12. peluang

KOMBINASI DAN PELUANG MATEMATIKA

PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

Alhamdulillah saya ucapkan syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunianya akhirnya tugas ini selesai. Terima kasih kepada Dosen mataKuliah Kapita Selekta SMA ( Drs. H. Zaenal Saeful) beserta asisten.

Alhamdulillah saya ucapkan syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunianya akhirnya tugas ini selesai. Terima kasih kepada Dosen mataKuliah Kapita Selekta SMA ( Drs. H. Zaenal Saeful) beserta asisten.

Alhamdulillah saya ucapkan syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunianya akhirnya tugas ini selesai. Terima kasih kepada Dosen mataKuliah Kapita Selekta SMA ( Drs. H. Zaenal Saeful) beserta asisten.

Alhamdulillah saya ucapkan syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunianya akhirnya tugas ini selesai. Terima kasih kepada Dosen mataKuliah Kapita Selekta SMA ( Drs. H. Zaenal Saeful) beserta asisten.

Alhamdulillah saya ucapkan syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunianya akhirnya tugas ini selesai. Terima kasih kepada Dosen mataKuliah Kapita Selekta SMA ( Drs. H. Zaenal Saeful) beserta asisten.

KombinasiPeluang Suatu KejadianPeluang Kejadian Majemuk

)!(!

!

rnr

n

nCr =Rumus:

Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda)adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r ≤ n)

Contoh:

Terdapat suatu kumpulan : apel,jeruk,mangga,pisang.

Tentukan kombinasi 3 dari himpunan buah-buahan tersebut !

Solusi

n = 4; r = 3 4)1(6

24

)!34(!3

!44

3

C

Urutan yang mungkin adalah:• Apel, jeruk, dan mangga.• Apel, mangga, dan pisang.• Apel, pisang, dan jeruk.• Jeruk, mangga, dan pisang.

4x3x2x1

3x2x1(1)

= 4

Ruang Sampel

Ruang contoh atau ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil

yang mungkin pada sebuah percobaan dan biasanya

dilambangkan dengan huruf S

Titik Sampel

Titik contoh atau titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang contoh

atau ruang sampel

Kejadian

Kejadian atau peristiwa merupakanhimpunan bagian dari ruang sampel

Kejadian sederhana

suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik contoh

Kejadian majemuk

suatu kejadian yang mempunyai titik contoh lebih dari satu

Ruang Sampel dan Kejadian

Perhatikan sekeping mata uang logam dengan sisi-sisitilisan dan GAMBAR

Sisi Tulisan (T) Sisi Gambar (G)

Maka :Ruang Sampel (S) = { T , G } Titik Sampel = T dan G, maka n(S) = 2Kejadian = 1. Kejadian muncul sisi Tulisan

2. Kejadian muncul sisi Gambar

Maka :Ruang Sampel (S) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Titik Sampel = 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, maka n(S) = 6Kejadian Sederhana = Kejadian muncul sisi Angka 1

Kejadian muncul sisi Angka 6Kejadian Majemuk = - Kejadian munculnya mata dadu lebih dari 2 tetapi

kurang dari 5 yaitu {3,4} - Kejadian munculnya mata dadu genap yaitu {2,4,6}

Kemungkinan Muncul : Angka 1 Angka 2 Angka 3 Angka 4 Angka 5 Angka 6

Bila banyak kejadian yang diharapkan muncul dinotasikandengan n(A), dan banyaknyakejadian yang mungkin muncul(ruang sampel = S) dinotasikandengan n(S) makaPeluang kejadian A ditulis

P(A) = n(A)

n(S)

14

Contoh 1Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadianmuncul bilangan genap!

Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangangenap, maka: A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

Jadi P(A) = = =6

3

)(

)(

Sn

An

2

1

15

Contoh 2Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dangambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koinsisi gambar dan dadu mata ganjil ?

Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata

dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian

munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah

16

Komplemen Kejadian

• Nilai suatu peluang antara 0 sampai

dengan 1 0 ≤ p(A) ≤ 1

• P(A) = 0 kejadian yang tidak

mungkin terjadi

• P(A) = 1 kejadian yang pasti

terjadi

• P(A’) = 1 – P(A)

A’ adalah komplemen A

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah

suatu kejadian dimana A tidak terjadi maka :P(A)+P(A’)= 1

18

ContohSepasang suami istri mengikutikeluarga berencana. Merekaberharap mempunyai dua anak. Peluang paling sedikit mempunyaiseorang anak laki-laki adalah …

19

Penyelesaian:• kemungkinan pasangan anak yang

akan dimiliki: keduanya laki-laki,

keduanya perempuan atau 1 laki-

laki dan 1 perempuan n(S) = 3

• Peluang paling sedikit 1 laki-laki

adalah 1 – peluang semua

perempuan

= 1 – = 1- 3

1

)(

),(

Sn

ppn

3

2

Peluang Kejadian Majemuk : Duaatau lebih kejadian yang

dioperasikan sehingga membentukkejadian baru

Peluang Gabungan Dua Kejadian

Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka peluang kejadian A atau B adalah

P(A U B)=P(A)+P(B)

Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling lepas maka

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Contoh Peluang Kejadian yang Saling Lepas

Sebuah dadu bersisi enam dilempar satu kali. Berapa peluang kejadian

munculnya mata dadu angka < 3 atau mata dadu angka ≥ 4 ?

22

23

Jawab :

Misalkan,

A adalah kejadian munculnya mata dadu angka < 3, maka A =

1,2 𝑑𝑎𝑛 𝑛 𝐴 = 2B adalah kejadian munculnya mata dadu angka ≥ 4, maka B =

4,5,6 𝑑𝑎𝑛 𝑛 𝐵 = 3

𝑃 𝐴 =𝑛 𝐴

𝑛 𝑆=2

6

𝑃 𝐵 =𝑛 𝐵

𝑛 𝑆=3

6

Karena A = 1,2 dan B = 4,5,6 tidak mempunyai anggota yang

sama, maka A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas,

sehingga

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 =2

6+3

6=5

6Jadi, peluang kejadian munculnya mata dadu angka < 3

atau mata dadu angka ≥4 adalah 5

6.

Contoh

Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan

komposit dan B adalah kejadianmuncul bilangan genap. Carilah

peluang kejadian A atau B!

PenyelesaianS={1,2,3,4,5,6}, maka n (S)= 6

3

1

6

2A={4,6}, n(A)=2, maka P (A)=

2

1

6

3B={2,4,6}, n(B)=3, maka P (B)=

2

1

3

1

2

1

3

1

)()()()( BAPBPAPBAP

,2)(},6,4{ BAnBA3

1

6

2)( BAPmaka

Kejadian Bersyarat

Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian

bersyarat Jika munculnyaA mempengaruhi peluangmunculnya kejadian B atau

sebaliknya

Rumus•Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B

terjadi lebih dulu P(A│B)

•Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A

terjadi lebih dulu P(B│A)

P(A B)

P(B), P(B) ≠ 0

P(A B)

P(A), P(A) ≠ 0

ContohDua buah dadu bersisi enam dilempar secara bersamaan

sebanyak satu kali. Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1

untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih

dulu !

Penyelesaian

Misalkan:

A adalah kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua,

B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4,

...

Dua kejadian A dan B saling bebas, jikamunculnya kejadian A tidak

mempengaruhi peluang munculnyakejadian B. Untuk A dan B saling

bebas, peluang bahwa A dan B terjadibersamaan adalah:P(A B) = P(A) x P(B)

31

32

ContohAnggota paduan suara suatu

sekolah terdiri dari 12 putra

dan 18 putri. Bila diambil dua

anggota dari kelompok tersebut

untuk mengikuti lomba perorangan

maka peluang terpilihnya putra dan

putri adalah….

33

Penyelesaian• banyak anggota putra 12 danbanyak anggota putri 18 n(S) = 12 + 18 = 30

• P(putra dan putri) = P(putra) x P(putri)

= x

=

30

12

30

18

25

6

2

55

3

Peluang Kejadian padaPengambilan Contoh

Peluang Pengambilan Contoh dengan Pengembalian

Dari satu set kartu remi akan diambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan. Berapa peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua, kalau kartu-kartu yang telah diambil pada pengembalian pertama dikembalikan?

Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama, dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua

E1 dan E2 dua kejadian saling bebas

Peluang Pengambilan Contoh tanpa Pengembalian

Dari satu set kartu remi akan diambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan. Berapa peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua, kalau kartu-kartu yang telah diambil pada pengembalian pertama tidak dikembalikan?

Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama

Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan

Misalkan E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua

E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1

( 52-1 )=51 lembar

merupakan kejadian bersyarat

Jadi, peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua (tanpa pengembalian) adalah

Dari sebuah kotak yang berisi 5

bola merah dan 3 bola putih di-

ambil 2 bola sekaligus secara

acak.

Peluang terambilnya keduanya

merah adalah….

28

10

11

13 13

11

4

9A.

B. D.

C.

Dalam Kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah...

13

9

2

1

20

9 40

9

A

B D

C

Penyelesain

• banyak cara mengambil 2 dari 8

8C2 =

=

= 28

• Peluang mengambil 2 bola

merah sekaligus =

)!28(!2

!8

!6!.2

!8

2.1

8.7

28

10

• banyak cara mengambil 2 dari 8

8C2 =

=

= 28

• Peluang mengambil 2 bola

merah sekaligus =

)!28(!2

!8

!6!.2

!8

2.1

8.7

28

10

Penyelesaian

Kantong I terdapat: kelereng putih = 3

Kelereng merah = 5

Peluang terambilnya kelereng putih p(p) =

Kantong II terdapat: kelereng merah = 4

Kelereng hitam = 6

Peluang terambilnya kelereng putih p(h) =

8

3

10

6

Sehingga peluang terambilnya kelereng putih dan kelereng hitam = p(p).p(h)==

10

6

8

3

40

9

Back to quiz…

Back to quiz…

Back to quiz…