aljabar linear elementer ma1223 3 sks silabus : bab i matriks dan operasinya
DESCRIPTION
Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 2
Determinan Matriks
Sub Pokok Bahasan– Permutasi dan Determinan Matriks– Determinan dengan OBE– Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Beberapa Aplikasi Determinan Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain.
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 3
Permutasi dan Definisi Determinan MatriksPermutasi susunan yang mungkin dibuat dengan
memperhatikan urutan
Contoh : Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)
Invers dalam PermutasiJika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan
yang lebih kecil dalam urutan permutasi
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 4
Permutasi Genap Jumlah invers adalah bil. genapPermutasi Ganjil Jumlah invers adalah bil. ganjil
Contoh : Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3} (1,2,3) 0 + 0 = 0 genap(1,3,2) 0 + 1 = 1 ganjil(2,1,3) 1 + 0 = 1 ganjil(2,3,1) 0 + 2 = 2 genap(3,1,2) 2 + 0 = 2 genap(3,2,1) 1 + 1 = 2 genap
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 5
Definisi Determinan Matriks
Hasil kali elementer A hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.Contoh :
Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 ,
a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
11
21111
11111
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 6
Hasil kali elementer bertandaa11 a22 a33
– a11 a23 a32
– a12 a21 a33
a12 a23 a31
a13 a21 a32
– a13 a22 a31
Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut.
Notasi : Det(A) atau |A|
Perhatikan…Tanda (+/-) muncul sesuai hasil
klasifikasi permutasi indeks kolom, yaitu : jika genap + (positif) jika ganjil - (negatif)
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh : Tentukan Determinan matriks
Jawab :Menurut definisi :Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
atau
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
A
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 8
Contoh :Tentukan determinan matriks
Jawab :
122011123
B
122011123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
221123
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 9
Menghitung Determinan dengan OBE
Perhatikan :a.
b.
c.
33021
det
45987054001
det
24600540321
Dengan mudah…Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol
Det(A) =Hasilkali unsur diagonal?
Hitung Det.Matriks Bukan
Segitiga???
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 10
Perlu OBE untuk menentukan determinan suatu matriks yang bukan segitiga.Caranya :
Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga
Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu :
1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A)Contoh :
sehingga
1112
A 3A
1211
B
1211
B A 3
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 11
2. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali mengalikan dengan konstanta k pada baris maka Det (B) = k Det (A)Contoh :
dan
maka
1112
A 3A
2212
B
22
12B 62
1112
2
A
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 12
3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A)Contoh 3 :
Perhatikan
62
31A 12A
62
3112031
12-
OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 13
Contoh 3 :Tentukan determinan matriks berikut :
Jawab :
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
2-kedan 1-ke baris pertukaran 2 1 0
0 1 2 1 2 1
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 14
= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya)
212 2 1 0 2- 3- 0 1 2 1
bbA
3-kedan 2-ke baris Pertukaran 2- 3- 0 2 1 0 1 2 1
323 4 0 0 2 1 0 1 2 1
bb
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 15
Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
...:::
......
21
22221
11211
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A 11 0
2 1 maka 13 M
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 16
• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2 = – 2
2 1 0 1
1 1212
C
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 17
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j
det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn
Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 18
Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
3
133)det(
jjjcaA
23)1(10 1 1 0 2 33)1(2
2 1 1 2
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 19
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
3
133)det(
iii caA
32)1(10 1 0 1 2 33)1(2
2 1 1 2
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 20
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka
dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A).
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
C
22
12221
11211
TCAadj )(
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
21
12212
12111
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 21
Misalkan A punya invers maka
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0. Beberapa sifat determinan matriks adalah :1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (At)2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran
sama, maka :det (A) det (B) = det (AB)
3. Jika A mempunyai invers maka :
)()det(
11 AadjA
A
)det(1
)det( 1A
A
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 22
Contoh :Diketahui
Tentukan matriks adjoin A Jawab :
Perhatikan bahwa
1 2 0 0 1- 1 1 0 1
A
11201
)1( 1111
c 1
1001
)1( 2112 c 2
2011
)1( 3113
c
.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 23
Sehingga matriks kofaktor dari A :
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-
C
1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-
)( TCAadj
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 24
Latihan Bab 21. Tentukan determinan matriks dengan
OBE dan ekspansi kofaktor
dan
2. Diketahui :
dan
Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
211121112
P
144010023
Q
200043012
A
105217311
B
22/04/23 13:51 MA-1223 Aljabar Linear 25
3. Diketahui :
Tentukan k jika det (D) = 294. Diketahui matriks
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai
43101
51
k
kD
543012001
A
BA
BAx
tdet
5det2det 2