all about vektor

VVektorektor

Src : Abdul BasyirEo : Ahmad Zaman Huri

TopikTopikAritmatika VektorKonsep GeometrikTitik, Garis dan BidangPerkalian TitikPerpotongan garis dengan:

◦Garis◦Bidang◦Poligon

PengenalanPengenalanApa perlunya belajar vektor?

◦Kita butuh untuk mengetahui dimana objek diletakkan dalam dunia nyata.

◦Ukuran dan orientasi objek◦Seberapa jauh objek yang satu

dengan yang lainnya◦Bagaimana pantulan bekerja◦Bagaimana fisika bekerja◦Bagaimana sinar cahaya mengenai

objek

PengenalanPengenalan

Koordinat◦2D

◦Aturan tangan kiri 3D

Aturan tangan kanan 3D

y

x

y

x

zy

x

z

Kita akan gunakan yang ini

VektorVektorSebuah vektor mempunyai

panjang dan arahVektor dinyatakan dengan cara

yang sama dengan koordinat titik: ◦Point (5,10)◦Vector (5,10)

Tetapi bagaimana perbedaannya?

VektorVektor

P = (5,10)

v = (5,10)

Sebuah titik mempunyai lokasi

Sebuah vektor tidak mempunyai lokasi

Sebuah vektor adalah sebuah lintasan antara satu titik dengan titik yang lain

VektorVektor

Q = (8,1)

Vektor dapat ditentukan dengan pengurangan koordinat titik

v = Q – P

v = (8-1,1-10)

v = (7, -9)

Dengan kata lain , v mengatakan pada kita bagaimana untuk mendapatkan dari P ke Q

P = (1,10)

v

VektorVektor

Q = (8,1)

P = (1,10)

v

• Definisi– Perbedaan antara

dua titik adalah sebuah vektor

• v = Q-P

– Jumlah titik dan vektor adalah titik :

• Q = P + v

VektorVektor

Latihan.◦Tentukan vektor yang pergi dari P =

(9,10) ke Q = (15,7) ? v = (6, -3)

◦Tentukan titik yang dihasilkan dari penambahan vektor v = (9,-20) dengan titik P = (1,2) ? Q = (10, -18)

Operasi VektorOperasi Vektor

Ada dua operasi dasar vektor:◦skala 8v jika v = (1,2) maka 8v = (8,16)

◦tambah v + a v = (3,4), a = (8,1) maka v+a = (11,5)

Operasi VektorOperasi Vektor

Penskalaan vektor

v

2v

0.5v

-0.5v

Operasi VektorOperasi Vektor

Penambahan vektor

v

a

va

v+a

v

-a

v-a

Operasi VektorOperasi Vektor

Latihan.◦Diberikan vektor v = (10,20,5), tentukan:

2v, 0.5v dan -0.2v? 2v = (20,40,10) 0.5v = (5,10,2.5) -0.2v = (-2, -4, -1)

◦Diberikan vektor v = (1,1,1) dan a = (8,4,2), tentukan: v + a, v – a and a – v

v + a = (9,5,3) v – a = (-7, -3, -1) a – v = (7, 3, 2)

Operasi VektorOperasi Vektor

Kombinasi Linier ◦Penambahan vektor skala bersama-

sama 8v + 2a

Definisi◦Kombinasi linier dari m vektor v1, v2,

…,vm adalah vektor:

◦w = a1v1 + a2v2 + … + amvm

Operasi VektorOperasi Vektor

Kombinasi Linier ◦Contoh v = (1,2,3) dan a = (1,1,1) 2v + 3a = (2,4,6) + (3,3,3) = (5,7,9)

Operasi VektorOperasi Vektor

Kombinasi Linier ◦Kombinasi Affine Jumlah semua komponen adalah satua1 + a2 + … + am = 1

Contoh:. 3a + 2b – 4c (3+2-4=1) Penentuan kombinasi affine(1-t)a + (t)b

Operasi VektorOperasi Vektor

Pertanyaan◦Tentukan koefisien untuk transformasi affine: ia + jb + ?c Berapakah koefisien c?

i + j + ? = 1 ? = 1 – i – j maka ia + jb + (1-i-j)c

Operasi VektorOperasi Vektor

Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek Jumlah semua komponen satu … tetapi Semua koefisien harus diantara 0 dan

1◦Contoh. a1 + a2 + … + am = 1 dan 1 >= ai >= 0 untuk semua 1,…,m

◦Contoh. .9v + .1w .25v + .75w

Operasi VektorOperasi Vektor

Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek Set semua kombinasi konvek dari

dua vektor v1 dan v2 adalah: v = (1-a)v1 + av2

Operasi VektorOperasi Vektor

Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek

◦ v = (1-a)v1 + av2 can dapat ditulis lagi: v = v1 + a(v2-v1)

Ini menunjukkan bahwa vektor v akan menjadi v1 ditambah beberapa versi skala dari penggabungan v1 dengan v2

v1

v2 v2 – v1

a(v2 – v1)v

Operasi VektorOperasi Vektor

Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek

◦ Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi:

◦ v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3

◦ v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3

◦ v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3

v1

v3

vv22

Semua nilai v akan

terletak di kawasan ini

0.2v0.2v11

0.3v0.3v22

0.5v0.5v33

Operasi VektorOperasi Vektor

Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek

Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi: ◦ v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3

◦ v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3

◦ v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3

v1

v3

vv22

Semua nilai v akan

terletak di kawasan ini

0.5v0.5v11

0.5v0.5v22

Operasi VektorOperasi VektorBesar

◦Adalah panjang vektor◦Ditentukan menggunakan teorema

Pitagoras ◦Masih ingatkan akan teorema ini?

Operasi VektorOperasi Vektor

Besar◦ Teorema Pitagoras:

bah22 a

b

h

Operasi VektorOperasi Vektor

Besar◦ Teorema Pitagoras:

yxv22||

vKoordinat y

Koordinat x

Operasi VektorOperasi Vektor

Besar◦Teorema Pitagoras:

Contoh: Berapakah besar v = (5,10)? |v| = sqrt(52+102) = sqrt(25+100) =

sqrt(125) 11.18

Operasi VektorOperasi Vektor

Latihan◦ Tentukan |v| untuk:◦ v=(1,-2,5), w=(10,3,1) dan t=(1,1,1)

|v| = 5.5677 |w| = 10.488 |t| = 1.732

Operasi VektorOperasi Vektor

Besar

Q = (8,1)

P = (1,10)

v

Operasi VektorOperasi Vektor

Besar◦Kadang kala sangat berguna untuk

menskala vektor menjadi vektor satuan sehingga panjangnya adalah satu.

◦Vektor normal disimbulkan dengan a topi: â.

◦Yaitu pembagian koordinat vektor dengan panjang vektor.

◦â = a/|a|

Operasi VektorOperasi Vektor

Besar◦Contoh: Berapakah vektor normal a =

(1,5,3) ? |a| = sqrt(12 + 52 + 32) = 5.916 â = (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916) = (0.169, 0.845, 0.5)

Operasi VektorOperasi Vektor

Latihan◦Normalisasikan:

a = (2,4,6) g = (1,1,1) h = (0,5,1)

◦Jawab (dengan pembulatan) â = (0.26,0.53,0.8) ĝ = (0.6,0.6,0.6) ĥ = (0,1,0.2)

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik◦Digunakan untuk menyelesaikan

masalah geometri dalam grafika komputer.

◦Berguna untuk menentukan perpotongan garis dengan vektor.

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik◦ Dihitung dengan perkalian dan

penambahan nilai baris dengan nilai kolom..

◦ Definisi Perkalian titik dua vektor v٠w adalah:

n

iiiwv

1

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik◦Jika diketahui v = (v1,v2) dan w = (w1,w2)◦Perkalian titik, v ٠ w akan menghasilkan:

(v1w1+v2w2)◦Contoh, v = (2,1) dan w = (3,5) maka v ٠

w akan menghasilkan : 2*3 + 1*5 = 11

◦Contoh, v = (2,2,2,2) dan w = (4,1,2,1.1), v ٠ w akan menghasilkan : 2*4 + 2*1 + 2*2 + 2 * 1.1 = 16.2

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik◦ Operasi Properti

Simetri: v ٠ w = w ٠ v Linier: (v + t) ٠ w = v ٠ w + t ٠ w Homogen: (sv) ٠ w = s(v ٠ w) |v|2 = v ٠ v

Operasi VektorOperasi VektorPerkalian titik Sudut antara dua vektor.

Perkalian titik dapat digunakan untuk mencari sudur antara dua vektor atau perpotongan garis.

Diberikan 2 vektor e dan c, sudut antara vektor ini dihitung sbb:. e = (|e|cos Өe,|e|sin Өe) c = (|c|cos Өc,|c|sin Өc)

Perkalian titik e ٠ c adalah |e||c|cos(Өc - Өe)

atau e ٠ c =|e||c|cos(Ө) Dengan Ө adalah sudut diantara 2 vektor

e

c

Өe

Өc

Ө

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik ◦ e ٠ c =|e||c|cos(Ө) ◦ Kedua sisi dibagi dengan |e||c| :

(e ٠ c)/|e||c| =|e||c|cos(Ө)/|e||c| ĉ ٠ ê = cos(Ө )

◦ Jadi:: Sudut antara dua vektor adalah perkalian

titik antara dua vektor yang ternomalisasi

e

c

Өe

Өc

Ө

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik Contoh: Cari sudut antara (5,6) dan (8,2)

cos(Ө ) = ĉ ٠ ê ĉ = c/|c| = (5,6) / sqrt(52+62) = (5,6) / 7.8 = (0.64,0.77) ê = e/|e| = (8,2) / sqrt(82+22) = (8,2) / 8.25 = (0.8,0.24) ĉ ٠ ê = 0.8248 Ө = cos-1(0.8248) = 34.43

c

eӨ

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik◦ Tegaklurus atau orthogonal atau normal.?

Dua vektor tegaklurus jika sudut yang dibentuk anatar vektor ini adalah 90 derajad.

jika e ٠ c > 0 sudut antara dua vektor kurang dari 90o

jika e ٠ c = 0 ; dua vektor tegaklurus

jika e ٠ c < 0 sudut antara dua vektor lebih dari 90o

ec

e

ce

c

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik◦ Vektor-vektor yang berada pada sumbu

koordinat adalah tegak lurus:

(0,1,0)(1,0,0)

(0,0,1)

Cara penulisan:

vektor satuan

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik◦ Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai

kombinasi skalar dari 3 vektor satuan: ◦ (a,b,c) = ai + bj + ck◦ (3,2,-1) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0) – 1(0,0,1)

j=(0,1,0)i=(1,0,0)

k=(0,0,1)

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian titik1. Proyeksi sebuah vektor

ke vektor lain Proyeksi vektor c ke v Gambar garis dari C ke v

sehingga tegaklurus dengan v

Kv adalah proyeksi orthogonal c ke v

A

C

v

c

Kv

Operasi VektorOperasi VektorPerkalian Silang

◦Hasil perkalian silang dua vektor adalah sebuah vektor yang tegak lurus dengan dua vektor tersebut.

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian Silang◦ Diberikan a = (ax,ay,az) dan e = (ex,ey,ez),

tentukan perkalian silang antara vektor ini dalam vektor satuan

◦ a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + k(axey-ayex) Atau dengan matrik yaitu penentuan determinan:

eeeaaakji

eazyx

zyx

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian Silang◦ How do you use this to calculate the dot

product?◦ Take each item in the top row and multiply

by the difference of the products of the items in the other columns.

eeeaaakji

eazyx

zyx

Operasi VektorOperasi Vektor

Perkalian Silang◦ i(ayez-azey)

◦ j(axez-azex)

◦ k(axey-ayex)

eeeaaakji

eazyx

zyx

Now add them together:

a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + k(axey-ayex)k(axey-ayex)

……. and you have the CROSS PRODUCT!!!. and you have the CROSS PRODUCT!!!

Operasi VektorOperasi VektorPerkalian Silang

◦a x e adalah tegaklurus baik dengan a maupun e

◦panjang a x e sama dengan luas parallelogram yang dibatasi oleh a dan e

◦Gunakan aturan tangan kanan untuk menentukan arah a x e

a

e

a x e

Operasi VektorOperasi VektorPerkalian Silang

◦Penentuan Normal ke bidang Dengan tiga titik dapat ditentukan

normal ke bidang. P1, P2, P3 -> v = P2-P1, w = P3-P1

Tentukan v x w untuk menghitung normal n.

Perkalian vektor n dengan sembarang nilai skalar akan menghasilkan normal ke bidang juga.

Koordinat HomogenKoordinat Homogen

Beberapa sistem grafika dan OpenGL menyatakan titik dan vektor dalam koordinat homogen.

Ini berarti dalam koordinat 2D mempunyai 3 nilai (x, y, v)

Dan dalam 3D, 4 nilai (x, y, z, v)

Koordinat HomogenKoordinat Homogen

Untuk titik v = 1Untuk vektor v = 0Cth. Titik (2,4) menjadi (2,4,1).Cth. Vektor (3,5) menjadi (3,5,0).Cth. Titik (3,4,1) menjadi (3,4,1,1).Cth. Vektor (3,6,7) menjadi (3,6,7,0).

ContohContoh

Tweening antara bentuk-bentuk

Pencarian Perpotongan Pencarian Perpotongan GarisGarisMasalah: diberikan dua segmen

garis, apakah akan berpotongan??

A

B

CD

Pencarian Perpotongan Pencarian Perpotongan GarisGarisMasing-masing garis mempunyai

garis induk yang merupakan perpanjang ke tak berhingga segmen garis tersebut.

A

B

CD

Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan BidangBidangDimana garis akan berpotongan

dengan bidang?◦ Asumsikan garis berpotongan dengan bidang

di titik P.◦ Berikan titik yang lain misalnya B pada

bidang, kita ketahui bahwa vektor (P-B) berada pada bidang.

◦Kita juga ketahui bahwa n . (P-B) = 0

A

B

Pc

n

Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan BidangBidang

Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?

Karena titik potong akan berada pada tenpat tertentu sepanjang vektor dimulai dari A dan pergi ke arah c, sehingga P dinyatakan sebagai :◦ P = A + cthit

◦ jadi,◦n . (A + cthit -B) = 0◦Solve for thit

◦thit = n . (B – A)/ (n . c)

A

B

Pc

n

Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan BidangBidang

Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?

Apakah garis ini akan berarah masuk atau keluar bidang?◦ jika n . c > 0 arahnya sama dengan normal

A

B

P

n

Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan BidangBidangDimana garis akan berpotongan

dengan bidang? Apakah garis ini akan berarah

masuk atau keluar bidang?◦ jika n . c > 0 arahnya sama dengan normal◦ jika n . c < 0 arahnya berlawanan dengan normal

A

B

P

n

Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan PoligonPoligonPerlu algoritma khusus

A

C

Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan PoligonPoligon

A

C

n

Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan PoligonPoligon

Jika n . (C – A) > 0 sinar keluarJika n . (C – A) < 0 sinar masuk

A

C

n

n

> 90o

< 90o

Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan PoligonPoligonLihat algoritma Cyrus-Beck

Clipping

AC

nn

> 90o

< 90o