6

II. AKAR-AKAR PERSAMAAN

Beberapa metode untuk mencari akar-akar suatu persamaan, untuk

Polinomial derajat dua Rumus Persamaan Kuadrat.

Missal : ax2+ bx +c = 0

X1,2 = 2a

4acbb 2

Sedangkan untuk polinominal lebih tinggi tidak ada rumus,

Misal :

f(x) = x3+x2-3x-3=0

f(x) = x5+2x4+3x3+4x2-3x-1=0

f(x) = ex-3x=0

f(x) = 3x+Sinx-ex=0, dsb

Bentu persm. diatas sulit/tdk mungkin diselesaikan secara eksplisit, tetapi

dengan metode numeric akan di dpt hasil yg mendekati penyelesaian eksak

Gambar 1. Mencari titik potong

Metode ini digunakan scr Iterasi, artinya dicoba dg harga x terus-

menerus (coba-coba) shg di dpt harga f(x)=0

akar persamaan

f(x)

Y

X

7

2.1. Metode Setengah Interval

Logika prosedur hitungan spt pd diagram alir berikut :

Cth.1. Hitunglah akar persamaan pangkat tiga berikut :f(x) = x3+x2-3x-3=0

Jwb.

Dihitung nilai f(x) pd interval antara 2 titik, missal x=1 dan x=2.

Hitung fungsi u/ interval X

yg sama shg di dpt f(xn) dan f(xn+1) dg tanda berbeda.

Hitung

Xt =

2

xx 1nn

Apakah f(xt) kecil ?

xn = xt f(xn) = f(xt)

xn+1 = xt f(xn+1) =f(xt)

Selesai

Tdk

Ya

Ya

Tdk

Apakah f(xt) dan

f(xn) bertanda sama ?

8

X=1, f(x=1) =13+12-3.1-3=-4

X=2, f(x=2) =23+22-3.2-3=3

Karena fungsinya kontinyu maka perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan

x=2 akan memotong sb x paling tdk satu kali.

Dihitung nilai xt, dan fungsi f(xt)

Xt =

2

xx 21 =

2

21 = 1,5

f(xt = 1,5) = 1,53+1,52 -3.1,5 -3= -1,875

maka fungsi berubah menjadi x=1,5 dan x=2, shg akan terletak diantara kedua

nilai tersebut.

Langkah selanjutnya adl membuat setengah interval berikutnya u/ membuat

interval yg semakin kecil, pd mana akar persamaan berada.

Adapun hasil hitunganmetode setengah interval ditunjukkan pada tabel.1

dibawah ini.

Tabel 1. Hasil hitungan metode setengah interval

Iterasi X1 X2 X3 f(X1) f(X2) f(X3)

1 1 2 1.5 -4 3 -1.875

2 1.5 2 1.75 -1.875 3 0.171875

3 1.5 1.75 1.625 -1.875 0.171875 -0.94336

4 1.625 1.75 1.6875 -0.94336 0.171875 -0.40942

5 1.6875 1.75 1.71875 -0.40942 0.171875 -0.12479

6 1.71875 1.75 1.734375 -0.12479 0.171875 0.02203

7 1.71875 1.73438 1.726563 -0.12479 0.02203 -0.05176

8 1.71875 1.726563 1.722656 -0.12479 -0.05176 -0.08837

9 1.71875 1.722656 1.720703 -0.12479 -0.08837 -0.1066

~ 1.73205 0.00000

2.2. Metode Interpolasi Linier

Metode ini sbg penyempurnaan dari metode setengah Interval karena

lebih cepat u/ mendapatkan nilai akar dari suatu fungsi.

9

Metode ini disebut juga metode false position. Metode ini didasarkan pada

interpolasi antara dua nilai dari fungsi yg mempunyai tanda berlawanan.

Mula-mula dicari nilai fungsi setiap interval x yang sama, sampai akhirnya di

dpt dua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) yg berurutan yg mempunyai tanda

berlawanan.

Spt pd gb.2 dibawah, Dari kedua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) ditarik garis lurus

shg terbentuk suatu segitiga, dg menggunakan sifat segitiga sebangun maka

didapt persamaan:

)f(X)f(X

)f(X

XX

XX

n1n

1n

n1n

*1n

X* = Xn+1 - )f(X)f(X

)f(X

n1n

1n

(Xn+1-Xn)……………..2.1

Gb.2. Metode interpolasi linier

Nilai tsb digunakan untuk menghitung nilai f(X*), yg kemudian digunakan

lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(Xn) atau f(Xn+1) sedemikian hingga

kedua fungsi mempunyai tanda berbeda. Prosedur ini diulang terus sampai

didapat nilai f(X*) mendekati nol. Diagram alir dibawah logika prosedur hitungan

dari metode Interpolasi Linier.

f (xn+1)

f(x)

Y

X

xn

xn+1- xn

f (xn+1) - f(xn)

xn+1- x*

xn+1 x*

10

Cth. 2.

Hitung salah satu akar dari persamaan f(x) = x3+x2-3x-3=0

Jwb.

Spt pd cth 1, langkah pertama adl menghitung nilai f(x) pd interval antara dua

titik sedemikian sehingga nilai f(x) pd kedua titik tsb berlawanan tanda.

X=1, f(x=1) =13+12-3.1-3=-4

X=2, f(x=2) =23+22-3.2-3= 3

Hitung fungsi u/ interval X

yg sama shg di dpt f(xn) dan f(xn+1) dg tanda berbeda.

Hitung X* dan f(X*)

Apakah f(x*) kecil ?

xn+1 = x* f(xn+1) = f(x*)

xn= x* f(xn) =f(x*)

Selesai

Tdk

Ya

Ya

Tdk

Apakah f(xt) dan

f(xn) bertanda sama ?

11

Dengan mengunakan rumus:

X* = Xn+1 - )f(X)f(X

)f(X

n1n

1n

(Xn+1-Xn)

= 2 - (-4)]3[

3

(2-1) = 1,57142

f(X*) = (1,57142)3+(1,57142)2-3.( 1,57142) -3=-1,36449

karena f(X*) berubah antara x=1,57142 dan x=2, maka akar terletak diantara

kedua nilai tersebut Spt pada table 2 dibawah :

Tabel 2. Hasil hitungan metode inetrpolasi linier

Iterasi X1 X2 X* f(X1) f(X2) f(X*)

1 1 2 1.571429 -4 3 -1.3644315

2 1.571429 2 1.705411 -1.36443 3 -0.2477451

3 1.705411 2 1.727883 -0.24775 3 -0.0393396

4 1.727883 2 1.731405 -0.03934 3 -0.0061107

5 1.731405 2 1.731951 -0.00611 3 -0.0009459

6 1.731951 2 1.732035 -0.00095 3 -0.0001463

7 1.732035 2 1.732048 -0.00015 3 -2.264E-05

8 1.732048 2 1.73205 -2.3E-05 3 -3.503E-06

9 1.73205 2 1.732051 -3.5E-06 3 -5.418E-07

. 1.732051 2 1.732051 -5.4E-07 3 -8.382E-08

. 1.732051 2 1.732051 -8.4E-08 3 -1.297E-08

. 1.732051 2 1.732051 -1.3E-08 3 -2.006E-09

. 1.732051 2 1.732051 -2E-09 3 -3.103E-10

. 1.732051 2 1.732051 -3.1E-10 3 -4.801E-11

~ . . . . . 0

2.3. Metode Newton-Raphson

Metode ini paling banyak digunakan dlm mencari akar-akar dari suatu

persamaan. Jika perkiraan awal dari akar adl xi, suatu grs singgung dpt dibuat

dari titik (Xi,f(Xi). Titik dimana grs singgung tsb memotong sb x biasanya

memberikan perkiraan yg lbh dekat dg nilai akar.

12

Gambar 3. Prosedur metode Newton-Raphson

Spt yg ditunjukkan pd gb.3 diatas, turunan pertama pd xi adl ekivalen dg

kemiringan.

f’(xi) = 1ii

i

xx

0)f(x

atau

xi+1 = xi - (xi)f

f(xi)'

……………..2.2

Bagan alir dari metode Newton Raphson

f(xi)- 0

f(xi)

f(x)

0

A

xi - xi+1

xi+1

xi

Grs singgung di A

f(x)

B

Pilih nilai awal xn sembarang

Hitung Xn+1 dan f(Xn+1)

xn= xn+1

Selesai

Tdk

Ya

Apakah f(xn+1) kecil ?

13

Cth 3. Selesaikan f(x) = x3+x2-3x-3=0 dg metode Newton Raphson

Jwb.

Turunan pertama dr persm. tsb adalah f’(x) = 3x2+2x-3

Dg mengunakan persm.

xi+1 = xi - )(xf

)f(x

i

'

i

Pd awal hitungan ditentukan xi sembarang, misalnya x1 = 1,

x=1, f(x1=1) =13+12-3.1-3=-4

f’(x1=1) =3.12+2.1-3=2

x2=1- 32

4

Langkah selanjutnya ditetapkan x2=3,

x=3, f(x2=3) =33+32-3.3-3=24

f’(x2=3) =3.32+2.3-3=30

x3=3- 2,230

24

Hasil hitungan selanjutnya diberikan dlm tabel 3. dibawah ini :

Tabel 3. Hasil hitungan dg metode Newton-Raphson

Iterasi xi xi+1 f(xi) f(xi+1) f'(xi)

1 1 3 -4 24 2

2 3 2.2 24 5.888 30

3 2.2 1.830151 5.888 0.989001 15.92

4 1.830151 1.737795 0.989001 0.054573 10.70866

5 1.737795 1.732072 0.054573 0.000203 9.53539

6 1.732072 1.732051 0.000203 2.86E-09 9.464368

7 1.732051 1.732051 2.86E-09 0 9.464102

2.4. Metode Secant

Kekurangan metode Newton-Raphson adl diperlukan turunan pertama

(deferensial) dari f(x) dlm hitungan. Kadang-kadang sulit untuk

14

mendeferensialkan pers. yg diselesaikan, untuk itu maka bentuk diferensial

didekati dg perkiraan berdsrkan diferensial beda hingga.

Gambar 4. Metode Secant

Spt terlihat pd gb.4 diatas grs singgung di titik xi didekati oleh bentuk berikut.

f’(xi) = 1ii

1-ii

xx

)f(x)f(x

,

apabila persamaan diatas kita subtitusikan ke persamaan 2.2, maka didapat

xi+1 = xi - )f(x-)f(x

) x- )(xf(x

1-ii

1-iii ……………..2.3

dlm metode ini memerlukan dua nilai awal dari x.

Contoh. 4

Selesaikan persamaan f(x) = x3+x2-3x-3=0 dengan metode secant

Jwb.

Iterasi pertama, diambil dua nilai awal x=1 dan x=2

X=1, f(x=1) = 13+12-3.1-3=-4

X=2, f(x=2) =23+22-3.2-3= 3

Dengan pers.

xi+1 = xi - )f(x-)f(x

) x- )(xf(x

1-ii

1-iii = x3 = 2 - (-4)-3

1) - 3(2=1,57142

f(xi)

f(x)

0

A

xi – xi-1

xi-1

xi

f(x)

B f(xi-1)

15

Iterasi kedua,

X2=2, f(x2=2)= 23+22-3.2-3= 3

X3=1,57142,f(x3=1,57142)= (1,57142)3+(1,57142)2-3. (1,57142)-3= -1,36449

Dengan pers.

xi+1 = xi - )f(x-)f(x

) x- )(xf(x

1-ii

1-iii = x4 = x3 - 3 -1,36449-

2) - 571421,36449(1,-=1,70540

Hitungan selanjutnya dilakukan dg cara yg sama dan hsilnya spt pada tabel 4.

dibawah ini:

Tabel 4. Hasil hitungan dg metode Secant

Iterasi x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3)

1 1 2 1.571429 -4 3 -1.3644315

2 2 1.571429 1.705411 3 -1.36443 -0.2477451

3 1.571429 1.705411 1.735136 -1.36443 -0.24775 0.0292554

4 1.705411 1.735136 1.731996 -0.24775 0.029255 -0.0005152

5 1.735136 1.731996 1.732051 0.029255 -0.00052 -1.039E-06

6 1.731996 1.732051 1.732051 -0.00052 -1E-06 3.703E-11

7 1.732051 1.732051 1.732051 -1E-06 3.7E-11 0

8 1.732051 1.732051 1.732051 3.7E-11 0 0