaknya percobaan) x (probabilitas sukses pd suatu percobaan tertentu)
Contoh :Contoh :
Diketahui bahwa pengalaman sebelumnya 8% cetakan plastik adalah cacat. Hitunglah : Probabilitas cetakan (i) cacat; (ii) dapat
diterima Banyaknya cetakan dapat diterima
kemungkinan besar dapat ditemukan dalam tumpukan sampel berukuran 4500
Solusi :Solusi :
(i) P(A) = 8/100 = 2/25; (ii) P(B) = 92/100 = 23/25E = m x P(B) = 4500 x (23/25) =
4140Perhatikan bahwa P(A) + P(B) = 1
HUBUNGAN ANTAR PERISTIWAHUBUNGAN ANTAR PERISTIWA
SALING MENIADAKAN/TERPISAH (MUTUALLY EXCLUSIVE) adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara serentak / bersamaan
CONTOH : Pada pelemparan mata uang logam, muncul sisi G (gambar) tidak mungkin bersamaan terjadinya dengan munculnya sisi A (angka).
Hal ini berarti bahwa (G) dan (A) saling meniadakan/terpisah
PASTI TERWAKILI (COLLECTIVELY EXHAUSTIVE) adalah peristiwa yang sekurang-kurangnya salah satu diantaranya pasti terjadi.
Contoh : pada pelemparan uang logam, salah satu dari kedua sisinya pasti akan muncul.
Hal ini berarti (A) dan (G) pasti terwakili
HUBUNGAN ANTAR PERISTIWAHUBUNGAN ANTAR PERISTIWA
SALING BEBAS (INDEPENDENT) adalah peristiwa2 yg terjadi diantara peristiwa2 itu tidak mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa yang lainnya.
Contoh : pada 2 kali pelemparan mata uang logam, munculnya sisi G pada pelemparan pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya sisi A pada pelemparan kedua
Hal ini berarti bahwa (G1) dan (A2) saling bebas
HUBUNGAN ANTAR PERISTIWAHUBUNGAN ANTAR PERISTIWA
NOTASI PELUANGNOTASI PELUANG
serentak secara B peristiwadan A
peristiwa kedua a terjadinypeluang
B)dan P(A B)P(A
B peristiwaatau A peristiwa
darisatu salah a terjadinypeluang
B)atau P(A B)P(A
A peristiwa a terjadinypeluang P(A)
30
Contoh : Pada pelemparan mata Contoh : Pada pelemparan mata uang logamuang logam
0belakangdan muka sisi munculnyaA)P(G
10
belakangatau muka sisi munculnya )P(G
belakang sisi munculnya P(A)
muka uang sisi munculnya P(G)
21
21
21
21
A
RUMUS PELUANGRUMUS PELUANG
P(A).P(B) B)P(A
maka nt)(independe
bebas saling Bdan A Jika 3.
P(B) P(A) B)P(A
0 B)P(A
: maka exclusive)(mutually
an terpisahksaling Bdan A Jika 2.
B)P(A - P(B) P(A) B)P(A .1
Contoh : Pada pelemparan sebuah Contoh : Pada pelemparan sebuah dadudadu
61
65
21
21
T)P(G
)2( tigamaksimaldan
genap bernilai sisi munculnyaT)(G
T)P(G
)(1,2,3,4,6 tigamaksimalatau
genap bernilai sisi munculnya T)(G
P(T) ; (1,2,3)
tigamaksimal bernilai sisi munculnya (T)
P(G)
(2,4,6)genap bernilai sisi munculnya (G)
PELUANG BERSYARAT PELUANG BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY)(CONDITIONAL PROBABILITY)
0P(B) ,P(B)
B)P(ABAP
0P(A) ,P(A)
B)P(AABP
apabila
apabila
CONTOH:CONTOH:
Hasil penelitian terhadap 500 orang laki-laki tentang hubungan kebiasaan merokok (R) dan penyakit kanker (K) adalah :
Kebiasaan merokok
Penyakit Kanker jumlah
Ya Tidak
Ya 30 (6%) 170 (34%) 200 (40%)
Tidak 20 (4%) 280 (56%) 300 (60%)
Jumlah 50 (10%) 450 (90%) 500 (100%)
Apabila pada suatu saat ditemukan sorang laki-laki perokok, berapa peluang laki-laki tsb penderita kanker ?
Apabila ada penderita kanker, berapa peluang bahwa dia seorang perokok?
15,00,4
0,06
P(R)
R)P(KRKP
6,00,1
0,06
P(K)
K)P(RKRP
JAWAB:JAWAB:
TEORI JUMLAH PELUANGTEORI JUMLAH PELUANG
Bila kejadian B1, B2, …, Bn membentuk partisi suatu sampel space S sehingga :P(Bi) ≠0, untuk i = 1, 2, 3, …, k , maka untuk kejadian A dalam S berlaku :
k
i
k
iiii BAPBPABPAP
1 1
)().()()(
Contoh :Contoh :
Intersection / irisan kejadian A dengan kejadian B1, B2, B3, …, Bk yang merupakan partisi atau penyekatan S.
Jadi :
B2B1
B3Bk B4
A
k
ii ABPAP
1
)()(
TEOREMA BAYESTEOREMA BAYES
B a terjadinypeluang P(B)
A a terjadinypeluang P(A)
serentak secara Bdan A a terjadinypeluangB)P(A
0P(A) bila A,syarat dg B a terjadinypeluangABP
0P(B) bila B,syarat dgA a terjadinypeluang BAP
,...,3,2,1;)().(
)().(
)P(B
)P(BABP
1
k
1ii
rr
krBAPBP
BAPBP
A
A
i
k
ii
rr
Teorema Bayes memungkinkan untuk mengetahui probabilitas B bersyarat A jika diketahui probabilitas A bersyarat B.Menggunakan definisi probabilitas bersyarat dan hukum probabilitas total.
Tiga orang anggota senat PT dicalonkan menjadi Rektor, peluang A terpilih sbg rektor 0,3. Peluang B terpilih sbg rektor 0,5. Dan peluang C terpilih sbg rektor 0,2. Jika A terpilih, maka peluang kenaikan SPP sebesar 0,8. Tetapi jika B atau C menang, maka peluang kenaikan SPP sebesar 0,1 dan 0,4.
a. Berapa peluang SPP naikb. Bila seorang mhs merencanakan masuk PT tsb dan
tahu SPP naik, berapa peluang C terpilih sbg rektor?
Contoh :Contoh :
Jika kejadian : A : orang terpilih menaikan SPP B1 : A terpilih sbg Rektor B2 : B terpilih sbg Rektor B3 : C terpilih sbg Rektor
Maka peluang SPP naik :
P(B1) = 0,3 B1 P(A|B1) = 0,8 P(B1)P(A|B1) = (0,3)(0,8) = 0,24
P(B2) = 0,5 B2 P(A|B2) = 0,1 P(B2)P(A|B2) = (0,5)(0,1) = 0,05
P(B3) = 0,2 B3 P(A|B3) = 0,4 P(B3)P(A|B3) = (0,2)(0,4) = 0,08 +
A
A
A P(A) = 0,37
Sedangkan peluang C yang terpilih sebagai Rektor adalah :
0,22 0,37
0,08
BA).PP(BBA).PP(BBA).PP(B
BA).PP(BABP
332211
333
top related