antrian nasabah bank

ALJABAR MAX-PLUS

ALJABAR MAX-PLUS

Model Antrian Nasabah Bank Dengan Menggunakan Petri Net

Oleh:Petrus Fendiyanto

1213201002

ALJABAR MAX-PLUS

Pendahuluan

Latar Belakang

Latar Belakang

Berbagai macam transaksi yang dilakukan oleh nasabah bank.

Pentingnya alur antrian saat melakukan transaksi di Bank.

Model petri net yang digunakan dibatasi pada banyaknyajumlah konsumen yang datang diasumsikan tak hingga,banyaknya teller yang iddle 5 orang dan customer service yangiddle 3 orang.

ALJABAR MAX-PLUS

Tinjauan Pustaka

Petrinet

Petrinet

Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A Petri pada awal1960-an. Petrinet merupakan salah satu alat untuk memodelkansistem event diskrit selain menggunakan automata yang telahdikenal sebelumnya.

Definisi 2.1(Cassandras,1993)

Petri net adalah 4-tuple (P,T,A,W) dengan:

P : himpunan berhingga place, P = {p1, p2, ..., pn},T : himpunan berhingga transisi, T = {t1, t2, ..., tn},A : himpunan arc, A ⊂ (P × T) ∪ (T × P),

w : fungsi bobot, w : A → {1, 2, 3, ...}

ALJABAR MAX-PLUS

Tinjauan Pustaka

Petrinet

Definisi 2.2(Cassandras,1993)

Penanda(marking) x pada Petri net adalah fungsi x: P→{0, 1, 2, ...}.

Definisi 2.3(Casandras,1993)

Petri net bertanda (marked) adalah 5-tuple (P,T ,A,w , x0)dimana (P,T,A,w) adalah Petri net dan x0 adalah penanda awal.

Definisi 2.4(Casandras,1993)

Keadaan (state) Petri net bertanda adalah x =[x(p1), x(p2), ..., x(pn)]T

Definisi 2.5(Casandras,1993)

Transisi tj ε T pada Petri net bertanda enabled jika x(pi ) ≥w(pi , tj), ∀ pi ε I (tj).

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian Nasabah

Model antrian nasabah bank adalah sebagai berikut:

Nasabah datang.

Mengambil nomor antrian sesuai dengan tujuan transaksi.

Idle pada teller dan customer service memanggil nasabahsesuai antrian.

Apabila nasabah selesai melakukan transaksi di teller, makaakan keluar.

Apabila nasabah yang sedang dilayani di CS membutuhkantransaksi lain maka nasabah akan langsung menuju teller. Bilatidak membutuhkan transaksi lagi, maka langsung keluar.

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Gambar: Diagram Alir

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Petri Net

Model Antrian dengan Petri Net

Gambar: Model Petri Net

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Petri Net

Penjelasan Simulasi Model Petri Net

Dalam gambar Place datang tidak dibatasi, sedangkan dalam placeantri Teller dan antri CS dibatasi lima orang, sedangkan idle padaTeller 5 orang dan idle CS 3 orang. Berikut penjelasan simulasimodel petri net:

Transisi datang dapat difire sebanyak tak hingga, bila transisidatang difire sebanyak satu kali artinya nasabah datangsebanyak satu orang hal ini dapat dilihat dengan banyaknyatoken dalam place datang sebanyak satu.

Apabila transisi datang sebanyak sebelas kali yang selanjutnyatransisi teller dan antri CS difire sebanyak lima kali.Akibatnya transisi antri CS dan Teller menjadi difire,masing-masing difire sebanyak lima kali. Akibatnya transisiantri CS dan antri Teller menjadi defire karena place antri CSdan antri Teller dibatasi sebanyak lima antrian.

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Petri Net

Penjelasan Simulasi Model Petri Net

Dalam kondisi tersebut yang dapat dilakukan adalah memfiretransisi CS dan Teller, yang artinya Customer Service danTeller dapat memaanggil dan melayani antrian nasabah yangsudah ada.

Karena place teller sudah terisi sebanyak lima token makatransisi teller dalam kondisi defire. Artinya lima orang tellerdalam kondisi sibuk melayani nasabah.

Sedangkan dalam place CS sudah terisi sebanyak 3 orangmaka transisi CS dalam kondisi defire. Artinya tiga orang CSdalam kondisi sibuk melayani nasabah.

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Petri Net

Model Matematika Dalam Bentuk Representasi Matriks

Berdasarkan model Petri Net terdapat 8 Place dan 9 Transisi,sehingga banyak baris (n) = 8 dan banyak kolom (m) = 9.Matriks Forwards Incidence (Af )

Af =

1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1 1 0

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Petri Net

Matriks Backwards Incidence (Ab)

Ab =

0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 1 00 0 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Petri Net

Untuk matriks incidence akan dihasilkan dari persamaanA = Af − Ab dan menghasilkan matriks incidence sebagai berikut:

A =

1 −1 −1 0 0 0 0 0 00 1 0 −1 0 0 0 0 00 0 1 0 −1 0 0 0 00 0 0 1 0 −1 −1 0 00 0 0 −1 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 0 −1 00 0 0 0 −1 −1 0 1 00 0 0 0 0 0 1 1 −1

Dengan keadaan awal (m0) adalah:

m0 =[0 0 0 0 3 0 5 0

]T

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Petri Net

Untuk menentukan keadaan berikutnya digunakan persamaanm1 = m0 + Ae1, dengan e1 adalah vektor kolom.

m1 =

00003050

+

1 −1 −1 0 0 0 0 0 00 1 0 −1 0 0 0 0 00 0 1 0 −1 0 0 0 00 0 0 1 0 −1 −1 0 00 0 0 −1 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 0 −1 00 0 0 0 −1 −1 0 1 00 0 0 0 0 0 1 1 −1

100000000

=[1 0 0 0 3 0 5 0

]T

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Maxplus

Model Antrian dengan Maxplus

Gambar: Model Maxplus

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Maxplus

Penyelesaian dengan Maxplus

a(k) = Va,k ⊗ a(k − 1)

b(k) = Vb,k ⊗ a(k)

= Va,k ⊗ Vb,k ⊗ a(k − 1)

c(k) = Vc,k ⊗ a(k)

= Va,k ⊗ Vc,k ⊗ a(k − 1)

d(k) = b(k)⊕ g(k − 1)

= Va,k ⊗ Vb,k ⊗ a(k − 1)⊕ g(k − 1)

= max{Va,k + Vb,k + a(k − 1), g(k − 1)}e(k) = c(k)⊕ h(k − 1)

= Va,k ⊗ Vc,k ⊗ a(k − 1)⊕ h(k − 1)

= max{Va,k + Vc,k + a(k − 1), h(k − 1)}

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Maxplus

Penyelesaian dengan Maxplus

f (k) = d(k)⊕ h(k − 1)

= Va,k ⊗ Vb,k ⊗ a(k − 1)⊕ h(k − 1)

= max{Va,k + Vb,k + a(k − 1), h(k − 1)}g(k) = Vg ,k ⊗ d(k)

= Vg ,k ⊗ Va,k ⊗ Vb,k ⊗ a(k − 1)⊕ Vg ,k ⊗ g(k − 1)

= max{Va,k + Vb,k + Vg ,k + a(k − 1),Vg ,k + g(k − 1)}h(k) = Vh,k ⊗ e(k)

= Vh,k ⊗ Va,k ⊗ Vc,k ⊗ a(k − 1)⊕ Vh,k ⊗ h(k − 1)

= max{Va,k + Vc,k + Vh,k + a(k − 1),Vh,k + h(k − 1)}

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Maxplus

Penyelesaian dengan Maxplus

i(k) = g(k)⊕ h(k)

= Vg ,k ⊗ Va,k ⊗ Vb,k ⊗ a(k − 1)⊕ Vg ,k ⊗ g(k − 1)⊕ Vh,k⊗Va,k ⊗ Vc,k ⊗ a(k − 1)⊕ Vh,k ⊗ h(k − 1)

= max{Va,k + Vb,k + Vg ,k + a(k − 1),Vg ,k + g(k − 1),

Va,k + Vc,k + Vh,k + a(k − 1),Vh,k + h(k − 1)}

Sehingga diperoleh:a(k)g(k)h(k)

=

Va,k ε εVa,k + Vb,k + Vg ,k Vg ,k εVa,k + Vc,k + Vh,k ε Vh,k

⊗a(k − 1)

g(k − 1)h(k − 1)

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Maxplus

Penyelesaian dengan Maxplus

Bila diberikan:Va,k = 0.5; Vb,k = 0, 7; Vc,k = 0, 6;Vg ,k = 1, dan Vh,k = 1, 5maka: a(1)

g(1)h(1)

=

0, 5 ε ε0, 5 + 0, 7 + 1 1 ε

0, 5 + 0, 6 + 1, 5 ε 1, 5

⊗0

00

=

0, 52, 22, 6

ALJABAR MAX-PLUS

Analisis dan Pembahasan

Model Antrian dengan Maxplus

Penyelesaian dengan Maxplus

Keterangan:

Jika waktu kedatangan nasabah saat yang ke-0 adalah pukul07.30

Waktu kedatangan nasabah yang ke-1 adalah pukul 07.35

Waktu nasabah selesai dilayani di Customer Service adalahpukul 07.52

Waktu nasabah selesai dilayanai di Teller adalah pukul 07.56