8 teknik pengintegralan - handout

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 21

Topik Bahasan

1 Pendahuluan

2 Manipulasi Integran

3 Integral Parsial

4 Dekomposisi Pecahan Parsial

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 21

Pendahuluan

Manfaat Teknik Pengintegralan

Teknik-teknik pengintegralan memungkinkan kita:

menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar,

menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris,

menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan,memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu,

memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkanserangga jantan yang mandul,

dsb.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 21

Pendahuluan

Teknik Integral

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 21

Pendahuluan

Ringkasan Formula Integral Taktentu

1.∫

xndx = xn+1/ (n+ 1) + C, n 6= −1

2.∫

sin x dx = − cos x+ C

3.∫

cos x dx = sin x+ C

4.∫

sec2 x dx = tan x+ C

5.∫

csc2 x dx = − cot x+ C

6.∫

sec x tan x dx = sec x+ C

7.∫

csc x cot x dx = − csc x+ C

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 21

Pendahuluan

8.∫

tan x dx = − ln |cos x|+ C

9.∫

cot x dx = ln |sin x|+ C

10.∫ 1

xdx = ln |x|+ C

11.∫

exdx = ex + C

12.∫

axdx =ax

ln a+ C, a > 0, a 6= 1

13.∫ 1√

a2 − x2= sin−1

(xa

)+ C

14.∫ 1

a2 + x2 =1a

tan−1(x

a

)+ C

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 21

Manipulasi Integran

Manipulasi Integran

Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelumdapat menggunakan teknik integral tertentu.

Beberapa teknik manipulasi aljabar:

Melengkapi kuadratMenambahkan "0"Mengalikan "1"Substitusi merasionalkan

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 21

Manipulasi Integran

Contoh (Manipulasi Integran)

Tentukan integral berikut:

1 Melengkapi kuadrat:∫ 1

x2 + 2x+ 2dx

2 Menambah "0":∫ 1

1+ ex dx

3 Mengalikan "1":∫ 1

1− cos xdx

4 Substitusi merasionalkan:∫ 1

x−√

xdx

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 21

Manipulasi Integran

Substitusi Merasionalkan

Integran yang melibatkan bentuk akar

n√

ax+ b

seringkali dapat dibuat menjadi bentuk rasional dengan mengambilsubstitusi

u = n√

ax+ b, atau

un = ax+ b, sehingga

nun−1du = a dx (1)

Contoh

Tentukan∫ 9

4

1x−√

xdx

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 21

Manipulasi Integran

Soal (Manipulasi Integran)

Lakukan manipulasi aljabar terhadap integran untuk menentukan integralberikut:

1

∫ √1+ x1− x

dx, jawab: sin−1x−√

1− x2 + C

2

∫ 1

0

1x+ 3√

xdx, jawab: 1

2 ln 8

3

∫ 2x+ 1x2 + 2x+ 5

dx, jawab: ln(x2 + 2x+ 5

)− 1

2 tan−1 ( x+12

)+ C

4

∫ 1

1/2

1√2x− x2

dx, jawab: 16 π

5

∫ 1x10 − x

dx, jawab: 19 ln

∣∣1− 1x9

∣∣+ C

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 21

Integral Parsial

Integral ParsialKapan Integral Parsial Digunakan?

Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik substitusi ganda.

Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsitransenden (logaritma, eksponen, trigonometri beserta inversnya)

Fungsi transenden tertentu (tunggal, komposisi)Contoh:

∫ln x dx,

∫sin−1 x dx,

∫cos (ln x) dx

Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsitransenden)Contoh:

∫xex dx,

∫x2 sin x dx,

∫ex cos x dx

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 21

Integral Parsial

Teknik Pengintegralan Parsial

ddx[f (x) g (x)] = f (x) g′ (x) + g (x) f ′ (x)

∫f (x) g′ (x) dx+

∫g (x) f ′ (x) dx = f (x) g (x)

∫f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x)−

∫g (x) f ′ (x) dx (2)

Ambil u = f (x)⇒ du = f ′ (x) dx, dv = g′ (x) dx⇒ v = g (x) .Akibatnya, (2) menjadi ∫

u dv = uv−∫

v du (3)

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 21

Integral Parsial

Penentuan u dan dv

∫u dv = u v−

∫v du

dv mudah diintegralkan (menjadi v),∫v du lebih mudah dibandingkan

∫u dv.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 21

Integral Parsial

Contoh (Integral Parsial)

Tentukan:

1∫ 2

1 ln x dx (hanya ada 1 alternatif u, dv)Jawab:

∫ln x dx = x ln x− x+ C⇒

∫ 21 ln x dx = 2 ln 2− 1.

2∫

x2ex dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat)Jawab: ex (x2 − 2x+ 2

)+ C

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 21

Integral Parsial

Soal (Integral Parsial)

Hitung integral (1− 3)

1∫

sin−1 x dx, jawab: x sin−1 x+√

1− x2 + C2∫

ex cos x dx, jawab: 12 ex (cos x+ sin x) + C)

3∫

e√

xdx, ambil u =√

x, lalu gunakan integral parsial4 Carilah kesalahan dalam pembuktian berikut, bahwa 0 = 1."Pada

∫(1/t) dt ambil u = 1/t dan dv = dt sehingga

du = −1/t2dt, v = t. Akibatnya,∫(1/t) dt = 1+

∫(1/t) dt atau

0 = 1."5 Andaikan Gn =

n√(n+ 1) (n+ 2) · · · (n+ n), perlihatkan bahwa

limn→∞ (Gn/n) = 4/e. Petunjuk: Tinjau ln (Gn/n) , kenali sebagaisuatu jumlah Riemann, dan gunakan hasil Contoh 1.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 21

Dekomposisi Pecahan Parsial

Dekomposisi Pecahan Parsial

Masalah: pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsipolinom) sejati: ∫

r (x) dx =∫ p (x)

q (x)dx

dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < derajat q (x) .Bila derajat p (x) ≥ derajat q (x), lakukan pembagian sehinggadiperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati.

Metode pengintegralan: Dekomposisi Pecahan Parsial dengan caramenguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x)menjadi jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 21

Dekomposisi Pecahan Parsial

Metode Dekomposisi Pecahan Parsial

∫ p (x)q (x)

dx

Kasus 1: q (x) berupa hasil kali faktor linear yang berbeda,q (x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2) . . . (akx+ bk),

∫ p (x)q (x)

dx =∫ A1

(a1x+ b1)dx+

∫ A2

(a2x+ b2)dx+ · · ·+

∫ Ak

(akx+ bk)dx

Contoh∫ dxx2 − 4

=∫ dx(x− 2) (x+ 2)

=∫ A

x− 2dx+

∫ Bx+ 2

dx

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 21

Dekomposisi Pecahan Parsial

∫ p (x)q (x)

dx

Kasus 2: q (x) berisi hasil kali faktor linear yang berulang,q (x) = (ax+ b)r,

∫ p (x)q (x)

dx =∫ A1

ax+ bdx+

∫ A2

(ax+ b)2dx+ · · ·+

∫ Ar

(ax+ b)rdx

Contoh∫ 5x2 + 3x− 2(x+ 2) x2 dx =

∫ Ax+ 2

dx+∫ B

xdx+

∫ Cx2 dx

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 21

Dekomposisi Pecahan Parsial

∫ p (x)q (x)

dx

Kasus 3: q (x) berisi faktor kuadratik yang tak teruraikan,q (x) = ax2 + bx+ c dengan b2 − 4ac < 0,

∫ p (x)q (x)

dx =∫ Ax+ B

ax2 + bx+ cdx

Contoh∫ −2x+ 4

(x2 + 1) (x− 1)2dx =

∫ Ax+ Bx2 + 1

dx+∫ C

x− 1dx+

∫ D(x− 1)2

dx

Jawab koefisien: A = 2, B = 1, C = −2, D = 1.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 21

Dekomposisi Pecahan Parsial

Soal (Integral Terkait Dekomposisi Pecahan Parsial)

Hitung integral berikut

1

∫ 3x2 + 3x

dx, jawab: ln∣∣ x

x+3

∣∣+ C

2

∫ x2 + x− 1

x (x− 1)2dx, jawab: − ln x+ 2 ln (x− 1)− 1

x−1 + C

3

∫ x4

x4 − 1dx, jawab: x+ 1

4 ln∣∣ x−1

x+1

∣∣− 12 tan−1 x+ C

4

∫ 16

9

√x

x− 4dx, jawab: 2+ ln 25

9

5

∫ cos xsin2 x+ sin x

dx, jawab: ln∣∣ sin x

sin x+1

∣∣+ C

6

∫ 1ex − e−x dx, jawab: 1

2 ln(|ex−1|ex+1

)+ C

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 21

Dekomposisi Pecahan Parsial

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 21