4 matematika 3 transformasi linier_3

Matematika Lanjut 1

Vektor

Matriks dan Determinan

Matriks Invers

Sistem Persamaan Linier

1

Sistem Persamaan Linier

Transformasi Linier

Bidang Datar dan Garis Lurus

Dr. D. L. Crispina Pardede, Dra., DEA.

ReferensiReferensi

[1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S.,

Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia-

Indonesia, Jakarta, 1995.

[2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan [2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan

Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma,

Jakarta, 1991.

[3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of

Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)2

TRANSFORMASI LINIERTRANSFORMASI LINIER

1. Pengertian Transformasi

2. Transformasi Vektor Linier

3. Matriks dan Transformasi 3. Matriks dan Transformasi

Vektor Linier

4. Produk Transformasi

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)3

TRANSFORMASITRANSFORMASI

Misalkan A, B masing-masing ruang vektor atas field.

A B

X1

X2

Y1

f

Fungsi f merupakan transformasi

(pemetaan/mapping) dari A (Rn) ke B (Rn).

A disebut Domain dan B disebut Codomain

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

X2

X3Y2

4

TransformasiTransformasi … … ContohContoh

1. Diketahui transformasi T : R3 � R3 dengan rumus transformasi

T[x1, x2, x3] = [ 2x1 - x2, x2 + x3, x32 ]

untuk setiap [x , x , x ] ∈ R3.untuk setiap [x1, x2, x3] ∈ R3.

Vektor u = [2, 1, -1] akan ditransformasikan

oleh T .

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)5

TransformasiTransformasi … … ContohContoh

T[x1, x2, x3] = [ 2x1 - x2, x2 + x3, x32 ]

T[2, 1, -1] = …?

x1 = 2 , x2 = 1 , x3 = -1

T[2, 1, -1] = [ 2.2 – 1 , 1+(-1) , (-1)2 ]

= [ 3 , 0 , 1 ]

Vektor [3, 0, 1] disebut peta dari vektor [2, 1, -1] .

Vektor [2, 1, -1] disebut prapeta dari vektor [3, 0, 1]

.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)6

TransformasiTransformasi … … ContohContoh

2. Diketahui transformasi T : R2 � R1 dengan rumus transformasi T[x1, x2] = [ x1 + x2 ]

untuk setiap [x1, x2] ∈ R2.Tentukan hasil transformasi dari vektor [1, 2] dan

[3, -1].

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)7

TransformasiTransformasi … … ContohContoh

3. Diketahui transformasi T : R2 � R3 dengan rumus transformasi T[x1, x2] = [ x1, x1 + x2 , x2]

untuk setiap [x1, x2] ∈ R2. Tentukan hasil transformasi dari vektor [1, 2] dan [3, -1].

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)8

TRANSFORMASI LINIERTRANSFORMASI LINIER

Transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W,

T: V �W disebut Transformasi Linier bila dipenuhi:

i). ∀ v1, v2 ∈ V berlaku T(v1 + v2) = T(v1)+ T(v2)i). ∀ v1, v2 ∈ V berlaku T(v1 + v2) = T(v1)+ T(v2)

ii). ∀ v ∈ V dan k skalar berlaku T(k(v)) = k T(v).

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)9

1. Misalkan T[x1, x2] = [x1 + x2 , x1]

Misalkan pula v1 = [a, b] ; v2= [c, d]

v1 + v2 = [ a+c , b+d ]

� T(v1 + v2) = T [ a+c , b+d ]

= [a+c+b+d, a+c]

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

= [a+c+b+d, a+c]

= [a+b+c+d, a+c]

T(v1 + v2) = [a+b+c+d, a+c]

10

Misalkan T[x1, x2] = [x1 + x2 , x1]

Misalkan pula v1 = [a, b] ; v2= [c, d]

T(v1) = T[a, b] = [a+b, a]

T(v2) = T[c, d] = [c+d, c]

T(v )+ T(v ) = [a+b, a] + [c+d, c]

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

T(v1)+ T(v2) = [a+b, a] + [c+d, c]

= [a+b+c+d, a+c]

T(v1)+ T(v2) = [a+b+c+d, a+c]

T(v1 + v2) = [a+b+c+d, a+c]

∴∴∴∴ T(v1 + v2) = T(v1)+ T(v2).11

2. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2]

Misalkan pula

v1 = [a, b] ; v2= [c, d]

Selidiki apakah T(v1 + v2) = T(v1) +T(v2)

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Selidiki apakah T(v1 + v2) = T(v1) +T(v2)

12

2. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2]

Misalkan pula v1 = [a, b] ; v2= [c, d]

v1 + v2 = [ a+c , b+d ]

� T(v1 + v2) = [(a+c)2 , b+d] = [ a2 +2ac+c2 , b+d ]

T(v1 + v2) = [a2 +2ac+c2 , b+d ]

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

T(v1 + v2) = [a +2ac+c , b+d ]

� T(v1) = [a2, b] T(v2) = [c

2, d]

T(v1)+ T(v2) = [a2, b] + [c2, d] = [a2 + c2 , b+d ]

T(v1)+ T(v2) = [ a2 + c2 , b+d ]

∴ T(v1 + v2) ≠≠≠≠ T(v1)+ T(v2).

13

3. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2]

Misalkan pula

v = [a, b] , k : sebuah skalar.

Akan diperiksa apakah

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

T(k(v)) = k T(v).

14

Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2]

v = [a, b] , k : sebuah skalar.

k(v) = [ ka, kb ]

T(k(v)) = [ (ka)2, kb ] = [ k2 a2, kb ]

T(k(v)) = [ k2 a2, kb ]

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

T(k(v)) = [ k2 a2, kb ]

T(v) = [ a2 , b ]

k T(v) = k [ a2 , b ] = [ ka2 , kb ]

k T(v) = [ ka2 , kb ]

∴∴∴∴ T(k(v)) ≠≠≠≠ k T(v).

15

4. Buktikan bahwa transformasi T adalah

transformasi linier.

T[x1, x2] = [x2, x1].

Bukti:

Untuk sembarang u , v akan ditunjukkan

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Untuk sembarang u , v akan ditunjukkan

bahwa

i). T(u + v) = T(u) + T(v)

ii). T(ku) = k T(u)

16

Bukti:

Misalkan u = [a, b] dan v = [c, d] � (u + v) = [a+c, b+d]

� T[a+c, b+d] = [b+d, a+c]

= [b, a]+[d, c]

= T[a, b] + T[c, d]

� T(u + v) = T(u) + T(v)

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

� T(k [a, b]) = T[ka, kb] = [kb, ka]

= k [b, a]

= k T[a, b]

� T(ku) = k T(u)

∴ Terbukti bahwa T[x1, x2] = [x2, x1] transformasi linier.

17

Transformasi LinierTransformasi Linier … … ContohContoh

Misalkan dan .

Peta dari x1 adalah .

linier. nsformasiadalah tra x 43

21y siTransforma

=

=

2

3x1

−=

1

2x2

=

=

17

7

2

3

43

21y1

5.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

Peta dari x2 adalah

Peta dari (x1 + x2) adalah

Peta dari adalah

17243

=

−

=

2

0

1

2

43

21y2

21 y y19

7

1

5

43

21y +=

=

=

=

=

6

9

2

33x 3 1 13 y 3

51

21

6

9

43

21y =

=

=

18

TransformasiTransformasi … … LatihanLatihan

Selidiki apakah transformasi berikut merupakan

transformasi linier:

1. T: R3 � R3 , T[x, y, z] = [x, y, 0]

2. T: R2 � R2 , T[x, y] = [x+1, y+2]

3. T: R2 � R , T[x, y] = xy3. T: R � R , T[x, y] = xy

4. T: R2 � R2 , T[x, y] = [x, y+1]

5. T: R3 � R2 , T[x, y, z] = [x+1, y+z]

6. T: R � R2 , T(x) = [2x, 3x].

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)19

TRANSFORMASI & MATRIKSTRANSFORMASI & MATRIKS

Pandang T: Rn � Rm suatu transformasi linier. {ei}, i = 1, 2, …, n, basis natural dari Rn.

{εi}, i = 1, 2, …, m, basis natural dari Rm.T(e1), T(e2), …, T(en) adalah vektor-vektor di R

m yang merupakan

kombinasi linier dari {εi} .

Misalkan: T(e1) = a11 ε1 + a21 ε2 + … + am1 εm.

T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm.T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm.:

T(en) = a1n ε1 + a2n ε2 + … + amn εm.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

=

m

2

1

mnn2n1

2m2212

1m2111

m

2

1

a...aa

a...aa

a...aa

)T(e

)T(e

)T(e

ε

ε

ε

MMMMM

20

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks

Transpose dari matriks koefisien di atas disebut matriks

=

m

2

1

mn2m1m

2m2212

1m2111

m

2

1

a...aa

a...aa

a...aa

)T(e

)T(e

)T(e

ε

ε

ε

MMMMM

Matriks Koefisien

Transpose dari matriks koefisien di atas disebut matriks

representasi dari transformasi linier T, atau disebut juga

matriks transformasi dari T, relatif terhadap basis natural

{ei} dan {εi}.

�Matriks Transformasi

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

a...aa

a...aa

a...aa

mn2m1m

n22221

n11211

MMM

21

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

1. Diketahui transformasi T: R3 � R3, dimana

T[x1, x2, x3] = [ x1 , 2x2 , x1 + x3 ].

Tentukan matriks transformasi T dan peta

dari [2, 6, 3].dari [2, 6, 3].

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)22

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

1. Jawab: T[x1, x2, x3] = [ x1 , 2x2 , x1 + x3 ].

T(e1) = T[1, 0, 0] = [1, 0, 1] = 1 e1 + 0 e2 + 1 e3.

T(e2) = T[0, 1, 0] = [0, 2, 0] = 0 e1 + 2 e2 + 0 e3.

T(e3) = T[0, 0, 1] = [0, 0, 1] = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3.

101

T[2, 6, 3] = ……

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

100

020

101

koefisien Matriks

=

101

020

001

siTransforma Matriks

=∴

23

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

T[2, 6, 3] = ……

∴ T[2, 6, 3] = [2, 12, 5]

=

=

5

12

2

3

6

2

101

020

001

3] 6, [2,T

2. Diketahui T: R2 � R2 dimana T[2, 1] = [5, -2]

T[-1, 1] = [-1, 1]

Tentukan rumus transformasinya.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)24

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

2. Jawab:

T[2, 1] = 2 T[1, 0] + 1 T[0, 1]

T[-1, 1] = -1 T[1, 0] + 1 T[0, 1]

2 T[1, 0] + 1 T[0, 1] = [5, -2] …(1)

-1 T[1, 0] + 1 T[0, 1] = [-1, 1] …(2)

Dari (1) & (2) diperoleh Dari (1) & (2) diperoleh

3 T[1, 0] = [6, -3]

T[1, 0] = [2, -1]

T[0, 1] = [1, 0]

Matriks transformasi :

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

− 01

12

25

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

2. Matriks transformasi :

Mencari rumus transformasi:

− 01

12

−

+=

−=

2111 xx2x

12x

T

∴ T[x1, x2] = [ 2x1 + x2 , -x1 ]

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

−

=

−

=

122 xx

01x

T

26

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

3. Carilah matriks transformasi linier T di R2, dimana

T[x1, x2] = [ 2x2 , 3x1 – x2 ].

relatif terhadap basis natural {e1 , e2}.

Jawab: Langkah pertama adalah transformasikan

vektor-vektor basis natural tersebut.

T(e1) = T[1, 0] =

T(e2) = T[0, 1] =

Bentuk matriks transformasinya:

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)27

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

4. Carilah matriks transformasi linier T di R2,

dimana

T[x1, x2] = [ 3x1 - 4x2 , x1 + 5x2 ].

relatif terhadap basis natural {e1 , e2}.

Jawab: …….Jawab: …….

………

……………

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)28

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

5. Cari vektor x yang dipetakan pada vektor

y = [5, 3] oleh transformasi

Misalkan x = [a, b].

x 43

21y

=

=

a

215

Misalkan x = [a, b].

Selesaikan sebagai SPL.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

=

b

a

43

21

3

5

29

TransformasiTransformasi … … LatihanLatihan

Berikan matriks dari transformasi

berikut:

1. T: R3 � R3 , T[x, y, z] = [x, y, 0]

2. T: R2 � R2 , T[x, y] = [x+1, y+2]

3. T: R2 � R , T[x, y] = xy

4. T: R2 � R2 , T[x, y] = [x, y+1]

5. T: R3 � R2 , T[x, y, z] = [x+1, y+z]

6. T: R � R2 , T(x) = [2x, 3x].

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)30

PRODUK TRANSFORMASIPRODUK TRANSFORMASI

Pandang 2 buah transformasi S dan T dimana

S: Vn �Wr dan T: Wr � Um , dengan A matriks transformasi S dan

B matriks transformasi T .

∈ ∈S T

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

v∈Vn w∈Wr u∈UmS T

TS

TS merupakan produk transformasi.

Matriks transformasi dari TS adalah BA

31

Produk TransformasiProduk Transformasi … … Contoh Contoh

Diketahui:

T: R3 � R3 dimana

T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan

S: R3 � R3 dimana S: R � R dimana

S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + z]

Tentukan produk transformasi ST, matriks

transformasinya dan peta dari vektor [1, 0, 2].

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)32

Produk TransformasiProduk Transformasi … … Contoh Contoh

Jawab:

T: R3 � R3 dimana T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan

S: R3 � R3 dimana S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + 2z]

Produk transformasi ST :

ST[x, y, z] =

= S(T[x, y, z]) = S(T[x, y, z])

= S([2y + z, 3x + y + z, y])

= [2(2y+z)+(3x+y+z)+(y),(2y + z)+(y) , 2(2y+z)+(3x+y+z)+2(y) ]

= [ 3x + 6y +3z , 3y + z , 3x + 7y + 3z ]

∴ ST = [ 3x + 6y +3z , 3y + z , 3x + 7y + 3z ]

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)33

Produk TransformasiProduk Transformasi … … Contoh Contoh

Jawab:

T: R3 � R3 dimana T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan

S: R3 � R3 dimana S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + 2z]

Misalkan A matriks transformasi S dan B dari T.

= 113

120

A

= 101

112

B

Matriks transformasi dari ST adalah matriks BA:

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

=

010

113A

=

212

101B

=

=

373

130

363

010

113

120

212

101

112

BA

34

Produk TransformasiProduk Transformasi … … Contoh Contoh

Jawab:

T: R3 � R3 dimana T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan

S: R3 � R3 dimana S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + 2z]

Peta dari vektor [1, 0, 2].

913631

Peta dari [1, 0, 2] adalah [9, 2, 9].

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

=

=

9

2

2

0

373

130

2

0)BA(

35

Produk TransformasiProduk Transformasi … … LatihanLatihan

Diketahui: Transformasi linier

T1[x1, x2, x3] = [ 2x1+3x2+x3, 5x1+x3, x2+x3 ]

dan

T2[x1, x2, x3] = [ x1 , x2+x3 , x1 ]

Tentukan:

1. Matriks transformasi dari T1 dan T22. Produk transformasi T2T1 dan matriksnya.

3. Peta dari vektor [1, 1, 0].

Jelaskan jawaban Anda.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)36

TRANSFORMASI INVERSTRANSFORMASI INVERS

Misalkan T suatu transformasi linier di Rn.

Misalkan pula A adalah matriks transformasi T, dimana

rank(A) = n.

Jika rank(A)= n, maka setiap vektor di Rn menjadi peta dan

setiap dua vektor berbeda memiliki peta yang berbeda.setiap dua vektor berbeda memiliki peta yang berbeda.

Jika x ∈ Rn, maka petanya adalah y = Ax …(1)Pandang transformasi linier U dengan matriks transformasi B

berordo n, sedemikian hingga x = By …(2)

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)37

Transformasi InversTransformasi Invers

(2) Untuk x sembarang, x = By

x = BAx � BA = Idimana I adalah matriks transformasi identitas

(1) Untuk y sembarang, y = Ax

y = ABy � AB = Iy = ABy � AB = Idimana I adalah transformasi identitas

A adalah matriks transformasi dari T,

B adalah matriks invers dari A,

B adalah matriks transformasi dari U,

maka U disebut transformasi invers dari transformasi T,

ditulis T-1 = U, dan sebaliknya.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)38

Transformasi InversTransformasi Invers

� Matriks dari invers sebuah transformasi T

diperoleh dengan mencari invers dari matriks

transformasi T tsb.

� Transformasi T di Rn memiliki invers, jika rank � Transformasi T di R memiliki invers, jika rank

matriks transformasinya sama dengan n.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)39

Transformasi InversTransformasi Invers … … LatihanLatihan

1. Diketahui T : R3 � R3, dimanaT[x1, x2, x3] = [ 2x1 , 4x1 – x2 , 2x1 + 3x2 - x3 ]

a. Tunjukkan bahwa transformasi T memiliki invers.

b. Berikan rumus dari transformasi invers tersebut.

(Rumus dari T-1).

2. Vektor y = [2, 0, 1] adalah peta dari vektor x melalui 2. Vektor y = [2, 0, 1] adalah peta dari vektor x melalui

suatu transormasi y = Ax. Tentukan vektor x

tersebut bila diketahui

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

−=

010

101

101

A

40