ALJABAR MATRIKSpertemuan 2

Oleh :L1153

Halim Agung,S.Kom

Sistem Persamaan Linear.

Misalkan kita mempunyai persamaan linear sebagai berikut :

2x + 3y = 73x – 2y = 4

Maka penyelesaian nya dilakukan dengan mengubah persamaan diatas ke dalam bentuk Matriks , yaitu :

Bentuk matriks ini dinamakan Matriks Lengkap

dengan disebut sebagai matriks koefisien

4

723

32

2332

Invers Matriks.

Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERS dari matriks tersebut.

Matriks bujur sangkar yang tidak punya invers disebut matriks singular Matriks yang nilai determinannya 0 tidak mempunyai invers Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1

Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A],dimana : [B] adalah invers dari matriks [A][I] adalah matriks identitas

Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.

Invers Matriks Adjoint.

Pandang matriks A = aij. Kita sebut kofaktor dari elemen aij sebagai Aij, maka transpose dari matriks (Aij) disebut matriks Adjoin A.

Contoh :

AadjAAdet

1

32/446/532/232/232/732/132/546/1132/9

468544142

101118

511240432

1A

A

Latihan

Tentukan determinan dan invers dari matriks berikut (gunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan:

2132

A

223112121

B

Invers Matriks dengan OBE (Operasi Baris Elementer).*berujung dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan*

Contoh :

x – 2y + z = 5-2x + y + 3z = 33x + y – z = 0

Metode penyelesaian : 1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol2. Mempertukarkan tempat 2 baris3. Menambahi suatu baris dengan konstanta kali baris lain

Note : Operasi pengerjaan baris elementer tidak diwajibkan menggunakan step pengerjaan yang sama

Invers Matriks dengan OBE (Operasi Baris Elementer).*berujung dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan*

Metode Gauss : Dalam pengerjaan OBE nanti diteruskan dengan substitusi mundur

Metode Gauss – Jordan :Dalam pengerjaan OBE diharuskan menyelesaikan OBE sampai terbentuk bagian matriks persegi berbentuk matriks identitas

Latihan

Tentukan invers dari persamaan berikut menggunakan OBE:

1. 2x + 3y – 5z = 7x + 2y – 3z = 43x – 3y + z = 4

2. x + 2y – 3z + 4u = 82x – 4y + 3z – u = 1x – 3y + 2z + 2u = 13x + y – z + 3u = 16

Matriks Eselon.

Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi tiga sifat berikut :1. Pada baris yang memuat unsur tak nol , unsur tak nol yang terletak paling kiri

adalah 12. Untuk baris yang memuat unsur tak nol , unsur tak nol terkiri baris yang posisinya

lebih kebawah juga berposisi lebih ke kanan3. Dibawah baris nol , tak ada baris yang memuat unsur tak nol

* unsur 1 yang terletak paling kiri pada suatu baris matriks eselon disebut unsur 1 utama baris itu

Contoh :

0000100011000121

A

Matriks Eselon Tereduksi.

Matriks Eselon Terduksi adalah matriks eselon yang memenuhi sifat berikut :Pada kolom yang memuat unsur 1 utama dari suatu baris , tak ada unsur tak nol diatas unsur 1 utama itu.

* Matriks eselon tereduksi adalah matriks eselon dan matriks yang bukan matriks eselon , pastilah bukan matriks eselon tereduksi

Contoh :

Matriks diatas bukan matriks eselon tereduksi

0000100011000121

A

Latihan

Tentukan apakah matriks berikut termasuk dalam matriks eselon atau matriks eselon tereduksi

10000501000210050231

A

000000000000210000302110907011

B

100000010000092100015011

C

END

Quiz

1. Hitunglah a jika setelah penambahan baris kedua dengan -2 kali baris pertama dilanjutkan menambah baris ketiga dengan 1/3 kali baris kedua matriks

2. Lakukan eliminasi gauss – jordan untuk mencari persamaan berikut ini3x + y - 2z = 75x – 2y – 3z = 42x + 2y + 3z = 3

001330

121

11112

121menjadi

a

Quiz

3. Carilah nilai p yang menyebabkan matriks berikut tak punya invers

232211102121101

p