bab 5 sistem kerangka non inersia

SISTEM KERANGKA NON INERSIAMekanika II

Selama ini, gerak suatu partikel seringkali ditentukan dengan asumsi bahwa sistem kerangka bersifat tetap (sistem koordinat inersia).

Padahal, perlu dipahami bahwa sebenarnya bumi yang kita tempati bergerak, baik translasi dipercepat maupun berotasi (sistem koordinat non-inersia).

PENGANTAR

Pembahasan masalah ini diperlukan agar gerak suatu benda pada sistem koordinat non-inersia dapat diperkirakan dan dijelaskan dengan lebih akurat, misalnya bagaimana gerak roket yang diluncurkan ke angkasa dan arah gerakan angin di sekitar khatulistiwa.

Sistem kerangka non-inersia adalah sistem kerangka yang bergerak relatif terhadap sistem kerangka yang lain

Sistem kerangka non-inersia terdiri atas:1. sistem koordinat bertranslasi, 2. sistem koordinat berotasi, dan 3. sistem koordinat yang bertranslasi dan berotasi.

SISTEM KERANGKA NON-INERSIA

x

y

z

Oz’

x’

y’

O’

P

r

r’

R0

Sistem koordinat yang bergerak translasi relatif (O’x’y’z’) terhadap sistem koordinat inersia (Oxyz)

SISTEM KOORDINAT TRANSLASI

r = ...R0 = ...r’ = ...

Hubungan vektor posisir = R0 + r’

Hubungan vektor kecepatanv = V0 + v’

Hubungan vektor percepatana = A0 + a’

Perhatikan!a = A0 + a’ Apa yang terjadi jika A0 = 0 ?

SISTEM KOORDINAT TRANSLASI

Percepatan di kedua sistem koordinat menjadi sama (a = a’).Konsekuensinya, jika sistem utama adalah inersia, maka hukum II Newton F = ma menjadi F’ = ma’ (untuk sistem yang bergerak), sehingga sistem yang bergerak juga merupakan sistem inersia.

Kesimpulan: Hukum II Newton pada suatu sistem juga akan valid pada sistem lain yang bergerak dengan kecepatan seragam relatif terhadap yang pertama. Ini sesuai dengan prinsip relativitas Newton, di mana tidak ada kerangka acuan yang khas. Semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan relatif yang tetap adalah ekivalen.

Jika sistem bergerak dipercepat (a = A0 + a’).Apa yang terjadi?

SISTEM KOORDINAT TRANSLASI

Hukum II Newton F = ma F = m(A0 + a’) F = mA0 + ma’

F – mA0 = ma’F’ = ma’ di mana F’ = F + (– mA0 )

gaya nyata

gaya non-inersia (gaya khayal)

SISTEM KOORDINAT TRANSLASI

A0

x’

y’

y

x

Pengamat non-inersia

Pengamat inersia

y’

x’

T

mg

F’x

Pengamat non-inersia

y’Pengamat

inersia

T

mg

A0

x

SISTEM KOORDINAT TRANSLASI

0'' aF m

0'sin xFT 0cos mgT

tan' mgFx

Menurut pengamat non-inersia,

Pengamat non-inersia

y’

x’

T

mg

F’x

SISTEM KOORDINAT TRANSLASI

aF mi

0

0

sin

)'(sin

mAT

aAmT

0cos mgT

tan0 gA

Menurut pengamat inersia,

Ia menyimpulkan bahwa penyimpangan tersebut akibat percepatan mobil pada arah mendatar dan karenanya gaya mendatar diperlukan untuk mempercepat pendulum.

Pengamat inersia

T

mg

A0

x

x

y

z

O

z’

x’y’

P

r =

r’Dua buah sistem koordinat yang bertumpukan yakni Oxyz dan O’x’y’z’

SISTEM KOORDINAT ROTASI

r = r’ix + jy + kz = i’x’ + j’y’ + k’z’

Jika koordinat O’x’y’z’ berubah terhadap waktu, maka i’, j’, dan k’ juga berubah

dt

dz'

dt

dy'

dt

dx'

dt

dz'

dt

dy'

dt

dx'

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

dz

dt

dy

dt

dx

k'j'i'v'v

k'j'i'k'j'i'kji

'''

Kecepatan partikel thd sistem tetap

Kecepatan partikel thd

sistem rotasi

Kecepatan sistem rotasi terhadap

sistem tetap

O’

Lalu, berapakah kecepatan sistem rotasi terhadap sistem tetap?

SISTEM KOORDINAT ROTASI

y’

z’

x’

O’

k’

j’

i’

n

Sistem koordinat O’x’y’z’ berotasi terhadap arah sumbu n dengan kecepatan sudut .(Vektor kecepatan sudut = n)

Perhatikan perubahan vektor satuan i’ akibat dari .

SISTEM KOORDINAT ROTASI

Sistem koordinat O’x’y’z’ berotasi terhadap arah sumbu n dengan kecepatan sudut .(Vektor kecepatan sudut = n)

i’

i’O’

i’ (sin )

Dari gambar di samping diperoleh,

sinsinlim

sin

0

dt

d

tdt

dt

i'i'

i'

Karena i’ dan i’, maka

i'ωi'

dt

d

Begitu pula k'ωk'

j'ωj'

dt

d,

dt

d

Jadi, kecepatan sistem rotasi terhadap sistem tetap adalah

SISTEM KOORDINAT ROTASI

r'ω

k'j'i'ω

k'ωj'ωi'ωk'j'i'

z'y'x'

zyxdt

dz'

dt

dy'

dt

dx' '''

r'ωv'v

Sehingga kecepatan partikel dalam koordinat sistem tetap akibat rotasi koordinat non inersia adalah

atau secara eksplisit

r'ωr'ωr'r

rotasirotasitetap dt

d

dt

d

dt

d

SISTEM KOORDINAT ROTASI

Sementara itu, untuk vektor kecapatan v, maka

'''

'

'''

'''

rωωvωr

ωrωv'

rωωvωrωv'

rωvωrωv'

vωvv

rotasirotasirotasi

rotasirotasi

rotasi

rotasitetap

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d'rωv'v di mana

''2' rωωvωrωa'a

ωω/ωωω/ω/ rotasirotasitetap dtddtddtdKarena

Percepatan Coriolis

Percepatan sentripetal

Percepatan transversal

Kecepatan dan percepatan partikel pada sistem koordinat yang bertranslasi dan berotasi adalah,

SISTEM KOORDINAT TRANSLASI & ROTASI

y

z’

x

O’

k

j

i

y’

z’

x’

O’

k’

j’

i’

P

''2'

'

0

0

rωωvωrωa'Aa

rωv'Vv

Percepatan Coriolis

Percepatan sentripetal

Percepatan transversal

Persamaan gerak partikel dalam kerangka inersia

DINAMIKA PARTIKEL DALAMSISTEM KOORDINAT ROTASI

a'F'

a'rωωvωrωAF

rωωvωrωa'AF

aF

m

mmmmm

m

m

''2'

''2'

0

0

''2

'

rωωF

vωF

rωF

m

m

m

lSentrifuga

Coriolis

trans

0AF'F'F'FF' mlsentrfiugaCortransfisik

Sehingga

di manaO

x’

y’

FSentrifugal

FC

oriolis

Ftrans

r’

0

Gaya Transversal (Ftrans) muncul jika sistem koordinat rotasi mengalami percepatan anguler. Ftrans r’ pada sistem koordinat rotasi.

Gaya Coriolis (FCoriolis) hanya muncul pada sistem koordinat rotasi. FCoriolis v’ pada sistem koordinat rotasi. Gaya ini membelokkan partikel ke kanan dari arah geraknya. Gaya ini juga disebut dengan gaya “Merry go round”.

Gaya Sentrifugal (FSentrifugal) berarah ke luar dari sumbu rotasi dan tegak lurus terhadap sumbu tersebut.

DINAMIKA PARTIKEL DALAMSISTEM KOORDINAT ROTASI

A. Efek Statis. Bandul Diam

AKIBAT ROTASI BUMI

z’y’

z

re mg0

mA0

T

re = jari-jari bumi = sudut lintang = re cos

O

O’

Bandul diam, sehingga a’ = 0 r’ = 0 Fsentrifugal = 0 = 0 Ftrans = 0 v’ = 0 Fcoriolis = 0

ω

0

0

AFF'

AF'F'F'FF'

m

m

fisik

lsentrfiugaCortransfisik

00 AF mfisikSehingga

AKIBAT ROTASI BUMI

0)(

0

00

0

AgT

AF

mm

mfisikmg0

mA0

T

00

00

Agg

gAg

mmm

mg0

mA0

mg

Arah –mA0 ke luar menjauhi sumbu rotasi bumi

cos220 ermmm A mgrm e

sin

cos

sin2

2sin2

sincossin

2

2

g

r

g

r

e

e

AKIBAT ROTASI BUMI

Jadi besarnya sudut penyimpangan bandul diam adalah

2sin

2

2

g

re

Berapa besar sudut penyimpangan di equator, di kutub, dan di tempat lain?

Apakah besar gaya gravitasi di semua permukaan bumi sama?

Apa pengaruh rotasi bumi bagi material di permukaan bumi?

B. Efek Dinamis. Gerak Peluru

AKIBAT ROTASI BUMI

'rrωωrωgF

'rrωωrωAgF

a'rωωvωAgF

0

0

mmmm

mmmmm

mmmmm

''2

''2

''2

0

0

Pada kasus gerak partikel, asumsi tidak ada gaya gesek (F = 0). sangat kecil dibanding gaya lainnya diabakan, sehingga 'rωω m

'rrωg mmm '2

Gaya gravitasi

Gaya Coriolis

Bagaimana menyelesaikan persamaan ini?

AKIBAT ROTASI BUMI

sin,cos,0 '''

zyx

gk'g

cos'0

sin'0

sin'cos'

'''

'

x

x

yz

zyxz'y'x'

ωk'

ωj'

ωωi'

k'j'i'

rω

x’

y’

z’

ekuator

AKIBAT ROTASI BUMI

cos'2'

sin'2'

sin'cos'2'

xgz

xy

yzx

Besarnya percepatan peluru pada masing-masing komponen:

'cos'2'

'sin'2'

'sin'cos'2'

0

0

0

zxgtz

yxy

xyzx

Integral thd t

Disubstitusikan

sin'cos'2cos2' 00 yzgtx

'sin'cos'2cos' 0002 xyztgtx

000023 'sin'cos'cos

3

1)(' xtxyztgttx

AKIBAT ROTASI BUMI

Dengan pola yang sama akan diperoleh nilai y’ dan z’, sehingga

2

000

2000

320000

2

1cos''')('

sin''')('

cos3

1sin'cos'')('

tgxtzztz

txtyyty

tgtyztxxtx

PENDULUM FOUCAULT

PENDULUM FOUCAULT

Berada di suatu bangunan yang disebut Panthéon, di Perancis.

Pendulum ini bebentuk logam keemasan dan menggantung dengan kawat tipis yang tak mudah tampak. Panjang kawat mencapai 67m. Kelembaman membuat bola ini bergerak secara tetap, tak terpengaruh putaran bumi. Namun karena bumi berotasi, bola seolah bergerak berlawanan dengan arah putaran bumi.

Pendulum Foucault menjadi bukti bahwa bumi berotasi.

PENDULUM FOUCAULT

PENDULUM FOUCAULT

Pendulum sferis (Foucault) adalah pendulum yang bergerak bebas ke segala arah.Sebagaimana persamaan pada pendulum diam, maka persamaan pada pendulum foucault dinyatakan

''2

'

rωωvωr'ωSg'r

FFFFF

mmmmm

lSentrifugaCorTransfisik

y’

y

xx’

O

l

m

Cz, z’

mg

S

DiabaikanDiabaikan

'2

'2

rωSg'r

vωSg'r

mmm

mmm

PENDULUM FOUCAULT

Untuk menemukan nilai , perhatikan gambar pendulum, di mana

sehingga

'2 rω m

,sin,cos,0 ''' ωωωωω zyx

cos'sin'sin'cos'

'''

sincos0

'''

' '''

xxyz

zyxzyxzyx

kji

kjikji

rω

PENDULUM FOUCAULT

Gaya tegang tali S dapat dijabarkan menjadi komponen x’, y’, dan z’. Karena diasumsikan sudut ayunan sangat kecil, maka komponen-komponen S adalah

lzllylx /'/'/'

lyS

lxS

y

x

/'

/'

'

'

Sehingga

Jika nilai-nilai di atas disubstitusikan ke persamaan gerak pendulum Foucault, maka

sin'cos'2'

yzmωSl

x'xm

sin'2'

xmωSl

y'ym

PENDULUM FOUCAULT

Pada kasus di mana amplitudo osilasi pendulum kecil, maka menyebabkan S hampir konstan dan besarnya sama dengan mg. Dalam kasus ini juga diabaikan jika dibandingkan dengan .Sehingga

'z

''2'

sin'2'

sin'2'

yωxl

g'x

yωxl

g'x

ymωmgl

x'xm

'2' xωyl

g'y

'y

di mana 'sin' z

Dengan cara yang sama, diperoleh

komponen vertikal kecepatan sudut bumi

PENDULUM FOUCAULT

Dengan melihat kembali hubungan koordinat Oxyz dan Ox’y’z’ diperoleh transformasi koordinat

tytxy

tytxx

'cos'sin'

'sin'cos'

0'sin'cos

ty

l

gytx

l

gx

Solusinya

Substitusi transformasi ini dan turunnya ke persamaan diferensial gerak menghasilkan

00 yl

gyx

l

gx

PENDULUM FOUCAULT

Pembelokan rotasi di belahan bumi bagian utara searah jarum jam, sedangkan di belahan bagian selatan berlawanan arah jarum jam.

Jika pendulum berada di lintang 45 derajat, maka periode yang dibutuhkan adalah 33,94 jam.

Bagaiman jika pendulum berada tepat di khatulistiwa dan bagaimana pula jika di kutub?

sin/24sin/2'/2 TPeriode pendulum Foucault adalah jam

Terima kasih