Aljabar Operator dan Masalah Nilai Eigen By: Paian Tamba E-mail: paian_6tamba@yahoo.co.id Aljabar Operator Operatormerupakanyangmengandunginformasitentangnilai-nilai (atauspektrum)suatubesaranbersangkutan.Untukmemperolehnilai suatu besaran tersebut pada mekanika kuantum diperlukan perangkat matematika berupa aljabar operator.Operator pada fungsi gelombangmisalnyaoperatoryangbekerjapadafungsigelombang,operator tersebutdapat menghasilkan suatu fungsi lainnya, yakni: Perangkat matematika yang diperlukan dalam hal ini, meliputi: Operator Linear Penjumlahan dan perkalian operator Sifat tak komutatifperkalian operator Komutator dari dua operator Perkalian skalar dua fungsi gelombang Ortogonal,tenormalisasi,ortonormal Operator Hermit Operator Invers Operator Uniter A = A1. Operator Linear Contoh-contohdarioperasioperatorliniertersebutmisalnya, perkaliandengansuatukonstanta:,perkaliandengan suatu fungsi: , diferensiasi Dalam operator linear berlaku: C ) (x Vdxd2 2 1 1 2 2 1 1 ) ( A A A + = +2. Penjumlahan dan perkalian operator Antaraduaoperatordapatkitalakukan penjumlahan,danperkalian.Penjumlahandari dua operator didefenisikan .Defenisi ini mengakibatkan, misalnya: Begitu pula.,SingkatnyaOperator-Operator berkomutasi pada operasipenjumlahan. Perkalian dua operator didefinisikan melalui.Pada perkalian juga berlaku Sehingga B A B A ) ( + = +( ) C B A C B A C B A) ( + + = + + = + +A B B A + = +)( ) ( B A B A B A = =C B A C B A C B A) ( ) ( = =2 2 A A A A A A A = =3.Sifat tak komutatifperkalian operator umumnyaperkalianoperatortakkomutatifsifatnya,A B B A = B A dengan sama tak yang x dx d A Bsedangkan dx d x B A makadx d B dan x A , ) / ( , ) / ( , / jika Misalnya,+ === =4. Komutator dari dua operator Berkaitandengansifat-sifatnyaterhadapkomutasi,dapat didefinisikan komutator dari dua operatorsebagai operator: untukyang berkomutasi, .Untukoperator yang tak komut,Beberapasifat penting dari komutator adalah: B dan A | | A B B A B A , =B dan A | | 0,= B A| | | || | | | | || | | | | |C B A C A B C B AC A B A C B AA B B A , , ,, , ,, ,+ =+ = +=| | 0,= B A5. Produk skalar dua fungsi gelombang Beberapa sifat penting produk skalar; ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) , ,tan , ,, , ,, , ,,, ,2 1 2 2 12 1 2 12== =+ = ++ = +==}ta kons untukdx x6. Ortogonal,tenormalisasi,ortonormal keduafungsidanitudisebut ortogonal sesamanya. ( ) , 0 , = jikasuatu fungsi dengan norm = 1, dimana , disebut ternormalisasi. Suatuhimpunanfungsigelombangyangortogonal sesamanya,yang masing-masing ternormalisasi disebut set fungsi gelombang yang ortonormal.( ) 1 ,2= =}dx [ ]i7. Operator Hermit Operator-operator yang sama dengan setangkup hermitnya disebut Operator Hermit. Untuk semua operator hermit berlaku : Yang berarti operator hermit itu bisa segera kita pindahkan keruang lainnya tanpa mengalami perubahan apapun. ( ) ) ,(, A A =8. Operator invers Beberapa sifat utama operator invers, misalnya: 1 11 1 1 ( ) ( ) A = AAB = B A1 1 1 A A = AA=9. Operator uniter suatu operator u yang biasa disebut uniter jika setangkup hermitnya identik dengan inversnya, atau: Dengan demikian bagioperator uniter berlaku; 1 +=U U1 = =+ +U U U UMasalah Nilai Eigen

Masalah nilai eigen operator hermit Khususbagioperatorhermitberlakuteoremapenting berikut ini: a.Nilai eigennya semua real b.Fungsi-fungsi eigennya, dari nilai eigen yang berbeda, ortogonal sesamanya.