13_a l_hopital rule dan bentuk tak tentu_3 [compatibility mode]
Post on 24-Sep-2015
226 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
11/4/2014
1
Dua bahasan penting:1) Dalil LHpital untuk mencari
solusi limit bentuk Tak-Tentu2) Integral tak wajar
Dalil LHpital dan Bentuk Tak-Tentu
-
11/4/2014
2
Guillaume De l'Hpital1661 - 1704
LHpitals Rule(Dalil L Hpital)
Sebenarnya, dalil LHpitals dikembangkan oleh gurunya yang bernama Johann Bernoulli. Bernoulli merupakan guru privat De lHpital, dia kemudian mempublikasikan buku Calculus pertama berdasarkan hasil privatnya tersebut.
Johann Bernoulli1667 - 1748
Dalil LHpitals
-
11/4/2014
3
Nol dibagi nol tidak dapat dievaluasi, ini adalah contoh bentuk tak-tentu.
2
2
4lim2x
xxMisalkan:
Jika kita gunakan subtitusi langsung, didapat:00
Pada kasus ini kita dapat menyelesaikan dengan faktorisasi:
2
2
4lim2x
xx
2
2 2lim
2xx x
x 2lim 2x x 4
Jika kita zoom in cukup besar, kurvanya akan kelihatan seperti garis lurus.
2
2
4lim2x
xx
Limit diatas merupakan rasio pembilang dibagi penyebutketika x mendekati 2.
-5
-4
-3
-2
-10
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3x
2 4x
2x -0.05
0
0.05
1.95 2 2.05x
limx a
f xg x
-
11/4/2014
4
2
2
4lim2x
xx
limx a
f xg x
-0.05
0
0.05
1.95 2 2.05x
f x
g x
f xg x
Ketika 2x
menjadi:
2
2
4lim2x
xx
limx a
f xg x
-0.05
0
0.05
1.95 2 2.05x
Ketika 2x
f xg x
menjadi:
df
dg
dfdg
dx
'( )'( )
f xdxg xd
dxg
df
-
11/4/2014
5
2
2
4lim2x
xx
limx a
f xg x
2
2
4lim
2x
d xdxd xdx
22lim1xx
4
Dalil LHpitals:
Jika tak-tentu, maka: limx a
f xg x
lim limx a x a
f x f xg x g x
Kita dapat menunjukkan kebenaran dalil LHpitals dengan proses mundur dan menggunakan definisi turunan:
f ag a
lim
lim
x a
x a
f x f ax a
g x g ax a
limx a
f x f ax a
g x g ax a
limx a
f x f ag x g a
0lim
0x af xg x
limx a
f xg x
Dalil LHopital dapat diterapkanberkali-kali sampai didapat bentuk
limit yang tentu
-
11/4/2014
6
Contoh:
20
1 coslimx
xx x 0
sinlim1 2x
xx
0Sudah bukan bentuk tak-tentu lagi, maka STOP!
Jika kita meneruskan dalil LHpitals lagi maka:
0
sinlim1 2x
xx
0coslim
2xx
12
Ini adalah salah, salah, salah!
Dengan kata lain, anda dapat mengaplikasikan dalil LHpitals berkali-kali selama bentuk pembagiannya masih tak-tentu:
20
1 12lim
x
xx
x
120
1 112 2lim
2x
x
x
00
00
00
bukan
1220
11 12lim
x
x x
x
320
1 14lim
2x
x
14
2
18
(tulis dalam bentuk exponential)
-
11/4/2014
7
LHpitals dapat digunakan untuk mengevaluasi bentuk
tak-tentu lainnya selain .0 0
Bentuk-bentuk berikut juga merupakan bentuk tak tentu:
0 1
00 0Bentuk, , dapat dievaluasi seperti bentuk
00
Bentuk lainnya harus dirubah ke bentuk pembagian terlebih dahulu.
1lim sinx
xx
Ini bentuk00
1sinlim 1x
x
x
Ini bentuk 0
Kita sudah tahu bahwa0
sinlim 1x
xx
Kita juga dapat menggunakan dalil LHpitals:
2
2
1 1coslim 1x
x x
x
1sinlim 1x
x
x
1lim cosx x
cos 0 1
-
11/4/2014
8
1
1 1limln 1x x x
Rubah ke bentuk pembagian, didapat:
11 lnlim1 lnx
x xx x
Sekarang menjadi bentuk00
Ini bentuk tak-tentu
1
11lim 1 lnx
xx xx
Dalil LHpitals diaplikasikan sekali.
00
Sederhanakan. Masih
1
1lim1 lnxx
x x x
11 lnlim1 lnx
x xx x
1
11lim 1 lnx
xx xx
1
1lim1 1 lnx x LHpital lagi.
12
1
1lim1 lnxx
x x x
LANJUTAN
-
11/4/2014
9
Bentuk tak tentu: 1 00 0Dalam mengevaluasi bentuk-bentuk ini memerlukan trik matematik untuk merubah ke bentuk pembagian.
ln lnnu n u ln1u
n
Kita rubah ke bentuk pembagian agar bisa diaplikasikan dalil LHpitals.
limx a
f x ln limx a f xe lim lnx a f xe
Kita bisa mengambil log suatu fungsi sepanjang kita exponential kan secara bersamaan.
Taruh notasi limit diluar log.
Bentuk tak tentu: 1 00 0
1/lim xx
x
1/lim ln xx
xe
1lim lnx
xxe
lnlimx
xxe
1 lim
1xx
e
0e
1
0
GunakanLHpital
Example:
-
11/4/2014
10
2
23
9a) lim6x
xx x
LATIHAN
Hitunglah limit berikut
2
22
3 10b) lim4 4x
x xx x
0tan 2c) lim
ln 1xxx
2tan ' secy x y x
30
sind) limx
x xx
20
1 cose) lim3xx
x x
1f) limx
x
ex
lim xx
xe
lna) lim 0 b) lim 0a
x ax a x a
x xe x
LATIHAN
1) Perlihatkan bahwa untuk a sebarang bilangan riil maka
2) Hitung limit berikut
cot10
1a) lim 1 b) lim1 ln
x
xx
xxx x
cos cot02
c) lim tan d) lim sinx xxx
x x 1tan secx x
top related