86450155-bab-ii-analisis-real.pdf

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

1/15

Bab 2

Sistem Bilangan Real2.1. Aksioma Bilangan Real

Misalkan adalah himpunan bilangan real, Phimpunan bilangan positif dan fungsi + dan .dari ke dan asumsikan memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Aksioma LapanganUntuk semua bilangan real x,y, dan zberlaku:

A1. x+y=y+ xA2. (x+y) + z= x+ (y+ z)

A3. 0 sehingga x+ 0 = x, untuk setiap x A4. x , ! w sehingga x+ w= 0A5. xy=yxA6. (xy)z= x(yz)

A7. 1 sehingga 1 0, dan x.1 = xx

A8. x , x 0, w sehingga xw= 1A9. x(y+ z) = xy+ xz

Himpunan yang memenuhi aksioma di atas disebut lapangan (terhadap operasi + dan .).Diperoleh dari A1 bahwa elemen 0 adalah tunggal. Elemen wpada A4 juga tunggal dan dinotasikandengan x. Elemen 1 pada A7 unik dan elemen wpada A8 juga unik dan dinotasikan dengan x1Kemudian didefinisikan pengurangan dan pembagian sebagai berikut:

xy= x+ (y) dan 1x

xyy

=

Aksioma UrutanMisalkan Padalah himpunan bilangan real positif, Pmemenuhi aksioma berikut:

B1. x,yPx+y

B2. x, yPx.y

B3. x (x = 0) atau (xP) atau (xP)

Suatu sistem yang memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan disebut lapangan terurut(ordered field). Sehingga bilangan real adalah lapangan terurut. Begitu juga dengan himpunan bilanganrasional merupakan lapangan terurut.

Dalam lapangan terurut didefinisikan x

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

2/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

22

Karenayx, wzPmaka berdasarkan aksioma B1 diperoleh

y x + w z=y + w x z= (y + w) (x + z) P.

b. Untuk membuktikan xz a. Artinya,

a bukan batas atas karena ada x0 yang nilainya lebih besar (atas) darinya.

Jika cbatas bawah terbesar, maka untuk setiap > 0 akan selalu ada x0 sehingga x0 < c+ .Artinya c+ bukan batas bawah karena ada x0 yang nilainya lebih kecil (bawah) darinya.

Dari dua ilustrasi di atas, maka definisi supremum dan infimum dapat dinyatakan dalam notasimatematis sebagai berikut:

1. abatas atas terkecil dari S, jika(i) xS, xa(ii) > 0, x0S, x0 > a

2. cbatas bawah terbesar dari S, jika(i) xS, c x(ii) > 0, x0S, x0 < c+

a x0 a

c x0 c +

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

3/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

23

Contoh Soal :MisalkanA dan B terbatas. Buktikan bahwasup(A + B) = sup(A) + sup(B)dengan

A + B = {a+ b| aA dan bB}Jawab :

Misalp = sup(A) dan q= sup(B). Karena

0 0 2

.

.

sup( ) ( ) ,

( ) 0,

p A i p a a A

ii a A a p

=

> >

dan

0 0 2

sup( ) ( ) ,

( ) ,. 0

.q B iii q b b B

iv b B b q

=

> >

Dari (i) dan (iii) diperoleh

p + qa+ b, aA dan bB. Jadi,p + qa+ b, a+ bA + B .. (*)Jadip + qbatas atas dariA + BDari (ii) dan (iv) diperoleh

> 0, a0A dan b0B sehingga a0 + b0 > (p + q) . (**)Dari (*) dan (**) terbukti bahwap + q= sup(A + B)

Aksioma Kelengkapan

Setiap himpunan bagian dari yang tidak kosong dan terbatas di atas mempunyai batas atasterkecil (supremum).Setiap himpunan bagian dari yang tidak kosong dan terbatas di bawah mempunyai batasbawah terbesar (infimum).

2.2. Bilangan Real yang DiperluasUntuk memperluas sistem bilangan real , maka ditambahkan elemen dan . Himpunan

baru ini disebut himpunan bilangan real yang diperluas * . Relasi < diperluas definisinya pada *

menjadi < x< untuk setiap x . Kemudian didefinisikan x .

x+ = , x =

x. = jika x> 0

x. = jika x> 0dan

+ = , =

.() = , .() =

Sedangkan operasi tidak didefinisikan. Tetapi, 0. = 0.

Salah satu kegunaan*

adalah untuk mendefinisikan sup(S) dan inf(S) untuk semua Shimpunan himpunan bagian dari yang tidak kosongS.

Jika Stidak terbatas di atas, maka sup(S) =

Jika Stidak terbatas di bawah, maka inf(S) =

Jadi, didefinisikan sup() = .

2.3. Bilangan Asli dan Bilangan Rasional sebagai Subset dari Bilangan RealKita telah menggunakan simbol 1 bukan hanya untuk menyatakan bilangan asli pertama tetapi

juga bilangan real spesial seperti yang dituliskan dalam aksioma A7. Pertama, didefinisikan bilanganreal 3 sebagai 1 + 1 + 1. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bilangan real yangberkorespondensi dengan sembarang bilangan asli.

Berdasarkan prinsip rekursif maka terdapat sebuah fungsi : yang memetakan bilanganasli ke bilangan real dengan definisi sebagai berikut:

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

4/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

24

(1) = 1

(n+ 1) = (n) + 1(Catatan: 1 menyatakan bilangan real pada sisi kanan dan bilangan asli pada sisi kiri)

Kita harus menunjukkan bahwa fungsi adalah fungsi satu-satu. Untuk menunjukkannya

cukup ditunjukkan bahwa fungsi monoton.

Bukti :Akan dibuktikan monoton naik.

Artinya, jikap < qmaka (p) (p) + 1

> (p)

Jadi, (p) < (p + (k + 1)). Artinya pernyataan benar untukn= k + 1.

Berdasarkan induksi di atas, terbukti monoton. Dengan kata lain, terbukti satu-satu.

Selanjutnya, juga dapat dibuktikan (dengan induksi matematika) bahwa

(p + q) = (p) + (q)dan

(pq) = (p) (q)Bukti :Pertama:

Misalkan q= n, n . Diperoleh(p + n) = (p) + (n)

Untukn= 1( 1) ( ) 1 ( ) (1)p p p + = + = +

Jadi pernyataan benar untukn= 1.Asumsikan pernyataan benar untukn= k, yaitu

(p + k) = (p) + (k)Akan dibuktikan pernyataan benar untukn= k + 1, yaitu:

( ( 1)) (( ) 1)

( ) 1

( ) ( ) 1

( ) ( 1)

p k p k

p k

p k

p k

+ + = + +

= + +

= + +

= + +

Jadi pernyataan benar n= k + 1. Berdasarkan prinsip induksi, terbukti bahwa

(p + q) = (p) + (q)Kedua:

Misalkan q= n, n . Diperoleh(pn) = (p) (n)

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

5/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

25

Untukn= 1

(p1) = (p) = (p)1 = (p)(1)Jadi pernyataan benar untukn= 1.Asumsikan pernyataan benar untukn= k, yaitu:

(pk) = (p)(k)Akan dibuktikan pernyaaan berlaku untukn= k + 1, yaitu:

( )

( ( 1)) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

( ) ( 1)

p k pk ppk p

k p

p k

p k

+ = += +

= +

= +

= +

Jadi pernyataan benar n= k + 1. Berdasarkan prinsip induksi, terbukti bahwa

(pq) = (p) (q)

Sehingga memberikan korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dengan subset

bilangan real. Artinya ada korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dengan himpunanbagian dari bilangan real yang mengawetkan operasi penjumlahan, perkalian, dan relasi

Jika kedua ruas ditambah 1, diperoleh121k y y+ > + >

Karenaysupremum, maka 1k S+ . Karena k + 1 bilangan bulat yang bukan elemen S, makak + 1 > x

Jadi dipilih n= k + 1 . (cool!!)

Akibat :Terdapat suatu bilangan rasional diantara dua bilangan real sembarang

Dengan kata lain, jika x

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

6/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

26

Konstruksi bukti :

Diketahui x< r .

Di lain pihak1

( ) ( )p p

x y y x y x y q q

= < < < . Jadi

1( )

p py x

q q

< atau

11 1( ) ( )p p

y x y x q y xq q q

< > > . Bilangan q inilah yang diambil sebagai

bilangan bulat yang lebih besar4 dari (yx)1Bukti :

Jika x 0, maka untuk setiap bilangan real (yx)1 ada q sehingga

1( )q y x > atau1 1

y x y xq q

> <

Misalkan

|n

S n yq

+ =

S karena paling tidakyS. Dari definisi Stersebut Sterbatas ke bawah. Karena S dan

terbatas ke bawah maka Smemiliki infimum, misalkanp = inf(S). KarenapSmakap

yq

ataup

yq

KarenapSmaka p 1S. Oleh karena itu,1p

yq

< atau

1py

q

>

Sehingga

1 py

q q

< dan

1 1( )

p px y y x

q q q

= < =

Jadi, 1x

q

< dan

1py

q

< .

Dari sini dipilih1p

rq

= yang jelas terletak diantara xdany.

Jika x< 0, diambil n sehingga n> xatau n+ x> 0. Jadi, menurut pembuktian di atas, adar dengan n+ x< r

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

7/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

27

2.4. Barisan Bilangan RealBarisan bilangan real adalah suatu fungsi yang memetakan setiap bilangan asli n ke

bilangan real xn. Bilangan real ldikatakan limit barisan jika untuk setiap positif terdapat bilangan

Nsehingga untuk setiap nNberlaku |xn l| < . Secara matematis,

( )( ) ( )( )lim 0n nl x N n N x l = > <

Barisan bilangan real disebut barisanCauchyjika untuk setiap positif terdapat bilanganNsehingga untuk setiap n, mNberlaku |xn xm| < . Jadi

( ) ( ) ( )( )barisan Cauchy 0 ,n n mx N n m N x x > <

Kriteria Cauchy :Barisan bilangan real konvergen

5 jika dan hanya jika barisan Cauchy.

Notasi limit ini diperluas untuk memasukkan bilangan (pada * )sebagai berikut.lim , jika 0, ,

lim , jika 0, ,

n n

n n

x N n N x

x N n N x

= > >

= > <

Misalkan S(l,) = {x : |xl| < }, makal= lim xn, jika > 0, N, xnS(l, ), nN

Pada kasus ini ladalah titik limit (clusterpoint) dari . Jadi titik ldikatakan titik limit (Cluster

Point) dari barisan jika > 0, terdapat sedikitnya satu titikxN sehingga |xN l| < . Bilamana

konsep ini diperluas pada * , l= titik limit dari barisan , jika > 0 terdapat paling sedikit

satu titikxNsehingga xN.Jika adalah suatu barisan, didefinisikan limit superior sebagai

1 2 2 3lim limsup inf sup inf{sup{ , , ....}, sup{ , , ...}, ...}n n kn k n

x x x x x x x

= = = 6

Simbol lim dan lim sup keduanya digunakan untuk limit superior. Bilangan real l dikatakan

limit superior dari barisan jika dan hanya jika :(i) > 0, nkn, xk < l+ (ii) > 0 dan n, kn, xk > l(ada paling sedikit satu titikxk sehingga xk > lUntuk bilangan real yang diperluas adalah limit superior jika dan hanya jika dan n

terdapat knsedemikian sehingga xk. Bilangan real adalah limit superior jika dan hanyajika = lim xn.

Limit inferior didefinisikan sebagai

1 2 2 3lim lim inf sup inf sup{inf{ , , ....}, inf{ , , ...}, ...}n n kk nn

x x x x x x x

= = =

Sifat-sifat:

1) ( )lim limn nx x = 2) lim limn nx x 3) *lim (pada ) lim limn n nx l l x x = = = 4) lim lim lim ( ) lim limn n n n n n x y x y x y + + +

lim ( ) lim limn n n n x y x y + +

2.5. Himpunan Terbuka dalam Bilangan RealSelang buka (a, b) = {x| a< x< b}. Notasi B(x, ) = {y| |xy| < } = (x, x+ )

menyatakan bola yang berpusat di xdan berjari-jari . Dalam bilangan real, B(x, ) adalah selang buka.

5 Limitnya ada6 Diantara supremum-supremum tersebut, manakah infimumnya?

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

8/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

28

Definisi :

Himpunan O dikatakan terbuka di jika, 0 ( , )x O B x O >

Dengan kata lain, xO selalu terdapat selang buka Iyang memuat xsehingga I O.

Selang buka adalah contoh dari himpunan terbuka. Himpunan kosong dan juga contoh dari

himpunan terbuka.

Proposisi :

Jika O1 dan O2 terbuka maka O1O2 terbuka.Bukti :

Diambil sebarangxO1O2. Akan ditunjukkan > 0 sehingga B(x, ) O1O2.Karena xO1O2, maka xO1 dan xO2. Karena O1 dan O2 terbuka maka 1, 2 > 0sehingga B(x, 1) O1 dan B(x, 2) O2. Artinya

|tx| < 1dan

|tx| < 2Dengan mengambil = min(1, 2), diperoleh

|tx| < < 1dan

|tx| < < 2

Dengan kata lain, tB(x, ) berlaku tB(x, 1) dantB(x, 2), dengan = min{1, 2}.Jadi B(x, ) O1 dan B(x, ) O2. Sehingga B(x, ) O1O2.

Akibat :Irisan sejumlah berhingga himpunan terbuka adalah terbuka.

Bukti :Misal Oi , i= 1, , nhimpunan terbuka. Akan dibuktikan

1

n

i

i

O=

terbuka. Maka,

1

, 1, ,

0 ( , ) , 1, ,

( , ) ,

.

.

. min{ }, 1, ,

n

i i

i

i i i

i i

x O x O i n

B x O i n

B x O i n

=

=

> =

= =

Jadi,1

n

i

i

O=

terbuka.

Another version (alternate soln) :

Diambil sebarang1

n

i

i

x O=

, maka xOi dengan Oiterbuka i.

Karena xO1 dan O1 terbuka, maka terdapat 1 > 0 sehingga B(x, 1) O1Karena xO2 dan O2 terbuka, maka terdapat 2 > 0 sehingga B(x, 2) O2Demikian seterusnya.

Karena xOndan On terbuka, maka terdapat n> 0 sehingga B(x, n) OnDiambil = min{1, 2, . . ., n}, jelas bahwa > 0. Maka B(x, ) B(x, i) Oi, i= 1, 2, , n

yang berakibat bahwa1

( , )n

i

i

B x O=

. Jadi terbukti bahwa1

n

i

i

O=

terbuka

Konvers dari proposisi di atas diberikan pada proposisi sebagai berikut

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

9/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

29

Proposisisi :

Setiap himpunan terbuka di merupakan gabungan terhitung dari selang-selang terbuka yangsaling asing.Bukti :Misalkan O sebarang himpunan terbuka di .

Karena O terbuka, maka untuk setiap xO terdapaty> xsedemikian sehingga (x,y) O.

Misalkanb= sup {y| (x,y) O}, dan

a= inf {z| (z, x) O}maka a< x< bdan Ix= (a, b) adalah selang terbuka yang memuat x.

Klaim IxO. Diambil sebarangwIx, sebut x< w< b, berdasarkan definisi bdi atas, makadiperoleh bilangany> wsehingga (x,y) O. Jadi wO.Klaim bO. Andaikan bO, maka ada > 0 sehingga (b, b+ ) O atau (x, b+ ) O.Kontradiksi dengan definisi b. Secara sama dapat dibuktikan bahwa aO.Himpunan {Ix}, xO merupakan koleksi selang-selang buka.

Karena setiap xdi O termuat di Ix dan setiap Ix termuat di O, diperoleh xO I= .Misalkan (a, b) dan (c, d) sebarang dua selang di O dengan beberapa titik yang sama. Makaharuslah c< bdan a< d.

Karena cO, maka c (a, b). Diperoleh ca.Karena aO, maka c (c, d). Diperoleh ac.

Jadi a= c. Secara sama, diperoleh b= d. Akibatnya (a, b) = (c, d).Sehingga setiap dua selang yang berbeda di {Ix} pasti saling asing. Jadi, O merupakan gabunganselang-selang buka yang saling asing. Terakhir tinggal ditunjukkan O terhitung.Setiap selang buka memuat bilangan rasional7. Karena O gabungan selang-selang buka yangsaling asing dan setiap interval buka memuat bilangan rasional maka terdapat korespondensi 1-1antara O dengan himpunan bilangan rasional atau himpunan bagiannya. Jadi O terhitung.

Proposisi :

Jika Ckoleksi himpunan terbuka di , makaO C

O

himpuan terbuka di .

Bukti :

, untuk suatu

0 ( , ) , untuk suatu

0 (

.

.

. , )

O C

O C

x O x O O C

B x O O C

B x O

>

>

Jadi,O C

O

himpunan terbuka di .

Another version (with countable revision) :

Diambil sebarangO C

x O

, maka terdapat OCsehingga x O. Karena O terbuka maka

terdapat > 0 sehingga B(x, ) O O C

O

. Jadi terbukti bahwa untuk setiapO C

x O

terdapat > 0 sehingga B(x, ) O C

O

yang berartiO C

O

terbuka.

7 Aksioma Archimedes

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

10/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

30

Perlu diperhatikan bahwa, jika C koleksi himpunan terbuka di makaO C

O

8 belum tentu

himpunan terbuka di . Sebagai contoh,1 1

,nOn n

=

selang terbuka, tetapi

1

{0}nn

O

=

= bukan

himpunan hingga di .

Proposisi (Lindelf) :Misalkan Ckoleksi himpunan terbuka di , maka terdapat {Oi} subkoleksi terhitung dari Csedemikian sehingga

1

i

O C i

O O

=

=

Bukti :Misal

{ | }U O O C = Diambil sebarangxU. Maka terdapat himpunan OC, dengan xO.

Karena O terbuka, maka terdapat selang buka Ix sehingga x

Ix

O. Diperoleh

9

bahwaterdapat selang bukaJxdengan titik akhir bilangan rasional sehingga xJxIx. Karena koleksisemua selang buka dengan titik akhir bilangan rasional adalah terhitung, maka himpunan {Jx}, x

Uterhitung dan xx U

U J

= .

Untuk setiap selang di {Jx} pilih himpunan O di Cyang memuatJx. Diperoleh subset terhitung

{ }1i i

O

=dari C, dan

1

i

O C i

U O O

=

= =

2.6. Himpunan Tertutup

Penutup himpunanE dinotasikan E

Definisi :

0, | |x E y E x y > <

Dengan kata lain, x E , jika setiap selang buka yang memuat xjuga memuat suatu titik diE10.Jadi, jelas E E .

Contoh :

E = (0, 1]. Tentukan E .

Apakah x= 0 E ?0, (0,1] | |y E x y > = <

Perhatikan bahwa1

0nyn

=

> 0, n0N, |yn 0| < , nn0

atau, > 0, |yn 0| <

Pilih0

0

1(0,1]ny

n= . Karena

10

n , maka > 0, |yn 0| < . Sehingga x= 0 E .

Jadi, [0,1]E = .

8

Irisan tak berhingga himpunan-himpunan terbuka9 Lihat proposisi : Jika xdanybilangan real dan x

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

11/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

31

Proposisi :

1.Jika A B maka A B 2.A B A B = Bukti :

1. Diambil sebarang > 0 dan x A .Karena x A , maka yA |yx| < .

KarenaAB, makayB |yx| < . Menurut definisi, x B . Jadi terbukti A B .

2. KarenaAAB, berdasar 1) di atas maka A A B .Hal yang sama, karena BAB maka B A B . Jadi, A B A B .

Kemudian, akan dibuktikan bahwa A B A B . Disini dibuktikan kontraposisinya,

yaitu jika x A B maka x A B .

Karena x A B , maka x A dan x B .

1 1

2 2

0 tidak ada dengan | |

0 tidak ada dengan | |

x A y A x y

x B y B x y

> <

KarenayAB, makayA atauyB.UntukyA dengan |yx| < diperoleh x A UntukyB dengan |yx| < diperoleh x B

Jadi, x A B .

Definisi :

Himpunan Fdisebut tertutup (closed) jika F F=

Menurut definisi F F , maka himpunan F disebut tertutup jika F F , yaitu jika Fmemuat semua titik-titik clusternya.

Contoh :

1) F= (0, 1] bukan himpunan tertutup, sebab [0,1]F F= 2) F= [0, 1] himpunan tertutup, sebab [0,1]F F= = 3) Selang [a, b] dan [1, ] adalah himpunan tertutup4) adalah himpunan tertutup5) F= . Akan dibuktikan bahwa =

Bukti :

Dari definisi, . Jadi, tinggal dibuktikan .

.

.

0, , | |

0, , ( , )

.

x y y x

y y B x

x

>

Jadi, . Oleh karena itu terbukti bahwa .

Proposisi :Penutup himpunanE adalah tertutup.

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

12/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

32

Bukti :

Akan dibuktikan E E= . Dari definisi, E E . Jadi, tinggal dibuktikan E E .

Misalkan x E .

0, , | |2

x E y E y x > <

Karena y E maka untukdi atas, terdapat zE sehingga | |2

z y < .

Jadi, untukdi atas, terdapat zE sehingga.

.

.

| | | |

| | | |

2 2

z x z y y x

z y y x

= +

< +

< + =

Ini berarti x E

Proposisi :

Jika F1 dan F2 tertutup, maka F1F2 tertutup.Bukti :

Akan dibuktikan bahwa 1 2 1 2F F F F = .

Dari definisi, jelas bahwa 1 2 1 2F F F F sehingga cukup dibuktikan 1 2 1 2F F F F

Diambil sebarang 1 2x F F . Akan dibuktikan bahwa 1 2x F F . Menurut proposisi

sebelumnya, 1 2 1 2x F F F F = . Karena F1 dan F2 tertutup, maka 1 2x F F .

Proposisi :Irisan koleksi himpunan tertutup adalah tertutupBukti :

Misalkan Ckoleksi himpunan-himpunan tertutup. Akan dibuktikan bahwa { | }F F C

tertutup, yaitu { | } { | }F F C F F C = . Menurut definisi, cukup dibuktikan

{ | } { | }F F C F F C .

Diambil sebarang { | }x F F C . Maka untuk setiap > 0 terdapat { | }y F F C sehingga |yx| < .

Karena { | }F F C makayFuntuk setiap FCdengan |yx| < . Menurutdefinisi, diperoleh bahwa x F untuk setiap FC.

Karena FCmaka F tertutup. Karena F tertutup maka F F= akibatnya xF, untuk

setiap F

C. Dari sini maka, { | }x F F C

.Jadi terbukti bahwa { | } { | }F F C F F C . Sehingga { | }F F C tertutup.

Proposisi :1. Komplemen himpunan terbuka adalah tertutup2. Komplemen himpunan tertutup adalah terbukaBukti :

1. Misalkan O himpunan terbuka. Akan dibuktikan bahwa c cO O= . Dari definisi c cO O .Jadi cukup dibuktikan c cO O . Akan dibuktikan kontraposisinya.

Karena O terbuka, maka xO, > 0 sehingga B(x, ) O.

Karena xO, maka xOc.

MisalkanyB(x, ). Karena B(x, ) O makayO.

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

13/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

33

Sehingga, jika |yx| < makayO. Artinya, tidak adayOc sehingga |yx| < .

Sesuai definisipenutup, cx O 2. Misalkan Fhimpunan tertutup. Akan dibuktikan bahwa Fc terbuka.

Diambil sebarangxFc, akan dibuktikan bahwa terdapat > 0 sehingga B(x, ) Fc.

Jika > 0 diambil sembarang, maka cukup dibuktikan B(x, ) Fc. Akan dibuktikankontraposisinya.

Karena x Fc maka x F. Karena F tertutup, maka x F F = . Artinya, tidak ada

y F sehingga untuk setiap > 0 yang diberikan berlaku |yx| < . Sehingga, untuk

setiapyFberlakuyB(x, ). Jadi, untuk setiapyFcmakayB(x, ).

Koleksi himpunan Cdisebut selimut (covers) dari himpunan Fjika

{ : }F O O C dalam hal ini koleksi himpunan C disebut menyelimuti (covering) F. Jika setiap O C terbuka, makakoleksi C disebut selimut terbuka (open covering) dari F. Jika C hanya memuat sejumlah berhinggahimpunan-himpunan, maka koleksi Cdisebut selimut hingga (finite covering). Dalam hal selimut terbuka,

kata sifat terbuka tersebut menunjukkan sifat himpunan-himpunan dalam selimut dan tidak bermaknadiselimuti oleh himpunan terbuka. Demikian juga dengan istilah selimut hingga tidak menunjukkanbahwa selimutnya merupakan himpunan berhingga.

Teorema (Heine-Borel) :

Misalkan Ftertutup dan terbatas pada . Maka setiap selimut terbuka dari Fmempunyaiselimut bagian yang berhingga.

Dengan kata lain, jika C adalah koleksi himpunan terbuka sehingga { : }F O O C

maka ada koleksi berhingga {O1, O2, . . ., On} pada Csehingga1

n

i

i

F O=

.

Bukti :(see Real Analysis, 3rd ed., H.L. Royden, page 45)

2.7. Fungsi KontinuMisalkanffungsi bernilai real dengan domainE merupakan himpunan bilangan real. Berikut ini

definisi-definisi kontinu di titik, kontinu padaE, dan kontinu seragam padaE11.

Definisi :

Fungsifdikatakan kontinu di titik (continuous at the point) xE jika > 0, > 0 sehingga y

E, dengan |yx| < maka |f(x) f(y)| < .Fungsifdikatakan kontinu pada (contiuous on)A subset dariE jikafkontinu di setiap titik dariA.

Fungsifdikatakan kontinu seragam pada (uniformly continuous on)E, jika > 0, > 0 sehinggax,yE, dengan |yx| < maka |f(x) f(y)| < .

Untuk selanjutnya, jika disebutkan f kontinu, maka yang dimaksud adalah f kontinu padadomainnya.

Proposisi :Misalkan f fungsi bernilai real yang kontinu dan didefinisikan pada F. Jika F kontinu danterbatas, makafterbatas pada Fdan mempunyai titik maksimum dan minimum pada F.

Artinya ada titikx1 dan x2 di dalam Fsehinggaf(x1) f(x) f(x2), xF.Bukti :

11 Pembedaan ini hanya terlihat dari bagaimana ketergantungan pemilihan terhadap yang lain (x,y, atau )

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

14/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

34

(see Real Analysis, 3rd ed., H.L. Royden, page 47)

Proposisi :

Misalkan f fungsi bernilai real yang didefinisikan pada . Fungsi f kontinu pada jika danhanya jikaf1(O) terbuka untuk setiap O himpunan terbuka di .Bukti :

(see Real Analysis, 3rd

ed., H.L. Royden, page 4748)

Teorema (Teorema Nilai Antara) :

Misalkanffungsi bernilai real dan kontinu pada [a, b]. Jika f(a) f(y) f(b) atau f(b) f(y) f(a)

maka ada c [a, b] sedemikian sehinggaf(c) =y.

Proposisi :Jika f fungsi bernilai real dan kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas Fmaka fkontinuseragam pada F.Bukti :(see Real Analysis, 3rd ed., H.L. Royden, page 48)

Definisi :Misalkan barisan fungsi padaE. Barisan dikatakan konvergen titik demi titik (converge

pointwise) pada E ke fungsif, jika xE dan > 0, N12 sehingga |f(x) fn(x)| < , nN.

Barisan dikatakan konvergen seragam (convergeuniformly) padaE ke fungsi f, jika > 0,

N13 sehingga xE, |f(x) fn(x)| < , nN.

2.8. Himpunan BorelWalaupun irisan dari sebarang koleksi himpunan tertutup adalah tertutup dan gabungan dari

koleksi berhingga dari himpunan tertutup juga tertutup, tetapi gabungan dari koleksi terhitunghimpunan-himpunan tertutup tidak harus tertutup.

Sebagai contoh, himpunan bilangan rasional adalah gabungan dari koleksi terhitung himpunan-himpunan tertutup yang setiap himpunannya memuat tepat satu anggota.

Definisi :

Koleksi himpunan Borel B adalah aljabar- terkecil yang memuat semua himpunan-himpunanterbuka.

Eksistensi aljabar- ini dijamin oleh proposisi14 3 di Bab I. Lebih lanjut, aljabar- terkecil inijuga memuat semua himpunan-himpunan tertutup dan memuat pula semua selang-selang buka.

Himpunan yang merupakan gabungan terhitung dari himpunan-himpunan tertutup disebut F

atau dikatakan memiliki tipe F (Funtuk tertutup, untuk jumlah). Sehingga, himpunan Ddikatakan

memiliki tipe F jika dapat ditulis1

n

n

D F

=

= untuk setiap himpunan tertutup Fndi R.

Jika Fhimpunan tertutup, maka Fmemiliki tipe F sebab Fdapat ditulis menjadi

1

n

n

F F

=

=

dengan F1 = F; F2 = F3 = F4 = . . . = yang merupakan himpunan tutup. Juga, selang buka (a, b)

memiliki tipe F, sebab

12 Pemilihannya bergantung pada x13 Pemilihannya tidak bergantung pada x14 Proposisi : Misalkan C koleksi himpunan bagian dariX, maka terdapat aljabar- terkecil Ryang memuat C.

7/30/2019 86450155-Bab-II-Analisis-Real.pdf

15/15

Bab 2 Sistem Bilangan Real Compiled by : Khaeroni, S.Si

35

1

1 1( , ) ,

n

a b a b n n

=

= +

Dari sini diperoleh bahwa setiap himpunan terbuka memiliki tipe F. Sebab, jika O buka maka :

1

1 1,

n

O a bn n

=

= +

Dengan a = batas bawah O, dan b = batas atas O.Irisan terhitung dari semua himpunan terbuka dikatakan memiliki tipe G. Jadi, suatu himpunan

dikatakan memiliki tipe G jika himpunan tersebut merupakan irisan terhitung dari semua himpunanterbuka.

Jadi, komplemen dari himpunan yang memiliki tipe F adalah himpunan yang memiliki tipe Gdan demikian juga sebaliknya. Sebab,

( )1 1 1

1

.

.

c c

c

n n n

n n n

c

n

n

F F F F F F

F

= = =

=

= = =

=

Karena Fn tertutup untuk setiap Fn di maka menurut proposisi, Fnc terbuka. Terlihat (F)

c

merupakan irisan terhitung dari himpunan-himpunan terbuka. Jadi terbukti bahwa (F)c memiliki tipe

G. Bukti sebaliknya analog.

Himpunan yang memiliki tipe F dan G adalah contoh himpunan Borel, yaitu aljabar- terkecilyang memuat semua himpunan terbuka dan tertutup.