all about vektor
TRANSCRIPT
VVektorektor
Src : Abdul BasyirEo : Ahmad Zaman Huri
TopikTopikAritmatika VektorKonsep GeometrikTitik, Garis dan BidangPerkalian TitikPerpotongan garis dengan:
◦Garis◦Bidang◦Poligon
PengenalanPengenalanApa perlunya belajar vektor?
◦Kita butuh untuk mengetahui dimana objek diletakkan dalam dunia nyata.
◦Ukuran dan orientasi objek◦Seberapa jauh objek yang satu
dengan yang lainnya◦Bagaimana pantulan bekerja◦Bagaimana fisika bekerja◦Bagaimana sinar cahaya mengenai
objek
PengenalanPengenalan
Koordinat◦2D
◦Aturan tangan kiri 3D
Aturan tangan kanan 3D
y
x
y
x
zy
x
z
Kita akan gunakan yang ini
VektorVektorSebuah vektor mempunyai
panjang dan arahVektor dinyatakan dengan cara
yang sama dengan koordinat titik: ◦Point (5,10)◦Vector (5,10)
Tetapi bagaimana perbedaannya?
VektorVektor
P = (5,10)
v = (5,10)
Sebuah titik mempunyai lokasi
Sebuah vektor tidak mempunyai lokasi
Sebuah vektor adalah sebuah lintasan antara satu titik dengan titik yang lain
VektorVektor
Q = (8,1)
Vektor dapat ditentukan dengan pengurangan koordinat titik
v = Q – P
v = (8-1,1-10)
v = (7, -9)
Dengan kata lain , v mengatakan pada kita bagaimana untuk mendapatkan dari P ke Q
P = (1,10)
v
VektorVektor
Q = (8,1)
P = (1,10)
v
• Definisi– Perbedaan antara
dua titik adalah sebuah vektor
• v = Q-P
– Jumlah titik dan vektor adalah titik :
• Q = P + v
VektorVektor
Latihan.◦Tentukan vektor yang pergi dari P =
(9,10) ke Q = (15,7) ? v = (6, -3)
◦Tentukan titik yang dihasilkan dari penambahan vektor v = (9,-20) dengan titik P = (1,2) ? Q = (10, -18)
Operasi VektorOperasi Vektor
Ada dua operasi dasar vektor:◦skala 8v jika v = (1,2) maka 8v = (8,16)
◦tambah v + a v = (3,4), a = (8,1) maka v+a = (11,5)
Operasi VektorOperasi Vektor
Penskalaan vektor
v
2v
0.5v
-0.5v
Operasi VektorOperasi Vektor
Penambahan vektor
v
a
va
v+a
v
-a
v-a
Operasi VektorOperasi Vektor
Latihan.◦Diberikan vektor v = (10,20,5), tentukan:
2v, 0.5v dan -0.2v? 2v = (20,40,10) 0.5v = (5,10,2.5) -0.2v = (-2, -4, -1)
◦Diberikan vektor v = (1,1,1) dan a = (8,4,2), tentukan: v + a, v – a and a – v
v + a = (9,5,3) v – a = (-7, -3, -1) a – v = (7, 3, 2)
Operasi VektorOperasi Vektor
Kombinasi Linier ◦Penambahan vektor skala bersama-
sama 8v + 2a
Definisi◦Kombinasi linier dari m vektor v1, v2,
…,vm adalah vektor:
◦w = a1v1 + a2v2 + … + amvm
Operasi VektorOperasi Vektor
Kombinasi Linier ◦Contoh v = (1,2,3) dan a = (1,1,1) 2v + 3a = (2,4,6) + (3,3,3) = (5,7,9)
Operasi VektorOperasi Vektor
Kombinasi Linier ◦Kombinasi Affine Jumlah semua komponen adalah satua1 + a2 + … + am = 1
Contoh:. 3a + 2b – 4c (3+2-4=1) Penentuan kombinasi affine(1-t)a + (t)b
Operasi VektorOperasi Vektor
Pertanyaan◦Tentukan koefisien untuk transformasi affine: ia + jb + ?c Berapakah koefisien c?
i + j + ? = 1 ? = 1 – i – j maka ia + jb + (1-i-j)c
Operasi VektorOperasi Vektor
Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek Jumlah semua komponen satu … tetapi Semua koefisien harus diantara 0 dan
1◦Contoh. a1 + a2 + … + am = 1 dan 1 >= ai >= 0 untuk semua 1,…,m
◦Contoh. .9v + .1w .25v + .75w
Operasi VektorOperasi Vektor
Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek Set semua kombinasi konvek dari
dua vektor v1 dan v2 adalah: v = (1-a)v1 + av2
Operasi VektorOperasi Vektor
Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek
◦ v = (1-a)v1 + av2 can dapat ditulis lagi: v = v1 + a(v2-v1)
Ini menunjukkan bahwa vektor v akan menjadi v1 ditambah beberapa versi skala dari penggabungan v1 dengan v2
v1
v2 v2 – v1
a(v2 – v1)v
Operasi VektorOperasi Vektor
Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek
◦ Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi:
◦ v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3
◦ v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3
◦ v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3
v1
v3
vv22
Semua nilai v akan
terletak di kawasan ini
0.2v0.2v11
0.3v0.3v22
0.5v0.5v33
Operasi VektorOperasi Vektor
Kombinasi Linier◦Kombinasi Konvek
Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi: ◦ v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3
◦ v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3
◦ v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3
v1
v3
vv22
Semua nilai v akan
terletak di kawasan ini
0.5v0.5v11
0.5v0.5v22
Operasi VektorOperasi VektorBesar
◦Adalah panjang vektor◦Ditentukan menggunakan teorema
Pitagoras ◦Masih ingatkan akan teorema ini?
Operasi VektorOperasi Vektor
Besar◦ Teorema Pitagoras:
bah22 a
b
h
Operasi VektorOperasi Vektor
Besar◦ Teorema Pitagoras:
yxv22||
vKoordinat y
Koordinat x
Operasi VektorOperasi Vektor
Besar◦Teorema Pitagoras:
Contoh: Berapakah besar v = (5,10)? |v| = sqrt(52+102) = sqrt(25+100) =
sqrt(125) 11.18
Operasi VektorOperasi Vektor
Latihan◦ Tentukan |v| untuk:◦ v=(1,-2,5), w=(10,3,1) dan t=(1,1,1)
|v| = 5.5677 |w| = 10.488 |t| = 1.732
Operasi VektorOperasi Vektor
Besar
Q = (8,1)
P = (1,10)
v
Operasi VektorOperasi Vektor
Besar◦Kadang kala sangat berguna untuk
menskala vektor menjadi vektor satuan sehingga panjangnya adalah satu.
◦Vektor normal disimbulkan dengan a topi: â.
◦Yaitu pembagian koordinat vektor dengan panjang vektor.
◦â = a/|a|
Operasi VektorOperasi Vektor
Besar◦Contoh: Berapakah vektor normal a =
(1,5,3) ? |a| = sqrt(12 + 52 + 32) = 5.916 â = (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916) = (0.169, 0.845, 0.5)
Operasi VektorOperasi Vektor
Latihan◦Normalisasikan:
a = (2,4,6) g = (1,1,1) h = (0,5,1)
◦Jawab (dengan pembulatan) â = (0.26,0.53,0.8) ĝ = (0.6,0.6,0.6) ĥ = (0,1,0.2)
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik◦Digunakan untuk menyelesaikan
masalah geometri dalam grafika komputer.
◦Berguna untuk menentukan perpotongan garis dengan vektor.
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik◦ Dihitung dengan perkalian dan
penambahan nilai baris dengan nilai kolom..
◦ Definisi Perkalian titik dua vektor v٠w adalah:
n
iiiwv
1
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik◦Jika diketahui v = (v1,v2) dan w = (w1,w2)◦Perkalian titik, v ٠ w akan menghasilkan:
(v1w1+v2w2)◦Contoh, v = (2,1) dan w = (3,5) maka v ٠
w akan menghasilkan : 2*3 + 1*5 = 11
◦Contoh, v = (2,2,2,2) dan w = (4,1,2,1.1), v ٠ w akan menghasilkan : 2*4 + 2*1 + 2*2 + 2 * 1.1 = 16.2
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik◦ Operasi Properti
Simetri: v ٠ w = w ٠ v Linier: (v + t) ٠ w = v ٠ w + t ٠ w Homogen: (sv) ٠ w = s(v ٠ w) |v|2 = v ٠ v
Operasi VektorOperasi VektorPerkalian titik Sudut antara dua vektor.
Perkalian titik dapat digunakan untuk mencari sudur antara dua vektor atau perpotongan garis.
Diberikan 2 vektor e dan c, sudut antara vektor ini dihitung sbb:. e = (|e|cos Өe,|e|sin Өe) c = (|c|cos Өc,|c|sin Өc)
Perkalian titik e ٠ c adalah |e||c|cos(Өc - Өe)
atau e ٠ c =|e||c|cos(Ө) Dengan Ө adalah sudut diantara 2 vektor
e
c
Өe
Өc
Ө
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik ◦ e ٠ c =|e||c|cos(Ө) ◦ Kedua sisi dibagi dengan |e||c| :
(e ٠ c)/|e||c| =|e||c|cos(Ө)/|e||c| ĉ ٠ ê = cos(Ө )
◦ Jadi:: Sudut antara dua vektor adalah perkalian
titik antara dua vektor yang ternomalisasi
e
c
Өe
Өc
Ө
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik Contoh: Cari sudut antara (5,6) dan (8,2)
cos(Ө ) = ĉ ٠ ê ĉ = c/|c| = (5,6) / sqrt(52+62) = (5,6) / 7.8 = (0.64,0.77) ê = e/|e| = (8,2) / sqrt(82+22) = (8,2) / 8.25 = (0.8,0.24) ĉ ٠ ê = 0.8248 Ө = cos-1(0.8248) = 34.43
c
eӨ
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik◦ Tegaklurus atau orthogonal atau normal.?
Dua vektor tegaklurus jika sudut yang dibentuk anatar vektor ini adalah 90 derajad.
jika e ٠ c > 0 sudut antara dua vektor kurang dari 90o
jika e ٠ c = 0 ; dua vektor tegaklurus
jika e ٠ c < 0 sudut antara dua vektor lebih dari 90o
ec
e
ce
c
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik◦ Vektor-vektor yang berada pada sumbu
koordinat adalah tegak lurus:
(0,1,0)(1,0,0)
(0,0,1)
Cara penulisan:
vektor satuan
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik◦ Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai
kombinasi skalar dari 3 vektor satuan: ◦ (a,b,c) = ai + bj + ck◦ (3,2,-1) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0) – 1(0,0,1)
j=(0,1,0)i=(1,0,0)
k=(0,0,1)
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian titik1. Proyeksi sebuah vektor
ke vektor lain Proyeksi vektor c ke v Gambar garis dari C ke v
sehingga tegaklurus dengan v
Kv adalah proyeksi orthogonal c ke v
A
C
v
c
Kv
Operasi VektorOperasi VektorPerkalian Silang
◦Hasil perkalian silang dua vektor adalah sebuah vektor yang tegak lurus dengan dua vektor tersebut.
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian Silang◦ Diberikan a = (ax,ay,az) dan e = (ex,ey,ez),
tentukan perkalian silang antara vektor ini dalam vektor satuan
◦ a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + k(axey-ayex) Atau dengan matrik yaitu penentuan determinan:
eeeaaakji
eazyx
zyx
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian Silang◦ How do you use this to calculate the dot
product?◦ Take each item in the top row and multiply
by the difference of the products of the items in the other columns.
eeeaaakji
eazyx
zyx
Operasi VektorOperasi Vektor
Perkalian Silang◦ i(ayez-azey)
◦ j(axez-azex)
◦ k(axey-ayex)
eeeaaakji
eazyx
zyx
Now add them together:
a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + a x e = i(ayez-azey) + j(axez-azex) + k(axey-ayex)k(axey-ayex)
……. and you have the CROSS PRODUCT!!!. and you have the CROSS PRODUCT!!!
Operasi VektorOperasi VektorPerkalian Silang
◦a x e adalah tegaklurus baik dengan a maupun e
◦panjang a x e sama dengan luas parallelogram yang dibatasi oleh a dan e
◦Gunakan aturan tangan kanan untuk menentukan arah a x e
a
e
a x e
Operasi VektorOperasi VektorPerkalian Silang
◦Penentuan Normal ke bidang Dengan tiga titik dapat ditentukan
normal ke bidang. P1, P2, P3 -> v = P2-P1, w = P3-P1
Tentukan v x w untuk menghitung normal n.
Perkalian vektor n dengan sembarang nilai skalar akan menghasilkan normal ke bidang juga.
Koordinat HomogenKoordinat Homogen
Beberapa sistem grafika dan OpenGL menyatakan titik dan vektor dalam koordinat homogen.
Ini berarti dalam koordinat 2D mempunyai 3 nilai (x, y, v)
Dan dalam 3D, 4 nilai (x, y, z, v)
Koordinat HomogenKoordinat Homogen
Untuk titik v = 1Untuk vektor v = 0Cth. Titik (2,4) menjadi (2,4,1).Cth. Vektor (3,5) menjadi (3,5,0).Cth. Titik (3,4,1) menjadi (3,4,1,1).Cth. Vektor (3,6,7) menjadi (3,6,7,0).
ContohContoh
Tweening antara bentuk-bentuk
Pencarian Perpotongan Pencarian Perpotongan GarisGarisMasalah: diberikan dua segmen
garis, apakah akan berpotongan??
A
B
CD
Pencarian Perpotongan Pencarian Perpotongan GarisGarisMasing-masing garis mempunyai
garis induk yang merupakan perpanjang ke tak berhingga segmen garis tersebut.
A
B
CD
Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan BidangBidangDimana garis akan berpotongan
dengan bidang?◦ Asumsikan garis berpotongan dengan bidang
di titik P.◦ Berikan titik yang lain misalnya B pada
bidang, kita ketahui bahwa vektor (P-B) berada pada bidang.
◦Kita juga ketahui bahwa n . (P-B) = 0
A
B
Pc
n
Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan BidangBidang
Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?
Karena titik potong akan berada pada tenpat tertentu sepanjang vektor dimulai dari A dan pergi ke arah c, sehingga P dinyatakan sebagai :◦ P = A + cthit
◦ jadi,◦n . (A + cthit -B) = 0◦Solve for thit
◦thit = n . (B – A)/ (n . c)
A
B
Pc
n
Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan BidangBidang
Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?
Apakah garis ini akan berarah masuk atau keluar bidang?◦ jika n . c > 0 arahnya sama dengan normal
A
B
P
n
Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan BidangBidangDimana garis akan berpotongan
dengan bidang? Apakah garis ini akan berarah
masuk atau keluar bidang?◦ jika n . c > 0 arahnya sama dengan normal◦ jika n . c < 0 arahnya berlawanan dengan normal
A
B
P
n
Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan PoligonPoligonPerlu algoritma khusus
A
C
Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan PoligonPoligon
A
C
n
Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan PoligonPoligon
Jika n . (C – A) > 0 sinar keluarJika n . (C – A) < 0 sinar masuk
A
C
n
n
> 90o
< 90o
Perpotongan Garis dengan Perpotongan Garis dengan PoligonPoligonLihat algoritma Cyrus-Beck
Clipping
AC
nn
> 90o
< 90o